De Pitàgores a Fermat:
Un viatge a través de l'Aritmètica
Xavier Xarles
2
Pitàgores (569 aC -475 aC)
El teorema de Pitàgores
A2 + B2 = C2 32 + 42 = 52
62 + 82 = 102
52 + 122 = 132
4
Per què sempre posen els mateixos exemples?
Doncs perquè són els exemples de triangles rectangles amb nombres més petits en què els tres costats són nombres naturals.
Pels matemàtics grecs els únics nombres eren els nombres naturals i, més en
general, els nombres racionals positius.
Diofant ( ~200 dC )
Aritmètica
Primer llibre dedicat exclusivament a l’aritmètica.
6
El problema
Trobar tots el triangles rectangles amb els tres costats enters
Trobar les solucions de X2 + Y2 = Z2
amb X, Y i Z enters Ternes Pitagòriques.
Primera observació
Sols cal trobar les solucions (X,Y,Z) que no tinguin factors comuns.
Exemple
62 + 82 = 102 22 32 + 22 42 = 22 52
32 + 42 = 52 22(32 + 42 )=22 52
8
En general, si tenim una solució (X,Y,Z)
de l’equació
X2 + Y2 = Z2 aleshores
(a·X,a·Y,a·Z) és també una solució.
Les solucions sense factors en comú s’anomenen ternes primitives.
Ternes pitagòriques primitives
(X,Y,Z)
Solucions racionals (x,y) de x2 + y2 = 1
x=X/Z y=Y/Z
10
Equació x2+y2 = 1
Cercle de radi 1
Punts del cercle:
punts de la forma
(sin(),cos()), en què varia entre 0 i 2
Punts racionals:
NO SERVEIX
12
Una altra idea:
Escollim un punt amb coordenades racionals.
Per exemple, el punt (1,0)
Dibuixem una recta que passi per (-1,0) i amb pendent racional
El punt (a,b) té coordenades racionals si i només si la recta té pendent racional
14
Equació de la recta pendent t : Y = t X + s
Volem que passi pel punt (-1,0):
Substituïm (X,Y) per (-1,0) 0 = t+s
o sigui
t=s
Equació de la recta pendent t que passa per (-1,0):
Y = t X + t
Punt de tall amb el cercle X2+Y2 = 1 : substituïm Y per t·X+t a l'equació
Equació de segon grau:
(1+t2)·X2+ 2·t2·X + t2 = 0 Solucions:
X =
2t2 2
2(t2+1) =
{
-1 (1t2 ) / (1+t2)16
(X,Y) =
(
(1t2 ),
2·t)
(1+t2) (1+t2)
Les solucions racionals a part d’aquesta són les següents:
on t és qualsevol nombre racional
La solució X=-1 és la que ja coneixíem.
Aquest procediment pot ser generalitzat a totes les còniques (el·lipses, paràboles, hipèrboles).
O sigui, equacions de la forma f(x,y) = 0 on
f(x,y) és un polinomi amb coeficients racionals de grau 2.
Exercici: Trobeu totes les solucions racionals de x2+3y2 = 1.
18
Solucions enteres:
Expressem t de la forma t = m/n amb n i m enters primers entre si
(X,Y) =
(
(n(n2 2 m+ m22 )),
(n2·n·m2 + m2))
Obtenim així que
Teorema:
El conjunt de ternes pitagòriques primitives és
{ (n2m2 , 2nm, n2+m2) n i m primers entre si i , n>m i nm senar }
Exemple: n=2, m=1 (3,4,5)
Exemple: n=3, m=2 (5,12,13)
Exemple: n=4, m=3 (7,24,25)
20
Aplicació:
Fórmules trigonomètriques
Si t= tan ( /2) aleshores
cos() = (1t2 )/(1t2 ) i
sin() = (2·t2 )/(1t2 )
Claude Gaspar Bachet de
Méziriac (1588-1638)
22
Va ser el traductor al llatí de l’Aritmètica de Diofant.
Es va dedicar a la matemàtica recreativa, com per exemple els quadrats màgics.
En un problema es pregunta:
Quins nombres són resta d’un quadrat menys un cub?
Dit d’una altra manera:
Per a quins nombres enters c l’equació Y2X3 = c
té solucions (X,Y) on X i Y són nombres racionals?
24
Bachet diu: si donat c tenim una solució (x,y) amb y 0, aleshores
(x’,y’) =
(
x48·c·x 4·y2,
x620·c·x8·y3 3+8 c2)
també és solució de la mateixa equació.
Com va arribar a aquesta fórmula?
Idea: Intentem copiar el que hem fet abans.
Les solucions reals de l'equació y2x3 = c en el pla formen una corba: C.
C no és una cònica!
Tota recta en el pla talla C com a màxim en tres punts.
26
En efecte:
Si y = a·x+b és una recta en el pla, substituïm y per a·x+b en l’equació y2x3 = c
Obtenim una equació de tercer grau (a·x+b)2x3c = 0
que pot tenir com a màxim tres solucions reals.
Si comencem amb un punt racional (x,y) de la corba C, i prenem una recta
qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals.
Exemple: 52 – 33 2 , per tant (3,5) són solució de Y2 – X3 2
La recta Y=X+2 passa per aquest punt, però no talla la corba C.
La recta Y=3·X-4 passa per aquest punt, i els altres punts de tall són
(3 +/- √3, 5 +/- 3√3 )
28
En canvi, si substituïm Y=(27/10) X – (31/10) en l’equació
Y2 – X3 2
Obtenim així la solució racional (129/100, 383/1000)
que té solucions:
X=3 (repetida) i X= 129/100.
obtenim l’equació en X
-X3+(729/100)·X2 –(837/50)·X + (1161/100)=0
30
D’on surt aquesta última recta?
És la recta tangent a la corba C en el punt (3,5).
La podeu obtenir utilitzant la derivada
(el pendent de la recta és la derivada en el punt x=3 de la funció √ x3-2 ).
La fórmula de Bachet és exactament la que s’obté seguint aquest
procediment.
Recapitulem: Per a les equacions de la forma y2x3 + c,
tenim una fórmula en què, donada una solució (x,y) amb y 0, obtenim una altra solució (x’,y’).
De fet, no sempre obtenim solucions diferents:
només si x 0, i si c 1 i c 432 .
Les equacions d’aquest tipus (o, més en general, del tipus y2 igual a un polinomi de grau 3) s’anomenen
CORBES EL·LÍPTIQUES
32
Pierre de Fermat (1661-1665)
Va escriure al marge de la traducció de Bachet de l’Aritmètica de Diofant:
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos
quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem
nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
34
Que amb la notació actual vol dir:
Si n és un nombre natural més gran que 2, l'equació
Xn + Yn = Zn
no té cap solució on X, Y i Z són
nombres enters, tots ells diferents de 0.
Tinc una demostració meravellosa d'aquest resultat, però el marge és massa estret i no m'hi cap.
Quina relació tenen les corbes el·líptiques amb el problema de Fermat?
En principi cap (a part del cas n=3), però resulta que hi ha una relació molt profunda que no es va anar descobrint fins fa molt poc.
Us explicaré la història amb fotografies.
36
1955 :
Taniyama (1927-1958)
1986:
Gerhard Frey (1945)
38
1986:
Jean Pierre Serre (1926)
1987:
Barry Mazur (1937)
40
