• No se han encontrado resultados

De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2023

Share "De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica"

Copied!
41
0
0

Texto completo

(1)

De Pitàgores a Fermat:

Un viatge a través de l'Aritmètica

Xavier Xarles

(2)

2

Pitàgores (569 aC -475 aC)

(3)

El teorema de Pitàgores

A2 + B2 = C2 32 + 42 = 52

62 + 82 = 102

52 + 122 = 132

(4)

4

Per què sempre posen els mateixos exemples?

Doncs perquè són els exemples de triangles rectangles amb nombres més petits en què els tres costats són nombres naturals.

Pels matemàtics grecs els únics nombres eren els nombres naturals i, més en

general, els nombres racionals positius.

(5)

Diofant ( ~200 dC )

Aritmètica

Primer llibre dedicat exclusivament a l’aritmètica.

(6)

6

El problema

Trobar tots el triangles rectangles amb els tres costats enters

Trobar les solucions de X2 + Y2 = Z2

amb X, Y i Z enters Ternes Pitagòriques.

(7)

Primera observació

Sols cal trobar les solucions (X,Y,Z) que no tinguin factors comuns.

Exemple

62 + 82 = 102 22 32 + 22 42 = 22 52

32 + 42 = 52 22(32 + 42 )=22 52

(8)

8

En general, si tenim una solució (X,Y,Z)

de l’equació

X2 + Y2 = Z2 aleshores

(a·X,a·Y,a·Z) és també una solució.

Les solucions sense factors en comú s’anomenen ternes primitives.

(9)

Ternes pitagòriques primitives

(X,Y,Z)

Solucions racionals (x,y) de x2 + y2 = 1

x=X/Z y=Y/Z

(10)

10

Equació x2+y2 = 1

Cercle de radi 1

(11)

Punts del cercle:

punts de la forma

(sin(),cos()), en què  varia entre 0 i 2

Punts racionals:



NO SERVEIX

(12)

12

Una altra idea:

Escollim un punt amb coordenades racionals.

Per exemple, el punt (1,0)

(13)

Dibuixem una recta que passi per (-1,0) i amb pendent racional

El punt (a,b) té coordenades racionals si i només si la recta té pendent racional

(14)

14

Equació de la recta pendent t : Y = t X + s

Volem que passi pel punt (-1,0):

Substituïm (X,Y) per (-1,0) 0 = t+s

o sigui

t=s

Equació de la recta pendent t que passa per (-1,0):

Y = t X + t

(15)

Punt de tall amb el cercle X2+Y2 = 1 : substituïm Y per t·X+t a l'equació

Equació de segon grau:

(1+t2)·X2+ 2·t2·X + t2 = 0 Solucions:

X =

2t2 2

2(t2+1) =

{

-1 (1t2 ) / (1+t2)

(16)

16

(X,Y) =

(

(1t2 )

,

2·t

)

(1+t2) (1+t2)

Les solucions racionals a part d’aquesta són les següents:

on t és qualsevol nombre racional

La solució X=-1 és la que ja coneixíem.

(17)

Aquest procediment pot ser generalitzat a totes les còniques (el·lipses, paràboles, hipèrboles).

O sigui, equacions de la forma f(x,y) = 0 on

f(x,y) és un polinomi amb coeficients racionals de grau 2.

Exercici: Trobeu totes les solucions racionals de x2+3y2 = 1.

(18)

18

Solucions enteres:

Expressem t de la forma t = m/n amb n i m enters primers entre si

(X,Y) =

(

(n(n2 2 m+ m22 ))

,

(n2·n·m2 + m2)

)

Obtenim així que

(19)

Teorema:

El conjunt de ternes pitagòriques primitives és

{ (n2m2 , 2nm, n2+m2)  n i m primers entre si i , n>m i nm senar }

Exemple: n=2, m=1 (3,4,5)

Exemple: n=3, m=2 (5,12,13)

Exemple: n=4, m=3 (7,24,25)

(20)

20

Aplicació:

Fórmules trigonomètriques

Si t= tan ( /2) aleshores

cos() = (1t2 )/(1t2 ) i

sin() = (2·t2 )/(1t2 )

(21)

Claude Gaspar Bachet de

Méziriac (1588-1638)

(22)

22

Va ser el traductor al llatí de l’Aritmètica de Diofant.

Es va dedicar a la matemàtica recreativa, com per exemple els quadrats màgics.

En un problema es pregunta:

Quins nombres són resta d’un quadrat menys un cub?

(23)

Dit d’una altra manera:

Per a quins nombres enters c l’equació Y2X3 = c

té solucions (X,Y) on X i Y són nombres racionals?

(24)

24

Bachet diu: si donat c tenim una solució (x,y) amb y  0, aleshores

(x’,y’) =

(

x48·c·x 4·y2

,

x620·c·x8·y3 3+8 c2

)

també és solució de la mateixa equació.

(25)

Com va arribar a aquesta fórmula?

Idea: Intentem copiar el que hem fet abans.

Les solucions reals de l'equació y2x3 = c en el pla formen una corba: C.

C no és una cònica!

Tota recta en el pla talla C com a màxim en tres punts.

(26)

26

En efecte:

Si y = a·x+b és una recta en el pla, substituïm y per a·x+b en l’equació y2x3 = c

Obtenim una equació de tercer grau (a·x+b)2x3c = 0

que pot tenir com a màxim tres solucions reals.

(27)

Si comencem amb un punt racional (x,y) de la corba C, i prenem una recta

qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals.

Exemple: 52 – 33 2 , per tant (3,5) són solució de Y2 – X3 2

La recta Y=X+2 passa per aquest punt, però no talla la corba C.

La recta Y=3·X-4 passa per aquest punt, i els altres punts de tall són

(3 +/- √3, 5 +/- 3√3 )

(28)

28

(29)

En canvi, si substituïm Y=(27/10) X – (31/10) en l’equació

Y2 – X3 2

Obtenim així la solució racional (129/100, 383/1000)

que té solucions:

X=3 (repetida) i X= 129/100.

obtenim l’equació en X

-X3+(729/100)·X2 –(837/50)·X + (1161/100)=0

(30)

30

D’on surt aquesta última recta?

És la recta tangent a la corba C en el punt (3,5).

La podeu obtenir utilitzant la derivada

(el pendent de la recta és la derivada en el punt x=3 de la funció √ x3-2 ).

La fórmula de Bachet és exactament la que s’obté seguint aquest

procediment.

(31)

Recapitulem: Per a les equacions de la forma y2x3 + c,

tenim una fórmula en què, donada una solució (x,y) amb y  0, obtenim una altra solució (x’,y’).

De fet, no sempre obtenim solucions diferents:

només si x  0, i si c  1 i c  432 .

Les equacions d’aquest tipus (o, més en general, del tipus y2 igual a un polinomi de grau 3) s’anomenen

CORBES EL·LÍPTIQUES

(32)

32

Pierre de Fermat (1661-1665)

(33)

Va escriure al marge de la traducció de Bachet de l’Aritmètica de Diofant:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos

quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem

nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

(34)

34

Que amb la notació actual vol dir:

Si n és un nombre natural més gran que 2, l'equació

Xn + Yn = Zn

no té cap solució on X, Y i Z són

nombres enters, tots ells diferents de 0.

Tinc una demostració meravellosa d'aquest resultat, però el marge és massa estret i no m'hi cap.

(35)

Quina relació tenen les corbes el·líptiques amb el problema de Fermat?

En principi cap (a part del cas n=3), però resulta que hi ha una relació molt profunda que no es va anar descobrint fins fa molt poc.

Us explicaré la història amb fotografies.

(36)

36

1955 :

Taniyama (1927-1958)

(37)

1986:

Gerhard Frey (1945)

(38)

38

1986:

Jean Pierre Serre (1926)

(39)

1987:

Barry Mazur (1937)

(40)

40

1989:

Ken Ribet (1950)

(41)

1994:

Andrew Wiles (1953)

Referencias

Documento similar

També, en mirar amb perspectiva, veig un procés en el qual els jocs literaris –els espills i les cuirasses– són cada vegada més prims i la vida –també les referèn- cies

Com diuen els bookcrossers més veterans: «El 80% dels llibres es perden, i són més els bookcrossers que acaben comprant que no pas els que troben llibres perduts.» Però això no

L’Eulàlia Canal explica que els seus fills són la seua major inspiració i que també volia fer alguna cosa per a ells: «des que eren petits, els llegia contes i això va fer

Les adaptacions curriculars significatives són les diferents modificacions que farem en els objectius, els continguts, les activitats, la metodologia, els criteris i els procediments

En resum, els pacients amb més probabilitats de una variant genètica causal d’IDCV són els pacients pediàtrics, amb un inici de manifestacions clíniques més precoç, amb un

Tot i que, és un procés força complex, degut a què per una banda els clients de BSF són els propietaris dels estands gastronòmics i, aquests comercialitzen els

Tant els jugadors convocats fins al novembre com els integrants de la selecció són els que mostren un millor rendiment dels components de les FE (memòria de

A continuació recordarem alguns dels exemples més coneguts de conjunts fractals matemàtics: el de Cantor, els de Sierpiński, el floc de neu, la corba drac i els de Mandelbrot i