ISSN 2301-9115
HOMOMORFISME PADA BF-ALJABAR
Rizky Maslinda
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Surabaya
e-mail : rizkymaslinda@mhs.unesa.ac.id
Agung Lukito
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Surabaya
e-mail : agunglukito@unesa.ac.id Abstrak
Himpunan tak kosong 𝑋 dengan operasi biner “ ∗ ” dan elemen khusus 0 disebut BF-aljabar jika memenuhi aksioma 𝑥 ∗ 𝑥 = 0, 𝑥 ∗ (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑦, dan 0 ∗ (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑦 ∗ 𝑥, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. Dalam skripsi ini akan dikaji beberapa struktur subaljabar dan subaljabar normal pada BF-Aljabar dan sifat-sifat homomorfisme pada BF-aljabar.
Kata kunci:BF-aljabar, homomorfisme, subaljabar, subaljabar normal Abstract
A non-empty set 𝑿 with a binary operation “ ∗ ” and a constant 0 is called BF-algebra if satisfies 𝑥 ∗ 𝑥 = 0; 𝑥 ∗ (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑦; 0 ∗ (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑦 ∗ 𝑥, for all 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. In this paper we study some of subalgebras and normal subalgebras of a BF -algebra and some properties of homomorphism of BF-algebra.
Keywords :BF-algebra; homomorphism; subalgebra; normal subalgebra
1. PENDAHULUANI
Aljabar abstrak adalah bidang matematika yang mempelajari struktur aljabar. Struktur aljabar merupakan himpunan yang tak kosong dengan satu atau lebih operasi biner dan memenuhi aksioma-aksioma yang terkait. Menurut Kromodihardjo (1988), yang dimaksud dengan suatu sruktur aljabar yaitu suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan suatu operasi biner atau lebih. Beberapa kajian dalam struktur aljabar yaitu grup, ring, ideal. Adapun struktur aljabar lainnya yaitu B-aljabar.
Pada tahun tahun 2002, Neggers dan Kim memperkenalkan tentang B-aljabar yang memenuhi aksioma (i) 𝑥 ∗ 𝑥 = 0, (ii) 𝑥 ∗ 0 = 𝑥, (iii) (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ (𝑧 ∗ (0 ∗ 𝑦)) untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 dan dipelajari juga sifat-sifatnya.
Pada tahun 2007, Anderj Walendziak memperkenalkan tentang BF-aljabar. BF-aljabar adalah suatu himpunan tak kosong 𝑋 dengan operasi biner ∗ dan elemen khusus 0 yang memenuhi aksioma: (i) 𝑥 ∗ 𝑥 = 0, (ii) _ ∗ 0 = 𝑥, (iii) 0 ∗ (𝑥 ∗
𝑦) = 𝑦 ∗ 𝑥 , untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 . Anderj
Walendziak juga mengkaji tentang sifat-sifat BF -aljabar dan beberapa sifat sub-aljabar dan sub-aljabar normal pada BF-aljabar. Yang dapat menjadi struktur homomorfisme pada BF-aljabar.
Dalam skripsi ini akan dikaji beberapa sifat aljabar yang terkait dengan homomorfisme pada BF-aljabar.
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan di atas, rumusan masalah yang diajukan adalah “Bagaimana sifat aljabar yang terkait dengan homomorfisme pada BF-aljabar?”
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penulisan adalah mempelajari sifat dari BF-aljabar terhadap homomorfisme pada BF-aljabar dan sifat-sifat yang terkait. 2. KAJIAN TEORI
Operasi Biner
Definisi 2.1 Misalkan 𝐺 himpunan tak kosong. Operasi biner" ∗ " di 𝐺 adalah fungsi dari 𝐺 × 𝐺 → 𝐺.
(Joseph A. Gallian, 2010 : 40). Aljabar
Definisi 2.2 Misalkan𝑋 himpunan tak kosong dan " ∗ " operasi biner di 𝐹. Pasangan terurut (𝑋,∗)disebut aljabar.
(Joseph Landin, 2012 : 30). Fungsi dan Jenis-Jenisnya
Definisi 2.3 Misalkan 𝑓: 𝑋 → 𝑌 dan 𝑔: 𝑌 → 𝑍. Komposisi 𝑓 dan 𝑔, ditulis 𝑓 ∘ 𝑔, adalah fungsi dari 𝑋 ke 𝑍 yang didefinisikan dengan (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = (𝑓(𝑔()), untuk semua 𝑥 ∈ 𝑋.
(Joseph A. Gallian, 2010 : 19). Definisi 2.4 Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 dikatakan injektif jika untuk 𝑥1, 𝑥2∈ 𝑋, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) mengakibatkan 𝑥1= 𝑥2.
(Joseph A. Gallian, 2010 : 19). Definisi 2.5 Fungsi 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 dikatakan surjektif jika untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑌 ada paling sedikit satu 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian hingga 𝑓(𝑥) = 𝑦.
(Joseph A. Gallian, 2010 : 20). Definisi 2.6 Fungsi 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 dikatakan bijektif jika𝑓 fungsi injektif dan surjektif
(Joseph A. Gallian, 2010 : 21). Homomorfisme
Definisi 2.7 Misalkan (𝑋,∗) dan (𝑌,△) aljabar. Fungsi 𝑓 ∶
𝑋 → 𝑌 disebut homomorfisme, jika 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥) △
𝑓(𝑦) untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.
(Joseph A. Gallian, 2010:200). Homomorfisme yang bersifat surjektif disebut epimorfisme. Homomorfisme yang bersifat injektif disebut monomorfisme dan homomorfisme yang bersifat bijektif disebut isomorfisme.
Relasi Kongruensi
Definisi 2.8 Relasi kongruensi 𝑅 pada himpunan 𝑆 adalah relasi pada 𝑆 yang memenuhi aksioma berikut :
(i) (𝑎, 𝑎) ∈ 𝑅 untuk semua 𝑎 ∈ 𝑆 (refleksif). (ii) (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⇒ (𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅 (simetris).
(iii) ((𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 dan(𝑏, 𝑐)) ∈ 𝑅 ⇒ (𝑎, 𝑐) ∈ 𝑅 (transitif). (Joseph A. Gallian, 2010 : 16) BG-aljabar
Definisi 2.9 BG-Aljabar(𝑋,∗ ,0)merupakan himpunan tak kosong 𝑋, dengan operasi biner ∗ dan elemen khusus yang memenuhi aksioma berikut :
(BG1) 𝑥 ∗ 𝑥 = 0. (BG2) 𝑥 ∗ 0 = 𝑥.
(BG3) (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ (0 ∗ 𝑦) = 𝑥, untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (C.B. dan H.S. Kim, 2008: 450) BH-aljabar
Definisi 2.10 BH-aljabar(𝑋,∗ ,0) merupakan himpunan tak kosong 𝑋, dengan operasi biner “ ∗ ” dan elemen khusus 0 yang memenuhi aksioma berikut:
(BH1) 𝑥 ∗ 𝑥 = 0 (BH2) 𝑥 ∗ 0 = 𝑥 (BH3) (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥) = 0 , mengakibatkan 𝑥 = 𝑦 untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (C.B. dan H.S. Kim, 2008: 450) BF-aljabar
Definisi 2.11 BF-aljabar(𝑋,∗ ,0) merupakan himpunan tak kosong 𝑋, dengan operasi biner ∗ dan elemen khusus 0 yang memenuhi aksioma berikut:
(B1) 𝑥 ∗ 𝑥 = 0 (B2) 𝑥 ∗ 0 = 𝑥
(B3) 0 ∗ (𝑥 ∗ 𝑦) = (𝑦 ∗ 𝑥), untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (C.B. dan H.S. Kim, 2008: 450)
Definisi 2.12 BF-aljabar (𝑋,∗ ,0) dinamakan BF1-aljabar jika memenuhi aksioma berikut:
(BG3) 𝑥 = (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ (0 ∗ 𝑦) untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. (Jung Mi Ko dan Sun Shin Ahn, 2015 : 128) Definisi 2.13 BF-aljabar (𝑋,∗ ,0) dinamakan BF2-aljabar jika memenuhi aksioma berikut:
(BH3) 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 = 0 mengakibatkan 𝑥 = 𝑦, untuk
semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.
(Jung Mi Ko dan Sun Shin Ahn, 2015 : 128) Definisi 2.14 Subhimpunan tak kosong 𝐴 dari BF-aljabar 𝑋 disebut subaljabar di 𝑋 jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐴 untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴.
(Jung Mi Ko dan Sun Shin Ahn, 2015 : 128) Definisi 2.15 Subaljabar𝐴 dari BF-aljabar 𝑋 dikatakan normal di 𝑋 jika (𝑥 ∗ 𝑎) ∗ (𝑦 ∗ 𝑏) ∈ 𝐴 untuk semua 𝑥 ∗ 𝑦, 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐴.
(Jung Mi Ko dan Sun Shin Ahn, 2015 : 128) Definisi 2.16 Misalkan 𝑋, 𝑌 BF-aljabar 𝑋, dan 𝑓: 𝑋 → 𝑌 homomorfisme. Kernel 𝑓 ditulis 𝐾𝑒𝑟(𝑓), didefinisikan sebagai
𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {𝑥 ∈ 𝑋 |𝑓(𝑥) = 0}.
(Jung Mi Ko dan Sun Shin Ahn, 2015 : 128)
3.
PEMBAHASAN
Definisi 3.1
Misalkan 𝑁 subaljabar normal dari BF-aljabar 𝑋 . Definisikan relasi "~𝑁" pada 𝑋 dengan 𝑥~𝑁 𝑦 untuk
semua𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝑁.
(Jung Mi Ko dan Sun ShinAhn, 2015 : 128) Proposisi 3.2
Relasi~𝑁 pada Definisi 3.1 merupakan relasi kongruensi
pada 𝑋.
(Jung Mi Ko dan Sun ShinAhn, 2015 : 128) Bukti :
Akan ditunjukkanbahwa~𝑁 adalah relasi kongruensi pada
𝑋. Refleksif 𝑥~𝑁 𝑥 sebab 𝑥 ∗ 𝑥 = 0 (0 ∈ 𝑁 ∧ 𝑁 subaljabar) Simetris 𝑥~𝑁 𝑦 (diberikan) 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝑁 (Definisi~𝑁) 0 ∗ (𝑥 ∗ 𝑦) ∈ 𝑁 (0 ∈ 𝑁 ∧ 𝑁 subaljabar) 𝑦 ∗ 𝑥 ∈ 𝑁 → 𝑦~𝑁 𝑥 (0 ∗ (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑦 ∗ 𝑥 (B3)) Transitif 𝑥~𝑁 𝑦 ⋀ 𝑦~𝑁 𝑧 (diberikan) 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝑁 ⋀ 𝑦 ∗ 𝑧 ∈ 𝑁 (Definisi~𝑁) 0 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧) ∈ 𝑁 (0 ∈ 𝑁 ∧ 𝑁 subaljabar) 𝑧 ∗ 𝑦 ∈ 𝑁 0 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧) = 𝑧 ∗ 𝑦 (B3) (𝑥 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑦) ∈ 𝑁 (𝑁 normal) (𝑥 ∗ 𝑧) ∗ 0 ∈ 𝑁 (B1)
𝑥 ∗ 𝑧 ∈ 𝑁 (B2)
𝑥 ∗ 𝑧 ∈ 𝑁 → 𝑥~𝑁 𝑦 (Definisi~𝑁)
Definisi 3.3
Misalkan~𝑁 relasi kongruensi pada Definisi 3.1 dan
[𝑥]𝑛≔ {𝑦 ∈ 𝑋|𝑥~𝑁 𝑦}
(Jung Mi Ko dan Sun ShinAhn, 2015 : 128) Proposisi 3.4
Dengan notasi oleh Definisi 3.3, nyatakan 𝑋 𝑁⁄ = {[𝑥]𝑁|𝑥 ∈ 𝑋}, [𝑥]𝑁. Operasi biner ∗′ yang didefinisikan
[𝑥]𝑁∗′[𝑦]𝑁≔ [𝑥 ∗ 𝑦]𝑁 terdefinisi dengan baik.
(Jung Mi Ko dan Sun ShinAhn, 2015 : 128) Bukti :
Akan ditunjukkan bahwa jika[𝑥]𝑁= [𝑢]𝑁 dan [𝑦]𝑁=
[𝑣]𝑁 maka [𝑥 ∗ 𝑦]𝑁= [𝑢 ∗ 𝑣]𝑁. 𝑢~𝑁 𝑥 ([𝑢]𝑁= [𝑥]𝑁 ) 𝑢 ∗ 𝑥 ∈ 𝑁 (Definisi~𝑁) 𝑣~𝑁𝑦 ([𝑣]𝑁= [𝑦]𝑁) 𝑣 ∗ 𝑦 ∈ 𝑁 (Definisi ~𝑁) (𝑢 ∗ 𝑣) ∗ (𝑥 ∗ 𝑦) ∈ 𝑁 (𝑁 normal) (𝑢 ∗ 𝑣 )~𝑁( 𝑥 ∗ 𝑦) (Definisi~𝑁) 𝑢 ∗ 𝑣 ∈ [𝑥 ∗ 𝑦]𝑁 ([𝑥 ∗ 𝑦]𝑁) [𝑢 ∗ 𝑣]𝑁∩ [𝑥 ∗ 𝑦]𝑁≠ 0 (𝑢 ∗ 𝑣 ∈ [𝑥 ∗ 𝑦]𝑁) [𝑢 ∗ 𝑣]𝑁= [𝑥 ∗ 𝑦]𝑁 (Proposisi 2.1) Teorema 3.5
Misalkan 𝑁 subaljabar normal dari BF-aljabar 𝑋. (𝑋 𝑁⁄ ; ∗′, [0]𝑁) adalah BF-aljabar.
(Jung Mi Ko dan Sun Shin Ahn, 2015 : 128) Bukti : (B1) [𝑥]𝑁∗′[𝑥]𝑁 = [𝑥 ∗ 𝑥]𝑁 (Definisi∗′) = [0]𝑁 (B1) (B2) [𝑥]𝑁∗′[0]𝑁 = [𝑥 ∗ 0]𝑁 (Definisi∗′) = [𝑥]𝑁 (B2) (B3) [0]𝑁∗′([𝑥]𝑁∗′[𝑦]𝑁) = [0]𝑁∗′[𝑥 ∗ 𝑦]𝑁 (Definisi∗′) = [0 ∗ (𝑥 ∗ 𝑦)]𝑁 (Definisi ∗′) = [𝑦 ∗ 𝑥]𝑁 (B3) = [𝑦]𝑁∗′[𝑥]𝑁 (Definisi∗′) Teorematerbukti.
𝑋 𝑁⁄ dalam aljabar pada Teorema 3.5 dinamakan BF-aljabar hasil bagi 𝐵𝐹 oleh 𝑁.
Teorema 3.6
Misalkan𝑋, 𝑌 BF-aljabar dan 𝑍 BF2-aljabar. Misalkan ℎ: 𝑋 → 𝑌 epimorfisme dan 𝑔: 𝑋 → 𝑍 homomorfisme. Jika
𝐾𝑒𝑟(ℎ) ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝑔), maka ada tepat satu homomorfisme 𝑓: 𝑌 → 𝑍 yang memenuhi 𝑓 ∘ ℎ = 𝑔.
(Jung Mi Ko dan Sun Shin Ahn, 2015 : 128)
Bukti :
Untuk setiap𝑦 ∈ 𝑌 ada 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian sehingga 𝑦 = ℎ(𝑥) karena ℎ epimorfisme.
Tetapkan𝑧 ≔ 𝑔(𝑥), akan ditunjukkan bahwa 𝑓: 𝑌 → 𝑍 dengan 𝑓(𝑦) = 𝑧. Jelaslah 𝑓 terdefinisi dengan baik. Misalkan, 𝑦 = ℎ (𝑥1) = ℎ (𝑥2), 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑋, Maka 0 = ℎ (𝑥1) ∗ ℎ (𝑥2) (B1) = ℎ (𝑥1∗ 𝑥2) (ℎ homomorfisme) Jadi, 𝑥2 ∗ 𝑥2 ∈ 𝐾𝑒𝑟 (ℎ).
Dengancara yang sama, 0 = ℎ (𝑥2) ∗ ℎ (𝑥1) (B1)
= ℎ (𝑥2∗ 𝑥1) (ℎ homomorfisme)
Jadi, 𝑥2 ∗ 𝑥1 ∈ 𝐾𝑒𝑟 (ℎ).
Karena 𝐾𝑒𝑟 (ℎ) ⊆ 𝐾𝑒𝑟 (𝑔), sedemikian sehingga 0 = 𝑔 (𝑥1∗ 𝑥2) (𝑥1∗ 𝑥2∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑔))
= 𝑔 (𝑥1) ∗ 𝑔 (𝑥2) (𝑔 homomorfisme)
Dengan cara yang sama,
0 = 𝑔 (𝑥2∗ 𝑥1) (𝑥2∗ 𝑥1 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑔))
= 𝑔 (𝑥2) ∗ 𝑔 (𝑥1) (𝑔 homomorfisme)
Karena Z adalah BF2-aljabar, maka𝑔 (𝑥1) = 𝑔 (𝑥2).
Maka, 𝑔 (𝑥) = 𝑓 (ℎ (𝑥)) untuk 𝑥 ∈ 𝑋.
Misalkan 𝑦1, 𝑦2∈ 𝑌 . Ada 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑋 sedemikian
sehingga ℎ (𝑥1) = 𝑦1, ℎ (𝑥2) = ℎ 2 , karena ℎ epimorfisme. Perhatikan, 𝑓 (𝑦1∗ 𝑦2) = 𝑓 (ℎ (𝑥1) ∗ ℎ (𝑥2)) (diberikan) = 𝑓 (ℎ (𝑥1 ∗ 𝑥2)) (ℎ homomorfisme) = 𝑔 (𝑥1 ∗ 𝑥2) (Definisi𝑓) = 𝑔 (𝑥1) ∗ 𝑔 (𝑥2) (𝑔 homomorfisme) = 𝑓 (ℎ (𝑥1)) ∗ 𝑓 (ℎ (𝑥2)) (Definisi 𝑓) = 𝑓 (𝑦1) ∗ 𝑓 (𝑦2) (diberikan)
Oleh karena itu 𝑓 adalah homomorfisme.
Misalkan𝑟 ∶ 𝑌 → 𝑍 homomorfisme yang memenuhi 𝑟 ∘ ℎ = 𝑔 = 𝑓 ∘ ℎ.
Ambil𝑦 ∈ 𝑌 sembarang. Maka ada 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian sehingga 𝑦 = ℎ(𝑥) karena ℎ epimorfisme. Perhatikan,
𝑟(𝑦) = 𝑟(ℎ(𝑥)) (diberikan)
= (𝑟 ∘ ℎ)(𝑥) (Definisi∘)
= (𝑓 ∘ ℎ)(𝑥) (diberikan)
= 𝑓(ℎ(𝑥)) (Definisi∘)
= 𝑓(𝑦) (diberikan)
jadi𝑟(𝑦) = 𝑓(𝑦) sedemikian sehingga mengakibatkan ada tepat satu homomorfisme 𝑓: 𝑌 → 𝑍 yang memenuhi 𝑓 ∘ ℎ = 𝑔.
Teorema 3.7
Misalkan 𝑋, 𝑌 dan 𝑍 BF-aljabar, dan 𝑔: 𝑋 → 𝑍 homomorfisme dan ℎ: 𝑌 → 𝑍 monomorfisme dengan
𝐼𝑚(𝑔) ⊆ 𝐼𝑚(ℎ). Maka ada tepat satu homomorfisme
𝑓: 𝑋 → 𝑌 yang memenuhi ℎ ∘ 𝑓 = 𝑔.
(Jung Mi Ko dan Sun Shin Ahn, 2015 : 128) Bukti :
Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑔 (𝑥) ∈ 𝐼𝑚 (𝑔) ⊆ 𝐼𝑚 (ℎ). Karena ℎ monomorfisme, maka ada tepat satu 𝑦 ∈ 𝑌, ℎ (𝑦) = 𝑔 (𝑥). Definisikan pemetaan 𝑓: 𝑋 → 𝑌 dengan 𝑓 (𝑥) = 𝑦. Perhatikan, (ℎ ∘ 𝑓 )(𝑥) = ℎ(𝑓(𝑥)) (Definisi ∘) = ℎ(𝑦) (Definisi 𝑓) = 𝑔(𝑥) (diberikan) Jadiℎ ∘ 𝑓 = 𝑔 Misalkan𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑋 Maka, ℎ (𝑓 (𝑥1∗ 𝑥2)) = (ℎ ∘ 𝑓)(𝑥1∗ 𝑥2) (Definisi∘) = 𝑔(𝑥1∗ 𝑥2) (ℎ ∘ 𝑓 = 𝑔) = 𝑔 (𝑥1) ∗ 𝑔 (𝑥2) (𝑔 homomorfisme) = (ℎ ∘ 𝑓)(𝑥1) ∗ (ℎ ∘ 𝑓)(𝑥2) (ℎ ∘ 𝑓 = 𝑔) = ℎ (𝑓 (𝑥1)) ∗ ℎ (𝑓 (𝑥2)) (Definisi∘) Jadiℎ (𝑓 (𝑥1 ∗ 𝑥2)) = ℎ (𝑓 (𝑥1) ∗ 𝑓 (𝑥2)). Karena ℎ monomorfisme, didapatkan 𝑓 (𝑥1 ∗ 𝑥2) = 𝑓 (𝑥1) ∗ 𝑓 (𝑥2)
Oleh karenaitu, 𝑓 homomorfisme.
Misalkan𝑚: 𝑋 → 𝑍 homomorfisme yang memenuhi ℎ ∘ 𝑚 = 𝑔. Ambil 𝑥 ∈ 𝑋 sembarang,
ℎ(𝑚(𝑥)) = (ℎ ∘ 𝑚)(𝑥) (Definisi∘)
= 𝑔(𝑥) (diketahui)
= (ℎ ∘ 𝑓)(𝑥) (diketahui)
= ℎ(𝑓(𝑥)) (Definisi∘)
Jadi ℎ(𝑚(𝑥)) = ℎ(𝑓(𝑥)) , karena ℎ mono,
mengakibatkan 𝑚(𝑥) = 𝑓(𝑥),sehingga ada tepat satu homomorfisme 𝑓: 𝑋 → 𝑌 yang memenuhi ℎ ∘ 𝑓 = 𝑔. Definisi 3.8
Misalkan𝐴 subaljabar normal dari BF-aljabar 𝑋, pemetaan 𝑝 ∶ 𝑋 → 𝑋/𝐴 yang didefinisikan 𝑝(𝑥) = [𝑥]𝐴 dinamakan
pemetaan kanonik.
(Jung Mi Ko dan Sun Shin Ahn, 2015 : 128) Perhatikan bahwa 𝑝 surjektif berdasarkan definisi 𝑋/𝐴 Proposisi 3.9
Misalkan𝐴 subaljabar normal dari BF-aljabar 𝑋. Pemetaan kanonik 𝑝 ∶ 𝑋 → 𝑋/𝐴 adalah homomorfisme dengan 𝐾𝑒𝑟(𝑝) = 𝐴.
(Jung Mi Ko dan Sun Shin Ahn, 2015 : 128). Bukti :
𝑝(𝑥 ∗ 𝑦) = [𝑥 ∗ 𝑦]𝐴 (Definisi 3.8)
= [𝑥]𝐴∗′[𝑦]𝐴 (Proposisi 3.4)
= 𝑝(𝑥) ∗′𝑝(𝑦) (Definisi 3.8)
Jadi terbukti bahwa pemetaan 𝑝 ∶ 𝑋 → 𝑋/𝐴 adalah homomorfisme. Ambil 𝑥 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑝) Maka 𝑝(𝑥) = [𝑥]𝐴= [0]𝐴 (Definisi 3.8) 𝑥 ∈ [𝑥]𝐴 = [0]𝐴 (Definisi 3.3) 𝑥 ∈ [0]𝐴 ([𝑥]𝐴= [0]𝐴) 0 ∗ 𝑥 ∈ 𝐴 (Definisi [0]𝐴) 0 ∗ (0 ∗ 𝑥) ∈ 𝐴 (0 ∈ 𝐴) 𝑥 ∈ 𝐴 (Lemma 2.38) 𝐾𝑒𝑟 (𝑝) ⊆ 𝐴. Ambil𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝑦 ∗ 0 ∈ 𝐴 (B2) 0~𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ [0]𝐴 (Definisi 3.3) [𝑦]𝐴= [0]𝐴 (𝑦 ∈ [𝑦]𝐴 ) 𝑝(𝑦) = [𝑦]𝐴= [0]𝐴 (Definisi 3.8) 𝑦 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑝) (Definisi Kernel) Maka𝐴 ⊆ 𝐾𝑒𝑟 (𝑝).
Jadi terbukti bahwa pemetaan 𝑝 ∶ 𝑋 → 𝑋/𝐴 adalah homomorfisme dengan 𝐾𝑒𝑟(𝑝) = 𝐴.
Proposisi 3.10
Jika𝑓: 𝑋 → 𝑌 homomorfisme dengan 𝑋 BF-aljabar dan 𝑌 BF2-aljabar, maka 𝐾𝑒𝑟 (𝑓) merupakan subaljabar normal di 𝑋.
(Jung Mi Ko dan Sun Shin Ahn, 2015 : 128) Bukti :
Misalkan𝑥, 𝑦, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋.
𝑓 (0) = 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑥), (B1)
= 𝑓(𝑥) ∗′𝑓(𝑥), (homomorfisme)
= 0. (B1)
Jadi, 0 ∈ 𝐾𝑒𝑟 (𝑓). (Definisi Kernel) Misalkan𝑥 ∗ 𝑦, 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑓).
𝑓 (𝑥 ∗ 𝑦) = 0 ∧ 𝑓 (𝑎 ∗ 𝑏) = 0. (Definisi Kernel)
0 = 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∗′𝑓(𝑦). (homomorfisme)
𝑓(𝑦) ∗′𝑓(𝑥) = 0. (Bagian (iii) Lemma 2.38)
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦). (BH3)
Dengan cara sama,
𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏). (BF2-aljabar) Maka, 𝑓((𝑥 ∗ 𝑎) ∗ (𝑦 ∗ 𝑏)) = 𝑓(𝑥 ∗ 𝑎) ∗′𝑓(𝑦 ∗ 𝑏) =(𝑓(𝑥) ∗′𝑓(𝑎)) ∗′(𝑓(𝑦) ∗′𝑓(𝑏) = (𝑓(𝑥) ∗′𝑓(𝑎)) ∗′(𝑓(𝑥) ∗′𝑓(𝑎)) = 0. (B1)
Jadi(𝑥 ∗ 𝑎) ∗ (𝑦 ∗ 𝑏) ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑓). Terbukti bahwa 𝐾𝑒𝑟(𝑓) merupakan subaljabar normal di 𝑋.
Leboh lanjut, karena 𝐾𝑒𝑟 (𝑓) subaljabar normal, menurut Teorema 3.5 𝑋/𝐾𝑒𝑟 (𝑓)merupakan BF-aljabar.
(Jung Mi Ko dan Sun ShinAhn, 2015 : 128)
Teorema 3.12
Misalkan𝑋 BF-aljabar dan 𝑌 BF2-aljabar dan 𝑓: 𝑋 → 𝑌 homomorfisme. Misalkan 𝑁 = 𝐾𝑒𝑟 (𝑓). Maka 𝑋/𝑁 ≅ 𝐼𝑚𝑓. Secara khusus, jika 𝑓 surjektif, maka 𝑋 𝑁⁄ ≅ 𝑌.
(Jung Mi Ko dan Sun Shin Ahn, 2015 : 128) Bukti :
Definisikan 𝑓̅: 𝑋/𝑁 → 𝑌 dengan 𝑓̅ ([𝑥]𝑁) = 𝑓(𝑥), untuk
semua [𝑥]𝑁∈ 𝑋/𝑁. Tetapkan lambang operasi berikut:
∗′ di 𝑋/𝑁 dan ∗′′ di 𝑌.
Misalkan, [𝑢]𝑁= [𝑣]𝑁.
𝑢~𝑁 𝑣 = 𝑣~𝑁 𝑢 (Definisi 3.3)
𝑢 ∗ 𝑣 ∈ 𝑁 ⋀ 𝑣 ∗ 𝑢 ∈ 𝑁 (Definisi 3.1)
𝑓(𝑢 ∗ 𝑣) = 0 (Bagian (iii) Lemma 2.38)
𝑓(𝑣 ∗ 𝑢) = 0 (Bagian (iii) Lemma 2.38)
𝑓(𝑢) ∗′′𝑓(𝑣) = 0 (homomorfisme)
𝑓(𝑣) ∗′′𝑓(𝑢) = 0 (homomorfisme)
𝑓(𝑢) = 𝑓(𝑣) (BH3)
Disimpulkan bahwa fungsi 𝑓̅ terdefinisi dengan baik. Misalkan [𝑥]𝑁, [𝑦]𝑁∈ 𝑋/𝑁. 𝑓̅([𝑥]𝑁∗′′[𝑦]𝑁) = 𝑓̅([𝑥 ∗ 𝑦]𝑁) (Definisi 3.3) = 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) (Definisi𝑓̅) = 𝑓(𝑥) ∗′′𝑓(𝑦) (𝑓 homomorfisme) = 𝑓̅([𝑥]𝑁) ∗′′𝑓̅([𝑦]𝑁) (Definisi𝑓̅) Jadi, 𝑓̅ homomorfisme.
Misalkan[𝑥]𝑁, [𝑦]𝑁∈ 𝑋/𝑁 sedemikian hingga 𝑓̅([𝑥]𝑁) =
𝑓̅([𝑦]𝑁). Maka, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) (Definisi𝑓̅) 𝑓(𝑥) ∗′′𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑦) ∗′′𝑓(𝑦) ( 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) dan Definisi Operasi) 𝑓(𝑥) ∗′′𝑓(𝑦) = 0 (B1) 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) = 0 (𝑓 homomorfisme) 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝑁 (𝑁 = 𝐾𝑒𝑟 (𝑓)) 𝑦~𝑁𝑥 (Definisi~𝑁) 𝑦 ∈ [𝑥]𝑁 (Definisi[𝑥]𝑁) 𝑦 ∈ [𝑦]𝑁 [𝑦]𝑁= [𝑥]𝑁 ([𝑥]𝑁∩ [𝑦]𝑁≠ ∅) Jadi𝑓̅ injektif. Karena 𝑓̅([𝑥]𝑁) = 𝑓(𝑥), 𝐼𝑚 𝑓̅ = 𝐼𝑚 𝑓, maka 𝑓̅̅: 𝑋/𝑁 →
𝐼𝑚 𝑓̅ dengan 𝑓̅̅([𝑥]𝑁) = 𝑓̅(𝑥), berdasarkan definisi 𝑖𝑚 𝑓̅
maka 𝑓̿ bijektif maka 𝑋 𝑁⁄ ≅ 𝐼𝑚 𝑓. Jika𝑓 surjektif,
𝐼𝑚 𝑓 = 𝑦 maka 𝑋 𝑁⁄ ≅ 𝑌.
Lemma 3.13
Misalkan𝑋 BF-aljabar dan 𝑌 BF2-aljabar. Misalkan 𝑓: 𝑋 → 𝑌 homomorfisme. Jika 𝐴 adalah subaljabar normal di 𝑋 sedemikian hingga 𝐴 ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝑓), maka pemetaan
𝑓̅: 𝑋/𝐴 → 𝑌 yang didefinisikan oleh 𝑓̅([𝑥]𝐴) = 𝑓(𝑥)
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋merupakan homomorfisme.
(Jung Mi Ko dan Sun ShinAhn, 2015 : 128) Bukti :
Misalkan𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dengan[𝑥] 𝐴 = [𝑦]𝐴. Maka,
[𝑥 ∗ 𝑦]𝐴 = [𝑥]𝐴∗′[𝑦]𝐴 (Proposisi 3.4) = [0]𝐴 (B1) 𝑥 ∗ 𝑦~𝐴0 (Definisi 3.3) (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 0 ∈ 𝐴 (Definisi~𝐴) 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐴 , 𝑦 ∗ 𝑥 ∈ 𝐴 (B2) Jadi𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐴 ⊆ 𝐾𝑒𝑟 (𝑓) ∧ 𝑦 ∗ 𝑥 ∈ 𝐴 ⊆ 𝐾𝑒𝑟 (𝑓) 0 = 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑦) (Definisi Kernel) = 𝑓(𝑥) ∗′′𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑦) ∗′′𝑓(𝑥) (𝑓 homomorfisme) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) (BH 3) 𝑓̅([𝑥]𝐴∗′[𝑦]𝐴) = 𝑓̅([𝑥 ∗ 𝑦]𝐴) (Proposisi 3.4) = 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) (𝑓̅([𝑥]𝐴) = 𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥) ∗′𝑓(𝑦) (𝑓 homomorfisme) = 𝑓̅([𝑥]𝐴) ∗′′𝑓̅([𝑦]𝐴) (𝑓̅([𝑥]𝐴) = 𝑓(𝑥))
Terbukti bahwa pemetaan 𝑓̅: 𝑥/𝐴 → 𝑌 yang didefinisikan oleh 𝑓̅([𝑥]𝐴) = 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 merupakan
homomorfisme. Teorema 3.14
Misalkan𝑋 BF-aljabar dan 𝑌 BF2-aljabar. Misalkan 𝐴 subaljabar normal di 𝑋 dan 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah homomorfisme. Maka dua pernyataan berikut ekuivalen: (i) Ada tepat satu homomorfisme 𝑓̅: 𝑋/𝐴 → 𝑌 yang
memenuhi 𝑓̅ ∘ 𝑝 = 𝑓 , dengan 𝑝: 𝑋 → 𝑋/𝐴 merupakan pemetaan kanonik.
(ii) 𝐴 ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝑓)
Lebih lanjut, 𝑓̅adalah monomorfisme jika dan hanya jika 𝐴 = 𝐾𝑒𝑟(𝑓).
(Jung Mi Ko dan Sun ShinAhn, 2015 : 128) Bukti : (i) ⇒ (ii) Misalkan𝑎 ∈ 𝐴. Maka 𝑓 (𝑎) = 𝑓̅(𝑝 (𝑎)) (𝑓 = 𝑓̅ ∘ 𝑝) = 𝑓̅([𝑎]𝐴) (Definisi p) = 𝑓̅([0]𝐴) (𝑎~𝐴0) = 𝑓 (0) (𝑓̅([𝑥]𝐴) = 𝑓(𝑥)) = 0 (𝑓 homomorfisme)
Berdasarkan definisi kernel 𝑓 maka 𝑎 ∈ 𝐾𝑒𝑟 (𝑓) , sehingga 𝐴 ⊆ 𝐾𝑒𝑟 (𝑓).
(ii) ⇒ (i) Dengan Lemma 3.13, didapatkan homomorfisme 𝑓̅: 𝑋 / 𝐴 → 𝑌 yang didefinisikan oleh 𝑓̅([𝑥]𝐴) = 𝑓 (𝑥) untuk semua 𝑥 ∈ 𝑋.
𝑓(𝑥) = 𝑓([𝑥]𝐴) (Definisi𝑓̅)
= 𝑓̅(𝑝(𝑥)) (Definisi p)
Jadi 𝑓 = 𝑓̅ ∘ 𝑝
Misalkan ℎ: 𝑋 / 𝐴 → 𝑌 homomorfisme maka 𝑓 = ℎ ∘ 𝑝. Sehingga 𝑓̅ ∘ 𝑝 = ℎ ∘ 𝑝.
Karena 𝑝 surjektif, berdasarkan Proposisi 2.1 Bagian (ii) maka ℎ = 𝑓̅.
Misalkan 𝑓̅ monomorfisme, dan 𝑥 ∈ 𝐾𝑒𝑟 (𝑓). Maka, 𝑓̅([𝑥]𝐴) = 𝑓(𝑥) = 0 (𝑥 ∈ 𝐾𝑒𝑟 𝑓 ) = 𝑓(0) (𝑓 homomorfisme) 𝑓̅([0]𝐴) (definisi𝑓̅) [𝑥]𝐴= [0]𝐴 (𝑓̅ monomorfisme) 𝑥~𝐴0 ([𝑥]𝐴= [0]𝐴) 𝑥 ∗ 0 ∈ 𝐴 (definisi~𝐴) 𝑥 ∈ 𝐴 (BF2) ∴ 𝐾𝑒𝑟 (𝑓) ⊆ 𝐴. ∴ 𝐾𝑒𝑟 (𝑓) = 𝐴.
Sebaliknya, misalkan 𝐴 = 𝐾𝑒𝑟 (𝑓) , dan 𝑓̅([𝑥]𝐴) =
𝑓̅([𝑦]𝐴). Maka, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) (definisi 𝑓̅) 𝑓(𝑥) ∗′′𝑓(𝑦) = 0 (BF3) 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) = 0 (𝑓 homomorfisme) 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐾𝑒𝑟 𝑓 (definisi𝐾𝑒𝑟 𝑓) 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐴 (𝐾𝑒𝑟 (𝑓) = 𝐴) 𝑥~𝐴𝑦 (definisi~𝐴) ∴ [𝑥]𝐴= [𝑦]𝐴
Maka terbukti bahwa dua pernyataan tersebut ekuivalen Teorema 3.15
Misalkan𝑋 BF-aljabar dan 𝑌 BF2-aljabar. Misalkan
𝑓: 𝑋 → 𝑌 homomorfisme dan 𝐴, 𝐵 berturut-turut
subaljabar normal dari 𝑋 dan 𝑌 yang memenuhi 𝑓(𝐴) ⊆ 𝐵. Maka ada tepat satu homomorfisme ℎ: 𝑋/𝐴 → 𝑌/𝐵 sedemikian hingga diagram
komutatif dengan p dan q adalah epimorfisme kanonik. (Jung Mi Ko dan Sun ShinAhn, 2015 : 128) Bukti :
Definisikan ℎ: 𝑋/𝐴 → 𝑌/𝐵 dengan ℎ([𝑥]𝐴) = [𝑓(𝑥)]𝐵.
Jika [𝑥]𝐴= [𝑦]𝐴, dengan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , maka
𝑥~𝐴𝑦 ∧ 𝑦~𝐴𝑥 ([𝑥]𝐴= [𝑦]𝐴) 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐴 (definisi~𝐴) 𝑦 ∗ 𝑥 ∈ 𝐴 (definisi~𝐴) 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) ∈ 𝑓(𝐴) 𝑓(𝑦 ∗ 𝑥) ∈ 𝑓(𝐴) 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) ∈ 𝐵 (𝑓(𝐴) ⊆ 𝐵) 𝑓(𝑦 ∗ 𝑥) ∈ 𝐵 (𝑓(𝐴) ⊆ 𝐵) 𝑓(𝑥) ∗′′𝑓(𝑦) ∈ 𝐵 (𝑓 homomorfisme) 𝑓(𝑦) ∗′′𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 (𝑓 homomorfisme) 𝑓(𝑥)~𝐵𝑓(𝑦) (definisi ~𝐵) 𝑓(𝑦)~𝐵𝑓(𝑥) (definisi ~𝐵) ∴ [𝑓(𝑥)]𝐵= [𝑓(𝑦)]𝐵.
Jadi ℎ terdefinisi dengan baik. Misalkan [𝑥]𝐴, [𝑦]𝐴∈ 𝑋/𝐴. Maka, ℎ([𝑥]𝐴∗ [𝑦]𝐴) = ℎ([𝑥 ∗ 𝑦]𝐴) (Definisi ∗′ di 𝑋/𝐴) = [𝑓(𝑥 ∗ 𝑦)]𝐵 (Definisiℎ) = [𝑓(𝑥) ∗′′𝑓(𝑦)]𝐵 (𝑓 homorfisme) = [𝑓(𝑥)]𝐵∗′[𝑓(𝑦)]𝐵 (Definisi ∗′ di 𝑋/𝐵) = ℎ([𝑥]𝐴) ∗′ℎ([𝑦]𝐴) (Definisi ℎ) Jadi ℎ homomorfisme.
Akan dibuktikan diagram komutatif. Dengan kata lain, ℎ ∘ 𝑝 = 𝑞 ∘ 𝑓.
Misalkan𝑥 ∈ 𝑋 sebarang. Maka,
(ℎ ∘ 𝑝)(𝑥) = ℎ(𝑝(𝑥)) (Definisi∘) = ℎ([𝑥]𝐴) (Definisi𝑝) = [𝑓(𝑥)]𝐵 (Definisiℎ) = 𝑞(𝑓(𝑥)) (Definisi𝑞) = (𝑞 ∘ 𝑓)(𝑥) (Definisi∘) ∴ ℎ ∘ 𝑝 = 𝑞 ∘ 𝑓.
Sekarang akan dibuktikan ℎ dengan sifat tersebut tunggal. Misalkan 𝑘: 𝑋/𝐴 → 𝑌/𝐵 homomorfisme dengan 𝑘 ∘ 𝑝 = 𝑞 ∘ 𝑓. Untuk [𝑥]𝐴∈ 𝑋/𝐴 sebarang, berlaku
𝑘([𝑥]𝐴) = 𝑘(𝑝(𝑥)) (Definisi𝑝) = (𝑘 ∘ 𝑝)(𝑥) (Definisi∘) = (𝑞 ∘ 𝑓)(𝑥) (𝑘 ∘ 𝑝 = 𝑞 ∘ 𝑓) = (ℎ ∘ 𝑝)(𝑥) (ℎ ∘ 𝑝 =㷀∘ 𝑓) = ℎ(𝑝(𝑥)) (Definisi∘) = ℎ([𝑥]𝐴) (Definisi 𝑝) ∴ 𝑘 = ℎ
Maka terbukti bahwa ada tepat satu homomorfisme ℎ: 𝑋/𝐴 → 𝑌/𝐵 diagram tersebut komutatif dengan p dan q
adalah epimorfisme kanonik. 4. PENUTUP
Simpulan
1. Jika 𝑁 subaljabar normal dari BF-aljabar 𝑋 dan relasi "~𝑁" pada 𝑋 yang didefinisikan dengan 𝑥~𝑁 𝑦 untuk
semua𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 jika dan hanya jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝑁 maka relasi "~𝑁" merupakan relasi kongruensi pada 𝑋.
2. Jika 𝑁 subaljabar normal dari BF-aljabar 𝑋 dan 𝑋 𝑁⁄ merupakan kumpulan semua kelas kongruensi yang dibangkitkan oleh relasi"~𝑁" pada bagian pertama
maka dengan operasi biner ∗′ yang didefinisikan [𝑥]𝑁∗′[𝑦]𝑁≔ [𝑥 ∗ 𝑦]𝑁dan elemenkhusus 0 maka
3. Misalkan 𝑋, 𝑌 BF-aljabar dan 𝑍 BF2-aljabar. Misalkan ℎ: 𝑋 → 𝑌 epimorfisme dan 𝑔: 𝑋 → 𝑍 homomorfisme. Jika 𝐾𝑒𝑟(ℎ) ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝑔), maka ada tepat satu homomorfisme 𝑓: 𝑌 → 𝑍 yang memenuhi 𝑓 ∘ ℎ = 𝑔.
4. Misalkan 𝑋, 𝑌 dan 𝑍 BF-aljabar, dan 𝑔: 𝑋 → 𝑍 homomorfisme dan ℎ: 𝑌 → 𝑍 monomorfisme dengan 𝐼𝑚(𝑔) ⊆ 𝐼𝑚(ℎ). Maka ada tepat satu homomorfisme 𝑓: 𝑋 → 𝑌 yang memenuhi ℎ ∘ 𝑓 = 𝑔.
5. Misalkan𝐴 subaljabar normal dari BF-aljabar 𝑋. Pemetaan kanonik 𝑝 ∶ 𝑋 → 𝑋/𝐴 adalah homomorfisme dengan 𝐾𝑒𝑟(𝑝) = 𝐴.
6. Jika𝑓: 𝑋 → 𝑌 homomorfisme dengan 𝑋 BF-aljabar
dan 𝑌 BF2-aljabar, maka 𝐾𝑒𝑟 (𝑓) merupakan subaljabar normal di 𝑋.
7. Misalkan𝑋 BF-aljabar dan 𝑌 BF2-aljabar dan 𝑓: 𝑋 →
𝑌 homomorfisme. Misalkan 𝑁 = 𝐾𝑒𝑟 (𝑓). Maka 𝑋/
𝑁 ≅ 𝐼𝑚(𝑓). Secara khusus, jika 𝑓 surjektif, maka 𝑋 𝑁⁄ ≅ 𝑌.
8. Misalkan𝑋 BF-aljabar dan 𝑌 BF2-aljabar. Misalkan 𝑓: 𝑋 → 𝑌 homomorfisme. Jika 𝐴 adalah subaljabar normal di 𝑋 sedemikian hingga 𝐴 ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝑓), maka pemetaan 𝑓̅: 𝑋/𝐴 → 𝑌 yang didefinisikan oleh
𝑓̅([𝑥]𝐴) = 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 merupakan
homomorfisme.
9. Misalkan𝑋 BF-aljabar dan 𝑌 BF2-aljabar. Misalkan 𝐴 subaljabar normal di 𝑋 dan 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah homomorfisme. Ada tepat satu homomorfisme 𝑓̅: 𝑋/ 𝐴 → 𝑌 yang memenuhi 𝑓̅ ∘ 𝑝 = 𝑓, dengan 𝑝: 𝑋 → 𝑋/ 𝐴 merupakan pemetaan kanonik ekuivalen jika dan hanya jika 𝐴 ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝑓)
10. Misalkan𝑋 BF-aljabar dan 𝑌 BF2-aljabar. Misalkan
𝑓: 𝑋 → 𝑌 homomorfisme dan 𝐴, 𝐵 berturut-turut
subaljabar normal dari 𝑋 dan 𝑌 yang memenuhi 𝑓(𝐴) ⊆ 𝐵. Maka ada tepat satu homomorfisme ℎ: 𝑋/ 𝐴 → 𝑌/𝐵 sedemikian hingga diagram ini
komutatif dengan p dan q merupakan epimorfisme kanonik.
Saran
Pada skripsi ini penulis membahas tentang beberapa sifat dan struktur BF-aljabar ke BF2-aljabar yang terkait dengan homomorfisme pada BF-aljabar. Penulis menyarankan
pembaca untuk penelitian selanjutnya membahas apakah sifat-sifat yang sama berlaku untuk homomorfisme pada BF-aljabar ke BF1-aljabar dan sifat lainnya yang belum dibahas pada skripsi ini.
DAFTAR PUSTAKA
C. B. dan H. S. Kim. 2008. On BG-algebras. Demonstratio Mathematica, 497-505
Gallian, JosephA. 2010. Cotemporary Abstract Algebra. Seventh Edition. Duluth: University of Minnesota Duluth.
Herstein, I. N. Abstract Algebra. Third Edition. USA: Prentice-Hall, Inc.
Kromodihardjo, K. (1988). Buku Materi Pokok Struktur Aljabar 1-12. Jakarta: Karunika.
Neggers J. dan H. S. Kim. 2002. On B-algebras.
Math.Vesnik, 54: 21-29
Walendziak, A. 2007. On BF-algebras. Mathematica Slovaca. Vol.57: 119-128
Y.B. Jun dan H. S. Kim. 1998. On BH-algebras. Sci. Mathematics, 347-354
