Tema 2: Trigonometria
Alguns d’aquests exercicis han estat extrets de la web i de materials elaborats a l’IES Antoni Maura (Palma)
Vídeos interessants (Com Eratòstenes va mesurar la Terra):
https://www.youtube.com/watch?v=SIAJFLyd508 https://www.youtube.com/watch?v=UeIQnjOEGUY
Les raons trigonomètriques:
• sinus de l'angle α: sinα=catet oposat
hipotenusa
• cosinus de l'angle α: cosα=catet contigu
hipotenusa
• tangent de l'angle α: tanα= catet oposat
catet contigu
1. Des d'un punt A en la vora d'un riu es veu un arbre just enfront. Si caminam 100 metres riu avall, per la vora recta del riu, arribam a un punt B des del qual es veu el pi, formant un angle de 30º amb la nostra ribera.
Calculau l'amplària del riu.
2. L'altura de Torre Espanya (Madrid) és de 231 m. Quant mesura la seva ombra quan la inclinació dels rajos del sol és de 30º?
3. Usant un teodolit i una cinta mètrica és possible prendre les dades que apareixen en la figura. Quin és l’ample aproximat en metres del riu en aquests punts?
4. Un angle d'un triangle rectangle mesura 47º i el catet oposat 8 cm, trobau la hipotenusa. 5. En un triangle rectangle els catets mesuren 15 i 8 cm, trobau els angles aguts.
6. Calculau les raons trigonomètriques dels angles aguts del següent triangle:
7. La hipotenusa d'un triangle rectangle mesura 45 cm i un catet 27 cm, calculau els angles aguts.
8. Tal com es mostra en la figura, per anar del punt A al punt P hi ha un camí recte de 622 m. Trobau l'angle d'elevació del cim de la muntanya des del punt A.
9. Els costats iguals d'un triangle isòsceles mesuren 41 cm i els angles iguals 72º. Calculau l'altre costat.
10. Un topògraf desitja mesurar l'altura del cim de la muntanya sobre el nivell del llac. Per això pren les mesures que apareixen en la figura. A quina altura està el cim pel que fa al llac?
11. En un triangle isòsceles els angles iguals mesuren 78º i l'altura 28 cm. Trobau el costat desigual.
12. Una escala de 5 m està recolzada en una paret formant un angle de 46°. Calculau la distància entre la base de l'escala i la paret. Quin angle forma l'escala amb el terra?
13. A una distància horitzontal de 80 m de la base d'un gratacel, s'observa en la part superior, la base d'un adorn amb un angle d'elevació de 78,99º i el punt més alt de l'adorn amb un angle d'elevació de 79,24º. Quin és l'altura de l'adorn?
14. El costat d'un rectangle mesura 4 m i la diagonal forma amb aquest costat un angle de 33°. Calculau la longitud de la diagonal i l'àrea del rectangle. 15. Des d'un punt s'observa un edifici. La part mes alta de
l’edifici forma amb el terra un angle de 30º i, si avançam 30 metres, l'angle passa a ser de 45º. Calculau l'altura de l'edifici.
16. Dues ambulàncies, distanciades 8 km en línia recta, reben una cridada d'urgència d'una casa. Observau la figura i calculau la distància que separa cada ambulància de la casa.
17. La hipotenusa d'un triangle rectangle mesura 26 cm i un angle 66º. Calculau els catets.
18. Un angle d'un triangle rectangle mesura 44º i el catet adjacent 16 cm, calculau l'altre catet. 19. Un Vaixell emet un senyal d'auxili i apareix en els radars de dues estacions de rescat tal com
es mostra en la figura. Si se sap que la distància horitzontal entre les dues estacions és de 177,6 km, a quina distància es troba el vaixell de cada estació? (PISTA: juntau els dos dibuixos en un tot sol)
Si l'ajuda per aire es fa a una velocitat mitjana de 296 km/h, quant de temps es torbarà l'ajuda de l'estació més propera?
20. (Problema d'astronomia)
21. Calculau x i y a les següents figures:
22. Dues cases estan separades per un llac. Per saber la distància de separació un topògraf pren les distàncies des d'un punt extern a cada casa i l'angle que formen aquestes. Segons les dades de la figura, quin és el valor d'aquesta distància?
23. Dues torres de 198 m i 203 m d'altura estan unides en els seus punts més alts per un pont sota el qual hi ha un riu. Calculau la longitud del pont i l'amplària del riu sabent que l'angle que hi ha entre el pont i la torre més alta és de 75°.
24. L'angle que forma el terra amb la recta que uneix l'extrem de l'ombra d'un arbre amb la part superior de l'arbre és de 40°. Calculau la longitud de l'ombra sabent que l'arbre mesura 15 m d'altura.
25. En Carlos puja per una rampa de 25 m fins a la teulada de ca seva. Estant aquí, mesura la visual entre ca seva i la rampa, resultant ser de 50°. Calculau l'altura de la casa d’en Carlos i l'angle que hi ha entre la rampa i el terra.
26. La base d'un triangle isòsceles mesura 64 cm, i l'angle que es forma entre els costats iguals és de 40°. Calculau el perímetre i l'àrea del triangle.
27. Es vol mesurar l'altura d'una estàtua col·locada en el centre d'un llac circular. Per això, es mesura la visual a l'extrem superior de l'estàtua des de la vora del llac i resulta ser de 50°; ens allunyam 45 dm i tornam a mesurar la visual, obtenint un angle de 35°. Esbrinau l'altura de l'estàtua i la superfície del llac
Recordau:
• Relacions fonamentals: 1. sen2α+cos2α=1
2. tanα=sen α cosα
• Un radiant és un angle tal que qualsevol arc que se li associa mesura exactament el mateix que el radi utilitzat per a traçar-lo. És denota per rad.
Aleshores, una circumferència completa té 2· π radiants (ja que la longitud de tota la circumferència és 2· π · R )
28. Expressau en radiants els següents angles:
GRAUS RADIANTS GRAUS RADIANTS
90º 60º 180º 150º 270º 200º 135º 307º 45º 165º 225º 360º 330º 35º
29. Expressau en graus els següents angles:
RADIANTS GRAUS RADIANTS GRAUS
3π/4 2π/3 π/6 π/8 π/2 5π/2 4π/5 − π/5 8π/7 6π/7 5π/8 π/4 − π/4 − π/4
30. Transformau de graus a radiants i vice-versa:
• radiants: ◦ 0 = ◦ π /4 = ◦ π /3 = ◦ 2π /3 = ◦ π = ◦ 2π = ◦ 3π = ◦ • graus: ◦ 30° = ◦ 90° = ◦ 135° = ◦ 150° =
Recordau:
• Un angle negatiu és aquell que gira en “sentit horari”