Ejercicios del Tema 1

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Ejercicios del Tema 1

1 Ejercicio 3

Con Maxima podemos representar f(x)=x^2 y las rectas y=0, y=1:

--> _{wxplot2d([0,x**2,1], [x,-3,3], [legend,"y=0","x**2","y=1"],[y,-6,6],}

[style,[lines,2,1] , [lines,1,2] , [lines,2,7]]); plot2d:somevalueswereclipped.

(%t1) (%o1)

Observamos que los puntos del dominio (de R) cuya imagen est´a entre 0 y 1 (es decir, entre las dos rectas anteriores) son los del intervalo (-1,0)U(0,1). Y este es el conjunto buscado.

Recordamos que ejecutamos la sentencia con Control+Enter

2 Ejercicio 7

Comprobamos que el l´ımite de la sucesi´on de este ejercicio es 0:

--> a[n]:=n/sqrt(n^3+4); limit(a[n],n,inf); (%o2) an:= n √ n3_{+ 4} (%o3) 0

Primero hemos asignado a cada t´ermino de la sucesi´on, a n, su valor. Luego calculamos el l´ımite cuando n tiende a infinito.

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3 Ejercicio 8

Comprobamos que el l´ımite de esta sucesión es 2. Primero limpiamos la memo-ria, para evitar problemas al llamar a[n] a esta sucesión. A continuación, defin-imos la sucesión a[n] y calculamos el l´ımite:

--> kill(all); (%o0) done --> a[n]:=sqrt(16*n^4-4)/(n*sqrt(4*n^2+5)); limit(a[n],n,inf); (%o1) an:= √ 16n4₋₄ n√4n2_{+ 5} (%o2) 2

4 Ejercicio 9

Procedemos como en los ejercicios anteriores:

--> kill(all); a[n]:=sqrt(n^2+4*n+8)-n; limit(a[n],n,inf); (%o0) done (%o1) an:= p n2_{+ 4}_n_{+ 8}₋_n (%o2) 2

5 Ejercicio 12

Calculamos el l´ımite como en los ejercicios anteriores:

--> kill(all); a[n]:=((5*n+2)/(5*n+3))^(3*n+1); limit(a[n],n,inf); (%o0) done (%o1) an:= ₅_n_{+ 2} 5n+ 3 3n+1 (%o2) e−35

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6 Ejercicio 13

Definimos el t´erminos general de la sucesi´on a n y calculamos su l´ımite:

--> _kill(all); a[n]:=((n^4-n+1)/(2*n^4+n-2))^((n^2)/(n+1)); limit(a[n],n,inf); (%o0) done (%o1) an:= _n4₋_n_{+ 1} 2n4₊_n₋₂ n 2 n+1 (%o2) 0

7 Ejercicio 14

Definimos,como habitualmente, el t´ermino general de la sucesi´on y calculamos su l´ımite: --> kill(all); a[n]:=n^(1/n); limit(a[n],n,inf); (%o0) done (%o1) an:=n 1 n (%o2) 1

8 Ejercicio 15

El l´ımite de la sucesi´on de este ejercicio no es sencillo de calcular. Podemos definir la suma con sum e intentar calcular su valor.

--> kill(all); t[i]:=(i+1)^i/i^(i-1); a[n]:=(sum(t[i],i,1,n))/n^2; limit(a[n],n,inf); (%o0) done (%o1) ti:= (i+ 1)i ii−1 (%o2) an:= Pn i=1ti n2

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(%o3) lim Pn i=1i1−i(i+1)i n2 →f rac Pn i=1i1−i(i+1)in2 n−>∞

Sin embargo, no obtenemos ning´un resultado. Pero Maxima nos puede ayudar cuando aplicamos el criterio de Stolz, para calcular el l´ımite que resulta:

--> limit((((n+1)^n)/n^(n-1))/(2*n-1),n,inf);

(%o4) e

2

9 Ejercicio 19

No es sencillo saber si una serie es convergente, y mucho menos conocer el valor de la suma de sus términos. Sin embargo, existen criterios que nos ayudan a decidir su carácter. Maxima nos puede ayudar en parte: puede calcular la suma de algunas series y siempre podemos aplicar algún criterio de convergencia. En este ejercicio, vamos a calcular el l´ımite que resulta de aplicar el criterio de cociente: --> kill(all); a[n]:=((n+1)^n)/((2*n-1)*n^(n-1)); limit(a[n],n,inf); (%o0) done (%o1) an:= (n+ 1)n (2n−1)nn−1 (%o2) e 2

Este valor coincide con el que se calcula en el libro. Pero n´otese que para el tra-bajo principal (¡darse cuenta de qu´e criterio hay que aplicar y hacerlo!) Maxima no nos ayuda. Hya algunas series cuyo valor conoce Maxima.Un ejemplo es el siguiente: --> sum(1/n^2,n,1,inf),simpsum; (%o3) π 2 6

10 Ejercicio 20

Como en el ejercicio anterior, hay que aplicar un criterio (en este caso, el de la ra´ız), y Maxima nos ayuda con el l´ımtie que resulta:

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--> kill(all); a[n]:=((n^(log(n)/n))/log(n)); limit(a[n],n,inf); (%o0) done (%o1) an:= nlog(nn) log (n) (%o2) 0

El c´alculo de este l´ımite, resuelto f´acilmente con Maxima, en el libro resulta laborioso.

11 Ejercicio 24

Maxima nos puede ayudar a factorizar los polinomios:

--> kill(all); factor(x^2-x); factor(x^2+2*x-3); (%o0) done (%o1) (x−1)x (%o2) (x−1) (x+ 3)

Tambi´en pod´ıamos haber simplificado directamente la expresi´on:

--> ratsimp((x^2-x)/(x^2+2*x-3));

(%o3) x

x+ 3

Adem´as, nos da directaente el l´ımite:

--> limit(((x^2-x)/(x^2+2*x-3)),x,1);

(%o4) 1

4

12 Ejercicio 25

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--> kill(all); limit((log(x))/(log(4*x^4)),x,inf); (%o0) done (%o1) 1 4

13 Ejercicio 26

El l´ımite se puede calcular directamente, de forma similar a como se calcula el l´ımite se sucesiones: --> _kill(all); limit(((x+1)/(x-1))^x,x,inf); (%o0) done (%o1) e2

14 Ejercicio 27

El calculo de as´ıntotas con Maxima se hace a través de la determinación de los l´ımites. Primero definimos la función y la llamamos f(x):

--> kill(all); f(x):=(x^2+1)/(x^2-1); (%o0) done (%o1) f (x) :=x 2_{+ 1} x2₋₁

En este ejercicio, como en el libro, comenzamos con las as´ıntotas horizontales, que son los l´ımites cuando x tiende a infinito y menos infinito:

--> limit(f(x),x,inf); limit(f(x),x,-inf);

(%o2) 1

(%o3) 1

Como este l´ımite es 1, la recta y=1 es una as´ıntota horizontal. Una función tiene as´ıntotas verticales si cuando x tiende a un punto, entonces el l´ımite de la función es +infinito o -infinito. Para funciones que son una fracción, esto

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ocurre cuando el denominador es 0. Por eso, calculamos primero las ra´ıces del denominador:

--> solve(x^2-1);

(%o4) [x=−1, x= 1]

Las ra´ıces del denominador nos dicen donde buscar las as´ıntotas verticales. Hay que calcular los l´ımites de f(x) cuando x tiende a estos valores, pero por la derecha y por la izquierda:

--> limit(f(x),x,1,plus); (%o5) ∞ --> limit(f(x),x,1,minus); (%o6) − ∞ --> limit(f(x),x,-1,plus); (%o7) − ∞ --> limit(f(x),x,-1,minus); (%o8) ∞

Como estos l´ımites son infinito o menos infinito, las rectas x=1,x=-1 son as´ıontotas verticales. Buscamos as´ıntotas oblicuas, calculando el l´ımite de f(x)/x cuando tiende a infinito y menos infinito:

--> limit(f(x)/x,x,inf); limit(f(x)/x,x,-inf);

(%o9) 0

(%o10)0

Como este l´ımite es 0, significa que la as´ıntota oblicua tiene pendiente 0, es decir, es una as´ıntota horizontal.

--> wxplot2d([f(x),1], [x,-5,5],[y,-10,10]); plot2d:somevalueswereclipped.

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(%t11) (%o11)

15 Ejercicio 28

El cálculo de as´ıntotas con Maxima se hace a través de la determinación de los l´ımites. Primero definimos la función y la llamamos f(x):

--> kill(all); f(x):=(x^3+2*x^2-1)/(x^2-4); (%o0) done (%o1) f (x) :=x 3_{+ 2}_x2₋₁ x2₋₄

Comenzamos con las as´ıntotas horizontales:

--> limit(f(x),x,inf); limit(f(x),x,-inf);

(%o2) ∞

(%o3) − ∞

Con estos resultados, no hay as´ıntotas horizontales. Continuamos con las as´ıntotas verticales. Buscamos las ra´ıces del denominador:

--> solve(x^2-4);

(%o4) [x=−2, x= 2]

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--> limit(f(x),x,2,plus); limit(f(x),x,2,minus); limit(f(x),x,-2,plus); limit(f(x),x,-2,minus); (%o5) ∞ (%o6) − ∞ (%o7) ∞ (%o8) − ∞

Observamos que tiene dos as´ıntotas verticales. Terminamos con las oblicuas:

--> limit(f(x)/x,x,inf); limit(f(x)/x,x,-inf);

(%o9) 1

(%o10)1

Como estos l´ımties valen 1, sabemos que hay as´ıntotas oblicuas. Para encontrar su ecuaci´on, nos falta el valor de la coordenada en el origen, que son los siguientes l´ımites:

--> limit(f(x)-x,x,inf); limit(f(x)-x,x,-inf);

(%o11)2

(%o12)2

Por eso, s´olo hay una as´ıntota obl´ıcua y es y=x+2. Finalmente, representamos la funci´on:

--> wxplot2d([f(x),x+2], [x,-5,5], [y,-30 ,30]); plot2d:somevalueswereclipped.

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(%t13) (%o13)

16 Ejercicio 30

Comenzamos definiendo la funci´on:

--> _kill(all); f(x):=x*cos(1/x); (%o0) done (%o1) f (x) :=xcos ₁ x

Ahora calculamos su l´ımite, cuando x tiende a 0:

--> limit(f(x),x,0);

(%o2) 0

Podemos representar gráficamente la función. Vamos a hacerlo para que la salida sea una nueva ventana, porque as´ı nos podremos aproximar y alejar de la gráfica a capricho.

--> wxplot2d([f(x)], [x,-5,5])$

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(%t3)

17 Ejercicio 31

Primero definimos f(x) y luego calculamos su l´ımtie cuando x tiende a 2:

--> kill(all); f(x):=(x^3-8)/(x-2); limit(f(x),x,2); (%o0) done (%o1) f (x) :=x 3₋₈ x−2 (%o2) 12

N´otese que se pod´ıa haber simplificado directamente con:

--> ratsimp(f(x)); (%o3) x2+ 2x+ 4

18 Ejercicio 32

Estudiamos el l´ımite: --> kill(all); limit(exp(-1/(1+x)^2),x,-1); (%o0) done (%o1) 0

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Aunque no sea continua, podemos definir a trozos la funci´on y representarla:

--> f(x):=if x=-1 then e^(-0.25) else exp(-1/(1+x)^2);

(%o2) f (x) := ifx=−1thene−0.25elseexp −1 (1 +x)2

!

--> wxplot2d([f(x)], [x,-5,5])$

(%t3)

Note que no se aprecia la discontinuidad, al ser s´olo en un punto.

19 Ejercicio 33

Podemos componer funciones de la forma natural:

--> kill(all); f(x):=abs(x);

g(x):=if x=-1 then e^(-0.25) else exp(-1/(1+x)^2); g(f(x));

(%o0) done

(%o1) f (x) :=|x|

(%o2) g (x) := ifx=−1thene−0.25elseexp −1 (1 +x)2

!

(%o3) e−(|x|1+1)2

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--> wxplot2d([f(x)], [x,-5,5])$

(%t4)

20 Ejercicio 39

El método de la bisección está implementado en Maxima. Sin embargo, no se permite al usuario controlar el número de iteraciones. El comando que se utiliza es find root.

--> find_root (x^3-3,x,0,4);

(%o5) 1.442249570307408

21 Ejercicio 43

De forma gen´erica, no es posible calcular l´ımites de sucesiones de funciones con Maxima. Si lo intentamos en este ejercicio, resulta:

--> kill(all); f(n,x):=((1-x)^n)*sin(2*%pi/x); limit(f(n,x),n,inf); (%o0) done (%o1) f (n, x) := (1−x)nsin ₂_π x (%o2) _n lim (1−x)n_→₍₁_−x₎n−>∞ sin ₂_π x

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--> wxplot2d([f(1,x),f(2,x),f(3,x),f(4,x)], [x,-1,1])$

plot2d:expressionevaluatestonon−numericvaluesomewhereinplottingrange.plot2d: expressionevaluatestonon−numericvaluesomewhereinplottingrange.plot2d: expressionevaluatestonon−numericvaluesomewhereinplottingrange.plot2d: expressionevaluatestonon−numericvaluesomewhereinplottingrange.

(%t8)

22 Ejercicio 45

En este ejercicio, s´ı es posible calcular el l´ımite de la sucesi´on de funciones:

--> kill(all); f(n,x):=x/(2*n+1); limit(f(n,x),n,inf); (%o0) done (%o1) f (n, x) := x 2n+ 1 (%o2) 0

23 Ejercicio 50

Si intentamos calcular directamente el l´ımite, vemos que no es posible:

--> kill(all);

f(n,x):=exp(-1/n^2)*x^n; sum(f(n,x),n,1,inf);

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(%o1) f (n, x) := exp −1 n2 xn (%o2) ∞ X n=1 e−n12 _xn

Tampoco permite calcular el l´ımite si x=1 0 x=-1:

--> sum(f(n,-1),n,1,inf); (%o3) ∞ X n=1 e−n12 (−1)n

Pero sin embargo, s´ı podemos ayudar a determinar el radio de convergencia, con el criterio del cociente:

--> limit(exp(-1/n^2)/(exp(-1/(n-1)^2)),n,inf);