Y al reducir a común denominador y eliminar los denominadores nos encontramos con:

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(1)

1.- Considerad la función definida por ( ) = . a) Descomponed la función en fracciones simples. b) Calculad una primitiva de la función ( ).

c) Calculadel área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas = 1.5 y = 6. Averiguad primero en qué intervalos la función es positiva y en cuáles es negativa.

a)Lo primero es calcular las raíces del polinomio del denominador. De entrada, podemos sacar factor común x, por lo que nos queda el polinomio de grado 3:

− + 4 − 4

Al que aplicamos Ruffini:

1 -1 4 -4

1 1 0 4

1 0 4 0

Y ya tenemos todas las raíces (porque nos queda un polinomio que no se puede descomponer):

− + 4 − 4 = · ( − + 4 − 4) = · ( − 1) · ( + 4)

Así que nuestra descomposición será del tipo:

2 − 4 − 8

− + 4 − 4 = + − 1+

+ + 4

Y al reducir a común denominador y eliminar los denominadores nos encontramos con:

2 − 4 − 8 = ( − 1)( + 4) + ( + 4) + ( + ) ( − 1)

Y lo más cómodo es empezar dando valores x=0 y x=1, que nos queda:

= 0 ⇒ −8 = (−1)(0 + 4) + 0 + 0 ⇒ = 2 = 1 ⇒ 2 − 4 − 8 = · 0 + · 1 · 5 + 0 ⇒ = −2

Ahora miramos el coeficiente de y tenemos que:

2 = + + ⇒ 2 = 2 − 2 + ⇒ = 2

Por último, miramos el coeficiente de x y tenemos que:

−4 = 4 + 4 − ⇒ −4 = 8 − 8 − ⇒ = 4

Así que nuestra descomposición será:

2 − 4 − 8 − + 4 − 4 = 2 − 2 − 1+ 2 + 4 + 4

(2)

b) Calculamos la primitiva: ( ) = 2 − 4 − 8 − + 4 − 4 = 2 − 2 − 1+ 2 + 4 + 4 = 2 − 2 − 1+ 2 + 4+ 4 + 4 = 2 · ln| | − 2 · ln| − 1| + ln( + 4) + 4 4 ( + 4) 4 = 2 · ln − 1 + ln( + 4) + + 1 = ln − 1 + ln( + 4) + + 1

Y para resolver esta última, hacemos el cambio x/2 = t, con lo que tenemos que:

2= ⇒ = 2 ⇒ = 2 + 1

= 2

+ 1= 2 · tan = 2 · tan2

Por lo que la primitiva nos queda:

( ) = ln

− 1 + ln( + 4) + 2 · tan2+

c)La función f(x) cambiará de signo en los puntos en los que se anule el numerador y en los puntos en los que se anule el denominador (asíntotas). Así pues tenemos que averiguar cuando se anula el numerador:

2 − 4 − 8 = 0 ⟺ − 2 − 4 = 0

Aplicamos Ruffini. Empezamos con x=1:

1 0 -2 -4 1 1 1 -1 1 1 -1 -5 Probamos x=-1: 1 0 -2 -4 -1 -1 1 2 1 -1 -2 -2 Probamos x=2: 1 0 -2 -4 2 2 4 4 1 2 2 0

(3)

Y ahora resolvemos el polinomio que nos queda con la fórmula de Cardano-Vieta: + 2 + 2 = 0 ⇒ =−2 ± √2 − 4 · 1 · 2 2 · 1 = −2 ± √4 − 8 2 = −2 ± √−4 2

Que no tiene solución real.

Así pues, los signos de nuestra función cambiarán en x=0 y x=1 (por el denominador) y en x=2 (por el numerador). Así que, para saber los signos de la función dibujamos:

Y damos los siguientes valores:

(−2) = 2 · (−2) − 4 · (−2) − 8 (−2) − (−2) + 4 · (−2) − 4 · (−2)= −0,333 (0,5) = 2 · (0,5) − 4 · (0,5) − 8 (0,5) − (0,5) + 4 · (0,5) − 4 · (0,5)= 9,176 (1,5) = 2 · (1,5) − 4 · (1,5) − 8 (1,5) − (1,5) + 4 · (1,5) − 4 · (1,5)= −1,547 (4) = 2 · (4) − 4 · (4) − 8 (4) − (4) + 4 · (4) − 4 · (4)= 0,433

Por lo tanto nuestra función será:

Si hemos de hacer la integral entre 1,5 y 6, la función nos cambiará de signo en x=2, por lo que hemos de hacer la integral de 1,5 a 2 (cambiada de signo) y sumarle la integral de 2 a 6.

= − ( ) , + ( ) = −[ (2) − (1,5)] + [ (6) − (2)] = (6) − 2 (2) + (1,5) = ln 6 6 − 1 + ln(6 + 4) + 2 · tan 6 2 − 2 · ln 2 2 − 1 + ln(2 + 4) + 2 · tan 2 2 + ln 1,5 1,5 − 1 + ln(1,5 + 4) + 2 · tan 1,5 2 = [0,3646 + 3,6889 + 2 · 1,249] − 2 · [1,3863 + 2,0794 + 2 · 0,7854] + [2,1972 + 1,8326 + 2 · 0,6435] = 6,5515 − 2 · 5,0365 + 5,3168 = 1,7953 0 1 2 0 1 2 Neg Pos Neg Pos

(4)

2. Considerad la función definida por: ( ) =

− − + 1

a. Descomponed la función en fracciones simples. b. Calculad una primitiva de la función f(x).

c. Calculad los extremos absolutos de la función en el intervalo [-5,-2].

a) Lo primero que hay que hacer es hacer la división ya que numerador y denominador tienen el mismo grado.

x3 x3-x2-x+1

-x3 x2 x -1 1

/ x2 x -1

Por lo tanto, ya podemos empezar a descomponer nuestra fracción como:

( ) =

− − + 1= 1 +

+ − 1

− − + 1

Para continuar la descomposición, necesitamos saber cuáles son las raíces del denominador. Para hacerlo, aplicamos Ruffini:

1 -1 -1 1

1 1 0 -1

1 0 -1 0

Por lo tanto, tenemos que:

− − + 1 = ( − 1) · ( − 1) = ( − 1) · ( + 1) · ( − 1) = ( − 1) · ( + 1)

De manera que ahora podemos plantear la descomposición de nuestra fracción como:

+ − 1

− − + 1= ( − 1) +( − 1)+( + 1)

Reduciendo a común denominador e igualando los numeradores, tenemos:

+ − 1 = · ( + 1) + · ( − 1) · ( + 1) + · ( − 1)

Dando los valores que anulan términos (x = 1 y x = -1) obtenemos:

= 1 1 + 1 − 1 = · 2 + · 0 · 2 + · 0 ⇒ =1 2 = −1 1 − 1 − 1 = · 0 + · (−2) · 0 + · 4 ⇒ =−1

4

Si ahora miramos el coeficiente de x2 tenemos:

1 = + ⇒ 1 = −1

4 ⇒ = 5 4

Por lo tanto, la descomposición en fracciones simples queda:

− − + 1= 1 + 1 2 ( − 1) + 5 4 ( − 1)− 1 4 ( + 1)

(5)

1 + 1 2 ( − 1) + 5 4 ( − 1)− 1 4 ( + 1) = 1 + 1 2 1 ( − 1) + 5 4 1 ( − 1) − 1 4 1 ( + 1)

Las integrales que nos quedan son todas inmediatas (la segunda puede hacerse mediante el cambio de variable t=x-1, pero es bastante directa) y el resultado que nos queda es:

− − + 1 = − 1 2 · ( − 1)+ 5 4· ln| − 1| − 1 4· ln| + 1| + .

c) En [-5,-2] ya sabemos que la función es continua (no contiene a ninguna de las raíces del denominador). Hacemos la derivada y tenemos que:

( ) = 3 · ( − − + 1) − · (3 − 2 − 1) ( − − + 1) = 3 − 3 − 3 + 3 − 3 + 2 + ( − − + 1) = − − 2 + 3 ( − − + 1) = − · ( + 2 − 3) ( − − + 1)

Para saber cuáles son los puntos candidatos a extremos, igualamos la derivada a cero, lo que nos lleva a que:

− · ( + 2 − 3) = 0 ⇒ + 2 − 3 ⇒ = 0 = 1 = −3

De todos estos puntos, el único que pertenece al intervalo es x=-3. Miramos el signo de la derivada a izquierda y derecha de x=-3:

(−3,1) = −(−3,1) · ((−3,1) + 2 · (−3,1) − 3)

((−3,1) − (−3,1) − (−3,1) + 1) = −0,003161

(−2.9) =−(−2,9) · ((−2,9) + 2 · (−2,9) − 3)

((−2,9) − (−2,9) − (−2,9) + 1) = 0,0039273

Por lo que en x=-3 tenemos un mínimo relativo.

Ahora, sólo nos queda mirar el valor de f en los puntos extremos del intervalo y en x=-3, por lo que: (−5) = (−5) (−5) − (−5) − (−5) + 1= −125 −125 − 25 + 5 + 1= 0,868 (−3) = (−3) (−3) − (−3) − (−3) + 1= −27 −27 − 9 + 3 + 1= 0,844 (−2) = (−2) (−2) − (−2) − (−2) + 1= −8 −8 − 4 + 2 + 1= 0,889

(6)

3.- Considerad la función definida por ( ) = . a) Descomponed la función en fracciones simples. b) Calculad una primitiva de la función ( ).

c) Calculadel área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas = 1.5 y = 6. Averiguad primero en qué intervalos la función es positiva y en cuáles es negativa.

a) Lo primero es calcular las raíces del polinomio del denominador. De entrada, podemos sacar factor común x, por lo que nos queda el polinomio de grado 3:

− + 4 − 4

Al que aplicamos Ruffini:

1 -1 4 -4

1 1 0 4

1 0 4 0

Y ya tenemos todas las raíces (porque nos queda un polinomio que no se puede descomponer):

− + 4 − 4 = · ( − + 4 − 4) = · ( − 1) · ( + 4)

Así que nuestra descomposición será del tipo:

2 − 4 − 8

− + 4 − 4 = + − 1+

+ + 4

Y al reducir a común denominador y eliminar los denominadores nos encontramos con:

2 − 4 − 8 = ( − 1)( + 4) + ( + 4) + ( + ) ( − 1)

Y lo más cómodo es empezar dando valores x=0 y x=1, que nos queda:

= 0 ⇒ −8 = (−1)(0 + 4) + 0 + 0 ⇒ = 2 = 1 ⇒ 2 − 4 − 8 = · 0 + · 1 · 5 + 0 ⇒ = −2

Ahora miramos el coeficiente de y tenemos que:

2 = + + ⇒ 2 = 2 − 2 + ⇒ = 2

Por último, miramos el coeficiente de x y tenemos que:

−4 = 4 + 4 − ⇒ −4 = 8 − 8 − ⇒ = 4

Así que nuestra descomposición será:

2 − 4 − 8 − + 4 − 4 = 2 − 2 − 1+ 2 + 4 + 4

(7)

b) Calculamos la primitiva: ( ) = 2 − 4 − 8 − + 4 − 4 = 2 − 2 − 1+ 2 + 4 + 4 = 2 − 2 − 1+ 2 + 4+ 4 + 4 = 2 · ln| | − 2 · ln| − 1| + ln( + 4) + 4 4 ( + 4) 4 = 2 · ln − 1 + ln( + 4) + + 1 = ln − 1 + ln( + 4) + + 1

Y para resolver esta última, hacemos el cambio x/2 = t, con lo que tenemos que:

2= ⇒ = 2 ⇒ = 2 + 1

= 2

+ 1= 2 · tan = 2 · tan2

Por lo que la primitiva nos queda:

( ) = ln

− 1 + ln( + 4) + 2 · tan2+

c)La función f(x) cambiará de signo en los puntos en los que se anule el numerador y en los puntos en los que se anule el denominador (asíntotas). Así pues tenemos que averiguar cuando se anula el numerador:

2 − 4 − 8 = 0 ⟺ − 2 − 4 = 0

Aplicamos Ruffini. Empezamos con x=1:

1 0 -2 -4 1 1 1 -1 1 1 -1 -5 Probamos x=-1: 1 0 -2 -4 -1 -1 1 2 1 -1 -2 -2 Probamos x=2: 1 0 -2 -4 2 2 4 4 1 2 2 0

(8)

Y ahora resolvemos el polinomio que nos queda con la fórmula de Cardano-Vieta: + 2 + 2 = 0 ⇒ =−2 ± √2 − 4 · 1 · 2 2 · 1 = −2 ± √4 − 8 2 = −2 ± √−4 2

Que no tiene solución real.

Así pues, los signos de nuestra función cambiarán en x=0 y x=1 (por el denominador) y en x=2 (por el numerador). Así que, para saber los signos de la función dibujamos:

Y damos los siguientes valores:

(−2) = 2 · (−2) − 4 · (−2) − 8 (−2) − (−2) + 4 · (−2) − 4 · (−2)= −0,333 (0,5) = 2 · (0,5) − 4 · (0,5) − 8 (0,5) − (0,5) + 4 · (0,5) − 4 · (0,5)= 9,176 (1,5) = 2 · (1,5) − 4 · (1,5) − 8 (1,5) − (1,5) + 4 · (1,5) − 4 · (1,5)= −1,547 (4) = 2 · (4) − 4 · (4) − 8 (4) − (4) + 4 · (4) − 4 · (4)= 0,433

Por lo tanto nuestra función será:

Si hemos de hacer la integral entre 1,5 y 6, la función nos cambiará de signo en x=2, por lo que hemos de hacer la integral de 1,5 a 2 (cambiada de signo) y sumarle la integral de 2 a 6.

= − ( ) , + ( ) = −[ (2) − (1,5)] + [ (6) − (2)] = (6) − 2 (2) + (1,5) = ln 6 6 − 1 + ln(6 + 4) + 2 · tan 6 2 − 2 · ln 2 2 − 1 + ln(2 + 4) + 2 · tan 2 2 + ln 1,5 1,5 − 1 + ln(1,5 + 4) + 2 · tan 1,5 2 = [0,3646 + 3,6889 + 2 · 1,249] − 2 · [1,3863 + 2,0794 + 2 · 0,7854] + [2,1972 + 1,8326 + 2 · 0,6435] = 6,5515 − 2 · 5,0365 + 5,3168 = 1,7953 0 1 2 0 1 2 Neg Pos Neg Pos

(9)

4.- Considera la función definida por ( ) = .

a. Descompón la función en fracciones simples. Recuerda que las posibles raíces enteras de un polinomio son los divisores del término independiente.

b. Calcula la primitiva ( ) de la función ( ) que cumple que (0)=30.

c. Calcula el área de la región determinada por la gráfica de la función f( ), el eje horizontal y las rectas verticales =0 y =100.

a.- Lo primero es encontrar las raíces del polinomio del denominador, por lo tanto aplicamos Ruffini. Como todos los coeficientes son positivos, ya vemos que no debemos ensayar valores positivos. Como además el término independiente es 245, probamos sólo con sus divisores es decir, -1, -5, -7, -35, -49. Empezamos con -1:

1 19 119 245

-1 -1 -18 -101

1 18 101 144

No es raíz. Probamos con -5:

1 19 119 245

-5 -5 -70 -245

1 14 49 0

Y ahora resolvemos el polinomio que nos queda con la fórmula de Cardano-Vieta o bien directamente, al reconocer un “producto notable”, en este caso ( + 7) .

Por lo tanto, tenemos que:

+ 19 + 119 + 245 = ( + 5) · ( + 7)

Por lo tanto, ya podemos plantear nuestra descomposición en fracciones simples:

− − 5 + 12

+ 19 + 119 + 245= + 5+ + 7+( + 7)

Al reducir a común denominador e igualar los numeradores tenemos que:

− − 5 + 12 = · ( + 7) + · ( + 5) · ( + 7) + · ( + 5)

(10)

−(−5) − 5 · (−5) + 12 = · (−5 + 7) + · 0 + · 0 −25 + 25 + 12 = 4 ⇒ 12 = 4 ⇒ =12

4 = 3

Si damos el valor x=-7 tenemos:

−(−7) − 5 · (−7) + 12 = · 0 + · 0 + · (−7 + 5)

−49 + 35 + 12 = −2 ⇒ −2 = −2 ⇒ =−1

−1= 1

Ahora sólo nos queda encontrar B, pero si nos fijamos bien, el coeficiente de es muy fácil de calcular ya que sólo intervienen los dos primeros sumandos, por lo que tenemos que:

−1 = + ⇒ −1 = 3 + ⇒ = −4

Por lo tanto, nuestra fracción original se descompone como:

− − 5 + 12 + 19 + 119 + 245= 3 + 5− 4 + 7+ 1 ( + 7)

b.- Para calcular la primitiva, hacemos uso de la descomposición en fracciones simples:

( ) = − − 5 + 12 + 19 + 119 + 245 = 3 + 5− 4 + 7+ 1 ( + 7) = 3 · + 5− 4 · + 7+ ( + 7)

Las dos primeras integrales son inmediatas, mientras que la segunda es prácticamente inmediata, basta con hacer el cambio t=x+7, con lo que nos queda:

( + 7) = = =−2 + 1= −1 =

−1

= −1

+ 7

Así nuestra primitiva queda:

( ) = 3 · ln| + 5| − 4 · ln| + 7| − 1

+ 7+ .

Como nos piden que F(0) = 30, al sustituir tenemos que:

30 = (0) = 3 · ln|0 + 5| − 4 · ln|0 + 7| − 1 0 + 7+ . = 3 · ln|5| − 4 · ln|7| − 1 7+ . = 3 · 1,6094 − 4 · 1,9459 − 0,1428 + . = 4,8282 − 7,7836 − 0,1428 + . = −3,0982 + . ⇒ . = 33,0982

(11)

( ) = 3 · ln| + 5| − 4 · ln| + 7| − 1

+ 7+ 33,0982

c.- Para hallar el área pedida hay que hacer la integral definida entre 0 y 100, pero hay que tener en cuenta si la función corta o no al eje. Resolvemos:

− − 5 + 12 = 0 ⇒ =5 ± √25 + 4 · 1 · 12 −2 = 5 ± √73 −2 = −6,772 1,772

Por lo tanto, hemos de hacer la integral dividida en dos trozos, de 0 a 1,772 y de 1,772 a 100. Ccomo que ya tenemos calculada F(x) nos queda:

= − − 5 + 12 + 19 + 119 + 245 = − − 5 + 12 + 19 + 119 + 245 , − − − 5 + 12 + 19 + 119 + 245 , = (1,772) − (0) + (1,772) − (100) = 3 · ln|1,772 + 5| − 4 · ln|1,772 + 7| − 1 1,772 + 7+ 33,0982 − 3 · ln|0 + 5| − 4 · ln|0 + 7| − 1 0 + 7+ 33,0982 + 3 · ln|1,772 + 5| − 4 · ln|1,772 + 7| − 1 1,772 + 7+ 33,0982 − 3 · ln|100 + 5| − 4 · ln|100 + 7| − 1 100 + 7+ 33,0982 = (5,7384 − 8,6863 − 0,1140 + 33,0982) − 30 + (5,7384 − 8,6863 − 0,1140 + 33,0982) − (13,9619 − 18,6913 − 0,0093 + 33,0982) = 30,0363 − 30 + 30,0363 − 28,3595 = 0,0363 + 1,6768 = 1,7131

(12)

5.- Descomponer en fracciones simples e integrar la función: + 1

( + 4) · ( − 2)

Empecemos por descomponer en fracciones simples:

+ 1

( + 4) · ( − 2)= + 4+ ( + 4) + − 2

Reducimos a común denominador y nos queda:

+ 1 ( + 4) · ( − 2)= · ( + 4) · ( − 2) ( + 4) · ( − 2) + · ( − 2) ( + 4) · ( − 2)+ · ( + 4) ( + 4) · ( − 2)

Igualamos los numeradores y…

+ 1 = ( + 4)( − 2) + ( − 2) + ( + 4)

Damos valores, empezando por los que anulan algunos de los término (es decir, X=-4 y x=2)

−4 + 1 = · 0 + · (−6) + · 0 ⇒ −3 = −6 ⇒ = 1 2 2 + 1 = · 0 + · 0 + · (2 + 4) ⇒ 3 = 36 ⇒ = 1 12

El último valor puede ser cualquiera que sea cómodo. Por ejemplo x=0.

0 + 1 = · 4 · (−2) + · (−2) + · 16 ⇒ 1 = −8 − 2 + 16 ⇒ 1 = −8 − 1 +4 3 ⇒ 8 = −2 + 4 3 ⇒ = −1 12 Por lo tanto: + 1 ( + 4) · ( − 2)= −1 12 + 4 + 1 2 ( + 4) + 1 12 − 2 La integral queda: + 1 ( + 4) · ( − 2) = −1 12 + 4+ 1 2 ( + 4) + 1 12 − 2 = −1 12· ln| + 4| + 1 2· −1 + 4+ 1 12· ln| − 2| = 1 12· ln − 2 + 4 − 1 2 + 8

(13)

6.- Calcular:

1 − 16

De entrada, lo primero que hay que hacer es descomponer en fracciones simples. Planteamos la descomposición:

1

− 16= − 4+ + 4

Para calcular A y B, reducimos a común denominador y nos queda:

1 − 16= · ( + 4) ( − 4) · ( + 4)+ · ( − 4) ( + 4) · ( − 4) De donde: 1 = ( + 4) + ( − 4) Y que es equivalente a: 0 = + 1 = 4 − 4

Por lo que tenemos que:

= 1 8 = −1 8

Así, nuestra integral se convierte en:

1 − 16 = 1 8 − 4− 1 8 + 4 = 1 8 − 4− 1 8 + 4

Estas dos integrales son prácticamente inmediatas y tenemos que:

1 − 16 = 1 8 | − 4| − 1 8 | + 4| + = 1 8 − 4 + 4 +

(14)

7.- Calculad la integral:

+ 1

Para ello hay que hacer la descomposición en fracciones simples. Lo que hacemos es dividir por Ruffini, y probaremos los números que dividen al término independiente, es decir, 1 y -1.

1 0 0 1

1 1 1 1

1 1 1 2

Por lo tanto, no es divisible por x-1. Probemos con -1.

1 0 0 1

-1 -1 1 -1

1 -1 1 0

Por lo tanto es divisible por x+1. El polinomio que nos queda lo resolvemos por Cardano-Bieta.

=− ± √ − 4 2 = 1 ± (−1) − 4 · 1 · 1 2 · 1 = 1 ± √−3 2

Por lo tanto, no se puede descomponer más. Tenemos:

+ 1 = ( + 1) · ( − + 1)

Ahora hacemos la descomposición en fracciones simples:

1

+ 1= + 1+

· +

− + 1

Ahora reducimos a común denominador.

1 = · ( − + 1) + ( + ) · ( + 1)

Si damos valor x=-1 nos queda:

1 = · ((−1) − (−1) + 1) + 0

1 = · 3 ⇒ = 1 3

Nos fijamos en el término de x2 en cada lado de la igualdad y tenemos:

0 = + ⇒ = − 1 3

Nos fijamos en el término independiente y tenemos:

1 = + ⇒ = 2 3

(15)

1 + 1= 1 3 + 1+ −1 3 · + 2 3 − + 1

Por lo tanto, la integral pedida se transforma en:

+ 1= 1 3 + 1 − 1 3· − 2 − + 1

La primera es inmediata, mientras que la segunda requiere un poco de “arreglo”. Lo primero es que, para que en el numerador aparezca la derivada del denominador, hay que multiplicar y dividir por 2. − 2 − + 1 = 1 2· 2 − 4 − + 1

Ahora sólo queda “separar” ese -4 en -1 y -3, con lo que tenemos:

− 2 − + 1 = 1 2· 2 − 4 − + 1 = 1 2· 2 − 1 − 3 − + 1 = 1 2· 2 − 1 − + 1 − 3 − + 1

Ahora, la primera es inmediata (derivada logarítmica), mientras que la segunda necesita “arreglos”. Lo que buscamos es convertir el denominador en (x-a)2+b. Para hacerlo, teniendo en cuenta que el desarrollo de (x-a)2+b= x2 -2ax +a2+b, si nos fijamos en el coeficiente de la x, vemos que -1 = -2a, es decir, a = ½.

Por otro lado, a2+b = ¼ +b = 1, de donde sacamos que b = ¾. Por lo tanto, tenemos:

3

− + 1 = 3 · − + 1= 3 · ( − 1 2) +3

4

Ahora, hemos de multiplicar y dividir por ¾ para tener un 1 al final.

( − 1 2) +3 4 = (3 4) − 1 2 +3 4 /( ) =4 3· ( ) + 1

Ya casi estamos. Lo último que hay que hacer es “meter” el ¾ dentro del “cuadrado”.

4 3· ( ) + 1 = 4 3· ( √ ) + 1

Y para hacer esta última, hacemos un cambio de variable:

= − 1 2 √3 2 ⇒ = 2 √3 ⇒ = √3 2

(16)

Por lo tanto… 4 3· ( √ ) + 1 = 4 3· √ + 1= 4 · √3 3 · 2 · + 1= 2 √3arctan = 2 · √3 3 · arctan − 1 2 √3 2

Y ahora ya puedes “componer” tu superintegral.

+ 1= 1 3· ln| + 1| − 1 3· 1 2 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ln| − + 1| + 3 ·2 · √3 3 · arctan − 1 2 √3 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ + = = 1 3· ln| + 1| − 1 6 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ln| − + 1| + 2√3 · arctan − 1 2 √3 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ + = = 1 3· ln| + 1| − 1 6· ln| − + 1| − √3 3 · arctan − 1 2 √3 2 +

Figure

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