DINÁMICA. EJERCICIOS DESARROLLADOS. LIBRO MECÁNICA VECTORIAL DE DINÁMICA POR SHAMES IRVING 4ta Edición.

(1)

2da PRÁCTICA CALIFICADA GRUPO Nº 6

22/07/2013

EJERCICIOS DESARROLLADOS. LIBRO MECÁNICA VECTORIAL DE

DINÁMICA POR SHAMES IRVING 4ta Edición.

(2)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE

SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA

__________________________________

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS,

GEOLOGÍA Y CIVIL

“

E

s

c

u

e

l

a

d

e

F

o

r

m

a

c

i

ó

n

P

r

o

f

e

s

i

o

n

a

l

d

e

I

n

g

e

n

i

e

r

í

a

C

i

v

i

l

”

PRÁCTICA CALIFICADA Nº 02

“DESARROLLO DE EJERCICIOS DE CINÉTICA”

LIBRO MECÁNICA VECTORIAL DE DINÁMICA POR

SHAMES IRVING 4

ta

_Edición

CURSO : DINÁMICA SIGLA : IC- 244 CICLO ACADÉMICO : 2012-II

GRUPO : N° 06 (SHAMES 4ta Edición) DOCENTE : Ing. CASTRO PEREZ, Cristian. INTEGRANTES :- AGUILAR HUICHO, Edgar. - GARCIA RAMOS, Wilson Luis. - ORÉ MENDOZA, John. - I -

- SULCA SANTIAGO, Emerson. FECHA : Ayacucho, Julio del 2013

Ayacucho – Perú

2013

(3)

(4)

INDICE

Cinética de Leyes de Newton de una Partícula. …..………4

Cinética de Trabajo y Energía de una Partícula. ..………...8

Cinética de Cantidad de Movimiento de una Partícula. ..………...16

Cinética de Leyes de Newton de un Cuerpo Rígido. …..………..…...20

Cinética de Trabajo y Energía de un Cuerpo Rígido. ..……..……...24

(5)

Cinética de Leyes de Newton de una Partícula

12.120. Un esquiador esta bajando por una colina a una velocidad de 14m/s mientras está en la posición que se muestra. Si el esquiador pesa 800N ¿Qué fuerza total ejercen sus esquis sobre la superfcie de la nieve? Suponer que el coeficiente de rozamiento es de 0.1. La colina se puede considerar como una superficie parabólica.

Solución Datos: Ecuación: 2

Kx

y

2

15

6 K

75

2 K

2

75

2 x

y

Hallando: Radio de Curvatura:

kg

m

N

W

s

m

V

55 .

81

800

14

(6)

y

₎

2

_]

32

(

1 [

75

4

75

4

1

2 3 2

x

Para x = 15

m

38 .

39

Para las fuerzas normales a la superficie:

2

v

a

_c 2 2

977 .

4

38 .

39

14 s

m

a

_c

)

977 .

4 )(

55 .

81 (

N c N

F

ma

F

87 .

405

N

F

N

Además para saber el ángulo:

x

dx

dy

tg

75

4

Para x = 15

º

66 .

38

75

15

4 Arctg

87 .

405 cos

w

F

_N

56 .

1030

N

Además Fr: r N

ma

F

V

:

cte

(7)

056 .

103

86 .

4

55 .

81 ))

º

66 .

38 (

(

800 )

56 .

1030

(

1 .

0 u

F

a

sen

Wsen

F

r r r r

6 .

1035

2 2 r

F

N

12.139. Una masa de 3kg se está moviendo a lo largo de una varilla vertical parabólica cuya ecuación es y = 3.4x2 un muelle lineal con K = 550N/m está conectado a la masa y no presneta deformación cuando la masa está en su posicin mas baja teniendo en ese momento una longitud t0 = 1. Cuando la directriz del muelle está a 30º de la

vertical, como se muestra en el diagrama, la masa se esta moviendo a 2.8m/s. En ese instante. ¿Cuál es la componente de la fuerza sobre la varilla en la dirección perpendicular a la misma? Solución Datos:

s

m

V

kg

M

m

N

K

8 .

2

3

550

En la ecuación: 2

)

º

30 (

4 .

3 º

30 cos

1 L

_f

L

_f

sen

(8)

m

L

_f

0 .

689 m

x

1

0 .

689

0 .

3111

Hallando radio de Curvatura:

y

₎

2

_]

32

(

1 [

4 .

3

2 ]

)

4 .

3

2 (

1 [

_x

2 32 Para x = 0.3445

m

43 .

2

Fuerza Normal: 2

43 .

2

8 .

2

3

N c N

F

ma

F

679 .

9

N

F

N

Además para saber el ángulo θ:

x

dx

dy

tg

6 .

8

Para x = 0.3445

º

88 .

66 )

3445

.

0

8 .

6 (

Arctg

679 .

9 )

º

30 º

88 .

66 cos(

cos

_R N

mg

F

_N

Donde:

105 .

171

550 3111

.

0 K

x

F

_R Reemplazando:

679 .

9 )

º

88 .

36 cos(

105 .

171 )

º

88 .

66 cos(

81 .

9

3

63 .

115 N

(9)

Cinética de Trabajo y Energía de una Partícula

13.48. Un cojinete A de 15kg de masa desliza sin rozamiento por un tubo. El cojinete está conectado a un muelle lineal cuya constante K vale 1N/mm. Si el cojinete, inicialmente en reposo, se suelta en la posición que se muestra. ¿Cuál será su velocidad cuando el muelle este en la posición EF? En la posición inicial del cojinete el muelle esta alargado 75mm.

Solución Datos:

kg

m

mm

N

K

15

1 m

N

m

mm

N

K

1000

1 1000

.

1 mm

L

_f

300

2

150

2

335 .

41 mm

i

75 mm

L

335 .

41

75

260 .

41 (

longitud

sin

elongación

)

mm

L

E E

6 .

39

41 .

260

300

(10)

E

E G C OE OG OC

E

₁ ₁ ₁ 2 2 2

)

)(

(

2

1

0

2

1 )

(

2

1 )

15 .

0 (

0 mg

K

i

mV

K

_E 2 2 2

)

0396

.

0 )(

1000

(

2

1

15

2

1 )

075 .

0 (

1000

2

1 )

15 .

0 (

81 .

9

15 V

s

m

V

1 .

79

13.50. Un cojinete A con una de 5kg puede deslizar por un tubo sin rozamiento. Si se suelta, partiendo del reposo, en la posición que se muestra, en la que el muelle no presenta deformación, ¿Qué velocidad tendrá el cojinete después de haber recorrido 50mm? La constante del muelle es de 2N/m.

Solución Datos:

kg

m

N

mm

N

K

5 2000

2

(11)

Por Ley de Cosenos:

mm

x

299 .

13

200

29 .

13

Planteando Ecuación de Energía:

A A

E

G E C G E C

E

0 )

)(

(

2

1

2

1

0 mgh

mV

2

K

x

2 2 2

)

02913

.

0 )(

2000

(

2

1 )

5 (

2

1 )

025 .

0 (

81 .

9

5 V

s

m

V

0 .

39

13.70. Se dispara un proyectil de peso W1N contra un bloque de madera que pesa

W2N. El proyectil se aloja en la madera y ambos cuerpos se mueven hasta la posición indicada en el diagrama mediante línea discontinua antes de volver a caer. Calcular la cantidad de trabajo interno realizado durante esta acción. Discutir los efectos de este trabajo. El proyectil tiene una velocidad V0 antes de impactar contra el bloque. Desestimar la masa de la barra de soporte y el rozamiento de A.

(12)

Solución W1: Proyectil. W2: Bloque.

708 .

1 º

45 .

64 cos

3

P.C.C.M:

)

(

.

₀ ₁ ₂ 1

V

W

2 1 1 0

W

V

_i

Planteando por Conservación de Energía:

2 2 1 1 P C P C

E

)

708 .

1 )(

(

.

)

(

.

2

1

2 1 2 2 1

_V

_W

g

W

i

8 .

5 )

708 .

1 (

2

i i

V

g

V

2 0 1 2 1

2

1 )

(

8 .

5 W

W

V

W

13.78. Un péndulo tiene un peso con un disco uniforme comparativamente grande de 0.6m de diámetro y una masa M de 1.5kg. En el instante que se muestra, el sistema tiene una velocidad angular ω de 0.3rad/s. Si despreciamos la masa de la barra. ¿Cuál es la energía cinética del péndulo en ese instante? ¿Cuál es el error en el que incurrimos si consideramos el peso como una partícula, tal como hemos hecho anteriormente con otros péndulos? Utilizar el resultado del problema 13.76.

(13)

Solución Datos:

kg

M

m

r

5 .

1

3 .

0

2

1 I

E

_c 2

2

1 mR

I

a) 2 2 2

)

3 .

0 (

)

5 .

1 )(

5 .

1 (

)

3 .

0 )(

5 .

1 (

2

1

2

1

C

E

J

E

_C

0 .

1549

b) Error: 2 2

)

5 .

1

3 .

0 )(

5 .

1 (

2

1

2

1 mV

E

rticula rotacionpa C

J

E

P R C _.

0 .

1519

Error

E

0 .

1549

0 .

1519

%

3 .

0 E

(14)

13.99. Partiendo del reposo, un cuerpo A se suelta cobre una superficie circular sin rozamiento. A continuación el cuerpo se mueve sobe una superficie horizontal CD

cuyo coeficiente de rozamiento dinámico con el cuerpo es de 0.2. Un muelle cuya constante K = 900N/m esta colocado en C como se muestra en el diagrama. ¿Cuánto se comprimirá el muelle? El cuerpo tiene una masa de 5kg.

Solución Datos:

kg

m

N

K

5

900

Hallando velocidad de la masa en el punto D.

s

m

gh

V

_D

2

2 (

9 .

81 )

7

11 .

72

Conservación de energía en el tramo CD.

fr C D

E

w

E

)

10 (

)

(

)

(

2

1

0

2

1

2 2

x

fr

x

K

mV

_D Donde:

)

(

2 .

0 mg

uN

F

_r

)

10 (

)

)(

(

2 .

0 )

(

2

1

2

1

2 2

x

g

m

x

K

mV

_D

(15)

)

10 (

)

81 .

9 )(

5 (

2 .

0 )

(

900

2

1 )

72 .

11 )(

5 (

2

1

2 2

x

Resolviendo:

m

x

0 .

727

13.120. Un collar desliza sin rozamiento por un tubo como se muestra. El muelle no presenta deformación cuando esta en posición horizontal y tiene una constante de 180N/m. ¿Cuál es la masa mínima que debe tener A para justo alcanzar A´ si se suelta partiendo del reposo y en la posición que se muestra en el diagrama? ¿Cual será la fuerza sobre el tubo cuando A ha recorrido la mitad de la distancia hasta A´?

Solución Datos:

?

180 m

m

N

K

1 .

523

6 .

0

4 .

1

2 2

c

(16)

A O

E

2

)

(

2

1 x

K

mgh

2

)

8 .

0

523 .

1 )(

180 (

2

1 )

6 .

0 )(

81 .

9 (

m

kg

m

7 .

99 mínima

masa

b) cuando recorre una distancia AA´/2:

Por ley de senos

Energía: 2 2

2

1 )

(

2

1 )

º

45

6 .

0 (

sen

K

x

mV

mg

2 2

)

99 .

7 (

2

1 )

8 .

0

064 .

1 (

180

2

1 )

º

45

6 .

0 )(

81 .

9 )(

99 .

7 (

sen

V

s

m

V

2 .

6

Luego

0 .

6 )

6 .

2 (

99 .

7

2 N C N

F

ma

F

02 .

90

N

F

N

02 .

90

N

F

02 .

90 )

º

45 (

)

5 .

21 (

mg

sen

F

_r

84 .

161 N

(17)

Cinética de Cantidad de Movimiento de una Partícula

14.56. Los cilindros A y B deslizan sin rozamiento a lo largo de una barra. El cilindro A, inicialmente en reposo y de forma que el muelle K1 al que está conectado está inicialmente no deformado, se suelta. El impacto con el cilindro B tiene un coeficiente de restitución e igual a 0.8. Antes del impacto el cilindro B esta en reposo y esta soportado en la posición que se muestra por el muelle K2. Suponer que los muelles no tienen masa.

a) ¿Cuánto se comprimirá el muelle inferior?

b) ¿Cuánto descenderá el cilindro B después del impacto antes de alcanzar su posición mas baja?

Solución Datos:

8 .

0 1100

1000

800

500

2 1

e

m

N

K

m

N

K

N

W

N

W

B A

(18)

a)

º

45 sen

W

xK

_B

2

2 .

1100

800 x

m

x

0 .

051

Se comprime 51mm inicialmente b) Cuando A apenas impacta a “B”

A OA

E

₁

mgh

mV

x

K

mgh

2 2

2

1 )

(

2

1

2 1 2

.

81 .

9 )

500 (

2

1 )

8 .

0 (

1000

2

1 º

45 cos

)

8 .

0 (

500 V

_i

s

m

V

_Ai

3 .

313 )

(

Para ecuaciones de choque: P.C.C.M

Bf B Af A Bi B Ai A

V

m

V

m

V

m

V

m

.

;

0

Bi

V

Bf Af

V

800

500 )

313 .

3 (

500 )

...(

...

8

5

565 .

16 V

_Af

V

_Bf

I

Además.

8 .

0

Ai Bi Af Bf

V

e

)

...(

...

6504

.

2 II

V

_Bf _Af

)

(

357 .

0 s

m

V

_A

)

(

293 .

2 s

m

V

_B

(19)

B B

E

_C _G _C _G 2 2 2 2 2

)

2

051 .

0 (

2

1

0

0 )

051 .

0 (

2

1 )

(

2

1 K

K

mg

V

m

_B _Bf 2 2 2

)

2

051 .

0 )(

1100

(

2

1 )

051 .

0 (

1100

2

1 )

(

800 )

293 .

2 (

81 .

9 )

800 (

2

1 m

14 .

0 )

(

desciende

m

198 .

0

2 )

(

compresión

14.57. La masa A y B deslizan sin rozamiento a lo largo de una barra. El muelle, que en su configuración libre tiene 0.8m de longitud, esta comprimido hasta la posición que se muestra. El sistema, que inicialmente esta en reposo, se suelta A y B realizando un impacto plástico. El muelle no tiene masa.

a) ¿Cuál será la velocidad de las masas después de que B recorra 0.2m? b) ¿Cuál será la perdida de energía mecánica del sistema?

Solución Datos:

m

N

K

kg

M

kg

M

B A

1000

1

2 m

L

_i

0 .

8

(20)

m

x

_i

0 .

8

0 .

3

0 .

5

Impacto Plástico o Inelástico (e = 0) Hallando la velocidad para A (inicial)

2 2

2

1

0

0 )

(

2

1

0 K

x

mV

2 2

2 )

5 .

0 (

1000

V

s

m

V

_Ai

11 .

18

Como el impacto es plástico:

Bf

Af

V

_{Ambos llevan la misma velocidad}

P.C.C.M: B Bf A Af B Bi A Ai

m

V

m

V

m

V

m

V

)

1

2 (

)

2 (

18 .

11 V

_f a)

V

f

7 .

45 m

_s

b) Pérdida de Energía i f

E

2 2

2

1

2

1

A A

V

m

MV

E

2 2

)

18 .

11 )(

2 (

2

1 )

45 .

7 )(

1

2 (

2

1 E

99 .

124

25 .

83 E

Pérdida de Energía

41 .

74 J

(21)

Cinética de Leyes de Newton de un Cuerpo Rígido

16.80. Una barra AB, inicialmente en reposo, de 3m de longitud y un peso de 445N se muestra inmediatamente después de haberse soltado. Calcular la fuerza de tracción en los cables EA y DB en ese instante.

Solución Torque en el CIR:

I

)

12

1 (

)

4

3

3 (

445 ml

2

mb

2

(22)

Donde:

4 .

5 )

3

3 (

15

2 2

b

)

4 .

5

12

3 (

445 )

4

3

3 (

445

2 2 2

426 .

0 s

rad

Torque en A: A A

I

)

426 .

0 (

3 )

81 .

9

445 (

3

1 )

3 (

)

4

3

3 (

445 T

₂ 2

01 .

246

2

T

N

Torque en B: B B

I

)

426 .

0 (

3 )

81 .

9

445 (

3

1 )

2 º

30 cos

3 (

445 )

º

30 cos

3 (

2 1

T

81 .

201

1

T

N

16.81. La barrara AB se suelta en la configuración que se muestra. ¿Cuáles serán las fuerzas de soporte en ese instante si despreciamos el rozamiento? La barra pesa 900N y tiene 6m de longitud.

(23)

Solución

Mediante ley de senos:

Luego, haciendo torque en C.I.R

I

)

12

1 (

)

º

45 cos

3923

.

4 º

15 cos

3 (

900 ml

2

md

2 Reemplazando valores:

N

W

900

(24)

)

8879

.

3

12

6 (

81 .

9

900 )

208 .

0 (

900

2 2

113 .

0 s

rad

Torque respecto a B: B B

I

2

6 )

81 .

9

900 (

3

1 )

º

30 cos

6 (

)

º

15 cos

3 (

900 F

_A

038 .

209

A

F

N

Torque respecto a A: A A

I

2

6 )

81 .

9

900 (

3

1 )

º

15 cos

3 (

900 )

º

45 (cos

6 F

_B

2 .

874

B

F

N

(25)

Cinética de Trabajo y Energía de un Cuerpo Rígido

17.5. Considerar que la biela AB es una barra delgada de 1kg de masa, y calcular la energía cinética para los datos que se dan.

Solución

s

rad

s

rad

50

60 min

1 .

min

3000

Hallando VB:

V

B

50

0 .

075

3 .

75 m

_s

(26)

)

4308

.

0 (

B

V

)

4308

.

0 (

75 .

3 s

rad

705 .

8 r

V

_A

s

m

V

_A

8 .

705

0 .

438

3 .

81

Luego por cinética:

A CG B CG

V



)

ˆ

º

30

075 .

0 ˆ

º

30 cos

075 .

0 (

ˆ

50 k

i

sen

j

V



_CG

)

ˆ

)

º

22 .

73 (

ˆ

)

º

22 .

73 cos(

)(

2

225 .

0 (

ˆ

705 .

8 k

i

sen

j

i

V



_CG

0 .

937 ˆ

3 .

53 ˆ

s

m

V

_CG

3 .

65

EC (Energía Cinética de la barra)

2 2

2

1

2

1 I

mV

E

AB C 2 2 2

)

705 .

8 ).(

225 .

0 )(

1 (

12

1 (

2

1 )

65 .

3 )(

1 (

2

1

AB C

E

J

E

AB C

6 .

82

(27)

17.6. Dos bielas idénticas CB y AB están articulada entre si en el punto B. La biela B

esta articulada con el bloque D que pesa 225N. Cada biela tiene 600mm de longitud y pesa 45N. La biela BA gira en sentido opuesto al de las agujas del reloj con una velocidad angular constante w de 3rad/s. Calcular la energía cinética del sistema cando BA este orientada (a) formando un anulo de 60º con la vertical y (b) formando un ángulo de 90º con la vertical (esta ultima posición se muestra en el diagrama con línea discontinua). Solución Datos:

s

rad

u

c

N

W

Barras D

3 )

(

45

225 s

m

V

AB CG

3 .

0 (

0 .

3 )

0 .

9 s

rad

BC

3 )

ˆ

cos

6 .

0 ˆ

6 .

0 (

ˆ

3 k

sen

i

j

V

BC CG



)

ˆ

cos

3 .

0 ˆ

3 .

0 (

ˆ

3 k

sen

i

j

sen

i

V

BC CG

2 .

7 cos

ˆ

0 .

6 ˆ



)

ˆ

cos

6 .

0 (

ˆ

3 )

ˆ

cos

6 .

0 (

ˆ

3 k

j

k

j

V



_C

(28)

i

V

_C

3 .

6 cos

ˆ

a) Para θ =60º

s

m

V

AB CG

0 .

9 s

m

V

BC CG

1 .

56 s

m

V

_C

1 .

8

2 2 2 2 2

2

1

2

1

2

1

2

1

C BC AB BC AB C

mV

I

MV

E

2 2 2 2 2

)

8 .

1 (

81 .

9

225

2

1 )

3 (

)

6 .

0 (

81 .

9

45

12

1 )

56 .

1 (

81 .

9

45

2

1 )

9 .

0 (

81 .

9

45

2

1

º 60 C

E

J

E

_C

45 .

83

º 60 b) Para θ =90º

s

m

V

AB CG

0 .

9 s

m

V

BC CG

0 .

9

0

C

V

2 2 2

)

3 (

)

6 .

0 (

81 .

9

45

12

1 )

9 .

0 (

81 .

9

45

2

1

2

º 90 C

E

J

E

_C

4 .

95

º 90

(29)

Cinética de Cantidad de Movimiento de un Cuerpo Rígido

17.83. Un cilindro escalonado tiene 50kg de masa y un radio de giro de 1.2. Un boque

A de 25kg esta soldado al cilindro. Si en la configuración que se muestra el muelle no presenta deformación y si constante K es de 0.1N/mm. ¿Cuál será la velocidad angular del cilindro después de girar 90º? Suponer que el cilindro rueda sin deslizar.

Solución Datos:

m

N

K

m

k g

m

k g

m

C A

100

2 .

1

50

25 I

C

)

2

1 (

)

3 .

0

5 .

1 )(

(

25 )

(

)

45 .

0 (

F

_R

x

g

m

_C 2

I

_A

m

_A

d

2

(30)

)

8 .

1 (

)

2 .

1

6 .

0 )(

25 (

12

1 )

2 .

1 )(

50 (

2

1 (

)

8 .

1 )(

81 .

9 (

25 )

5 .

1

2 (

100

2 2 2

m

_A 2 2

78 .

2 s

rad

dt

.



)

...(

...

I

c

t

Si t = 0 ; ω =0

t

2

1 at

t

V

d

_O 2

)

5 .

1 (

2

1 )

5 .

1 (

2 t

78 .

2 t

s

t

1 .

063 s

rad

96 .

2 )

063 .

1 )(

78 .

2 (

17.83. Un cilindro A de 150N de peso y un radio de giro de 100mm se coloca sobre una cinta transportadora que se esta moviendo con una velocidad constante VB = 10m/s. Hallar la velocidad deleje del cilindro para el instante t = 5s. El coeficiente de rozamiento entre el cilindro y la cinta es de 0.5.