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Números Primos
(según la propuesta del
Dr. Sergio Aschero)
Buenos Aires, 2016
2 PROLOGO
Para Pitágoras la armonía del mundo se reflejaba en la armonía de los números. La ciencia moderna le ha dado la razón en buena parte. El sistema de los números ocupa un lugar muy especial en la percepción humana, y la comprensión del Universo en términos numéricos se considera una de las grandes hazañas del intelecto.
De entre los números enteros, los llamados números primos han ejercido siempre una fascinación misteriosa en los matemáticos por su comportamiento azaroso y su
significación como pilares de la construcción aritmética.
Euclides de Alejandría, famoso por elaborar el primer sistema deductivo bajo la forma de una teoría científica –la geometría expresada en su libro Elementos- fue quien además demostró que existen infinitos números primos.
Los números primos son los números naturales que sólo se pueden dividir exactamente por sí mismos y por la unidad, o sea por el número 1.
Por ejemplo, el 3 se puede dividir de manera exacta solo por 3 y por 1, así que califica como número primo.
Los números compuestos son aquellos números naturales que se pueden dividir exactamente por algún otro número natural, además del 1 y de sí mismos.
Demostrar algo es ofrecer un argumento que nos permita llegar a una afirmación a partir de otras con rigor deductivo.
Podemos pensar en brindar un razonamiento que permita, a partir de ciertas premisas verdaderas, llegar a una conclusión verdadera: precisamente aquello que se desea demostrar.
Esto es característico de lo que se denomina demostración directa, por ejemplo, el argumento "todos los hombres son mortales" y "Sócrates es hombre", por lo tanto "Sócrates es mortal" garantiza que si las primeras afirmaciones (premisas) son verdaderas, también será verdadera la conclusión con toda certeza.
Pero existe una manera diferente de demostrar una cierta afirmación, que es la demostración por el absurdo. Consiste en partir de la hipótesis de que lo que
queremos demostrar es verdadero, no como premisa del razonamiento sino como un supuesto, una conjetura. Se supone que si lo que queremos demostrar es verdadero (que existen infinitos números primos en el caso de Euclides), entonces si planteamos un argumento o razonamiento que incluya la negación de nuestra conjetura entre sus premisas se arribará a una contradicción.
En el caso de la demostración de la existencia de infinitos números primos por parte de Euclides, si se plantea que "existe un número primo que es el mayor de todos" ello es la negación de que existen infinitos números primos, pues esto último significa que no hay un número primo, cualquiera que sea, que es el mayor de todos los números primos.
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Según Leonhard Euler los matemáticos han intentado en vano desde hace mucho tiempo descubrir alguna secuencia en el orden de los números primos, pero tengo razones para creer que éste es un misterio en el que la mente humana jamás podrá penetrar.
El Doctor Sergio Aschero en este estudio propone 9 miradas diferentes sobre el tema para intentar solucionar el enigma (o por lo menos aclararlo), aportando su
razonamiento ante este fenómeno aritmético tan apasionante y enigmático.
Son sus capítulos:
1. Números Primos y Compuestos a través de una geometría diferenciada 2. Números Primos: la fórmula ternaria
3. El Reloj de 18 horas de los Números Primos 4. Números Primos: las fórmulas aritméticas
5. Simetría de los Números Compuestos y Asimetría de los Números Primos 6. La Concatenación de los Números Compuestos
7. De la Criba de Eratóstenes a la Criba de Aschero
8. La Matriz de los Números Primos
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1. Números Primos y Compuestos a través de una geometría diferenciada
A través de la suma de números impares correlativos, se puede descubrir si un número es compuesto.
Para hacerlo sólo hay que sumar una sección consecutiva de números impares tratando de igualar la cifra del número inicial que no debe ser sumada.
Si el resultado es coincidente, el número es compuesto.
No se pueden sumar números no consecutivos y el mínimo de cifras a sumar son tres. Los números primos, en cambio, no se consiguen por la suma de números impares, es necesario integrar también a los números pares que en este modelo se deben repetir dos veces.
1 + 3 + 5 = 9 (compuesto)
1 + 2 + 2 = 5 (primo)
Evidentemente los números compuestos también pueden resolverse por la suma de un número impar y dos impares repetidos, pero se descartan debido a que son los únicos que se pueden construir también mediante la suma de impares sucesivos, tal como se ha indicado.
1 + 4 + 4 = 9 (compuesto) = 1 + 3 + 5 = 9
Con estas combinaciones se pueden construir polígonos regulares e irregulares. Se considera que un polígono regular es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos rectilíneos. Un polígono regular es aquél cuyos lados y ángulos interiores son todos iguales. Por ejemplo el triángulo equilátero.
En cambio un polígono irregular es una figura plana que no tiene los lados iguales. Por ejemplo un triángulo isósceles.
Lo que tienen de común estos dos ejemplos numerales es que con ambos podemos construir dos triángulos: uno equilátero para los números compuestos y otro isósceles para los números primos.
Todos los números compuestos tienen un centro divisible (número rojo) a partir del cual se genera un modelo simétrico que siempre es impar:
A + B + C A + B + C + D + E…
Además siempre el número de cifras (1, 3, 5 = 3 cifras) multiplicado por el centro es igual al número inicial: (3 x 3 = 9).
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En la geometría de los números compuestos (figuras equiláteras de lados impares), el resultado puede establecerse mediante la suma de sus números consecutivos siempre impares que se desplazan. En ese proceso, paso a paso, va aumentando su tamaño. También es importante destacar que cada número al cuadrado genera un nuevo polígono regular.
1 + 3 + 5 = 9 (32) (el triángulo regular más pequeño) 3 + 5 + 7 = 15
5 + 7 + 9 = 21 7 + 9 + 11 = 27 9 + 11 + 13 = 33…
Sin embargo con figuras geométricas pares (en este caso el cuadrado), esto no ocurre y el resultado de la suma siempre es un número par, que por supuesto queda
descartado. 1 + 3 + 5 + 7 = 16 3 + 5 + 7 + 9 = 24 5 + 7 + 9 + 11 = 32 7 + 9 + 11 + 13 = 40 9 + 11 + 13 + 15 = 48…
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1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 (52) (el pentágono regular más pequeño) 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35
5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 45 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 55 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 65…
Y también con el heptágono, el eneágono, el endecágono y todas las demás figuras geométricas de las mismas características:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 (72) (el heptágono regular más pequeño) 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 63
5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 77 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 91 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 105…
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 (92) (el eneágono regular más pequeño) 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 99
5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 117 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 135 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 153…
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 121 (112) (el endecágono regular más pequeño)
3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 143 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 165 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 = 187 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 209…
A diferencia de los números compuestos que necesitan variar las figuras geométricas regulares aumentando su número de lados (triángulo, pentágono, heptágono, etc.), con el triángulo isósceles de los números primos no es necesario hacerlo. Sólo va aumentando el tamaño de la misma figura (el número de la base (1) nunca cambia). El
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procedimiento para encontrar el número par o impar que se duplica, es dividir el número de la serie por dos, multiplicando a continuación el decimal por dos (0,5) y transformándolo siempre en 1.
Geometría de los primeros 1000 números impares 1 = (1)
3 = (3)
5 = (1 + 2 + 2) (5/2 = 2,5) (0,5 x 2 = 1) (2 2) (1 2 2) (se cuentan todos los números) (triángulo irregular) 7 = (1 + 3 + 3) (7/2 = 3,5) (0,5 x 2 = 1) (3 3) (1 3 3) (triángulo irregular) 9 = (1 + 3 + 5 = 9) (32) (triángulo regular) (3 3 3) 11 = (1 + 5 + 5) (triángulo irregular) 13 = (1 + 6 + 6) (triángulo irregular) 15 = (3 + 5 + 7 = 15) (triángulo regular) 17 = (1 + 8 + 8) (triángulo irregular) 19 = (1 + 9 + 9) (triángulo irregular) 21 = (5 + 7 + 9 = 21) (triángulo regular) 23 = (1 + 11 + 11) (triángulo irregular) 25 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25) (52) (pentágono regular) (5 5 5 5 5)… 27 = (7 + 9 + 11 = 27) (triángulo regular) 29 = (1 + 14 + 14) (triángulo irregular) 31 = (1 + 15 + 15) (triángulo irregular) 33 = (9 + 11 + 13 = 33) (triángulo regular) 35 = (3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35) (pentágono regular) 37 = (1 + 18 + 18) (triángulo irregular) 39 = (11 + 13 + 15 = 39) (triángulo regular) 41 = (1 + 20 + 20) (triángulo irregular) 43 = (1 + 21 + 21) (triángulo irregular) 45 = (5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 45) (pentágono regular) 47 = (1 + 23 + 23) (triángulo irregular)
8 49 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49) (72) (heptágono regular) 51 = (15 + 17 + 19 = 51) triángulo regular) 53 = (1 + 26 + 26) (triángulo irregular) 55 = (7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 55) (pentágono regular) 57 = (17 + 19 + 21 = 57) (triángulo regular) 59 = (1 + 29 + 29) (triángulo irregular) 61 = (1 + 30 + 30) (triángulo irregular) 63 = (19 + 21 + 23 = 63) (triángulo regular) 65 = (9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 65) (pentágono regular) 67 = (1 + 33 + 33) (triángulo irregular) 69 = (21 + 23 + 25 = 69) (triángulo regular) 71 = (1 + 35 + 35) (triángulo irregular) 73 = (1 + 36 + 36) (triángulo irregular) 75 = (23 + 25 + 27 = 75) (triángulo regular) 77 = (5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 77) (heptágono regular) 79 = (1 + 39 + 39) (triángulo irregular) 81 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81) (92)(eneágono regular) 83 = (1 + 41 + 41) (triángulo irregular) 85 = (13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 85) (pentágono regular) 87 = (27 + 29 + 31= 87) (triángulo regular) 89 = (1 + 44 + 44) (triángulo irregular) 91 = (7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 91) (heptágono regular) 93 = (29 + 31 + 33 = 93) (triángulo regular) 95 = (15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 95) (pentágono regular) 97 = (1 + 48 + 48) (triángulo irregular) 99 = (31 + 33 + 35 = 99) (triángulo regular) 101 = (1 + 50 + 50) (triángulo irregular) 103 = (1 + 51 + 51) (triángulo irregular)
9 105 = (17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 105) (pentágono regular) 107 = (1 + 53 + 53) (triángulo irregular) 109 = (1 + 54 + 54) (triángulo irregular) 111 = (35 + 37 + 39 = 111) (triángulo regular) 113 = (1 + 56 + 56) (triángulo irregular) 115 = (19 + 21 + 23 + 25 + 27 = 115) (pentágono regular) 117 = (37 + 39 + 41 = 117) (triángulo regular) 119 = (11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 119) (heptágono regular) 121 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 121) (112) (endecágono regular) 123 = (39 + 41 + 43 = 123) (triángulo regular) 125 = (21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125) (pentágono regular) 127 = (1 + 63 + 63) (triángulo irregular) 129 = (41 + 43 + 45 = 129) (triángulo regular) 131 = (1 + 65 + 65) (triángulo irregular) 133 = (13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 133) (heptágono regular) 135 = (23 + 25 + 27 + 29 + 31 = 135) (pentágono regular) 137 = (1 + 68 + 68) (triángulo irregular) 139 = (1 + 69 + 69) (triángulo irregular) 141 = (45 + 47 + 49 = 141) (triángulo regular) 143 = (3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 143) (endecágono regular) 145 = (25 + 27 + 29 + 31 + 33 = 145) (pentágono regular) 147 = (47 + 49 + 51 = 147) (triángulo regular) 149 = (1 + 74 + 74) (triángulo irregular) 151 = (1 + 75 + 75) (triángulo irregular) 153 = (49 + 51 + 53 = 153) (triángulo regular) 155 = (27 + 29 + 31 + 33 + 35 = 155) (pentágono regular) 157 = (1 + 78 + 78) (triángulo irregular)
10 159 = (51 + 53 + 55 = 159) ) (triángulo regular) 161 = (17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 161) (heptágono regular) 163 = (1 + 81 + 81) (triángulo irregular) 165 = (29 + 31 + 33 + 35 + 37 = 165) (pentágono regular) 167 = (1 + 83 + 83) (triángulo irregular) 169 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 169) (132) (tridecágono regular) 171 = (55 + 57 + 59 = 171) (triángulo regular) 173 = (1 + 86 + 86) (triángulo irregular) 175 = (31 + 33 + 35 + 37 + 39 = 175) (pentágono regular) 177 = (57 + 59 + 61 = 177) (triángulo regular) 179 = (1 + 89 + 89) (triángulo irregular) 181 = (1 + 90 + 90) (triángulo irregular) 183 = (59 + 61 + 63 = 183) (triángulo regular) 185 = (33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 185) (pentágono regular) 187 = (7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 = 187) (endecágono regular) 189 = (61 + 63 + 65 = 189) (triángulo regular) 191 = (1 + 95 + 95) (triángulo irregular) 193 = (1 + 96 + 96) (triángulo irregular) 195 = (35 + 37 + 39 + 41 + 43 = 195) (pentágono regular) 197 = (1 + 98 + 98) (triángulo irregular) 199 = (1 + 99 + 99) (triángulo irregular) 201 = (65 + 67 + 69 = 201) (triángulo regular) 203 = (23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 = 203) (heptágono regular) 205 = (37 + 39 + 41 + 43 + 45 = 205) (pentágono regular) 207 = (67 + 69 + 71 = 207) (triángulo regular) 209 = (9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 209) (endecágono regular)
11 211 = (1 + 105 + 105) (triángulo irregular) 213 = (69 + 71 + 73 = 213) (triángulo regular) 215 = (39 + 41 + 43 + 45 + 47 = 215) (pentágono regular) 217 = (25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 = 217) (heptágono regular) 219 = (71 + 73 + 75 = 219) (triángulo regular) 221 = (5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 221) (tridecágono regular) 223 = (1 + 111 + 111) (triángulo irregular) 225 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 225) (152) (pentadecágono regular) 227 = (1 + 113 + 113) (triángulo irregular) 229 = (1 + 114 + 114) (triángulo irregular) 231 = (75 + 77 + 79 = 231) (triángulo regular) 233 = (1 + 116 + 116) (triángulo irregular) 235 = (43 + 45 + 47 + 49 + 51 = 235) (pentágono regular) 237 = (77 + 79 + 81 = 237) (triángulo regular) 239 = (1 + 119 + 119) (triángulo irregular) 241 = (1 + 120 + 120) (triángulo irregular) 243 = (79 + 81 + 83 = 243) (triángulo regular) 245 = (45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 245) (pentágono regular) 247 = (7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 = 247) (tridecágono regular) 249 = (81 + 83 + 85 = 249) (triángulo regular) 251 = (1 + 125 + 125) (triángulo irregular) 253 = (13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 = 253) (endecágono regular) 255 = (47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 255) (pentágono regular) 257 = (1 + 128 + 128) (triángulo irregular) 259 = (31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 = 259) (heptágono regular) 261 = (85 + 87 + 89 = 261) (triángulo regular)
12 263 = (1 + 131 + 131) (triángulo irregular) 265 = (49 + 51 + 53 + 55 + 57 = 265) (pentágono regular) 267 = (87 + 89 + 91 = 267) (triángulo regular) 269 = (1 + 134 + 134) (triángulo irregular) 271 = (1 + 135 + 135) (triángulo irregular) 273 = (89 + 91 + 93 = 273) (triángulo regular) 275 = (51 + 53 + 55 + 57 + 59 = 275) (pentágono regular) 277 = (1 + 138 + 138) (triángulo irregular) 279 = (91 + 93 + 95 = 279) (triángulo regular) 281 = (1 + 140 + 140) (triángulo irregular) 283 = (1 + 141 + 141) (triángulo irregular) 285 = (53 + 55 + 57 + 59 + 61 = 285) (pentágono regular) 287 = (35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 = 287) (heptágono regular) 289 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 = 289) (172) (heptadecágono regular) 291 = (95 + 97 + 99 = 291) (triángulo regular) 293 = (1 + 146 + 146) (triángulo irregular) 295 = (55 + 57 + 59 + 61 + 63 = 295) (pentágono regular) 297 = (97 + 99 + 101 = 297) (triángulo regular) 299 = (11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 = 299) (tridecágono regular) 301 = (37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 = 301) (heptágono regular) 303 = (99 + 101 + 103 = 303) (triángulo regular) 305 = (57 + 59 + 61 + 63 + 65 = 305) (pentágono regular) 307 = (1 + 153 + 153) (triángulo irregular) 309 = (101 + 103 + 105 = 309) (triángulo regular) 311 = (1 + 155 + 155) (triángulo irregular) 313 = (1 + 156 + 156) (triángulo irregular)
13 315 = (59 + 61 + 63 + 65 + 67 = 315) (pentágono regular) 317 = (1 + 158 + 158) (triángulo irregular) 319 = (19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 = 319) (endecágono regular) 321 = (105 + 107 + 109 = 321) (triángulo regular) 323 = (3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 = 323) (heptadecágono regular) 325 = (61 + 63 + 65 + 67 + 69 = 325) (pentágono regular) 327 = (107 + 109 + 111 = 327) (triángulo regular) 329 = (41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 329) (heptágono regular) 331 = (1 + 165 + 165) (triángulo irregular) 333 = (109 + 111 + 113 = 333) (triángulo regular) 335 = (63 + 65 + 67 + 69 + 71 = 335) (pentágono regular) 337 = (1 + 168 + 168) (triángulo irregular) 339 = (111 + 113 + 115 = 339) (triángulo regular) 341 = (21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 341) (endecágono regular) 343 = (43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 343) (heptágono regular) 345 = (65 + 67 + 69 + 71 + 73 = 345) (pentágono regular) 347 = (1 + 173 + 173) (triángulo irregular) 349 = (1 + 174 + 174) (triángulo irregular) 351 = (115 + 117 + 119 = 351) (triángulo regular) 353 = (1 + 176 + 176) (triángulo irregular) 355 = (67 + 69 + 71 + 73 + 75 = 355) (pentágono regular) 357 = (117 + 119 + 121 = 357) (triángulo regular) 359 = (1 + 179 + 179) (triángulo irregular) 361 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 = 361) (192)(eneadecágono regular)
14 363 = (119 + 121 + 123 = 363) (triángulo regular) 365 = (69 + 71 + 73 + 75 + 77 = 365) (pentágono regular) 367 = (1 + 183 + 183) (triángulo irregular) 369 = (121 + 123 + 125 = 369) (triángulo regular) 371 = (47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 = 371) (heptágono regular) 373 = (1 + 186 + 186) (triángulo irregular) 375 = (71 + 73 + 75 + 77 + 79 = 375) (pentágono regular) 377 = (17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 377) (tridecágono regular) 379 = (1 + 189 + 189) (triángulo irregular) 381 = (125 + 127 + 129 = 381 (triángulo regular) 383 = (1 + 191 + 191) (triángulo irregular) 385 = (73 + 75 + 77 + 79 + 81 = 385) (pentágono regular) 387 = (127 + 129 + 131 = 387) (triángulo regular) 389 = (1 + 194 + 194) (triángulo irregular) 391 = (7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 = 391) (heptadecágono regular) 393 = (129 + 131 + 133 = 393) (triángulo regular) 395 = (75 + 77 + 79 + 81 + 83 = 395) (pentágono regular) 397 = (1 + 198 + 198) (triángulo irregular) 399 = (131 + 133 + 135 = 399) (triángulo regular) 401 = (1 + 200 + 200) (triángulo irregular) 403 = (19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 = 403) (tridecágono regular) 405 = (77 + 79 + 81 + 83 + 85 = 405) (pentágono regular) 407 = (27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 = 407) (endecágono regular) 409 = (1 + 204 + 204) (triángulo irregular) 411 = (135 + 137 + 139 = 411) (triángulo regular)
15 413 = (53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 = 413) (heptágono regular) 415 = (79 + 81 + 83 + 85 + 87 = 415) (pentágono regular) 417 = (137 + 139 + 141 = 417) (triángulo regular) 419 = (1 + 209 + 209) (triángulo irregular) 421 = (1 + 210 + 210) (triángulo irregular) 423 = (139 + 141 + 143 = 423) (triángulo regular) 425 = (81 + 83 + 85 + 87 + 89 = 425) (pentágono regular) 427 = (55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 = 427) (heptágono regular) 429 = (141 + 143 + 145 = 429) (triángulo regular) 431 = (1 + 215 + 215) (triángulo irregular) 433 = (1 + 216 + 216) (triángulo irregular) 435 = (83 + 85 + 87 + 89 + 91 = 435) (pentágono regular) 437 = (5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 437) (eneadecágono regular) 439 = (1 + 219 + 219) (triángulo irregular) 441 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 441) (212)(icosakaihenágono regular) 443 = (1 + 221 + 221) (triángulo irregular) 445 = (85 + 87 + 89 + 91 + 93 = 445) (pentágono regular) 447 = (147 + 149 + 151 = 447) (triángulo regular) 449 = (1 + 224 + 224) (triángulo irregular) 451 = (31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 = 451) (endecágono regular) 453 = (149 + 151 + 153 = 453) (triángulo regular) 455 = (87 + 89 + 91 + 93+ 95 = 455) (pentágono regular) 457 = (1 + 228 + 228) (triángulo irregular) 459 = (151 + 153 + 155 = 459) (triángulo regular) 461 = (1 + 230 + 230) (triángulo irregular) 463 = (1 + 231 + 231) (triángulo irregular)
16 465 = (89 + 91 + 93 + 95 + 97 = 465) (pentágono regular) 467 = (1 + 233 + 233) (triángulo irregular) 469 = (61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 = 469) (heptágono regular) 471 = (155 + 157 + 159 = 471) (triángulo regular) 473 = (33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 473) (endecágono regular) 475 = (91 + 93 + 95 + 97 + 99 = 475) (pentágono regular) 477 = (157 + 159 + 161 = 477) (triángulo regular) 479 = (1 + 239 + 239) (triángulo irregular) 481 = (25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 = 481) (tridecágono regular) 483 = (159 + 161 + 163 = 483) (triángulo regular) 485 = (93 + 95 + 97 + 99 + 101 = 485) (pentágono regular) 487 = (1 + 243 + 243) (triángulo irregular) 489 = (161 + 163 + 165 = 489) (triángulo regular) 491 = (1 + 245 + 245) (triángulo irregular) 493 = (13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 = 493) (heptadecágono regular) 495 = (95 + 97 + 99 + 101 + 103 = 495) (pentágono regular) 497 = (65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75 + 77 = 497) (heptágono regular) 499 = (1 + 249 + 249) (triángulo irregular) 501 = (165 + 167 + 169 = 501) (triángulo regular) 503 = (1 + 251 + 251) (triángulo irregular) 505 = (97 + 99 + 101 + 103 + 105 = 505) (pentágono regular) 507 = (167 + 169 + 171 = 507) (triángulo regular) 509 = (1 + 254 + 254) (triángulo irregular) 511 = (67 + 69 + 71 + 73 + 75 + 77 + 79 = 513) (heptágono regular) 513 = (169 + 171 + 173 = 513) (triángulo regular) 515 = (99 + 101 + 103 + 105 + 107 = 515) (pentágono regular)
17 517 = (37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 = 517) (endecágono regular) 519 = (171 + 173 + 175 = 519) (triángulo regular) 521 = (1 + 260 + 260) (triángulo irregular) 523 = (1 + 261 + 261) (triángulo irregular) 525 = (101 + 103 + 105 + 107 + 109 = 525) (pentágono regular) 527 = (15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 = 527) (heptadecágono regular) 529 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 = 529) (232) (icosakaitrígono regular) 531 = (175 + 177 + 179 = 531) (triángulo regular) 533 = (29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 533) (tridecágono regular) 535 = (103 + 105 + 107 + 109 + 111 = 535) (pentágono regular) 537 = (177 + 179 + 181 = 537) (triángulo regular) 539 = (71 + 73 + 75 + 77 + 79 + 81 + 83 = 539) (heptágono regular) 541 = (1 + 270 + 270) (triángulo irregular) 543 = (179 + 181 + 183 = 543) (triángulo regular) 545 = (105 + 107 + 109 + 111 + 113 = 545) (pentágono regular) 547 = (1 + 273 + 273) (triángulo irregular) 549 = (181 + 183 + 185 = 549) (triángulo regular) 551 = (11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 = 551) (eneadecágono regular) 553 = (73 + 75 + 77 + 79 + 81 + 83 + 85 = 553) (heptágono regular) 555 = (107 + 109 + 111 + 113 + 115 = 555) (pentágono regular) 557 = (1 + 278 + 278) (triángulo irregular) 559 = (31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 559) (tridecágono regular) 561 = (185 + 187 + 189 = 561) (triángulo regular)
18 563 = (1 + 281 + 281) (triángulo irregular) 565 = (109 + 111 + 113 + 115 + 117 = 565) (pentágono regular) 567 = (187 + 189 + 191 = 567) (triángulo regular) 569 = (1 + 284 + 284) (triángulo irregular) 571 = (1 + 285 + 285) (triángulo irregular) 573 = (189 + 191 + 193 = 573) (triángulo regular) 575 = (111 + 113 + 115 + 117 + 119 = 575) (pentágono regular) 577 = (1 + 288 + 288) (triángulo irregular) 579 = (191 + 193 + 195 = 579) (triángulo regular) 581 = (77 + 79 + 81 + 83 + 85 + 87 + 89 = 581) (heptágono regular) 583 = (43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 = 583) (endecágono regular) 585 = (113 + 115 + 117 + 119 + 121 = 585) (pentágono regular) 587 = (1 + 293 + 293) (triángulo irregular) 589 = (13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 = 589) (eneadecágono regular) 591 = (195 + 197 + 199 = 591) (triángulo regular) 593 = (1 + 296 + 296) (triángulo irregular) 595 = (115 + 117 + 119 + 121 + 123 = 595) (pentágono regular) 597 = (197 + 199 + 201 = 597) (triángulo regular) 599 = (1 + 299 + 299) (triángulo irregular) 601 = (1 + 300 + 300) (triángulo irregular) 603 = (199 + 201 + 203 = 603) (triángulo regular) 605 = (117 + 119 + 121 + 123 + 125 = 605) (pentágono regular) 607 = (1 + 303 + 303) (triángulo irregular) 609 = (201 + 203 + 205 = 609) (triángulo regular) 611 = (35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 = 611) (tridecágono regular)
19 613 = (1 + 306 + 306) (triángulo irregular) 615 = (119 + 121 + 123 + 125 + 127 = 615) (pentágono regular) 617 = (1 + 308 + 308) (triángulo irregular) 619 = (1 + 309 + 309) (triángulo irregular) 621 = (205 + 207 + 209 = 621) (triángulo regular) 623 = (83 + 85 + 87 + 89 + 91 + 93 + 95 = 623) (heptágono regular) 625 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 = 625) (252) (icosakaipentágono regular) 627 = (207 + 209 + 211 = 627) (triángulo regular) 629 = (21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 629) (heptadecágono regular) 631 = (1 + 315 + 315) (triángulo irregular) 633 = (209 + 211 + 213 = 633) (triángulo regular) 635 = (123 + 125 + 127 + 129 + 131 = 635) (pentágono regular) 637 = (85 + 87 + 89 + 91 + 93 + 95 + 97 = 637) (heptágono regular) 639 = (211 + 213 + 215 = 639) (triángulo regular) 641 = (1 + 320 + 320) (triángulo irregular) 643 = (1 + 321 + 321) (triángulo irregular) 645 = (125 + 127 + 129 + 131 + 133 = 645) (pentágono regular) 647 = (1 + 323 + 323) (triángulo irregular) 649 = (49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 = 649) (endecágono regular) 651 = (215 + 217 + 219 = 651) (triángulo regular) 653 = (1 + 326 + 326) (triángulo irregular) 655 = (127 + 129 + 131 + 133 + 135 = 655) (pentágono regular) 657 = (217 + 219 + 221 = 657) (triángulo regular) 659 = (1 + 329 + 329) (triángulo irregular) 661 = (1 + 330 + 330) (triángulo irregular)
20 663 = (219 + 221 + 223 = 663) (triángulo regular) 665 = (129 + 131 + 133 + 135 + 137 = 665) (pentágono regular) 667 = (7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 = 667) (icosakaitrígono regular) 669 = (221 + 223 + 225 = 669) (triángulo regular) 671 = (51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 = 671) (endecágono regular) 673 = (1 + 336 + 336) (triángulo irregular) 675 = (131 + 133 + 135 + 137 + 139 = 675) (pentágono regular) 677 = (1 + 338 + 338) (triángulo irregular) 679 = (91 + 93 + 95 + 97 + 99 + 101 + 103 = 679) (heptágono regular) 681 = (225 + 227 + 229 = 681) (triángulo regular) 683 = (1 + 341 + 341) (triángulo irregular) 685 = (133 + 135 + 137 + 139 + 141 = 685) (pentágono regular) 687 = (227 + 229 + 231 = 687) (triángulo regular) 689 = (41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 = 689) (tridecágono regular) 691 = (1 + 345 + 345) (triángulo irregular) 693 = (229 + 231 + 233 = 693) (triángulo regular) 695 = (135 + 137 + 139 + 141 + 143 = 695) (pentágono regular) 697 = (25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 = 697) (heptadecágono regular) 699 = (231 + 233 + 235 = 699) (triángulo regular) 701 = (1 + 350 + 350) (triángulo irregular) 703 = (19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 703) (eneadecágono regular) 705 = (137 + 139 + 141 + 143 + 145 = 705) (pentágono regular) 707 = (95 + 97 + 99 + 101 + 103 + 105 + 107 = 707) (heptágono regular) 709 = (1 + 354 + 354) (triángulo irregular)
21 711 = (235 + 237 + 239 = 711) (triángulo regular) 713 = (9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 713) (icosakaitrígono regular) 715 = (139 + 141 + 143 + 145 + 147 = 715) (pentágono regular) 717 = (237 + 239 + 241 = 717) (triángulo regular) 719 = (1 + 359 + 359) (triángulo irregular) 721 = (97 + 99 + 101 + 103 + 105 + 107 + 109 = 721) (heptágono regular) 723 = (239 + 241 + 243 = 723) (triángulo regular) 725 = (141 + 143 + 145 + 147 + 149 = 725) (pentágono regular) 727 = (1 + 363 + 363) (triángulo irregular) 729 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 729) (272) (icosakaiheptágono regular) 731 = (27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 = 731) (heptadecágono regular) 733 = (1 + 366 + 366) (triángulo irregular) 735 = (143 + 145 + 147 + 149 + 151 = 735) (pentágono regular) 737 = (57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75 + 77 = 737) (endecágono regular) 739 = (1 + 369 + 369) (triángulo irregular) 741 = (245 + 247 + 251 = 741) (triángulo regular) 743 = (1 + 371 + 371) (triángulo irregular) 745 = (145 + 147 + 149 + 151 + 153 = 745) (pentágono regular) 747 = (247 + 249 + 251 = 747) (triángulo regular) 749 = (101 + 103 + 105 + 107 + 109 + 111 + 113 = 749) (heptágono regular) 751 = (1 + 375 + 375) (triángulo irregular) 753 = (249 + 251 + 253 = 753) (triángulo regular) 755 = (147 + 149 + 151 + 153 + 155 = 755) (pentágono regular)
22 757 = (1 + 378 + 378) (triángulo irregular) 759 = (251 + 253 + 255 = 759) (triángulo regular) 761 = (1 + 380 + 380) (triángulo irregular) 763 = (103 + 105 + 107 + 109 + 111 + 113 + 115 = 763) (heptágono regular) 765 = (149 + 151 + 153 + 155 + 157 = 765) (pentágono regular) 767 = (47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 = 767) (tridecágono regular) 769 = (1 + 384 + 384) (triángulo irregular) 771 = (255 + 257 + 259 = 771) (triángulo regular) 773 = (1 + 386 + 386) (triángulo irregular) 775 = (151 + 153 + 155 + 157 + 159 = 775) (pentágono regular) 777 = (257 + 259 + 261 = 777) (triángulo regular) 779 = (23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 = 779) (eneadecágono regular) 781 = (61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75 + 77 + 79 + 81 = 781) (endecágono regular) 783 = (259 + 261 + 263 = 783) (triángulo regular) 785 = (153 + 155 + 157 + 159 + 161 = 785) (pentágono regular) 787 = (1 + 393 + 393) (triángulo irregular) 789 = (261 + 263 + 265 = 789) (triángulo regular) 791 = (107 + 109 + 111 + 113 + 115 + 117 + 119 = 791) (heptágono regular) 793 = (49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 = 793) (tridecágono regular) 795 = (155 + 157 + 159 + 161 + 163 = 795) (pentágono regular) 797 = (1 + 398 + 398) (triángulo irregular) 799 = (31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 61 + 63 + 65 = 799) (heptadecágono regular) 801 = (265 + 267 + 269 = 801) (triángulo regular) 803 = (63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75 + 77 + 79 + 81 + 83 = 803) (endecágono regular)
23 805 = (157 + 159 + 161 + 163 + 165 = 805) (pentágono regular) 807 = (267 + 269 + 271 = 807) (triángulo regular) 809 = (1 + 404 + 404) (triángulo irregular) 811 = (1 + 405 + 405) (triángulo irregular) 813 = (269 + 271 + 273 = 813) (triángulo regular) 815 = (159 + 161 + 163 + 165 + 167 = 815) (pentágono regular) 817 = (25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 = 817) (eneadecágono regular) 819 = (271 + 273 + 275 = 819) (triángulo regular) 821 = (1 + 410 + 410) (triángulo irregular) 823 = (1 + 411 + 411) (triángulo irregular) 825 = (161 + 163 + 165 + 167 + 169 = 825) (pentágono regular) 827 = (1 + 413 + 413) (triángulo irregular) 829 = (1 + 414 + 414) (triángulo irregular) 831 = (275 + 277 + 279 = 831) (triángulo regular) 833 = (113 + 115 + 117 + 119 + 121 + 123 + 125 = 833) (heptágono regular) 835 = (163 + 165 + 167 + 169 + 171 = 835) (pentágono regular) 837 = (277 + 279 + 281 = 837) (triángulo regular) 839 = (1 + 419 + 419) (triángulo irregular) 841 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 = 841) (292) (icosakaieneágono regular) 843 = (279 + 281 + 283 = 843) (triángulo regular) 845 = (165 + 167 + 169 + 171 + 173 = 845) (pentágono regular) 847 = (115 + 117 + 119 + 121 + 123 + 125 + 127 = 847) (heptágono regular) 849 = (281 + 283 + 285 = 849) (triángulo regular) 851 = (15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 +
24 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 = 851) (icosakaitrígono regular) 853 = (1 + 426 + 426) (triángulo irregular) 855 = (167 + 169 + 171 + 173 + 175 = 855) (pentágono regular) 857 = (1 + 428 + 428) (triángulo irregular) 859 = (1 + 429 + 429) (triángulo irregular) 861 = (285 + 287 + 289 = 861) (triángulo regular) 863 = (1 + 431 + 431) (triángulo irregular) 865 = (169 + 171 + 173 + 175 + 177 = 865) (pentágono regular) 867 = (287 + 289 + 291 = 867) (triángulo regular) 869 = (69 + 71 + 73 + 75 + 77 + 79 + 81 + 83 + 85 + 87 + 89 = 869) (endecágono regular) 871 = (55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75 + 77 + 79 = 871) (tridecágono regular) 873 = (289 + 291 + 293 = 873) (triángulo regular) 875 = (171 + 173 + 175 + 177 + 179 = 875) (pentágono regular) 877 = (1 + 438 + 438) (triángulo irregular) 879 = (291 + 293 + 295 = 879) (triángulo regular) 881 = (1 + 440 + 440) (triángulo irregular) 883 = (1 + 441 + 441) (triángulo irregular) 885 = (173 + 175 + 177 + 179 + 181 = 885) (pentágono regular) 887 = (1 + 443 + 443) (triángulo irregular) 889 = (121 + 123 + 125 + 127 + 129 + 131 + 133 = 889) (heptágono regular) 891 = (295 + 297 + 299 = 891) (triángulo regular) 893 = (29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 = 893) (eneadecágono regular) 895 = (175 + 177 + 179 + 181 + 183 = 895) (pentágono regular) 897 = (297 + 299 + 301 = 897) (triángulo regular) 899 = (3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 +
25 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 = 899) (icosakaieneágono regular) 901 = (37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 = 901) (heptadecágono regular) 903 = (299 + 301 + 303 = 903) (triángulo regular) 905 = (177 + 179 + 181 + 183 + 185 = 905) (pentágono regular) 907 = (1 + 453 + 453) (triángulo irregular) 909 = (301 + 303 + 305 = 909) (triángulo regular) 911 = (1 + 455 + 455) (triángulo irregular) 913 = (73 + 75 + 77 + 79 + 81 + 83 + 85 + 87 + 89 + 91 + 93 = 913) (endecágono regular) 915 = (179 + 181 + 183 + 185 + 187 = 915) (pentágono regular) 917 = (125 + 127 + 129 + 131 + 133 + 135 + 137 = 917) (heptágono regular) 919 = (1 + 459 + 459) (triángulo irregular) 921 = (305 + 307 + 309 = 921) (triángulo regular) 923 = (59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75 + 77 + 79 + 81 + 83 = 923) (tridecágono regular) 925 = (181 + 183 + 185 + 187 + 189 = 925) (pentágono regular) 927 = (307 + 309 + 311 = 927) (triángulo regular) 929 = (1 + 464 + 464) (triángulo irregular) 931 = (127 + 129 + 131 + 133 + 135 + 137 + 139 = 931) (heptágono regular) 933 = (309 + 311 + 313 = 933) (triángulo regular) 935 = (183 + 185 + 187 + 189 + 191 = 935) (pentágono regular) 937 = (1 + 468 + 468) (triángulo irregular) 939 = (311 + 313 + 315 = 939) (triángulo regular) 941 = (1 + 470 + 470) (triángulo irregular) 943 = (19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 = 943) (icosakaitrígono regular) 945 = (185 + 187 + 189 + 191 + 193 = 945) (pentágono regular)
26 947 = (1 + 473 + 473) (triángulo irregular) 949 = (61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75 + 77 + 79 + 81 + 83 + 85 = 949) (tridecágono regular) 951 = (315 + 317 + 319 = 951) (triángulo regular) 953 = (1 + 476 + 476) (triángulo irregular) 955 = (187 + 189 + 191 + 193 + 195 = 955) (pentágono regular) 957 = (317 + 319 + 321 = 957) (triángulo regular) 959 = (131 + 133 + 135 + 137 + 139 + 141 + 143 = 959) (heptágono regular) 961 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 = 961) (312) (tricontakaihenágono regular) 963 = (319 + 321 + 323 = 963) (triángulo regular) 965 = (189 + 191 + 193 + 195 + 197 = 965) (pentágono regular) 967 = (1 + 483 + 483) (triángulo irregular) 969 = (321 + 323 + 325 = 969) (triángulo regular) 971 = (1 + 485 + 485) (triángulo irregular) 973 = (133 + 135 + 137 + 139 + 141 + 143 + 145 = 973) (heptágono regular) 975 = (191 + 193 + 195 + 197 + 199 = 975) (pentágono regular) 977 = (1 + 488 + 488) (triángulo irregular) 979 = (79 + 81 + 83 + 85 + 87 + 89 + 91 + 93 + 95 + 97 + 99 = 979) (endecágono regular) 981 = (325 + 327 + 329 = 981) (triángulo regular) 983 = (1 + 491 + 491) (triángulo irregular) 985 = (193 + 195 + 197 + 199 + 201 = 985) (pentágono regular) 987 = (327 + 329 + 331 = 987) (triángulo regular) 989 = (21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 = 989) (icosakaitrígono regular) 991 = (1 + 495 + 495) (triángulo irregular) 993 = (329 + 331 + 333 = 993) (triángulo regular)
27 995 = (195 + 197 + 199 + 201 + 203 = 995) (pentágono regular) 997 = (1 + 498 + 498) (triángulo irregular) 999 = (331 + 333 + 335 = 999) (triángulo regular) NÚMEROS MAYORES 9779 = (1391 + 1393 + 1395 + 1397 + 1399 + 1401 + 1403 = 9779) (heptágono regular) 9781 = (1 + 4890 + 4890) (triángulo irregular) 9783 = (3259 + 3261 + 3263 = 9783) (triángulo regular) 10003 = (1423 + 1425 + 1427 + 1429 + 1431 + 1433 + 1435 = 10003) (heptágono regular) 10005 = (1997 + 1999 + 2001 + 2003 + 2005 = 10005) (pentágono regular) 10007 = (1 + 5003 + 5003) (triángulo irregular) 104727 = (34907 + 34909 + 34911 = 104727) (triángulo regular) 104729 = (1 + 52364 + 52364) (triángulo irregular) 104731 = (9511 + 9513 + 9515 + 9517 + 9519 + 9521 + 9523 + 9525 + 9527 + 9529 + 9531 = 104731) (endecágono regular) 1299707 = (56487 + 56489 + 56491 + 56493 + 56495 + 56497 + 56499 + 56501 + 56503 + 56505 + 56507 + 56509 + 56511 + 56513 + 56515 + 56517 + 56519 + 56521 + 56523 + 56525 + 56527 + 56529 + 56531 = 1299707) (icosakaitrígono regular) 1299709 = (1 + 649854 + 649854) (triángulo irregular) 1299711 = (433235 + 433237 + 433239 = 1299711) (triángulo regular) 15485861 = (910917 + 910919 + 910921 + 910923 + 910925 + 910927 + 910929 + 910931 + 910933 + 910935 + 910937 + 910939 + 910941 + 910943 + 910945 +
28 910947 + 910949 = 15485861) (heptadecágono regular) 15485863 = (1 + 7742931 + 7742931) (triángulo irregular) 15485865 = (3097169 + 3097171 + 3097173 + 3097175 + 3097177 = 15485865) (pentágono regular) 2038074741 = (226452741 + 226452743 + 226452745 + 226452747 + 226452749 + 226452751 + 226452753 + 226452755 + 226452757 = 2038074741) (eneágono regular) 2038074743 = (1 + 1019037371 + 1019037371) (triángulo irregular) 2038074745 = (407614945 + 407614947 + 407614949 + 407614951 + 407614953 = 2038074745) (pentágono regular)
29 2. Números Primos: la fórmula ternaria
Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. También podemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma.
Conviene observar que con cualquiera de las dos definiciones el número 1 queda excluido del conjunto de los números primos.
El término primo deriva del latín "primus" que significa primero (protos en griego). El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero se expresa de forma única como producto de números primos. Por eso se les considera los
"primeros", porque a partir de ellos obtenemos todos los demás números enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5).
Hasta ahora la sucesión de los números primos ha sido poco predecible. Aschero aporta un camino que hace totalmente clara su aparición en un modelo aritmético simple y poderoso. Durante siglos, las mentes más preclaras intentaron poner fin a esta situación pero sin éxito. Leonhard Euler comentó en una ocasión: "Los
matemáticos han intentado en vano hasta la fecha descubrir algún orden en la
sucesión de los números primos, y tenemos razones para creer que es un misterio en el que la mente no podrá penetrar nunca". En una conferencia dada por D. Zagier en 1.975, éste dijo: "Hay dos hechos en torno a la distribución de los números primos que espero crean tan abrumadoramente, que quedarán por siempre grabadas en sus corazones. La primera es que a pesar de su sencilla definición y de su papel como ladrillos que construyen los números naturales, los números primos crecen como la mala hierba alrededor de los números naturales, simulando no obedecer otra ley que la del azar, y nadie puede predecir donde brotará el siguiente. El segundo hecho es incluso más asombroso, porque dice justamente lo opuesto: que los números primos hacen gala de una pasmosa regularidad, que hay leyes que gobiernan su
comportamiento, y que obedecen esas leyes con una precisión casi militar".
Aschero demuestra la veracidad del segundo hecho con el siguiente análisis: al sumar dos números impares sucesivos, iniciando el proceso con el número 1 y continuándolo con número 3, se produce como resultado inicial el número 4, definiéndose de esta manera el principio del modelo que se aplicará en todos los números primos sucesiva y progresivamente en unión con la base ternaria de la multiplicación que la fórmula de Aschero propone. Todos los números primos estarán ubicados rigurosamente en la cifra anterior y posterior del resultado de la multiplicación por tres. También los números compuestos impares responden a este principio multiplicativo impar que en este caso parte de tres y paulatinamente con los cuadrados de 5, 7, 9, 11… se irá ampliando a otros números, dando siempre un resultado exacto, equivalente a la suma sucesiva de los números impares, donde además la cantidad de cifras impares
multiplicada por el número central será idéntica a la suma impar y por consiguiente al número compuesto. Finalmente se establece una diferencia entre los números impares que se multiplican por otros impares para descubrir los compuestos (exceptuando la dualidad operativa en los "vacíos primos") y los pares que se multiplican siempre por tres en el caso de los primos. Y esto es aplicable a todos los números primos y compuestos conocidos y por conocer. Se puede asegurar entonces que los números primos tienen una secuencia regular ternaria que los conecta y ordena.
30 1 = (1) (no primo)
2 = (2) (excepción binaria)
3 = (1 + 3 = 4) (3 x 1) (excepción por la multiplicación por 1 (no primo)
5 = (1 + 3 = 4) (3 x 2 - 1) 7 = (3 + 5 = 8) (3 x 2 + 1) 9 = (1 + 3 + 5 = 9) (32) (3 x 3) 11 = (5 + 7 = 12) (3 x 4 - 1) 13 = (5 + 7 = 12) (3 x 4 + 1) 15 =(3 + 5 + 7 = 15) (3 x 5) 17 = (7 + 9 = 16) (3 x 6 - 1) 19 = (9 + 11 = 20) (3 x 6 + 1) 21 = (5 + 7 + 9 = 21) (3 x 7) 23 = (11 + 13 = 24) (3 x 8 - 1) 25 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25) (52) (5 x 5) 27 = (7 + 9 + 11 = 27) (3 x 9) 29 = (13 + 15 = 28) (3 x 10 - 1) 31 = (15 + 17 = 32) (3 x 10 + 1) 33 = (9 + 11 + 13 = 33) (3 x 11) 35 = (3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35) (5 x 7) 37 = (17 + 19 = 36) (3 x 12 + 1) 39 = (11 + 13 + 15 = 39) (3 x 13) 41 = (19 + 21 = 40) (3 x 14 - 1) 43 = (21 + 23 = 44) (3 x 14 + 1) 45 = (13 + 15 + 17 = 45) (3 x 15) (5 x 9) 47 = (23 + 25 = 48) (3 x 16 - 1) 49 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49) (72) (7 x 7) 51 = (15 + 17 + 19 = 51) (3 x 17) 53 = (25 + 27 = 52) (3 x 18 - 1)
31 55 = (7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 55) (5 x 11) 57 = (17 + 19 + 21 = 57) (3 x 19) 59 = (27 + 29 = 56) (29 + 31 = 60) (3 x 20 - 1) 61 = (29 + 31 = 60) (3 x 20 - 1) 63 = (19 + 21 + 23 = 63) (3 x 21) (7 x 9) 65 = (9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 65) (5 x 13) 67 = (31 + 33 = 64) (33 + 35 = 68) (3 x 22 + 1) 69 = (21 + 23 + 25 = 69) (3 x 23) 71 = (35 + 37 = 72) (3 x 24 - 1) 73 = (35 + 37 = 72) (3 x 24 + 1) 75 = (23 + 25 + 27 = 75) (3 x 25) (5 x 15) 77 = (5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 77) (7 x 11) 79 = (37 + 39 = 76) (39 + 41 = 80) (3 x 26 + 1) 81 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81) (92) (3 x 27) (9 x 9) 83 = (41 + 43 = 84) (3 x 28 - 1) 85 = (13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 85) (5 x 17) 87 = (27 + 29 + 31= 87) (3 x 29) 89 = (43 + 45 = 88) (3 x 30 - 1) 91 = (7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 91) (7 x 13) 93 = (29 + 31 + 33 = 93) (3 x 31) 95 = (15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 95) (5 x 19) 97 = (45 + 47 = 92) (47 + 49 = 96) (3 x 32 + 1) 99 = (31 + 33 + 35 = 99) (3 x 33) (9 x 11) 101 = (49 + 51 = 100) (51 + 53 = 104) (3 x 34 - 1) 103 = (51 + 53 = 104) (3 x 34 + 1) 105 = (17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 105) (3 x 35) (5 x 21) (7 x 15) 107 = (53 + 55 = 108) (3 x 36 - 1) 109 = (53 + 55 = 108) (55 + 57 = 112) (3 x 36 + 1)
32 111 = (35 + 37 + 39 = 111) (3 x 37) 113 = (55 + 57 = 112) (57 + 59 = 116) (3 x 38 - 1) 115 = (19 + 21 + 23 + 25 + 27 = 115) (5 x 23) 117 = (37 + 39 + 41 = 117) (3 x 39) (9 x 13) 119 = (11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 119) (7 x 17) (3 x 40 - 1) 121 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 121) (112) (11 x 11) (3 x 40 + 1) 123 = (39 + 41 + 43 = 123) (3 x 41) 125 = (21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125) (5 x 25) 127 = (59 + 61 = 120) (61 + 63 = 124) (63 + 65 = 128) (3 x 42 - 1) 129 = (41 + 43 + 45 = 129) (3 x 43) 131 = (65 + 67 = 132) (3 x 44 - 1) 133 = (13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 133) (7 x 19) 135 = (23 + 25 + 27 + 29 + 31 = 135) (3 x 45) (5 x 27) (9 x 15) 137 = (67 + 69 = 136) (3 x 46 - 1) 139 = (69 + 71 = 140) (3 x 46 - 1) 141 = (45 + 47 + 49 = 141) (3 x 47) 143 = (3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 143) (11 x 13) (3 x 48 - 1) 145 = (25 + 27 + 29 + 31 + 33 = 145) (5 x 29) (3 x 48 + 1) 147 = (47 + 49 + 51 = 147) (3 x 49) (7 x 21) 149 = (71 + 73 = 144) (73 + 75 = 148) (3 x 50 - 1) 151 = (75 + 77 = 152) (3 x 50 + 1) 153 = (49 + 51 + 53 = 153) (3 x 51) (9 x 17) 155 = (27 + 29 + 31 + 33 + 35 = 155) (5 x 31) 157 = (77 + 79 = 156) (3 x 52 + 1) 159 = (51 + 53 + 55 = 159) (3 x 53) 161 = (17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 161) (7 x 23) 163 = (79 + 81 = 160) (81 + 83 = 164) (3 x 54 + 1)
33 165 = (29 + 31 + 33 + 35 + 37 = 165) (3 x 55) (5 x 33) (11 x 15) 167 = (83 + 85 = 168) (3 x 56 - 1) 169 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 169) (132) (13 x 13) 171 = (55 + 57 + 59 = 171) (3 x 57) (9 x 19) 173 = (85 + 87 = 172) (3 x 58 - 1) 175 = (31 + 33 + 35 + 37 + 39 = 175) (5 x 35) (7 x 25) 177 = (57 + 59 + 61 = 177) (3 x 59) 179 = (87 + 89 = 176) (89 + 91 = 180) (3 x 60 - 1) 181 = (89 + 91 = 180) (3 x 60 + 1) 183 = (59 + 61 + 63 = 183) (3 x 61) 185 = (33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 185) (5 x 37) (3 x 62 - 1) 187 = (7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 = 187) (11 x 17) (3 x 62 + 1) 189 = (61 + 63 + 65 = 189) (3 x 63) (7 x 27) (9 x 21) 191 = (91 + 93 = 184) (93 + 95 = 188) (95 + 97 = 192) (3 x 64 - 1) 193 = (95 + 97 = 192) (3 x 64 + 1) 195 = (35 + 37 + 39 + 41 + 43 = 195) (3 x 65) (5 x 39) (13 x 15) 197 = (97 + 99 = 196) (3 x 66 - 1) 199 = (99 + 101 = 200) (3 x 66 + 1) 201 = (65 + 67 + 69 = 201) (3 x 67) 203 = (23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 = 203) (7 x 29) (3 x 68 - 1) 205 = (37 + 39 + 41 + 43 + 45 = 205) (5 x 41) (3 x 68 + 1) 207 = (67 + 69 + 71 = 207) (3 x 69) (9 x 23) 209 = (9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 209) (11 x 19) 211 = (101 + 103 = 204) (103 + 105 = 208) (105 + 107 = 212) (3 x 70 + 1) 213 = (69 + 71 + 73 = 213) (3 x 71) 215 = (39 + 41 + 43 + 45 + 47 = 215) (5 x 43) (3 x 72 - 1) 217 = (25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 = 217) (7 x 31) (3 x 72 + 1) 219 = (71 + 73 + 75 = 219) (3 x 73)
34 221 = (5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 221) (13 x 17) 223 = (107 + 109 = 216) (109 + 111 = 220) (111 + 113 = 224) (3 x 74 + 1) 225 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 225) (152) (3 x 75) (5 x 45) (9 x 25) (15 x 15) 227 = (113 + 115 = 228) (3 x 76 - 1) 229 = (113 + 115 = 228) (3 x 76 + 1) 231 = (75 + 77 + 79 = 231) (3 x 77) (7 x 33) (11 x 21) 233 = (115 + 117 = 232) (3 x 78 - 1) 235 = (43 + 45 + 47 + 49 + 51 = 235) (5 x 47) 237 = (77 + 79 + 81 = 237) (3 x 79) 239 = (117 + 119 = 236) (119 + 121 = 240) (3 x 80 - 1) 241 = (119 + 121 = 240) (3 x 80 + 1) 243 = (79 + 81 + 83 = 243) (3 x 81) (9 x 27) 245 = (45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 245) (5 x 49) (7 x 35) 247 = (7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 = 247) (13 x 19) (3 x 82 + 1) 249 = (81 + 83 + 85 = 249) (3 x 83) 251 = (121 + 123 = 244) (123 + 125 = 248) (125 + 127 = 252) (3 x 84 - 1) 253 = (13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 = 253) (11 x 23) 255 = (47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 255) (3 x 85) (5 x 51) (15 x 17) 257 = (127 + 129 = 256) (3 x 86 - 1) 259 = (31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 = 259) (7 x 37) 261 = (85 + 87 + 89 = 261) (3 x 87) (9 x 29) 263 = (129 + 131 = 260) (131 + 133 = 264) (3 x 88 - 1) 265 = (49 + 51 + 53 + 55 + 57 = 265) (5 x 53) 267 = (87 + 89 + 91 = 267) (3 x 89) 269 = (133 + 135 = 268) (3 x 90 - 1) 271 = (135 + 137 = 272) (3 x 90 + 1)
35 273 = (89 + 91 + 93 = 273) (3 x 91) (7 x 39) (13 x 21) 275 = (51 + 53 + 55 + 57 + 59 = 275) (5 x 55) (11 x 25) 277 = (137 + 139 = 276) (3 x 92 + 1) 279 = (91 + 93 + 95 = 279) (3 x 93) (9 x 31) 281 = (139 + 141 = 280) (3 x 94 - 1) 283 = (141 + 143 = 284) (3 x 94 + 1) 285 = (53 + 55 + 57 + 59 + 61 = 285) (3 x 95) (5 x 57) (15 x 19) 287 = (35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 = 287) (7 x 41) 289 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 = 289) (172) (17 x 17) (3 x 96 + 1) 291 = (95 + 97 + 99 = 291) (3 x 97) 293 = (143 + 145 = 288) (145 + 147 = 292) (3 x 98 - 1) 295 = (55 + 57 + 59 + 61 + 63 = 295) (5 x 59) 297 = (97 + 99 + 101 = 297) (3 x 99) (9 x 33) (11 x 27) 299 = (11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 = 299) (13 x 23) 301 = (37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 = 301) (7 x 43) (3 x 100 + 1) 303 = (99 + 101 + 103 = 303) (3 x 101) 305 = (57 + 59 + 61 + 63 + 65 = 305) (5 x 61) 307 = (147 + 149 = 296) (149 + 151 = 300) (151 + 153 = 304) (153 + 155 = 308) (3 x 102 + 1) 309 = (101 + 103 + 105 = 309) (3 x 103) 311 = (155 + 157 = 312) (3 x 104 - 1) 313 = (155 + 157 = 312) (3 x 104 + 1) 315 = (59 + 61 + 63 + 65 + 67 = 315) (3 x 105) (5 x 63) (7 x 45) (9 x 35) (15 x 21) 317 = (157 + 159 = 316) (3 x 106 - 1) 319 = (19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 = 319) (11 x 29)
36 321 = (105 + 107 + 109 = 321) (3 x 107) 323 = (3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 = 323) (17 x 19) (3 x 108 - 1) 325 = (61 + 63 + 65 + 67 + 69 = 325) (5 x 65) (13 x 25) 327 = (107 + 109 + 111 = 327) (3 x 109) 329 = (41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 329) (7 x 47) 331 = (159 + 161 = 320) (161 + 163 = 324) (163 + 165 = 328) (165 + 167 = 332) (3 x 110 + 1) 333 = (109 + 111 + 113 = 333) (3 x 111) (9 x 37) 335 = (63 + 65 + 67 + 69 + 71 = 335) (5 x 67) 337 = (167 + 169 = 336) (3 x 112 + 1) 339 = (111 + 113 + 115 = 339) (3 x 113) 341 = (21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 341) (11 x 31) 343 = (43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 343) (7 x 49) (3 x 114 + 1) 345 = (65 + 67 + 69 + 71 + 73 = 345) (3 x 115) (5 x 69) (15 x 23) 347 = (169 + 171 = 340) (171 + 173 = 344) (173 + 175 = 348) (3 x 116 - 1) 349 = (173 + 175 = 348) (3 x 116 + 1) 351 = (115 + 117 + 119 = 351) (3 x 117) (9 x 39) (13 x 27) 353 = (175 + 177 = 352) (3 x 118 - 1) 355 = (67 + 69 + 71 + 73 + 75 = 355) (5 x 71) 357 = (117 + 119 + 121 = 357) (3 x 119) (7 x 51) (17 x 21) 359 = (177 + 179 = 356) (179 + 181 = 360) (3 x 120 - 1) 361 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 = 361) (192) (19 x 19) 363 = (119 + 121 + 123 = 363) (3 x 121) (11 x 33) 365 = (69 + 71 + 73 + 75 + 77 = 365) (5 x 73) 367 = (177 + 179 = 356) (179 + 181 = 360) (181 + 183 = 364) (183 + 185 = 368)
37 (3 x 122 + 1) 369 = (121 + 123 + 125 = 369) (3 x 123) (9 x 41) 371 = (47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 = 371) (7 x 53) 373 = (185 + 187 = 372) (3 x 124 + 1) 375 = (71 + 73 + 75 + 77 + 79 = 375) (3 x 125) (5 x 75) (15 x 25) 377 = (17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 377) (13 x 29) 379 = (187 + 189 = 376) (189 + 191 = 380) (3 x 126 + 1) 381 = (125 + 127 + 129 = 381) (3 x 127) 383 = (191 + 193 = 384) (3 x 128 - 1) 385 = (73 + 75 + 77 + 79 + 81 = 385) (5 x 77) (7 x 55) (11 x 35) 387 = (127 + 129 + 131 = 387) (3 x 129) (9 x 43) 389 = (193 + 195 = 388) (3 x 130 - 1) 391 = (7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 +27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 = 391) (17 x 23) 393 = (129 + 131 + 133 = 393) (3 x 131) 395 = (75 + 77 + 79 + 81 + 83 = 395) (5 x 79) 397 = (195 + 197 = 392) (197 + 199 = 396) (3 x 132 + 1) 399 = (131 + 133 + 135 = 399) (3 x 133) (7 x 57) (19 x 21) 401 = (199 + 201 = 400) (3 x 134 - 1) 403 = (19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 = 403) (13 x 31) 405 = (77 + 79 + 81 + 83 + 85 = 405) (3 x 135) (5 x 81) (9 x 45) (15 x 27) 407 = (27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 = 407) (11 x 37) 409 = (201 + 203 = 404) (203 + 205 = 408) (3 x 136 - 1) 411 = (135 + 137 + 139 = 411) (3 x 137) 413 = (53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 = 413) (7 x 59)
38 415 = (79 + 81 + 83 + 85 + 87 = 415) (5 x 83) (3 x 138 + 1) 417 = (137 + 139 + 141 = 417) (3 x 139) 419 = (205 + 207 = 412) (207 + 209 = 416) (209 + 211 = 420) (3 x 140 - 1) 421 = (209 + 211 = 420) (3 x 140 + 1) 423 = (139 + 141 + 143 = 423) (3 x 141) (9 x 47) 425 = (81 + 83 + 85 + 87 + 89 = 425) (5 x 85) (17 x 25) 427 = (55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 = 427) (7 x 61) (3 x 142 + 1) 429 = (141 + 143 + 145 = 429) (3 x 143) (11 x 39) (13 x 33) 431 = (211 + 213 = 424) (213 + 215 = 428) (215 + 217 = 432) (3 x 144 - 1) 433 = (215 + 217 = 432) (3 x 144 + 1) 435 = (83 + 85 + 87 + 89 + 91 = 435) (3 x 145) (5 x 87) (15 x 29) 437 = (5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 437) (19 x 23) 439 = (217 + 219 = 436) (219 + 221 = 440) (3 x 146 + 1) 441 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 441) (212) (3 x 147) (7 x 63) (9 x 49) (21 x 21) 443 = (221 + 223 = 444) (3 x 148 - 1) 445 = (85 + 87 + 89 + 91 + 93 = 445) (5 x 89) 447 = (147 + 149 + 151 = 447) (3 x 149) 449 = (223 + 225 = 448) (3 x 150 - 1) 451 = (31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 = 451) (11 x 41) 453 = (149 + 151 + 153 = 453) (3 x 151) 455 = (87 + 89 + 91 + 93 + 95 = 455) (5 x 91) (7 x 65) (13 x 35) 457 = (225 + 227 = 452) (227 + 229 = 456) (3 x 152 + 1) 459 = (151 + 153 + 155 = 459) (3 x 153) (9 x 51) (17 x 27) 461 = (229 + 231 = 460) (3 x 154 - 1) 463 = (231 + 233 = 464) (3 x 154 + 1) 465 = (89 + 91 + 93 + 95 + 97 = 465) (3 x 155) (5 x 93) (15 x 31)
39 467 = (233 + 235 = 468) (3 x 156 - 1) 469 = (61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 = 469) (7 x 67) 471 = (155 + 157 + 159 = 471) (3 x 157) 473 = (33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 473) (11 x 43) 475 = (91 + 93 + 95 + 97 + 99 = 475) (5 x 95) (19 x 25) (3 x 158 + 1) 477 = (157 + 159 + 161 = 477) (3 x 159) (9 x 53) 479 = (235 + 237 = 472) (237 + 239 = 476) (239 + 241 = 480) (3 x 160 - 1) 481 = (25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 = 481) (13 x 37) 483 = (159 + 161 + 163 = 483) (3 x 161) (7 x 69) (21 x 23) 485 = (93 + 95 + 97 + 99 + 101 = 485) (5 x 97) 487 = (241 + 243 = 484) (243 + 245 = 488) (3 x 162 + 1) 489 = (161 + 163 + 165 = 489) (3 x 163) 491 = (245 + 247 = 492) (3 x 164 - 1) 493 = (13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 = 493) (17 x 29) 495 = (95 + 97 + 99 + 101 + 103 = 495) (3 x 165) (5 x 99) (9 x 55) (11 x 45) (15 x 33) 497 = (65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75 + 77 = 497) (7 x 71) 499 = (247 + 249 = 496) (249 + 251 = 500) (3 x 166 + 1) 501 = (165 + 167 + 169 = 501) (3 x 167) 503 = (251 + 253 = 504) (3 x 168 + 1) (3 x 168 - 1) 505 = (97 + 99 + 101 + 103 + 105 = 505) (5 x 101) 507 = (167 + 169 + 171 = 507) (3 x 169) (13 x 39) 509 = (253 + 255 = 508) (3 x 170 - 1) 511 = (67 + 69 + 71 + 73 + 75 + 77 + 79 = 513) (7 x 73) 513 = (169 + 171 + 173 = 513) (3 x 171) (9 x 57) (19 x 27) 515 = (99 + 101 + 103 + 105 + 107 = 515) (5 x 103)
40 517 = (37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 = 517) (11 x 47) (3 x 172 + 1) 519 = (171 + 173 + 175 = 519) (3 x 173) 521 = (255 + 257 = 512) (257 + 259 = 516) (259 + 261 = 520) (3 x 174 - 1) 523 = (261 + 263 = 524) (3 x 174 + 1) 525 = (101 + 103 + 105 + 107 + 109 = 525) (3 x 175) (5 x 105) (7 x 75) (15 x 35) (21 x 25) 527 = (15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 = 527) (17 x 31) 529 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 = 529) (232) (23 x 23) (3 x 176 + 1) 531 = (175 + 177 + 179 = 531) (3 x 177) (9 x 59) 533 = (29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 533) (13 x 41) 535 = (103 + 105 + 107 + 109 + 111 = 535) (5 x 107) (3 x 178 + 1) 537 = (177 + 179 + 181 = 537) (3 x 179) 539 = (71 + 73 + 75 + 77 + 79 + 81 + 83 = 539) (7 x 77) (11 x 49) 541 = (263 + 265 = 528) (265 + 267 = 532) (267 + 269 = 536) (269 + 271 = 540) (3 x 180 + 1) 543 = (179 + 181 + 183 = 543) (3 x 181) 545 = (105 + 107 + 109 + 111 + 113 = 545) (5 x 109) 547 = (271 + 273 = 544) (273 + 275 = 548) (3 x 182 + 1) 549 = (181 + 183 + 185 = 549) (3 x 183) (9 x 61) 551 = (11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 = 551) (19 x 29) 553 = (73 + 75 + 77 + 79 + 81 + 83 + 85 = 553) (7 x 79) (3 x 184 + 1) 555 = (107 + 109 + 111 + 113 + 115 = 555) (3 x 185) (5 x 111) (15 x 37)
41 557 = (275 + 277 = 552) (277 + 279 = 556) (3 x 186 - 1) 559 = (31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 559) (13 x 43) 561 = (185 + 187 + 189 = 561) (3 x 187) (11 x 51) (17 x 33) 563 = (279 + 281 = 560) (281 + 283 = 564) (3 x 188 - 1) 565 = (109 + 111 + 113 + 115 + 117 = 565) (5 x 113) 567 = (187 + 189 + 191 = 567) (3 x 189) (7 x 81) (9 x 63) (21 x 27) 569 = (283 + 285 = 568) (3 x 190 - 1) 571 = (285 + 287 = 572) (3 x 190 + 1) 573 = (189 + 191 + 193 = 573) (3 x 191) 575 = (111 + 113 + 115 + 117 + 119 = 575) (5 x 115) (23 x 25) 577 = (287 + 289 = 576) (3 x 192 + 1) 579 = (191 + 193 + 195 = 579) (3 x 193) 581 = (77 + 79 + 81 + 83 + 85 + 87 + 89 = 581) (7 x 83) 583 = (43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 = 583) (11 x 53) (3 x 194 + 1) 585 = (113 + 115 + 117 + 119 + 121 = 585) (3 x 195) (5 x 117) (9 x 65) (13 x 45) (15 x 39) 587 = (289 + 291 = 580) (291 + 293 = 584) (293 + 295 = 588) (3 x 196 - 1) 589 = (13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 = 589) (19 x 31) 591 = (195 + 197 + 199 = 591) (3 x 197) 593 = (295 + 297 = 592) (3 x 198 - 1) 595 = (115 + 117 + 119 + 121 + 123 = 595) (5 x 119) (7 x 85) (17 x 35) 597 = (197 + 199 + 201 = 597) (3 x 199) 599 = (297 + 299 = 596) (299 + 301 = 600) (3 x 200 - 1) 601 = (299 + 301 = 600) (3 x 200 + 1)
42 603 = (199 + 201 + 203 = 603) (3 x 201) (9 x 67) 605 = (117 + 119 + 121 + 123 + 125 = 605) (5 x 121) (11 x 55) 607 = (301 + 303 = 604) (303 + 305 = 608) (3 x 202 + 1) 609 = (201 + 203 + 205 = 609) (3 x 203) (7 x 87) (21 x 29) 611 = (35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 = 611) (13 x 47) 613 = (305 + 307 = 612) (3 x 204 + 1) 615 = (119 + 121 + 123 + 125 + 127 = 615) (3 x 205) (5 x 123) (15 x 41) 617 = (307 + 309 = 616) (3 x 206 - 1) 619 = (309 + 311 = 620) (3 x 206 + 1) 621 = (205 + 207 + 209 = 621) (3 x 207) (9 x 69) (23 x 27) 623 = (83 + 85 + 87 + 89 + 91 + 93 + 95 = 623) (7 x 89) 625 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 = 625) (252) (5 x 125) (25 x 25) (3 x 208 + 1) 627 = (207 + 209 + 211 = 627) (3 x 209) (11 x 57) (19 x 33) 629 = (21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 629) (17 x 37) 631 = (311 + 313 = 624) (313 + 315 = 628) (315 + 317 = 632) (3 x 210 + 1) 633 = (209 + 211 + 213 = 633) (3 x 211) 635 = (123 + 125 + 127 + 129 + 131 = 635) (5 x 127) 637 = (85 + 87 + 89 + 91 + 93 + 95 + 97 = 637) (7 x 91) (13 x 49) (3 x 212 + 1) 639 = (211 + 213 + 215 = 639) (3 x 213) (9 x 71) 641 = (317 + 319 = 636) (319 + 321 = 640) (3 x 214 - 1) 643 = (321 + 323 = 644) (3 x 214 + 1) 645 = (125 + 127 + 129 + 131 + 133 = 645) (3 x 215) (5 x 129) (15 x 43) 647 = (323 + 325 = 648) (3 x 216 - 1)
43 649 = (49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 = 649) (11 x 59) 651 = (215 + 217 + 219 = 651) (3 x 217) (7 x 93) (21 x 31) 653 = (325 + 327 = 652) (3 x 218 - 1) 655 = (127 + 129 + 131 + 133 + 135 = 655) (5 x 131) 657 = (217 + 219 + 221 = 657) (3 x 219) (9 x 73) 659 = (327 + 329 = 656) (329 + 331 = 660) (3 x 220 - 1) 661 = (329 + 331 = 660) (3 x 220 + 1) 663 = (219 + 221 + 223 = 663) (3 x 221) (13 x 51) (17 x 39) 665 = (129 + 131 + 133 + 135 + 137 = 665) (5 x 133) (7 x 95) (19 x 35) 667 = (7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 = 667) (23 x 29) (3 x 222 + 1) 669 = (221 + 223 + 225 = 669) (3 x 223) 671 = (51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 = 671) (11 x 61) 673 = (331 + 333 = 664) (333 + 335 = 668) (335 + 337 = 672) (3 x 224 + 1) 675 = (131 + 133 + 135 + 137 + 139 = 675) (3 x 225) (5 x 135) (9 x 75) (15 x 45) (25 x 27) 677 = (337 + 339 = 676) (3 x 226 - 1) 679 = (91 + 93 + 95 + 97 + 99 + 101 + 103 = 679) (7 x 97) 681 = (225 + 227 + 229 = 681) (3 x 227) 683 = (339 + 341 = 680) (341 + 343 = 684) (3 x 228 - 1) 685 = (133 + 135 + 137 + 139 + 141 = 685) (5 x 137) 687 = (227 + 229 + 231 = 687) (3 x 229) 689 = (41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 = 689) (13 x 53) 691 = (343 + 345 = 688) (345 + 347 = 692) (3 x 230 + 1) 693 = (229 + 231 + 233 = 693) (3 x 231) (7 x 99) (9 x 77) (11 x 63) (21 x 33) 695 = (135 + 137 + 139 + 141 + 143 = 695) (5 x 139) 697 = (25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 +
44 55 + 57 = 697) (17 x 41) (3 x 232 + 1) 699 = (231 + 233 + 235 = 699) (3 x 233) 701 = (347 + 349 = 696) (349 + 351 = 700) (3 x 234 - 1) 703 = (19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 703) (19 x 37) 705 = (137 + 139 + 141 + 143 + 145 = 705) (3 x 235) (5 x 141) (15 x 47) 707 = (95 + 97 + 99 + 101 + 103 + 105 + 107 = 707) (7 x 101) 709 = (351 + 353 = 704) (353 + 355 = 708) (3 x 236 + 1) 711 = (235 + 237 + 239 = 711) (3 x 237) (9 x 79) 713 = (9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 713) (23 x 31) 715 = (139 + 141 + 143 + 145 + 147 = 715) (5 x 143) (11 x 65) (13 x 55) (3 x 238 + 1) 717 = (237 + 239 + 241 = 717) (3 x 239) 719 = (355 + 357 = 712) (357 + 359 = 716) (359 + 361 = 720) (3 x 240 - 1) 721 = (97 + 99 + 101 + 103 + 105 + 107 + 109 = 721) (7 x 103) 723 = (239 + 241 + 243 = 723) (3 x 241) 725 = (141 + 143 + 145 + 147 + 149 = 725) (5 x 145) (25 x 29) 727 = (361 + 363 = 724) (363 + 365 = 728) (3 x 242 + 1) 729 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 729) (272) (3 x 243) (9 x 81) (27 x 27) 731 = (27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 = 731) (17 x 43) 733 = (365 + 367 = 732) (3 x 244 + 1) 735 = (143 + 145 + 147 + 149 + 151 = 735) (3 x 245) (5 x 147) (7 x 105) (15 x 49) (21 x 35) 737 = (57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75 + 77 = 737) (11 x 67) 739 = (367 + 369 = 736) (369 + 371 = 740) (3 x 246 + 1)
