I. En cada uno de los siguientes ejercicios halle el área de la región limitada por las curvas y trace gráfica.

GUÍA No. 3 2015-2

Asignatura: Cálculo Integral Dependencia: Facultad de Ciencias empresariales y Económicas

I. En cada uno de los siguientes ejercicios halle el área de la región limitada por las curvas y trace gráfica.

1. 𝑔(𝑥) = 𝑥2; 𝑓(𝑥) = 𝑥 2. 𝑔(𝑥) = √𝑥; 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 3. 𝑓(𝑥) =1 𝑥; 𝑔(𝑥) = 𝑒 −𝑥_{; 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = 2} 4. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 _{− 4𝑥; 𝑔(𝑥) = 0} 5. 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{; 𝑔(𝑥) = 𝑥; 𝑦 ℎ(𝑥) = 2𝑥} 6. 𝑔(𝑥) = 𝑥2 _{− 2𝑥 − 3; 𝑓(𝑥) = 0; 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 2} 7. 𝑔(𝑥) = 𝑥3_{; 𝑓(𝑥) = 0; 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 2} 8. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3; 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 9. 𝑓(𝑥) = 2√𝑥; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 4 10. 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{− 2; 𝑔(𝑥) = 2𝑥}2_{+ 𝑥 − 4.} 11. 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{; 𝑔(𝑥) = −𝑥}2 _{+ 4𝑥.} 12. 𝑥2_{𝑦 = 4; 𝑦 = 7 − 3𝑥.} 13. 4𝑥2 _{+ 𝑦 = 4; 𝑥}4_{− 𝑦 = 1.} 14. 𝑦 = 𝑥 + 6; 𝑦 = 𝑥3; 𝑦 = −1 2𝑥. 15. 𝑦 = 𝑥2 _{+ 6; 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = 2𝑥.} 16. 𝑦₁ = 𝑥3− 6𝑥2+ 9𝑥 𝑦 𝑦₂ = 𝑥 17. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3+ 6𝑥2− 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = −12𝑥 − 10𝑥2 18. 𝑓(𝑥) = 𝑥3_{+ 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 0 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 2}

II. Resuelve los siguientes problemas:

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA ÁREA DE MATEMÁTICAS

1. Supóngase que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es,

𝑝 = 4(25 − 𝑞2) por unidad, con 𝑞 ˂ 5 (p en miles de pesos). ¿Cuánto están dispuestos a pagar los consumidores para obtener 3 unidades del artículo?

2. Los promotores del Centro Comercial Buena Lista de Santa Marta estiman que si las puertas se abren a las 9:00 a.m., t horas después los visitantes entran al centro comercial a una razón de −4(𝑡 + 2)3 _{+ 54(𝑡 + 2)}2 _{personas por hora.}

a. ¿Cuántas personas entrarán al centro comercial entre las 10 a.m. y las 12m? b. Si el centro comercial cierra la entrada a las 9 p.m. ¿Cuántas personas entrarán diariamente?

Utilice el Software Winplot para representar gráficamente sus respuestas.

3. Una compañía determina que el ingreso marginal de la producción de x unidades es 7 − 3𝑥 − 4𝑥2 cientos de dólares por unidad y el correspondiente costo marginal es 5 + 2𝑥 cientos de dólares por unidad. ¿Cuánto cambia la utilidad cuando el nivel de producción aumenta de 5 𝑎 9 ?. Grafique el área entre las funciones de costo e ingreso.

III. Dadas las funciones de demandas de los consumidores 𝐷(𝑞) y un 𝑞˳ en cada literal calcule cuánto están dispuestos a pagar los consumidores para obtener 𝑞˳

unidades de artículos. Determine el excedente de los consumidores.

1. 𝐷(𝑞) = 2(64 − 𝑞2_{) dólares por unidad; 𝑞˳ = 6 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.}

2. 𝐷(𝑞) = 300

(0.1𝑞+1)2 dólares por unidad; 𝑞˳ = 5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.

3. 𝐷(𝑞) = 50𝑒−0,04𝑞 dólares por unidad; 𝑞˳ = 15 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.

IV. Resuelve los siguientes problemas.

1. El precio en dólares por unidad de un artículo está dado por 𝑝 = 110 − 𝑞, donde q es el número de unidades y el costo total de producción de las 𝑞 unidades es

𝐶(𝑞) = 𝑞3− 25𝑞2+ 2𝑞.

b. Halle el excedente de los consumidores cuando el precio corresponde a la utilidad máxima.

2. Las tazas de ingreso y costo en una operación de perforación petrolera están dadas

por: 𝑅′_{(𝑡) = 14 − 𝑡}1 2⁄ _{y 𝐶}′_{(𝑡) = 2 + 3𝑡}1 2⁄ _{. Respectivamente, donde el tiempo (t) se mide}

en años R y C se miden en millones de dólares ¿Cuándo deberá prolongarse la perforación a fin de obtener la utilidad máxima? Utilice el Software WINPLOT para representar gráficamente sus respuestas.

3. Determine el superávit del consumidor y del productor en el caso de un producto cuyas funciones de demanda y de oferta aparecen enseguida.

𝑎. 𝑝 = 15 − 2𝑞 𝑦 𝑝 = 3 + 𝑞

𝑏. 𝑝 = 1200 − 1.5𝑞2 𝑦 𝑝 = 200 + 𝑞2

V. Resuelve cada una de las siguientes integrales dobles. 1. ∫ ∫ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 4 0 3 0 2. ∫ ∫ 3(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 1−𝑥 𝑥 1 −1 3. ∫ ∫ (𝑥2_{− 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦} 2 1 3 1 4. ∫ ∫ 𝑒𝑥+𝑦_{𝑑𝑥𝑑𝑦} 𝑦 0 1 0 5. ∫ ∫ 14𝑥2𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥2 3𝑥 1 0 6. ∫ ∫ (𝑥2_{+ 𝑦}2_{)𝑑𝑦𝑑𝑥} 𝑥 0 3 0

VI. Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒 3𝑥+5 2. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 𝑥 𝑦.

3. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦 + 𝑦. 4. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 (𝑥2_{+ 1)}1⁄₂ 5. 𝑑𝑝 𝑑𝑡 = √𝑡 + 𝑒 −𝑡 6. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 𝑥 − 1 7. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (𝑒 𝑦_{+ 1)(𝑥 − 2)}8 8. 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑥𝑡 2𝑡 + 1 9. 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑡𝑒𝑡 2𝑡 − 1 10. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 + 3 (2𝑥 − 7)4 11. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 3/2_𝑦−2/3 12. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑦_{√𝑥 + 1} 13. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦 14. 𝑑 2_𝑦 𝑑𝑥2 = −15; 𝑦´(0) = 100, 𝑦(0) = 0

VII. Halle la solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición dada. . 1. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (2𝑥 + 3); 𝑦 = 2 𝑠𝑖 𝑥 = 1 2. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 𝑠𝑖 𝑦(0) = 𝑃 3. 𝑑 2_𝑦 𝑑𝑥2= −10; 𝑦´(0) = 100, 𝑦(0) = 0 4. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 2_{. √4 − 𝑥; 𝑦 = 2 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 4} 5. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑦−𝑥2_{; 𝑦 = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 1} 6. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 + 1 𝑥(𝑦 − 1); 𝑦 = 2 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 1 (𝑠𝑢𝑔: 𝑦 − 1 𝑦 + 1= 1 − 2 𝑦 + 1)

7. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 2_{+ 3𝑥; 𝑠𝑖 𝑦(2) = 1} 8. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒 5𝑥_{; 𝑠𝑖 𝑦(0) = 1} 9. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑦2; 𝑠𝑖 𝑦 = 3 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 4 10. 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑥𝑡√𝑡 + 1; 𝑥 = 1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 0

VIII. Resuelva cada uno de los siguientes problemas.

1. Hallar la función de costo 𝑐 = 𝑓(𝑞) de un fabricante, dado que (𝑞 + 1)2 𝑑𝑐

𝑑𝑞 = 𝑐𝑞 y el costo fijo es e.

2. Suponga que la función de ingreso marginal de un monopolista está dada por la ecuación diferencial 𝑑𝑟

𝑑𝑞 = (40 − 5𝑞)𝑒

−𝑟 5⁄ _{. Encuentre la ecuación de demanda para} el producto del monopolista.

BIBLIOGRAFÍA

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