Estudio numérico de la propagación de ondas electromagnéticas 2-D por FDTD

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Revista Del Programa De Matem´aticas I (2014) 71–77

c

Programa de Matem´aticas

Vol. I , No 1, (2014)

Estudio Num´erico De La Propagacion De Ondas

Electromagn´eticas 2-D Por FDTD

Numerical study of the propagation of electromagnetic waves

2D for DTD

Larry Theran1

1Departamento de F´ısica

Facultad de Ciencias B´asicas, Universidad del Atl´antico, Barranquilla (Colombia) E-mail: latheran@gmail.com

Ren´e Alvarez2

2Departamento de Matem´aticas

Facultad de Ciencias B´asicas, Universidad del Atl´antico, Barranquilla (Colombia) E-mail: ralvarez@gmail.com

Sonia Valbuena3

3Profesora departamento de Matem´aticas

Facultad de Ciencias B´asicas, Universidad del Atl´antico, Barranquilla (Colombia) E-mail: svalbuena@gmail.com

Francisco Racedo4

4Profesor departamento de F´ısica

Facultad de Ciencias B´asicas, Universidad del Atl´antico, Barranquilla (Colombia) Email: fran@mail.uniatlantico.edu.co

Resumen

En este trabajo se presenta una simulaci ´on en Matlab de la propagaci ´on de ondas electromagn´eticas en un dominio bidimensional. Para esto se discretizaron las ecuaciones rotacionales de Maxwell usando la celda elemental de Yee para el espacio y el algoritmo Leapfrog para el tiempo. Con esto se obtuvo valores del campo el´ectrico y magn´etico, m´as cercanos a los reales que con otros m´etodos. Como se trabaj ´o con un problema de evoluci ´on en el tiempo con dominios no acotados se introdujo las Absorbing Boundary Condition (ABC) para evitar reflexiones en la frontera del dominio debido a las limitaciones computacionales.

Palabras claves: Simulaci ´on, Discretizaci ´on, condici ´on de frontera absorbente, celda elemental.

Abstract

This paper presents a Matlab simulation of the propagation of electromagnetic waves in two-dimensional domain. For this discretized Maxwell rotational equations using elementary Yee’s cell for space and the Leapfrog algorithm for time. Thus obtained values of electric and magnetic field, and obtained higher accuracy than other methods. As we worked with a problem of evolution over time with unbounded domains is introduced Absorbing Boundary Condition (ABC) to avoid reflections on the boundary of the domain due to computational limitations.

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1. INTRODUCCION

Las ecuaciones de Maxwell son un conjun-to de ecuaciones diferenciales en derivadas par-ciales cuya soluci ´on describe los fen ´omenos de naturaleza electromagn´etica. Estas soluciones no siempre pueden ser determinadas de manera anal´ıtica en especial con geometr´ıas complica-das, para este tipo de problemas se emplean m´etodos num´ericos. Entre los m´etodos m´as co-nocidos est´an el m´etodo del elemento finito (MEF), el m´etodo de diferencias finitas (MDF) y el m´etodo del elemento en la frontera (BEM), en la soluci ´on de las ecuaciones de Maxwell se usa con mayor frecuencia un esquema del MDF el cual es llamado m´etodo de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD). El esquema de FDTD es m´as usado debido a que calcula las de-rivadas espaciales y temporales simult´aneamen-te presentando as´ı mayor exactitud en los resul-tados obtenidos, En este trabajo se presente el FDTD en el estudio de las ondas electromagn´eti-cas teniendo en cuenta las condiciones de fronte-ra absorbentes pafronte-ra evitar reflexiones no desea-das.

2. DISCRETIZACION DE LAS ECUACIO-NES DE MAXWELL

Las ecuaciones de Maxwell dependientes del tiempo en un medio lineal homog´eneo e isotr ´opico son:

→ D t = 1 √ µ0ε0 ∇×→H (1) → H t =− 1 √ µ0ε0 ∇×→E (2)

Donde→Des la densidad de flujo el´ectrico,µ

es la permeabilidad magn´etica,e es la

permiti-vidad el´ectrica. Desacoplando las ecuaciones ro-tacionales en sus componentes obtenemos el si-guiente grupo de ecuaciones

→ Dx t = 1 √ µ0ε0 Hz y −Hy z (3) → Dy t = 1 √ µ0ε0 Hx z − Hz x (4) → Dz t = 1 √ µ0ε0 Hy x − Hx y (5) − → Hx t = 1 √ µ0ε0 Ez y −Ey z (6) − → Hy t = 1 √ µ0ε0 Ex z − Ez x (7) − → Hz t = 1 √ µ0ε0 Ey x −Ex y (8)

Las ecuaciones (3),(4),(5) corresponde a las componentes de la ecuaci ´on (1) y (6),(7),(8) a las componentes de (2), estas seis ecuaciones des-acopladas son la base del algoritmo FDTD. La idea del algoritmo de Yee es convertir las ecua-ciones anteriores que est´an en forma continua a una forma discreta usando diferencias centrales, tales ecuaciones en forma discreta se expresa co-mo: Dn x i+12,j,k −Dn−1 x i+12,j,k 4t = 1 √ µ0ε0   Hn− 1 2 z i+12,j+ 1 2,k −Hn− 1 2 z i+12,j− 1 2,k 4y − Hn− 1 2 y i+12,j,k+ 1 2 −Hn− 1 2 z i+12,j,k− 1 2 4z ) (9) Dn y i,j+12,k Dn−1 y i,j+12,k 4t = 1 √ µ0ε0   Hn− 1 2 x i,j+12,k+ 1 2 Hn− 1 2 x i,j+12,k− 1 2 4z − −H n−1 2 z i+12,j,k+ 1 2 −Hn− 1 2 z i−12,j,k+ 1 2 4x ) (10) Dn z i,j,k+12 −Dn−1 z i,j,k+12 4t = 1 √ µ0ε0   Hn− 1 2 y i+12,j,k+ 1 2 −Hn− 1 2 y i−12,j,k+ 1 2 4x −H n−1 2 x i,j+12,k+ 1 2 −Hn− 1 2 z i,j−12,k− 1 2 4y ) (11) Hn+ 1 2 x i,j+12,k+12 −Hn− 1 2 x i,j+12,k+12 4t = 1 √ µ0ε0 En y i,j+12,k+1 −En y i,j+12,k 4z −E n z i,j+1,k+12 −Hn− 1 2 z i,j,k+12 4y ) (12)

(3)

Hn+ 1 2 y i+12,j,k+12 −Hn− 1 2 y i+12,j,k+12 4t = 1 √ µ0ε0 En z i+1,j,k+12 En z i,j,k+12 4x −E n x i+12,j,k+1 −En z i,j,k+12 4z ) (13) Hn+ 1 2 z i+12,j+ 1 2,k −Hn− 1 2 y i+12,j+ 1 2,k 4t = 1 √ µ0ε0 En x i+12,j+1,k −En x i+12,j,k 4y −E n y i+1,j+12,k En y i,j+12,k 4x ) (14)

Las ecuaciones (9)-(11), (12) y (14) represen-tan el conjunto de ecuaciones en diferencias pa-ra las ecuaciones de maxwell en el espacio libre. Por ´ultimo se debe discretiza la ecuaci ´on consti-tutiva en el dominio del tiempo. La cual tiene la siguiente forma:

D(ω) =εr(ω)→E(ω) (15) Para lo cual asumiremos un diel´ectrico con p´erdidas de la forma [2]:

εr(ω) =εr+ σ

jωε0

(16)

Sustituyendo en la ecuaci ´on (15)

D(ω) =εrE(ω) + σ

jωε0

E(ω) (17)

Para pasar al dominio de la frecuencia al do-minio del tiempo se aplica la trasformada, donde la ecuacion anterior toma la siguiente forma:

D(t) =εrE(t) +σ

ε0

Zt

0

Et0dt0 (18) Para discretizar esta ecuaci ´on se aproxima la integral a una sumatoria

Dn= εrEn+ σ4t ε0 En+σ4t ε0 n−1 ∑ i=0 Ei (19) De lo cual podemos despejarEny obtener el siguiente valor: En= Dn−In−1 εr+σε40t (20) In= σ4t ε0 n ∑ i=0 Ei (21) Una vez elegido el tama ˜no de la celda espa-cial la temporal est´a determinada por [2]:

4t= 4x

2c0

(22)

Dondec0es la velocidad de la luz en el vac´ıo.

3. IMPLEMENTACION DEL ALGORITMO

EN MATLAB

Para realizar la implementaci ´on se conside-rara una onda transversal magn´etica (TM), para la cual Ey = Ex = 0 yHz = 0. Las ecuaciones

(3),(4)y (8) se anulan y en las ecuaciones (7) y (8) se anulan las componentes x yy del campo el´ectrico y las ecuaciones en diferencias que se usan para el algoritmo son entonces:

Dn z i,j,k+12 Dn−1 z i,j,k+12 4t = 1 √ µ0ε0   Hn− 1 2 y i+12,j,k+ 1 2 −Hn− 1 2 y i−12,j,k+ 1 2 4x   (23) Hn+ 1 2 x i,j+12,k+ 1 2 Hn− 1 2 x i,j+12,k+ 1 2 4t = 1 √ µ0ε0 En z i,j+1,k+12 En z i,j,k+12 4y ! (24) Hn+ 1 2 y i+12,j,k+ 1 2 Hn− 1 2 y i+12,j,k+ 1 2 4t = 1 √ µ0ε0 En z i+1,j,k+12 En z i,j,k+12 4x ! (25)

Estas tres ecuaciones conforman la base del algoritmo para la simulaci ´on de la onda sinusoi-dal en el espacio libre. Dicho algoritmo fue in-plementado en matlab como se muestra en el si-guiente codigo. dz ( i , j )= dz ( i , j ) + 0 . 5∗( hy ( i , j )−hy ( i−1, j ) −hx ( i , j )+ hx ( i , j−1)) hx ( i , j )= hx ( i , j ) + 0 . 5∗( ez ( i , j )−ez ( i , j + 1 ) ) hy ( i , j )= hy ( i , j ) + 0 . 5∗( ez ( i +1 , j )−ez ( i , j ) ) ez ( i , j )= dz ( i , j ) para e l e s p a c i o l i b r e .

(4)

La primera onda electromagn´etica que se si-mulo fue una Onda sinusoidal. Esta es una fun-ci ´on temporal que se asemeja un pulso de luz [3], los resultados obtenidos para 50 y 80 pasos en el tiempo se muestran a continuaci ´on:

Figura 1:Onda sinusoidal para T=50 pasos tem-porales.

Figura 2:Onda sinusoidal para T=80 pasos tem-porales.

4. IMPLEMENTACION DEL PML AL

AL-GORITMO DE FDTD

Para evitar las reflexiones se implementa el FDTD con las condiciones de frontera absorben-tes (ABC), una de las m´as flexibles y eficien-tes ABC, es la de capas perfectamente acopladas

PML por sus siglas en ingles. La idea b´asica es: si la onda est´a viajando en un medio A y traspasa a un medio B, la cantidad de reflexi ´on es deter-minada por la impedancia intr´ınseca de los dos medios:

Γ=ηA−ηb

ηA+ηb

(26)

Las cuales son determinadas por las constan-tes diel´ectricasey permeabilidadesµ

η= r

µ

ε (27)

Ahora se necesita un medio con perdidas donde la onda se atenu´e hasta desaparecer por completo antes de alcanzar la frontera de c´alcu-lo, condici ´on que se logra haciendo aeyµ

com-plejos en la ecuaci ´on (24) debido a que la parte imaginaria representar´ıa al termino que causa la atenuaci ´on [2].

Retomando las ecuaciones de Maxwell para una onda TM pero esta vez llevando todo al do-minio de la frecuencia se obtiene

jωDz= 1 √ ε0µ0 Hy x −Hx y (28) jωHx=− 1 √ ε0µ0 Ez y (29) jωHy= 1 √ ε0µ0 Ez x (30)

Para la implementaci ´on del PML se agre-gan constantes diel´ectricas y magn´eticas ficticias

εf z,µf x,µf y[2] y las ecuaciones (25), (26), (27) se transforman en jωDzε∗f z(x)ε∗f z(y) = 1 √ ε0µ0 Hy x − Hx y (31) jωHxµ∗f x(y)µ∗f x(x) =− 1 √ ε0µ0 Ey y (32) jωHyµ∗f y(y)µ∗f y(x) = 1 √ ε0µ0 Ez x (33)

Con estas nuevas ecuaciones se debe tener en cuenta los siguientes factores:

(5)

1. El valor de ef est´a asociado con la

densi-dad de flujo no con el campo el´ectrico. 2. Se agregaron dos valores deef en la

ecua-ci ´on (26) yµf en (30) y (31) uno para la

di-recci ´on dexy otro para la dey.

Tambi´en se debe tener en cuenta las dos con-diciones de un PML [5]

La impedancia al pasar de un medio a otro debe ser constante η0=ηm= s µ∗Fx ε∗Fx =1 (34)

La direcci ´on perpendicular de la frontera (la di-recci ´on x, por ejemplo), la constante diel´ectrica relativa y la permeabilidad relativa deben ser in-versas una de la otra

ε∗f x= 1 ε∗f y (35) µ∗f x= 1 µ∗f y (36)

Se asumir´a que estas cantidades son comple-jas de la forma ε∗f m=εf m+ σDm jωε0 para m = x ´o y.(37) µ∗f m=µf m+ σHm jωµ0 para m = x ´o y.(38)

Para que (32) y (33) se cumplan, las ecuacio-nes (34) y (35) deben ser de la forma:

εf m=µf m=1 (39) σDm ε0 =σHm µ0 =σD ε0 (40)

Retomando las ecuaciones (28), (29) y (30)

jωDzε∗f z(x) = 1 √ ε0µ0 Hy x − Hx y (41) ωHxµ∗f x(x) =− 1 √ ε0µ0 Ey y (42) jωHyµ∗f y(x) = 1 √ ε0µ0 Ez x (43)

De las tres ecuaciones anteriores solo se con-sidera la direcci ´on x de (28), (29) y (30), usando

las cantidades complejas y el hecho que c0 =

1/√e0µ0 ( las ecuaciones (38), (39) y (40) se transforman en: jωDz 1+σd(x) jωε0 =c0 Hy x −Hx y (44) jωHx 1+σd(x) jω0 −1 =−c0 Ez y (45) jωHy 1+σd(x) jω0 =c0 Ez y (46)

Donde se uso (37) para las ecuaciones (42) y (43), las ecuaciones anteriores est´an en forma continua y se necesitan llevar a la forma discreta para realizar la simulaci ´on, para esto se analiza-ra el lado derecho de la ecuaci ´on (41)

jωDz 1+σd(x) jω0 =jωDz+Dzσd(x) ε0 (47)

Tomando diferencias centrales en la ecuaci ´on anterior tenemos que:

Dn z(i,j)−Dzn−1(i,j) 4t = σD(i)Dnz(i,j)−Dn−1 z (i,j) 2ε0 (48)

Factorizando y despejandoDnz se obtiene:

Dn z=Dnz−1 1−σD(i) 2ε0 4t 1+σD(i) 2ε0 4t (49) Si llamamos gi3(i) = 1−σD(i) 2ε0 4t 1+σD(i) 2ε0 4t (50) y gi2(i) = 1 1+σD(i) 2ε0 4t (51)

La ecuaci ´on (41) en forma discreta queda:

Dn z(i,j) =gi3Dnz−1(i,j) +gi2(i)∗0,5Hny−1 i+1 2,j −Hn− 1 2 y i−1 2,j −Hn−1 x i,j+1 2 −Hn−1 x i,j−1 2 (52)

Donde se ha aplicado la identidad 4t

4xc0=

1

(6)

Con un procedimiento similar se llega a Hn+ 1 2 y i+1 2,j =fi3H n−1 2 y i+1 2,j +fi2∗0,5(Ezn(i+1,j)−Enz(i+,j)) (54) Donde fi3(i) = 1−σD i+12 2ε0 4t 1+σD i+12 2ε0 4t (55) fi2(i) = 1 1+σD i+12 2ε0 4t (56)

Para la ecuaci ´on (42) el tratamiento es un po-co diferente jωHx= EZ y + σD(x) jωε0 Ez y c0 (57)

Aplicando diferencias centrales aEz/y EZ y ≈ En z(i,j+1)−Ezn(i,j) 4x =− curle 4x (58)

Aplicando diferencias centrales para el lado derecho y remplazando (55) en (54) se obtiene

Hn+ 1 2 y i,j+1 2 =Hxn i,j+1 2 +0,5∗curle+ σD(x)4t 2ε0 In+1 Hx i,j+1 2 (59)

La implementaci ´on de estas ecuaciones para el campoHxes: curle= Ezn(i,j)−Enz−1(i,j+1) (60) In+1 Hx i,j+1 2 =In−1 Hx i,j+1 2 +curle (61) Hn+ 1 2 x i,j+1 2 =Hn+ 1 2 x i,j+1 2 +0,5∗curle+fi1InHx+1 i,j+1 2 (62) fi1= σD(i)4t 2ε0 (63)

No es necesario calcular los par´ametros f y

gpara diferentes conductividades se puede usar el par´ametro auxiliar [2]

xn=σ4t

2ε0

(64)

Este par´ametro incrementa a medida que se va acercando m´as al PML. Los par´ametros f yg

son entonces calculados por:

xn=0,333 i longPML 3 i=1, 2, ...,longPML (65) fi1(i) =xn(i) (66) gi2(i) = 1 1+xn(i) (67) gi3(i) = 1−xn(i) 1+xn(i) (68)

Los par´ametros var´ıan de la siguiente mane-ra:

fi1(i)de 0 a 0.333 fi2(i)de 1 a 0.75

fi3(i)de 1 a 0.5

Figura 3:par´ametros relacionados al PML.

Implementado las ecuaciones anteriores a los campos se evita la reflexi ´on no deseada, la im-plementaci ´on en Matlab para estas ecuaciones es: dz ( i , j )= g i 3 ( i−1 ,1)∗g j 3 ( j−1 ,1)∗dz ( i , j )+ g i 2 ( i−1 ,1)∗g j 2 ( j−1 , 1 )∗0 . 5∗( hy ( i , j )− hy ( i−1, j )− hx ( i , j )+ hx ( i , j−1)) r o t e =ez ( i , j )−ez ( i , j + 1 ) ; i h x ( i , j )= i h x ( i , j )+ f i 1 ( i−1 ,1)∗r o t e ; hx ( i , j )= f j 3 ( j−1 ,1)∗hx ( i , j )+

(7)

f j 2 ( j−1 , 1 )∗0 . 5∗( r o t e + i h x ( i , j ) )

r o t e =ez ( i +1 , j )−ez ( i , j ) ;

ihy ( i , j )= ihy ( i , j )+ f j 1 ( j−1 ,1)∗r o t e ; hy ( i , j )= f i 3 ( j−1 ,1)∗hy ( i , j )+

f i 2 ( i−1 , 1 )∗0 . 5∗( r o t e +ihy ( i , j ) ) ;

A continuaci ´on se muestra un pulso Gaus-siano en las fronteras de la malla de simulaci ´on con condiciones absorbentes y sin ellas

Figura 4:Onda sinusoidal con T=86 pasos, el pul-so es reflejado en el l´ımite de la malla.

Figura 5:Onda sinusoidal con T=67, el pulso es absorbido por el PML.

5. CONCLUSIONES

A lo largo de este trabajo, se ha desarrolla-do un algoritmo en matlab basadesarrolla-do en el m´eto-do FDTD que permito simular la propagaci ´on de una onda electromagn´etica en el espacio libre. Gracias a la implementaci ´on de las condiciones de frontera absorbentes tipo PML se logr ´o simu-lar una onda sinusoidal de manera que no fuese reflejada en los l´ımites del mallado computacio-nal, obteniendo as´ı un mejor comportamiento y mejores resultados, lo cual nos permite hacer un mejor an´alisis de la propagaci ´on de la onda a pe-sar de los limites computacionales.

Referencias

[1] A.TAFLOVE, S. HAGNESS(2005)Computational Electrody-namic the finite-difference time-domain method. Artech Hou-se,Boston, London.

[2] DENNISM. SULLIVAN(2000) “Electromagnetic Simula-tion Using the FDTD Method”.IEEE PRESS.

[3] Val´eria de Magalhaes I ´orio.EDP um curso de graduacao. Instituto de matem´atica pura y aplicada IMPA, Rio de ja-neiro, 1991.

[4] Moysey Brio, Aramais Zakharian & Gary M. Webb.

Numerical Time-Dependent Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. C.K Chui, Stanford University, 2010.

[5] Univ. de Extremadura.Apuntes de ecuaciones diferenciales, Dpto. de Matem´aticas. Badajoz-Espa˜a, Mayo 2013.[Docu-mento en l´ınea]. http://matematicas.unex.es/ ricarfr/Ec-Diferenciales/LibroEDlat.pdf.

[6] Ignacio Gracia Rivas & Narciso Rom´an Roy. Apuntes de ecuaciones diferenciales, Departamento de de Matem´ati-ca ApliMatem´ati-cada IV, Barcelona Espa ˜na, Octubre 2008. [Do-cumento en l´ınea]. http://www-ma4.upc.edu/ nrr/doc-s/edteor.pdf.

Para citar este art´ıculo: Larry Theran et al . 2014, “Estudio Num´erico De La Propagaci ´on De Ondas Electromagn´eticas 2-D Por FDTD”. Disponible en Revistas y Publicaciones de la Universidad del Atl´antico enhttp://investigaciones.uniatlantico.edu.co/revistas/index.php/MATUA.

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