Capítulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias

(1)

Ensamblaje de naves Osciladores no lineales Modelos de propagaci´on del SIDA

Cap´ıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias

M´etodos Num´ericos Avanzados

3 de noviembre de 2005

(2)

Ensamblaje de naves

Osciladores no lineales Modelos de propagaci´on del SIDA

Utilizaci´on de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios

Contenidos

Ensamblaje de naves

Osciladores no lineales El plano de fases

Modelos de propagaci´on del SIDA La ecuaci´on log´ıstica

(3)

Ensamblaje de naves

Utilizaci´on de la rutina ode45 de Matlab

Ejercicios

M´

etodo de Euler

Ejemplo m´as simple de los llamados M´etodos Taylor y0=f(x,y) y(x+h) =y(x) +y0(x)h+O(h2) Se reemplazay0 por f(x,y):

yk+1 =yk+hf(xk,yk)

Si continuamos calculando t´erminos con el polinomio de Taylor

podemos obtener m´etodos m´as precisos con el coste de tener que

calcular las derivadas parciales def.

(4)

Ensamblaje de naves

Ejercicios

M´

etodo de Runge-Kutta

Se evita calcular las derivadas def mediante m´as evaluaciones de la funci´on: y0(x) =f(x,y) y00(x) =fx+fyy0 =fx+fyf ∆y =hf + h 2 2 (fx+fyf) +O(h 3₎ = h 2f + h 2(f +hfx +hfyf) +O(h 3₎ f +h(fx+fyf) =f(x+h,y+hf) +O(h2) F1 =f(x,y) F2 =f(x+h,y+hF1) h

(5)

Ensamblaje de naves

Ejercicios

Ecuaci´

on para la trayectoria de la nave

x0(t) =s(t)(X(t)−x(t)), y0(t) =s(t)(Y(t)−y(t)), z0(t) =s(t)(Z(t)−z(t)). s(t) =k p X0(t)2₊_Y0₍_t₎2₊_Z0₍_t₎2 p (X(t)−x(t))2_{+ (}_Y₍_t₎₋_y₍_t₎₎2_{+ (}_Z₍_t₎₋_z₍_t₎₎2

(6)

Ensamblaje de naves

Ejercicios

Pasos de la resoluci´

on num´

erica

I Definir una funci´on para la trayectoria circular de la nave.

I Utilizar el comando ode45(‘funcion’,tspan,y0).

(7)

Ensamblaje de naves

Ejercicios

Pasos de la resoluci´

on num´

erica

I Visualización: estática o dinámica.

(8)

Ensamblaje de naves

Ejercicios

Pasos de la resoluci´

on num´

erica

(9)

Ensamblaje de naves

Ejercicios

Trayectoria de la nave

function c=circulo(t)

global w teta fi %fi es el angulo del eje de rotacion %respecto de e3

%teta es el angulo sobre el plano xy del corte del %plano de rotacion con el xy

t=t’; w=1; fi=pi/3; teta=pi/4;

x=cos(w*t).*cos(teta)-sin(w*t).*cos(fi)*sin(teta); y=cos(w*t).*sin(teta)+sin(w*t).*cos(fi)*cos(teta); z=sin(w*t).*sin(fi); c=[x; y ;z];

(10)

Ensamblaje de naves

Ejercicios

M´

etodo de Runge-Kutta-Fehlberg

I Utiliza dos m´etodos R-K para adaptar el paso

(11)

Ensamblaje de naves

Ejercicios

M´

etodo de Runge-Kutta-Fehlberg

I Utiliza dos m´etodos R-K para adaptar el paso

I Es eficiente en el n´umero de evaluaciones.

(12)

Ensamblaje de naves

Ejercicios

Visualizaci´

on: Ejemplo de animaci´

on en 3D

clear all . . . p=plot3(estacion(1,1),estacion(2,1),estacion(3,1),... ’+g’,’EraseMode’,’none’,’MarkerSize’,5);hold on; % poner EraseMode ’none’ para que se vea la estela q=plot3(y(1,1),y(2,1),y(3,1),’*r’,... ’EraseMode’,’xor’,’MarkerSize’,10); legend(’nave’,’estacion’) y=y’; axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5 -1.5 1.5]) for i=2:length(t); set(p,’XData’,estacion(1,i),’YData’,estacion(2,i),... ’ZData’,estacion(3,i)) set(q,’XData’,y(1,i),’YData’,y(2,i),’ZData’,y(3,i))

(13)

Ensamblaje de naves

Ejercicios

Ejercicio 1: Modelo de competencia

I Definir una funci´oncompeticion.m.

I animar la soluci´on para visualizar los puntos de equilibrio.

(14)

Ensamblaje de naves

Ejercicios

Ejercicio 1: Modelo de competencia

I Definir una funci´oncompeticion.m.

(15)

Ensamblaje de naves

Ejercicios

Ejercicio 2: Modelo de Robertson

I Utilizar el comando subplot para comparar la evoluci´on de

las distintas especies.

I Comparar el n´umero de nodos de cada soluci´on.

I Comparar el tiempo de resoluci´on de ambos m´etodos

utilizando los comandos tic,toco etime

(16)

Ensamblaje de naves

Ejercicios

Ejercicio 2: Modelo de Robertson

(17)

Ensamblaje de naves

Ejercicios

Ejercicio 2: Modelo de Robertson

utilizando los comandos tic,toco etime

(18)

Ensamblaje de naves

Osciladores no lineales

Modelos de propagaci´on del SIDA

El plano de fases El p´endulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2

Contenidos

Ensamblaje de naves

El plano de fases

Modelos de propagaci´on del SIDA La ecuaci´on log´ıstica

(19)

Ensamblaje de naves

El plano de fases

El p´endulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2

Sistema aut´

onomo de dos ODE’s

x0(t) =f(x(t),y(t)) y0(t) =g(x(t),y(t)) dy dx = g(x,y) f(x,y)

(20)

Ensamblaje de naves

El plano de fases

Sistema aut´

onomo de dos ODE’s

(21)

Ensamblaje de naves

El plano de fases

Sistema aut´

onomo de dos ODE’s

(22)

Ensamblaje de naves

El plano de fases

Ecuaci´

on de segundo orden

y00=f(y,y0)⇐⇒y2 =y0(t) y1=y(t)

y₁0 =y2 y₂0 =f(y1,y2)

(23)

Ensamblaje de naves

El plano de fases

Ecuaci´

on de segundo orden

y00=f(y,y0)⇐⇒y2 =y0(t) y1=y(t)

y₁0 =y2 y₂0 =f(y1,y2)

(24)

Ensamblaje de naves

Ecuaci´

on de p´

endulo

y00+ sen(y) = 0⇐⇒y₁0 =y2,y20 =−sen(y1)

I Definir la funci´on del segundo miembropend.m

I Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar los datos iniciales.

(25)

Ensamblaje de naves

Ecuaci´

on de p´

endulo

y00+ sen(y) = 0⇐⇒y₁0 =y2,y20 =−sen(y1)

I Programapendulo.m (script).

(26)

Ensamblaje de naves

Ecuaci´

on de p´

endulo

y00+ sen(y) = 0⇐⇒y₁0 =y2,y20 =−sen(y1)

(27)

Ensamblaje de naves

Ecuaci´

on de p´

endulo

y00+ sen(y) = 0⇐⇒y₁0 =y2,y20 =−sen(y1)

I Programapendulo.m (script).

(28)

Ensamblaje de naves

Efectos de fricci´

on

y00+y0+ sen(y) = 0⇐⇒y₁0 =y2,y₂0 =−sen(y1)−y2

I Definir la funci´on del segundo miembropendf.m

(29)

Ensamblaje de naves

Efectos de fricci´

on

y00+y0+ sen(y) = 0⇐⇒y₁0 =y2,y₂0 =−sen(y1)−y2

I Programapendulof.m (script).

(30)

Ensamblaje de naves

Efectos de fricci´

on

y00+y0+ sen(y) = 0⇐⇒y₁0 =y2,y₂0 =−sen(y1)−y2

(31)

Ensamblaje de naves

Efectos de fricci´

on

y00+y0+ sen(y) = 0⇐⇒y₁0 =y2,y₂0 =−sen(y1)−y2

I Programapendulof.m (script).

(32)

Ensamblaje de naves

El plano de fases El p´endulo no lineal

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Modelo depredador-presa

I Utilizar los comandos meshgridycontourpara ver las

curvas de nivel de la soluci´on exacta.

I Utilizar quiverpara visualizar el plano de fases.

I Valores de las constantes:a=0.2,b=0.005,c=0.15*b,d=0.3

(33)

Ensamblaje de naves

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Modelo depredador-presa

y realizar la gr´afica entre los l´ımites: [0 1000,0 100].

(34)

Ensamblaje de naves

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Modelo depredador-presa

(35)

Ensamblaje de naves

El plano de fases El p´endulo no lineal Ejercicio 1

Ejercicio 2

Modelo depredador-presa con competici´

on

I Utilizar los comandos meshgridyquiverpara visualizar los

puntos de equilibrio en el plano de fases.

I Valores de c : 2,−2.

(36)

Ensamblaje de naves

El plano de fases El p´endulo no lineal Ejercicio 1

Ejercicio 2

Modelo depredador-presa con competici´

on

I Utilizar los comandos meshgridyquiverpara visualizar los

puntos de equilibrio en el plano de fases.

(37)

Ensamblaje de naves Osciladores no lineales

La ecuaci´on log´ıstica

Modelo m´as complejo: 4 tipos de poblaci´on

Contenidos

Ensamblaje de naves

Osciladores no lineales El plano de fases

(38)

Ejemplo

Un modelo simplificado: La tasa de infectados es proporcional al n´umero de interacciones entre la poblaci´on sana y la enferma:

A0(t) =c(P −A(t))A(t)

P es la poblaci´on total,A(t) es el n´umero de afectados por la enfermedad en el instantet.

P−A(t) representa el n´umero de individuos sanos dentro de la poblaci´on en el instantet.

SiP = 50000, A(0) = 100, se puede calcular c a partir de alg´un dato emp´ıricoA(10) = 1000. c = 4,6416×10−6. Para infectar a la

(39)

Hip´

otesis

I El flujo de nuevos individuos susceptibles de ser contagiados

es constante.

I Los individuos susceptibles pueden convertirse en infecciosos o

morir de muerte natural.

I Los individuos infecciosos pueden morir de muerte natural,

desarrollar el SIDA o convertirse en no infecciosos.

I La gente con SIDA puede morir de SIDA o de muerte natural.

(40)

Hip´

otesis

es constante.

(41)

Hip´

otesis

es constante.

I La gente con SIDA puede morir de SIDA o de muerte natural.

(42)

Hip´

otesis

es constante.

(43)

Tipos de poblaci´

on

I X representa a los individuos susceptibles de desarrollar el SIDA.

I Y representa a los individuos infecciosos, capaces de contagiar

el HIV.

I Z representa al n´umero de individuos seropositivosno

infecciosos.

I A representa a los individuos que han desarrollado el SIDA.

(44)

Tipos de poblaci´

on

el HIV.

infecciosos.

(45)

Tipos de poblaci´

on

el HIV.

infecciosos.

I A representa a los individuos que han desarrollado el SIDA.

(46)

Tipos de poblaci´

on

el HIV.

infecciosos.

(47)

Par´

ametros

I β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles.

I µ tasa de muerte natural.

I λprobabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria.

I c n´umero de parejas que tiene un individuo por unidad de

tiempo (a˜no).

I d tasa de muerte por SIDA.

I ν tasa de seropositivos infecciosos que mutan a seropositivos

no-infecciosos.

I p proporci´on de individuos que contraen el sida entre los infecciosos.

(48)

Par´

ametros

tiempo (a˜no).

no-infecciosos.

(49)

Par´

ametros

tiempo (a˜no).

no-infecciosos.

(50)

Par´

ametros

tiempo (a˜no).

no-infecciosos.

(51)

Par´

ametros

tiempo (a˜no).

no-infecciosos.

(52)

Par´

ametros

tiempo (a˜no).

no-infecciosos.

(53)

Par´

ametros

tiempo (a˜no).

no-infecciosos.

(54)

X0 =β−µX −λcX λ= A+Y N Y0 =λcX −(µ+ν+p)Y A0 =pY −(d +µ)A Z0 =νY −µZ N(t) =X(t) +Y(t) +Z(t) +A(t) Valores de las constantes:

X(0) = 90000,Y(0) = 10000,A(0) = 0,Z(0) = 0