1 ´
OPTICA GEOM´
ETRICA 2
1.1.
Objetivos
Estudiar el fen´omeno de refracci´on sobre di-versos elementos ´opticos, comprobar los mo-delos te´oricos
Analizar la ecuaci´on para lentes delgadas Estudiar las aberraciones en lentes Construir un instrumento ´optico
1.2.
Introducci´
on te´
orica
Leer teor´ıa del cap´ıtulo “ ´Optica geom´etrica”, aqu´ı ´unicamente se expondr´an nuevos puntos de inter´es.
1.2.1. Aberraciones
Un sistema ´optico debe producir la m´ınima distorsi´on posible de la imagen, esto se puede conseguir con ´ovalos cartesianos donde los las dis-tancias a la imagen y el objeto sean conjugados, esto se encuentra en superficies de tipo el´ıptico, parab´olico, pero su costo de construcci´on es ex-tremadamente alto. Por lo anteriormente dicho las superficies m´as utilizadas hoy d´ıa son las su-perficies esf´ericas; en estos sistema los haces de luz que atraviesan el lente siguen diferentes cami-nos ´opticos, lo que da lugar a que se enfoquen en diferentes puntos dando lugar a un buen n´umero de distorsiones; matem´aticamente esto se expre-sa minimizando el camino ´optico donde aparecen funciones seno o coseno que son altamente no li-neal, la linealizaci´on de estas funciones da lugar a la ´optica paraxial.
Una forma de garantizar que estemos en la aproximaci´on senφ = φ o cosφ = 1, donde φ
es el ´angulo entre la horizontal y el rayo en estu-dio, estos ´angulos deben ser peque˜nos, o sea que los rayos est´en concentrados en el centro del len-te. Una confirmaci´on de que la ´optica geom´etrica paraxial es una aproximaci´on es que un traza-do exacto de rayos muestra inconsistencias con la descripci´on te´orica, tales diferencias son cono-cidas como aberraciones, las cuales pueden ser clasificadas en dos tipos:
Crom´aticas
Monocrom´aticas, estas se puede subdividir en:
• Esf´ericas • Coma
• Astigmatismo • Distorsi´on
1.2.2. La Aberraci´on Crom´atica
La ecuaci´on de la lente depende del ´ındice de refracci´on, los cuales a su vez var´ıan con la lon-gitud de onda, por lo tanto cada rayo cruzar´a el sistema a lo largo de diferentes caminos, una for-ma sencilla de ver la aberraci´on crom´atica es que cada longitud de onda tiene una distancia focal diferente, ver figura 1.1(a).
1.2.3. Aberraciones Monocrom´aticas
La ´optica paraxial se basa en queφes peque˜no por lo tantosenφ≈φ, pero los rayos en la peri-feria de la lente no cumplen esta condici´on y el senφdebe ser aproximado en t´erminos m´as altos de la expansi´on en serie de Taylor, esto da lugar a la aberraci´on monocrom´atica. Analicemos cada tipo de esta aberraci´on.
1.2. INTRODUCCI ´ON TE ´ORICA 1. ´OPTICA GEOM ´ETRICA 2
(a) (b)
Figura 1.1: Aberraci´on crom´atica(a). Aberraci´on monocrom´atica esf´erica(b)
1.2.4. Aberraci´on esf´erica
Para un objeto puntual en el eje de una lente, los rayos del objeto que pasan a trav´es de las re-giones exteriores de la lente llegan a un foco en un punto diferente de los rayos que pasan cerca del centro de la lente, en consecuencia la ima-gen formada ser´a una mancha circular de la luz; el punto de m´ınimo di´ametro de la mancha se denomina circulo de menor confusi´on, ver figu-ra 1.1(b), no se debe confundir con la aberfigu-raci´on crom´atica.
1.2.5. Aberraci´on com´atica o coma
Los planos principales de una lente son real-mente superficies curvas principales, por lo tanto, para un objeto situado fuera del eje de la lente, se tienen diferentes aumentos que son enfocados en un plano focal dando una forma de tipo cometa, ver figura 1.2(a).
1.2.6. Astigmatismo
Cuando un objeto est´a fuera del eje ´optico, el cono de rayos incidentes ser´a asim´etrico, origi-nando el astigmatismo, los rayos meridionales se enfocan a distancias focales m´as cortas que los rayos centrales (sagitales), ver figura 1.2(b)
1.2.7. Curvatura de campo.
Un objeto plano normal al eje ´optico tendr´a como imagen un plano curvo, ver figura 1.3(a).
Esta aberraci´on es la responsable de la deforma-ci´on observada en las fotograf´ıas tomada con len-tes de 35 y 28 mm.
1.2.8. Distorsi´on
Su origen est´a en que el aumento transversal es una funci´on de la distancia de la imagen al eje ´
optico, ver figura 1.3(b).
Las dos ´ultimas deformaciones son de extre-mada importancia en la fotograf´ıa toextre-mada a gran altura, en especial las fotos desde sat´elites.
1.2.9. Instrumentos ´Opticos
El objetivo fundamental de los instrumentos ´
opticos es mejorar la visi´on del ser humano, por lo cual esta secci´on siempre estar´a relacionada con la visi´on de ojo humano.
El tama˜no de un objeto est´a determinado por su tama˜no retinal que es una medida directa del ´
angulo sustentado por el objeto desde el ojo, por ejemplo para ver un objeto peque˜no se acerca al ojo para aumentar su ´angulo sustentado. En general, la distancia al punto m´as pr´oximo del ojo que puede ser enfocado n´ıtidamente, a partir del cual no aumenta m´as el ´angulo del objeto, es de unos 25 cms.
El anterior enunciado es la base de todos los sistemas ´opticos para enga˜nar al ojo humano, por ejemplo, si colocamos una lente convergente se aumenta la acomodaci´on del ojo pudiendo el ob-jeto acercarse a distancia menor que el punto de
1. ´OPTICA GEOM ´ETRICA 2 1.2. INTRODUCCI ´ON TE ´ORICA
(a) (b)
Figura 1.2: Aberraci´on com´atica(a). Astigmatismo(b)
(a) (b)
Figura 1.3: Curvatura de Campo(a). Distorsi´on(b).
25 cms y por supuesto esto aumenta su ´ angu-lo sustentado (tama˜no), el m´as simple de todos estos instrumentos es la lupa.
La lupa forma una imagen virtual del objeto y el ojo ve esta imagen que parece mayor que la real. La amplificaci´on de la lupa es:M =u0/u= 25/f, dondef es la distancia focal de la lupa. Si-guiendo este mismo principio se han construido innumerables instrumentos: Telescopios, micros-copios, c´amaras fotogr´aficas, sistemas de proyec-ci´on, binoculares, etc.
Los telescopios son instrumentos ´opticos que utilizan una combinaci´on de lentes convergentes donde la primera lente tiene una distancia focal grande y la ´ultima lente una distancia focal corta.
La primera lente u objetivo crea una imagen de un objeto situado en en el infinito en su punto focalf1 y la segunda lente u ocular es colocada de tal forma que su focalf2 este en este punto, ver figura 2-9, la magnificaci´on es:
m= tanθ tanθ0 =−
f0 fg
La longitud total del telescopio esL=fo+fe
Este telescopio se denomina refractor y da una imagen invertida, si se desea una imagen dere-cha se cambia el objetivo por una combinaci´on de lentes. En general en los telescopios se desea tener el m´ınimo posible de aberraciones y la me-nor pedida de luz al atravesar los lentes, por lo
1.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1. ´OPTICA GEOM ´ETRICA 2
cual el lente objetivo es sustituido por un espejo. En la figura 1.4 se muestra un microscopio, en este caso el objeto esta muy cerca de la distancia focal del primer lente, que tiene una distancia focal corta, la segunda lente de distancia focal mayor esta ubicada de tal manera que el objeto que ella ve forme una imagen virtual amplificada. Para este sistema la magnificaci´on del sistema es:
M =MoMe
Cada magnificaci´on en la figura 1.4 viene dada por: M0 = v u = 1−fe f0 Me= N fe =⇒ M = N(1−fe) fef0 ≈ N l fef0
Donde en general N es la distancia m´ınima de acomodaci´on del ojo normal (25cm.) y l es la longitud del tubo del microscopio, que ha sido estandarizada a 16 cm.
1.3.
Procedimiento
Experimen-tal
Comprobar la ecuaci´on para lentes delgadas Obtener el ´ındice de refracci´on
Estudiar las aberraciones en lentes Construir instrumentos ´opticos
Analizar cualitativamente un holograma
1.3.1. Comprobar la ecuaci´on para lentes delgadas
Monte el sistema en el riel ´optico con medida de la distancia, el filamento del bombillo sirve de objeto. Ver el diagrama de la figura 1.6.
En un extremo del banco ´optico, coloque la fuente de luz incandescente, coloque cada una de las lentes convexas asignadas y tome varios va-lores para las distancias u y v. La distancia de la lente a la imagen ocurre cuando la imagen es lo m´as n´ıtida posible; el estudiante debe deter-minar la distancia focal de las diferentes lentes suministradas, tanto c´oncavas como convexas.
En el caso de lentes c´oncavas. El m´etodo ante-rior no se puede aplicar por lo cual se debe medir la distancia de una combinaci´on de lentes, por lo tanto, debe colocar entre el filamento y la lente c´oncava una lente convexa de distancia focal cor-ta entre 10 y 50 mm. Realice las mediciones de u y v, determine la distancia focal del sistema y la distancia focal de la lente c´oncava.
Busque las magnificaciones para cada lente, para esto utilice un objeto en forma de flecha
Mida las distancia lente-objeto u y lente-imagenv, calcule la magnificaci´on te´orica Mida el tama˜no del objeto y la imagen, cal-cule la magnificaci´on experimental
1.3.2. An´alisis de las aberraciones
En algunos tipos de aberraciones la variaci´on de medidas es muy peque˜na, si se le dificulta me-dirla, el estudiante deber´a realizar un an´alisis de lo sucedido en el experimento.
1.3.3. Aberraci´on crom´atica
Monte el diagrama b´asico de la Figura 1.6, co-loque cada filtro de color entre la fuente y la lente, determine la distancia focal con cada longitud de onda dada por los filtros, determine la aberraci´on existente.
Para las siguientes aberraciones monocrom´ ati-cas, utilice un filtro o una l´ampara de sodio. Es-to es con la finalidad de evitar que la aberraci´on crom´atica se mezcle con otras aberraciones y as´ı evitar que se minimice su estudio f´ısico.
1.3.4. Aberraci´on esf´erica
Realice el siguiente procedimiento:
Coloque el centro de la fuente de luz en el eje ´optico, aseg´urese que la fuente abarque casi toda la lente.
Utilice varios obst´aculos u obturadores (fi-gura 1.7) centrados en el eje de la lente, determine la distancia focal en funci´on del di´ametro. Para esta parte utilice la lente de +150mmde mayor di´ametro.
1. ´OPTICA GEOM ´ETRICA 2 1.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
Figura 1.4: Diagrama de un telescopio
1.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1. ´OPTICA GEOM ´ETRICA 2
Figura 1.6: Esquema b´asico del montaje experimental
Figura 1.7: Obst´aculos de diferentes aberturas
1.3.5. Aberraci´on comatica o coma
Para este estudio el estudiante podr´a utilizar cualquiera de los dos m´etodos explicados a con-tinuaci´on.
Primer m´etodo
Coloque un objeto horizontal entre la fuente de luz y la lente. (puede utilizar la flecha que est´a en la fuente de luz)
Coloque un diafragma de muy peque˜no di´ametro entre el objeto y la lente, ubique la imagen sobre la pantalla.
Gire ligeramente el lente, observe y dibuje la nueva forma de la imagen.
Segundo m´etodo
Para esta parte utilice los obst´aculos men-cionados en el estudio de las aberraciones esf´ericas. Busque la distancia focal del obje-to horizontal cuando se utiliza el obst´aculo de menor di´ametro.
Cubra uno de los orificios de los obst´aculos (Parte inferior o superior del obst´aculo), mi-da el desplazamiento vertical del foco (ima-gen), repita el procedimiento para el otro orificio
Cambie de obst´aculo por el de mayor aber-tura y repita el punto anterior
La diferencia vertical en el plano focal es la aberraci´on comatica.
1.3.6. Curvatura de campo
Ilumine uniformemente el objeto Encuentre una imagen n´ıtida.
Ubique la distancia focal para cada diagra-ma dado.
1.3.7. Distorsi´on
Coloque la transparencia cuadriculada entre la fuente de luz y el lente, cuide que el objeto este uniformemente iluminado.
Ubique la imagen, cuidando que la parte central este bien n´ıtida.
Dibuje la imagen, la distorsi´on perif´erica es denominada de puntas.
Coloque un diafragma con una apertura muy peque˜na, entre la fuente de luz y la transparencia.
1. ´OPTICA GEOM ´ETRICA 2 1.4. CUESTIONARIO
Encuentre la imagen, dibujela, la distorsi´on perif´erica es denominada barril.
Repita lo anterior para varias distancias del diafragma.
1.3.8. Astigmatismo
Utilice un objeto que tenga componentes vertical y horizontal.
Coloque el sistema para que la imagen se forme en una pared lejos del lente.
Utilice un lente de distancia focal corta, de tal manera la imagen formada por ´el est´e muy cerca del lente principal.
Coloque un diafragma con muy peque˜na abertura entre el objeto y la lente.
Incline el lente unos pocos grados respecto de la vertical.
Moviendo el diafragma se puede observar la imagen tangencial y sagital, mida estas dis-tancias, el astigmatismo es la diferencia en-tre estas distancias.
1.3.9. Construcci´on de instrumentos ´
opticos
Telescopio astron´omico y terrestre
Utilice varios lentes convergentes y divergen-tes
Realice un montaje sobre un banco ´optico tal que exista un aumento del tama˜no del objeto.
Determine el aumento del telescopio anal´ıti-camente y comp´arelo con el experimental. Realice algunos cambios para disminuir las aberraciones existentes.
Determine el poder de resoluci´on de cada telescopio.
Cambie el objetivo por un espejo y repita lo anterior.
Microscopio compuesto
Utilice varios lentes.
Realice el montaje para tener un microsco-pio.
Encuentre el aumento y el poder de resolu-ci´on en forma anal´ıtica y experimental.
1.4.
Cuestionario
1. Defina ´ındice de refracci´on relativo y abso-luto de una sustancia ¿Cu´al es la diferencia entre ellos?
2. ¿A qu´e se le denomina ´angulo de refracci´on y ´angulo limite?
3. Deduzca la expresi´on gaussiana para los len-tes.
4. ¿C´omo define la magnificaci´on de una lente?, ¿C´omo se la puede utilizar para construir un sistema de proyecci´on?
5. Defina rayos paraxiales.
6. Defina la aberraci´on esf´erica y la aberraci´on esf´erica longitudinal.
7. ¿Por qu´e se emplean espejos parab´olicos y no esf´ericos en los telescopios y sistemas ´ opti-cos?