Sistemas. Matrices y Determinantes 1.- Si A y B son matrices ortogonales del mismo orden:

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Sistemas. Matrices y Determinantes

Unidad Docente de Matemáticas 37

1.- Si A y B son matrices ortogonales del mismo orden: a) A2 1

b) AB 1 c) AB 1

2.- Dadas dos matrices inversibles A y B NO se verifica en general que:

a) (At)1(A1)t

b) (AB)1A1B1

c) A1 A1

3.- Dadas las matrices A y B que cumplen AB=BA , entonces: a) (A+B)2 =A2 + B2

b) (A+B)(A-B) = A2 - B2 c) (A-B)2 = A2 - B2

4.- En un sistema homogéneo:

a) Si el rango de la matriz de los coeficientes coincide con el número de incógnitas el sistema admite soluciones distintas de la trivial.

b) Si el rango de la matriz de los coeficientes es mayor que el número de incógnitas, sólo tiene la solución trivial.

c) Siempre hay solución.

5.- El determinante de una matriz cuadrada es nulo si: a) Hay una fila idéntica a una columna. b) Coincide con su traspuesta.

c) No tiene inversa.

6.- Sea el sistema AX=B con A matriz cuadrada regular. a) X=A-1B

b) X=BA-1

c) X= B A

7.- Sea A una matriz antisimétrica de orden impar, entonces: a) A 0

b) A 1 c) A 1

8.- Si A y B son matrices tales que AB=A y BA=B, entonces: a) A=B

b)

 

At 2At

c) At A

9.- Dado el sistema AX=(0) siendo AM3(R), se verifica:

a) A no es siempre igual al A , siendo A* la matriz ampliada del sistema. * b) A 0=> sistema compatible determinado.

c) A 0=> sistema compatible indeterminado. 10.- Sea AMn(R), siendo A 0, entonces el rango de A es:

a) n-1 b) n

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c) <n 11.- Si AX+B = XC+D, entonces: a) X = (A-C)-1(D-B), si AC 0. b) X = (-B+D)(A-C)-1, si AC 0. c) No se puede despejar X

12.- Sabiendo que la matriz A+2 I es inversible (donde I es la matriz unidad) y que se verifica la ecuación matricial 2X+AX+B=0, entonces:

a) X=-B(2I+A)-1 b) X=-(2I+A)-1B c) (2+A)X+B=0

13.- Sean A y B matrices cuadradas de orden n1, se verifica:

a) AB  A  B

b) 3A =3 A

c) A.B  A.B

14.- Sea M una matriz real de orden 3. M es ortogonal si y solo si: a) M = M-1

b) Sus vectores columna constituyen una base ortonormal de R3. c) Sus vectores columna son ortogonales entre sí

15.- Sean S1 y S2 dos sistemas lineales equivalentes, cuyas matrices de coeficientes son A1 y A2 respectivamente. Entonces:

a) S1 y S2 tienen el mismo número de ecuaciones. b) A1 y A2 tienen el mismo rango.

c) Ninguna de las dos anteriores.

16.- Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con A k0. Se verifica:

a) A1 At k b) A.A 2k c) k 1 A1

17.- Sea AMn(R) ortogonal. Se verifica:

a) A1At

b) A 1

c) rango(A)=n

18.- Sean A y B Mn(K) y O la matriz nula del mismo orden, tales que AB = O. Entonces: a) A = O ó bien B = O.

b) A 0 óbien B 0.

c) Ninguna de las dos anteriores.

19.- Sea AX = K un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas tal que r(A)r(A)n3. Se verifica entonces que:

a) El sistema es incompatible.

b) Podemos despejar 3 incógnitas en función de las demás.

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20.- Sean A y B matrices cuadradas de orden n distinto de 1, se verifica:

a) AB  A  B

b) pA pA c) ABtA1 B

21.- Sean A y B dos matrices inversibles del mismo orden, entonces: a). (AB)1 A1B1

b) (AB)1A1B1

c) (AB)1 B1A1

22.- Dada una matriz AMmn(R) con m > n, se verifica:

a) El rango A puede tomar cualquier valor del intervalo [0, m] b) El rango A puede tomar cualquier valor del intervalo [0, n] c) El rango A puede tomar cualquier valor del intervalo (n, m).

23.- Sean A, B y C tres matrices cualesquiera cuadradas del mismo orden. Podemos afirmar: a) A(BC) = (AB)C

b) AB = BA

c) AC = BC  A = B

24.- Si una matriz A es producto de matrices elementales, entonces: a) A es inversible.

b) A es una matriz elemental. c) ninguna de las dos anteriores.

25.-Sean AyA las matrices de coeficientes y ampliada, respectivamente, del sistema

incompatible AXK. Entonces: a) r

 

A r

 

A b) r

 

A r

 

A c) r

 

A r

 

A 26.- Sea AMmn , se verifica: a) A At es simétrica. b) A At es antisimétrica. c) A At At A.

27.- Sea A una matriz de orden 3 tal que rango (A) = 1. Entonces: a) A 0 y A tiene al menos una línea constituida por ceros. b) A 1

c) A 0 y las tres filas son proporcionales.

28.- Siendo S un sistema homogéneo de 2 ecuaciones lineales con 3 incógnitas, entonces, se puede asegurar:

a) S tiene una solución única. b) S tiene varias soluciones.

c) Que S tenga alguna solución depende de los coeficientes del sistema. 29.- Una matriz cualquiera A verifica:

a) A . At = At . A b) A . At es simétrica.

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30.- Si A es una matriz antisimétrica ( At = -A ) y de orden n impar, se verifica: a) A-1 = At

b) A 0

c) A = 0

31.- Consideremos el sistema S formado por tres ecuaciones lineales E1,E2 y E3. Una de las afirmaciones siguientes es FALSA:

a) Si S es compatible, entonces el sistema S´ formado por las ecuaciones E1 y E2 también es compatible.

b) Si S es incompatible, entonces el sistema S´´ formado por las ecuaciones E1 y E2 también es incompatible.

c) El sistema S´´´ de ecuaciones E1, E2 y E3 +  E1 +E2 es equivalente a S. 32.- Sea AMmxn(R) tal que rango(A)=r, se verifica:

a) Todos los menores de orden r de A son distintos de cero.

b) El subespacio engendrado por los vectores fila de A tiene dimensión r.

c) El subespacio engendrado por los vectores columna de A puede tener dimensión distinta de r.

33.- Sean A y B matrices cuadradas, entonces una de las siguientes afirmaciones es FALSA:

a) A At

b) Si A.B = I =(matriz identidad)

B 1 A 

 .

c) AB  A  B

34.- Sea AM3 tal que A 0. Consideramos el sistema definido por AX=0. a) El sistema es incompatible.

b) El sistema es compatible determinado. c) El sistema es compatible indeterminado. 35.- Sea A una matriz de rango r. Podemos afirmar que:

a) Todos los menores de A de orden r son distintos de cero.

b) El subespacio engendrado por los vectores fila de A es de dimensión r.

c) A tiene r filas linealmente independientes, pero, no podemos asegurar lo mismo de las columnas.

36.- Si A es una matriz de dimensión 3x4 cuyo rango es 2, entonces se puede asegurar que: a) Los determinantes de todas las submatrices de A de orden 1x1 son cero. b) Todos los menores de orden 2 de A son distintos de cero.

c) Son nulos todos los menores de orden 3 de la matriz A.

37.- El determinante de la matriz M de orden 2 es igual a 1. Entonces se puede asegurar: a) M 1

b) 3M 3M c) M-1 = M

38.- Sean A y B matrices cualesquiera tales que A.B = In =(matriz identidad), entonces:

a) B es la inversa de A b)

B 1

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c) AMnxm y BMmxn

39.- Sea AMn(R) tal que rango(A)=r, se verifica:

a) Todos los menores de orden r de A son distintos de cero. b) A es inversible si y solo si r=n.

c) Con esta información no sabemos cuántas columnas linealmente independientes tiene la matriz A.

40.- Sean AM3x2, BM5x3, entonces:

a) AB  A B

b) BA  BA

c) No existe ni AB , ni BA.

41.- Sean A,BMn; sea 0 la matriz nula del mismo orden. Se verifica:

a) AB=0  A=0 ó B=0

b) Si A es inversible y AB=0 entonces B=0.

c) AB=BA, por ser A y B matrices cuadradas del mismo orden.

42.- Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden n1, se verifica:

a) AB  A  B

b) 2A =2 A

c) 2A 2nA

43.- Sean A y B matrices reales de dimensiones mxn y nxm respectivamente con mn. Podemos

afirmar:

a) A.B es una matriz cuadrada de orden n.

b) A.At es una matriz cuadrada simétrica de orden m. c) El producto Bt .B no puede efectuarse.

44.- Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden n2 con elementos reales y sea k un número

real, se verifica:

a) AB  A  B

b) A.B  A.B

c) kA kA

45.- Sea AX=C un sistema lineal de cinco ecuaciones con tres incógnitas tal que rango(A)=rango(A*)=2, siendo A* la matriz ampliada del sistema. Se verifica:

a) Pueden despejarse dos incógnitas cualesquiera en función de la tercera.

b) El sistema puede ser incompatible.

c) Hay tres ecuaciones que son combinación lineal de las otras dos. 46.- Sea AMn(R) ortogonal. Se verifica:

a) IA.At (I es la matriz unidad)

b) A 0

c) A.A=I (I es la matriz unidad)

47.- Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden con A inversible, entonces: a) A.B.A1 B

b) A. B.A1B

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48.- Sea AX=C un sistema lineal de mecuaciones y n incógnitas tal que rango(A)=rango(A*)=r<n, siendo A* la matriz ampliada del sistema. Se verifica:

a) El sistema es compatible determinado.

b) El sistema es compatible indeterminado pudiendo despejar r incógnitas cualesquiera en función de las demás.

c) Hay r incógnitas que pueden despejarse en función de las demás.

49.- Si AX+B = CX+D, siendo A, B, C y D matrices cuadradas tales que AC 0, podemos

afirmar: a) X = (A-C)-1(D-B) b) X = (-B+D)(A-C)-1 c) C A B D X   

50.- Sea AMn(R) ortogonal y simétrica. Se verifica:

a) AA1

b) A 1

c) A+At=I (I es la matriz unidad)

51.- Sea B una matriz cuadrada conB 0, y sea A=2B. Se verifica:

a) A12B1

b) 1 B 1

2 1

A

c) A no tiene porqué tener inversa.

52.- Para cualquier matriz cuadrada A, la matriz A+At es: a) antisimétrica.

b) simétrica. c) ortogonal.

53.- Sean A y B matrices cuadradas de orden n, entonces: a) A.B  A B

b) AB=BA

c) AB  A  B

54.- Si en una matriz cuadrada A de orden n la tercera columna es tres veces la primera, se puede afirmar que.

a) Existe A-1.

b) El rango de A es menor que n. c) El rango de A es n-1. 55.- El determinante de la matriz

            2 1 2 2 0 1 A es: a) -2 b) 2 c) no existe el determinante de A

56.- Dada una matriz cualquiera AMmn, el producto AA es siempre un matriz: t

a) inversible b) simétrica

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c) de dimensión mn. 57.- La ecuación 1 0 0 x x x 0 0 1 x 1 0 1 

a) tiene por solución x=0. b) tiene por solución x=1. c) no es posible resolverla.

58.- Sea S un sistema homogéneo de 5 ecuaciones con 5 incógnitas tal que rgA = 3, entonces: a) S es compatible indeterminado y el conjunto solución es un subespacio vectorial de R5

de dimensión indeterminada.

b) S es compatible indeterminado y el conjunto solución es un subespacio vectorial de R5

de dimensión 3.

c) S es compatible indeterminado y el conjunto solución es un subespacio vectorial de R5

de dimensión 2.

59.- Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que A 5 , entonces, se verifica:

a) 10 1 2A1  b) 2A 10 c) 2A 40

60.- Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden. Podemos afirmar:

a) AB  A  B. b) A B B A1 , cuando A es inversible. c) pA pA, pR.

61.- Si AX+B = XC+D, siendo A, B, C, D y X matrices cuadradas del mismo orden tales que 0 C A  , podemos afirmar: a) X = (A-C)-1(D-B) b) X = (D-B)(A-C)-1 c) No se puede despejar X.

62.- Sea A una matriz cuadrada de cualquier orden, que cumple: A2+2A+I=0, entonces:

a) A+I=0.

b) A es inversible. c) A+2=0.

63.-Sea A una matriz ortogonal de orden 3. Se verifica: a)  A A

b) A1 A

c) Ninguna de las dos anteriores.

64.-Después de efectuar operaciones elementales en las filas de la matriz ampliada del sistema

SAX=K se ha obtenido la matriz equivalente

1 0 0 0 0 1 0 7 0 0 0 0          

. Podemos afirmar que la solución general del sistema S es:

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a) x 0 y 7 z 0         b) (x,y,z)=

0, 7,

,  R. c) S es incompatible.

65.- Sean A y B matrices cuadradas. Podemos afirmar: a) A·B = B·A.

b) Traza(A·B) = Traza(B·A). c) rango(A·B) = rango(B·A). 66.- Sea AMn

 

 con r(A)<n se verifica:

a) A 0

b) A es inversible.

c) Existe un menor de orden n-1 distinto de cero. 67.- Sea AM5

 

 con A k. Se verifica:

a) 3A  3k.

b)   5

3A 3 k.

c)    5

3A 3 k

68.- Sea AM3(R). Sabiendo que A 4, entonces:

a) 5A 20

b) A3 64

c) A1  4

69.- Las matrices AAt y AtA son: a) Matrices simétricas. b) Matrices regulares. c) Matrices ortogonales.

70.- Si A es una matriz regular, se verifica: a)

AAt

  

1 A1 tA1.

b)

AAt

1 A1

 

At 1.

c)

AAt

 

1 AA1

t.

71.- Sea S un sistema de varias ecuaciones lineales con 3 incógnitas Compatible Indeterminado, y sean (x1,y1,z1), (x2,y2,z2) dos soluciones particulares de S, entonces:

a) (x1+x2,y1+y2,z1+z2) es solución de S.

b) (x1+x2,y1+y2,z1+z2) es solución de S sólo si S es homogéneo.

c) (x1+x2,y1+y2,z1+z2) no es solución de S en ningún caso.

72.- Si A2+A=I, entonces: a) A-1=A2. b) A-1=A+I.

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c)

A

0

. 73.- Si A es una matriz 3x3 y A 1 8  entonces 2A1 vale: a) 1. b) 64. c) 1 4.

74.- Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo cumple: a) Su matriz de los coeficientes tiene inversa. b) Tiene solución única.

c) Es compatible.

75.- El determinante de una matriz cuadrada es nulo si: a) Hay una fila idéntica a una columna. b) Coincide con su traspuesta.

c) No tiene inversa.

76.- Sea AMm n , entonces:

a) A At es simétrica.

b) A At A At

c) A At A At

77.- Sea A una matriz cuadrada de orden n con A k0. Se verifica:

a) A1 k

b) A A 2k c) rango(A) = n

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