Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 617
ESPACIO VECTORIAL
CPR. JORGE JUAN Xuvia-NarónSea
E, K conjuntos
+:ExE E ley de composición binaria interna definida sobre el conjunto, E, al que le da estructura de grupo abeliano
+:KxK K ley de composición binaria interna definida sobre el conjunto, K, al que le da estructura de grupo abeliano
.:KxK K ley de composición binaria interna definida sobre el conjunto, K, al que le da estructura de grupo abeliano. Esta operación tiene además la propiedaddistributiva con respecto a la suma de elementos del conjunto, K. El conjunto, K, tiene estructura de cuerpo conmutativo
f:KxE E
(,a) f(,a)= ley de composición binaria externa definida sobre el conjunto, E la ley de composición binaria externa tiene las siguientes propiedades:
Distributiva de la ley de composición binaria externa respecto de la operación binaria interna, +, definida sobre el conjunto, K
,K, aE, (+).a= .a+.a
Distributiva de la ley de composición binaria externa respecto de la operación binaria interna, +, definida sobre el conjunto, E
K, a,bE, .(a+b)= .a+.b Asociatividad mixta
,K, aE, .(.a)= ().a
Neutralidad del elemento neutro, 1, del cuerpo, K, con respecto a la ley de composición binaria interna, ., con respecto a la ley de composición binaria externa
aE, 1.a= a
Si se verifican estas cuatro propiedades se dice que el conjunto, E, tiene estructura de espacio vectorial por la izquierda sobre el cuerpo, K. Los elementos del conjunto, E, se denominan vectores, y escalares los elementos del conjunto, K.
Se ha definido la operación externa por la izquierda, y podría haberse definido por la derecha, teniendo así un espacio vectorial por la izquierda o por la derecha. Si un conjunto, E, es al mismo tiempo un espacio vectorial por la izquierda y por la derecha, se dice entonces que es un espacio vectorial.
Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 618 De la estructura de espacio vectorial se obtienen las siguientes propiedades:
Por ser el conjunto, E, un grupo aditivo
Unicidad del elemento neutro del espacio vectorial E, ó vector nulo con respecto a la ley de composición binaria interna, +
0= (0,0,...,0)
Unicidad del elemento opuesto de todo vector del espacio vectorial, E, con respecto a la ley de composición binaria interna, +
Regularidad de todos los vectores del espacio vectorial, E, con respecto a la ley de composición binaria interna, +
Posibilidad de realizar la operación de sustracción
Puesto que restar dos vectores puede considerarse como sumarle a uno de ellos el opuesto del otro.
a - b= a + (-b) -(-a)= a
De las propiedades de la ley externa 0.a= 0
.a= (+ 0).a= .a + 0.a
despejando el segundo término del segundo miembro de esta igualdad
0= .a - .a= 0.a
.0= 0
.0= .(0.a)= (.0).a= 0.a= 0
(-).a= -.a
Se ha de comprobar que estos dos vectores son opuestos, en cuyo caso su suma ha de ser el vector nulo del conjunto, E.
.a + (-.a)= [+ (-)].a= 0.a= 0
Propiedad distributiva de la ley de composición binaria externa respecto a la ley de composición binaria interna, +, definida sobre el espacio vectorial, E
.(a - b)= .[a + (-b)]= .a + .(-b)= .a - .b
Propiedad distributiva de la ley de composición binaria externa respecto a la ley de composición binaria interna, +, definida sobre el cuerpo, k
(- ).a= [+ (-)].a= .a + (-).a= .a - .a
Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 619 .(-a)=-.a
Se ha de comprobar que estos dos vectores son opuestos, en cuyo caso su suma ha de ser el vector nulo del conjunto, E.
.(-a) + .a= .[(-a) + a]=.(-a + a)= .0= 0
Si, .a= 0, entonces:
= 0
Obvio a= 0
Si, 0, existe otro escalar, -1, inverso de aquel tal que:
0= -1.0= -1..a=1.a= a
Dado el espacio vectorial, E. Si el subconjunto, E1E, con las mismas operaciones que le dan al conjunto, E, estructura de espacio vectorial, es también un espacio vectorial, entonces se dice que el conjunto, E1, es un subespacio vectorial del espacio vectorial, E.
Se verifica entonces:
La suma ó composición por la ley de composición binaria interna, +, definida sobre el espacio vectorial, E1E, de dos vectores del espacio vectorial, E1, es otro vector de este espacio
vectorial, E1, consecuencia de la ley de composición binaria interna, +, del grupo abeliano
u,vE1 → u+vE1
El producto ó composición por la ley de composición binaria externa de un vector del espacio vectorial, E1E, con un escalar del cuerpo conmutativo, K, es otro vector del espacio vectorial,
E1, consecuencia de la ley de composición binaria externa
uE1, K → .uE1
De la definición de subespacio vectorial se deduce:
El vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que está definida la ley de composición binaria interna, +, es un elemento de cualquier subespacio vectorial, E1E, del espacio vectorial, E
El vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que está definida la ley de composición binaria interna, +, es por sí solo un subespacio vectorial del especio vectorial, E.
Dados dos subespacios vectoriales, E1, y, E2, del espacio vectorial, E, se verifica:
La intersección de los subespacios vectoriales, E1, y, E2, es otro subespacio vectorial, W, del
espacio vectorial, E, cuyos vectores son todos los vectores comunes a ambos subespacios vectoriales, E1, y, E2
WE
W= E1E2= {xW / xE1, xE2}
Para demostrar que este conjunto intersección, W= E1E2, es un subespacio vectorial del espacio vectorial, E, hay que probar que:
Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 620 La suma de dos elementos del conjunto intersección, W, de los subespacios vectoriales, E1, y, E2, del espacio vectorial, E, es otro elemento del conjuntio, W
u,vW entonces
uE1 uE2
vE1 vE2
por ser, E1, y, E2, subespacios vectoriales del espacio vectorial, E
u+vE1
u+vE2
de donde se deduce
u+vE1E2= W
El producto de un elemento del conjunto intersección, W, de los subespacios vectoriales, E1, y, E2, del espacio vectorial, E, por un escalar del cuerpo conmutativo, K, es otro elemento del conjunto intersección, W
uW, K entonces
uE1 uE2
por ser, E1, y, E2, subespacios vectoriales del espacio vectorial, E
.uE1
.uE2
de donde se deduce
.uW
Un caso particular lo constituye el hecho de que este subespacio vectorial intersección, W, de los subespacios vectoriales, E1, y, E2, del espacio vectorial, E, tenga como único elemento el vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que está definida la ley de composición binaria interna, +,
W= {0}
en este caso los subespacios vectoriales, E1, y, E2, del espacio vectorial, E, que dan lugar al subespacio vectorial intersección, W, se dicen subespacios vectoriales disjuntos.
La suma de de los subespacios vectoriales, E1, y, E2, del espacio vectorial, E, es otro subespacio
vectorial, E1+E2, del espacio vectorial, E, cuyos vectores son suma de un vector del subespacio
vectorial, E1, y de un vector del subespacio vectorial, E2
WE
W= E1+E2= {xW / x= x1 + x2; x1E1; x2E2}
Para demostrar que este conjunto suma, W= E1+E2, es un subespacio vectorial del espacio vectorial, E, hay que probar que:
Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 621 La suma de dos elementos del conjunto suma, W, de los subespacios vectoriales, E1, y, E2, del espacio vectorial, E, es otro elemento del conjunto, W
u,vW entonces u= u1+u2 u1E1, u2E2 v= v1+v2 v1E1, v2E2 se deduce u+v= (u1+u2)+(v1+v2)= (u1+v1)+(u2+v2)W puesto que los vectores
u1+v1E1
u2+v2E2
El producto de un elemento del conjunto suma, W, de los subespacios vectoriales, E1, y, E2, del espacio vectorial, E, por un escalar del cuerpo conmutativo K, es otro elemento del conjunto suma, W uW, K entonces u= u1 + u2 u1E1, u2E2 se deduce .u= .(u1 + u2)= .u1 + .u2W puesto que los vectores
.u1E1, .u2E2
En general todo vector del subespacio vectorial suma, E1+E2, del espacio vectorial, E, se puede descomponer de varias formas distintas como suma de dos vectores, uno perteneciente al primer subespacio vectorial, E1, y otro perteneciente al segundo subespacio vectorial, E2 .
w= u1 + u2 u1E1, u2E2 w= v1 + v2 v1E1, v2E2 entonces se escribe
w= u1 + u2 = v1 + v2
escribiendo en el mismo miembro de la expresión anterior los vectores pertenecientes al mismo subespacio vectorial
w= u1 – v1= v2 – u2
se obtiene un vector, w, del subespacio vectorial suma, E1+E2, del espacio vectorial, E, que es suma por una parte de vectores del primer subespacio vectorial, E1, por lo que es un vector de dicho subespacio vectorial, y por otro lado es suma de vectores del segundo subespacio vectorial, E2, por lo
Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 622 que también es un vector de dicho subespacio vectorial. Es pues un vector común a los subespacios vectoriales, E1, y, E2, por lo que se deduce que es un vector del subespacio vectorial intersección, E1E2, del espacio vectorial, E.
wE1E2
La descomposición de un vector, u, perteneciente al subespacio vectorial suma, E1+E2, del espacio vectorial, E
uE1+E2
en suma de dos vectores puede hacerse de las formas u= u1 + u2= (v1 + w) + (v2 - w)= v1 + v2
siendo, w, un vector del subespacio vectorial intersección, E1E2, del espacio vectorial, E
Si los subespacios vectoriales, E1, y, E2, del espacio vectorial, E, son disjuntos, entonces el subespacio vectorial intersección, E1E2, del espacio vectorial, E, tiene como único elemento el vector nulo
E1E2= {0}
y la descomposición de todo vector perteneciente al subespacio vectorial suma, E1+E2, del espacio vectorial, E, como adición de dos vectores uno perteneciente al primer subespacio vectorial, E1, y el otro perteneciente al segundo subespacio vectorial, E2, es única
u= u1 + u2= (v1 + 0) + (v2 - 0)= v1 + v2
La suma de los subespacios vectoriales, E1, y, E2, del espacio vectorial, E, se dice entonces directa y se representa por:
E1E2
Si se verifica que la suma de estos subespacios vectoriales, E1, y, E2, del espacio vectorial, E, da lugar al propio espacio vectorial, E, que los contiene, entonces ambos subespacios vectoriales, E1, y, E2, se denominan suplementarios, y se verifica
E1E2= E E1E2= {0}
Se llama sistema de vectores a un conjunto, S, cuyos elementos son, n-vectores, del espacio vectorial E. S= (v1,v2,v3,...,vn)
Se llama combinación lineal de un sistema de vectores, S, a todo vector del espacio vectorial, E, resultado de sumar todos los vectores, vi, del sistema de vectores, S, después de haberlos multiplicado por escalares, i, cualesquiera del cuerpo conmutativo, K.
w= 1.v1+...+n.vn= 1
.
n i i iv
Se llama variedad lineal, (S), generada por un sistema de vectores, S, al conjunto de todas las combinaciones lineales que se pueden obtener con los vectores de ese sistema.
Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 623 Hallar la ecuación de la variedad lineal generada por el sistema de vectores, (1,2,3), y, (0,1,2), de,ℝ3. (x1,x2,x3)= .(1,2,3)+.(0,1,2)
se deducen las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial de, ℝ3, que generan x1=
x2= 2+ x3= 3+2
eliminando los parámetros, , y, , entre las tres ecuaciones se llega a la ecuación del subespacio vectorial generado por el sistema de vectores
= x1
= x2-2= x2-2x1
sustituyendo estos resultados en la tercera ecuación se escribe x3= 3x1+2(x2-2x1)= 3x1+2x2-4x1
pasando al primer miembro todos los términos de esta ecuación 4x1-2x2-3x1+x3= 0
x1-2x2+x3= 0
ecuación que sólo verifican los vectores del subespacio vectorial de, ℝ3, generado por el sistema de vectores.
Hallar la ecuación de la variedad lineal generada por el sistema de vectores, (1,-2,3,-1), y, (4,-2,0,1), de, ℝ4.
(x1,x2,x3,x4)= .(1,-2,3,-1)+.(4,-2,0,1)
se deducen las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial de, ℝ4, que generan x1= +4
x2= -2-2 x3= 3
x4= -+
eliminando los parámetros, , y, , entre las cuatros ecuaciones se llega a la ecuación del subespacio vectorial generado por el sistema de vectores
de las dos primeras ecuaciones por el método de reducción se deduce el valor de los parámetros, , y,
x1= +4 2x1= 2+8 x2= -2-2 x2= -2-2 2x1+x2= 6 = 2 1 2 6 x x x1= +4 x1= +4 x2= -2-2 2x2= -4-4 x1+2x2= -3 = 1 2 2 1 2 2 3 3 x x x x
Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 624 sustituyendo estos resultados en las dos últimas ecuaciones del sistema de ecuaciones anterior se tiene x3= 3= 3. 1 2 2 3 x x = -x1-2x2 x4= -+= - 1
2
23
x
x
+2
1 26
x
x
=2
14
22
1 24
15
26
6
x
x
x
x
x
x
eliminando denominadores y pasando todos los términos al primer miembro en cada una de estas dos ecuaciones se tiene
x1+2x2+x3= 0 -4x1-5x2+6x4= 0
el par de ecuaciones obtenido determinan las ecuaciones del subespacio vectorial de, ℝ4, que generan el sistema de vectores dado.
Teorema Sea
S= (v1,...,vn) sistema de vectores del espacio vectorial, E
La variedad lineal, (S), generada por un sistema de vectores, S, es un subespacio vectorial del espacio vectorial, E.
Para demostrar que el conjunto variedad lineal, (S), es un subespacio vectorial del espacio vectorial, E, hay que probar que:
La suma de dos elementos del conjunto variedad lineal, (S), es otro elemento del mismo.
u,v(S) entonces u= i.vi viS v= i.vi viS se deduce u + v= i.vi+ i.vi= (i + i).viS
El producto de un elemento de este conjunto variedad lineal, (S), por un escalar del cuerpo
conmutativo K, es otro elemento del conjunto variedad lineal. u(S), K
entonces
u= i.vi viS se deduce
.u= .i.vi= i.vi= (.i).viS Se deducen las propiedades:
Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 625
No cambia el subespacio vectorial generado por un sistema de vectores, (S), añadiendo a
este sistema de vectores nuevos vectores combinación lineal de los primeros.
No cambia el subespacio vectorial generado por un sistema de vectores, (S), si se altera el
orden de los vectores del sistema de vectores.
No cambia el subespacio vectorial generado por un sistema de vectores, (S), si se sustituye
uno de de los vectores del sistema por su producto por un escalar.
No cambia el subespacio vectorial generado por un sistema de vectores, (S), si a uno de los
vectores del sistema se le suma el producto de otro vector cualquiera del sistema de vectores multiplicado por un escalar.
Se dice que los vectores, vi, de un sistema de vectores, (S), son linealmente dependientes si cualquier combinación lineal de los mismos que de el vector nulo, 0, del espacio vectorial en el que se ha definido la ley de composición binaria interna, +, alguno de los escalares, i, del cuerpo, K, son no nulos.
0= 1.v1 +...+ n.vn= i.vi i 0, K
El sistema de vectores, (S), se dice ligado. Se deduce:
Si un sistema de vectores, (S), contiene un vector combinación lineal de los demás,
entonces es ligado.
Sea
w vector combinación lineal de los vectores del sistema, (S) entonces
w= 1.v1+...+ n.vn
pasando el vector, w, al segundo miembro de la expresión anteriorse deduce
1.v1+...+ n.vn- w= 0
se obtiene una combinación lineal de los vectores del nuevo sistema de vectores que da el vector nulo, en la que no todos los escalares son cero.
Si un sistema de vectores, (S), contiene al vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que
está definida la ley de composición binaria interna, +, es ligado.
Si a un sistema de vectores ligado, (S), se le añaden nuevos vectores, el sistema así
obtenido también es ligado.
La dependencia lineal de un sistema de vectores, (S), no depende del orden que los
vectores ocupen dentro del sistema de vectores.
Se dice que un sistema de vectores, (S), son linealmente independientes si toda combinación lineal de los mismos que de el vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que se ha definida la ley de composición binaria interna, +, implica que todos los escalares, i, del cuerpo, K, utilizados en ella son nulos.
Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 626 0= 1.v1 +...+ n.vn= i.vi
i= 0,K
El sistema de vectores, (S), se dice libre. Se deduce:
Todo vector no nulo, u, del espacio vectorial, E, es por si solo un sistema libre.
u 0
.u= 0 = 0
Un sistema de vectores libre, (S),no puede contener al vector nulo, 0, del espacio vectorial,
E, en el está definida la ley de composición binaria interna, +.
Todo subconjunto, S’, de un sistema de vectores libre, (S), S’(S),es también un sistema
de vectores libre.
En el subespacio vectorial del espacio vectorial, E, generado por un sistema de vectores,
(S),linealmente independientes, todo vector, w, del mismo se obtiene de forma única como
como combinación lineal de los vectores del sistema de vectores, los cuales se dicen que son un sistema de generadores.
Sea
w vector del subespacio vectorial del espacio vectorial, E, generado por el conjunto de vectores, (S)
entonces
w= i.vi
si esta combinación lineal no fuese única se podría escribir
w= i.vi= i.vi por lo que se tiene
i.vi= i.vi
pasando todos los términos de esta expresión a un único miembro
0= i.vi - i.vi = (i - i).vi
se obtiene una combinación lineal de los vectores del sistema,(S), que da el vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que está definida la ley de composición binaria interna, +. Como los vectores del sistema, (S), son linealmente independientes, se deduce que los escalares del cuerpo, K, utilizados en la combinación lineal han de ser todos nulos
i - i= 0 de donde
i= i
Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 627
Si el sistema de vectores, S= (v1,...,vn), del espacio vectorial, E, es libre, y el sistema de
vectores, S’=(v1,...,vn,w), del espacio vectorial, E, es ligado entonces el vector, wS’, es
combinación lineal de los vectores del sistema libre.
Dado que el sistema de vectores S= (v1,...,vn), es libre, cualquier combinación lineal de ellos que de el vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que está definida la ley de composición binaria interna, +, obliga a que todos los escalares del cuerpo, K, utilizados en la misma sean nulos
0= 1.v1+ ...+ n.vn
i= 0, K
ya que el sistema de vectores, S’= (v1,...,vn,w), es ligado, cualquier combinación lineal de ellos que de el vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que está definida la ley de composición binaria interna, +, obliga a que alguno de los escalares del cuerpo, K, utilizados en la misma sea no nulo
0= 1.v1+ ...+ n.vn+ .w
i 0, K
en esta expresión se ha de verificar que
0
puesto que de no cumplirse, quedaría simplificada la expresión anterior a
0= 1.v1+ ...+ n.vn
a una combinación lineal de los vectores del sistema ligado que da el vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, lo que obliga a que alguno de los escalares del cuerpo, K, utilizados sea no nulo. Esto implicaría que este sistema de vectores, coincidente con el sistema de vectores libre, no fuese un sistema de vectores libre. Se tiene entonces
-.w= 1.v1+...+ n.vn dividiendo por, w=
1
.v1+...+ n
.vnse obtiene así el vector, wS’, como combinación lineal de los vectores del sistema libre. Se deduce entonces que el segundo sistema de vectores es ligado.
Teorema fundamental de la independencia de vectores
Sea
S= (v1,...,vn) sistema de vectores del espacio vectorial, E, que generan el subespacio vectorial, E1, del espacio vectorial, E
S'= (v1,...,vp) sistema de vectores libre del subespacio vectorial, E1
Todo sistema de vectores libre, S’, del subespacio vectorial, E1, contiene un número de vectores menor o igual al número de vectores que contiene el sistema de vectores, S, que genera el subespacio vectorial , E1.
Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 628 Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores, (1,2,-1,3), 2,3,4,-1), (3,2,-1,0), y, (-1,2,0,1), del espacio vectorial, ℝ4.
se escriben las componentes de los vectores en filas
1 2 3 4 1 2 1 3 2 3 4 1 3 2 1 0 1 2 0 1 u u u u 1 ' 2 2 1 ' 3 3 1 ' 4 4 1 1 2 1 3 2. 0 1 6 7 3. 0 4 2 9 0 4 1 4 u u u u u u u u u u 1 ' 1 2 " ' ' 3 3 2 " ' ' 4 4 2 1 2 1 3 0 1 6 7 4. 0 0 22 19 4. 0 0 23 24 u u u u u u u u 1 ' 1 2 " 3 "' " '' 4 3 4 1 2 1 3 0 1 6 7 0 0 22 19 23. 24. 0 0 0 91 u u u u u u
los vectores son linealmente independientes al ser el último vector transformado distinto del vector nulo, (0,0,0,0), del espacio vectorial, ℝ4.
Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores, (2,-5,3,10), (1,-1,1,3), y, (3,3,1,1), del espacio vectorial, ℝ3.
Se escriben las componentes de los vectores en filas
u2 1 -1 1 3 u2 1 -1 1 3 u2 1 -1 1 3
u1 2 -5 3 10 u1’= u1-2u2 0 -3 1 4 u1’ 0 -3 1 4
u3 3 3 1 1 u3’= u3-3u2 0 6 -2 -8 u3”= u3’+2u1’ 0 0 0 0
los vectores son linealmente dependientes al ser el último vector el vector nulo, (0,0,0,0), del espacio vectorial, ℝ4.
la relación de dependencia de estos vectores viene dado por u3”= u3’ + 2.u1’= 0
u3 - 3u2 + 2.(u1 - 2u2)= 0
2.u1 – 7.u2 + u3= 0
Se llama base de un espacio vectorial, E, a todo sistema de vectores, (S), pertenecientes al espacio vectorial, E, que cumple las condiciones:
(S),es un sistema de vectores libre.
(S),es un sistema de generadores del espacio vectorial, E.
Teorema
Todo espacio vectorial, E, admite por lo menos una base.
Teorema
Si el sistema de vectores, B= (v1,...,vn), del espacio vectorial, E, es una base del espacio vectorial, E, entonces todo vector del espacio vectorial, E, se expresa de modo único como combinación lineal de los vectores de esta base.
wE, w= 1.v1 +...+ n.vn
Los escalares, i, utilizados en esta combinación lineal escritos en la forma, (1,2,...,n), se denominan coordenadas del vector, w, en esta base, B.
Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 629 Se dice que un espacio vectorial, E, es de dimensión finita si posee un número finito de generadores, es decir, cualquier base, B, del espacio vectorial, E, está constituida por un número finito de vectores del espacio vectorial, E.
Teorema
En un espacio vectorial, E, de dimensión finita, todas las bases,B, son finitas y poseen el mismo número de vectores del espacio vectorial, E..
Se llama dimensión de un espacio vectorial, E, al número de vectores del espacio vectorial, E, que contiene una cualquiera de sus bases, B.
Se deduce:
En un espacio vectorial, E, de dimensión finita, n, todo sistema de vectores libre constituido por, n vectores, es una base del mismo.
En un espacio vectorial, E, de dimensión finita, n, todo sistema de vectores constituido por, n+1 vectores, es ligado.
Se llama rango de un sistema de vectores, (S), del espacio vectorial, E, al número de vectores linealmente independientes que contiene.
El rango de un sistema de vectores, (S),coincide con la dimensión del subespacio vectorial
del espacio vectorial, E, generado por ellos. Teorema
En un espacio vectorial, E, de dimensión finita, n, todo subespacio vectorial del mismo admite por lo menos un subespacio vectorial suplementario.
Teorema
En un espacio vectorial, E, de dimensión finita, n, todo sistema de vectores libre, (S), que contenga, p vectores, del espacio vectorial, E, puede completarse con, n-p vectores, linealmente independientes del espacio vectorial, E, para formar todos ellos una base del espacio vectorial, E.
Teorema
Sea
E espacio vectorial de dimensión finita, n
E1 subespacio vectorial del espacio vectorial, E, de dimensión finita, n' E2 subespacio vectorial del espacio vectorial, E, de dimensión finita, n"
Si las dimensiones del subespacio vectorial intersección, E1E2, y del subespacio vectorial suma, E1+E2, son respectivamente
dim E1E2= i dim E1+E2= s se verifica
dimE1 + dimE2= dimE1E2 + dimE1+E2 n´ + n" = i + s
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Teorema
Sea
E espacio vectorial de dimensión finita, n
E1 subespacio vectorial del espacio vectorial, E, de dimensión finita, n' r número de ecuaciones que definen al subespacio vectorial, E1 se verifica
dim E= dim E1 + Nº ec. sub.esp. E1 n = n' + r
Hallar el rango del sistema de vectores, (2,-5,3,10), (1,-1,1,3), y, (3,3,1,1), del espacio vectorial, ℝ3. Se escriben las componentes de los vectores en filas
1 -1 1 3 1 -1 1 3 1 -1 1 3
2 -5 3 10 0 -3 1 4 0 -3 1 4 rango= 2 3 3 1 1 0 6 -2 -8 0 0 0 0
