ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO

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(1)
(2)

Error en Estado Estacionario

El error en estado estacionario es una medida de la exactitud de un sistema de control para seguir una entrada dada, después de desaparecer la respuesta transitoria.

Se analizará el error en estado estacionario provocado por la incapacidad del sistema de seguir determinados tipos de entradas.

El que un sistema dado presente o no un error en estado estacionario ante determinado tipo de señal de entrada, depende del tipo de función de transferencia de lazo abierto del sistema.

Clasificación de los sistemas de control

Los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parábola, etc. Considere el sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto G(s):

Este sistema contiene el término sN en el denominador, que representa un polo de multiplicidad N en el origen.

El esquema de clasificación se basa en la cantidad de integraciones (términos 1s) indicadas por la función de transferencia en lazo abierto. Un sistema se denomina de tipo 0, si N = 0, de tipo 1, si N = 1, de tipo 2, si N =

2,…etc.

Ejemplo:

Sistema tipo 0 Sistema tipo 1 Sistema tipo 2

1 1 + s

(

1

)

1 + s s

(

1

)

1 2 + s s

(3)

Diga a que tipo de sistema corresponde cada función de transferencia.

( ) ( )

(

)

(

2

)(

3

)

1 5 + + + = s s s s s H s G _________

( ) ( )

(

1

)(

3

)

2 + + = s s s H s G _________

( ) ( )

16 4 2 2+ + = s s s H s G _________

( ) ( )

22 s s H s G = _________

( ) ( )

(

)

s s s s s H s G 16 4 3 7 2 3 + + + = _________

Error en estado estacionario

El error en un sistema de control es la diferencia entre el valor deseado r(t) y el valor actual c(t), de la variable controlada.

El error en estado estacionario es aquel error que permanece después de que ha desaparecido el transitorio. 1. 2. CE((SS))==RE((SS))G(HS)(S)C(S) Sustituyendo 2 en 1

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)]

(

1

[

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

S

GH

S

R

S

E

S

R

S

E

S

GH

S

R

S

E

S

GH

S

E

S

E

S

G

S

H

S

R

S

E

+

=

=

+

=

+

=

Puede observarse de que el error depende:

De la entrada: R(S)

De las características del sistema de lazo abierto GH(S)

Para el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es

( )

( )

( )

( ) ( )

sH s G s G s R s C + = 1

( )

( )

s G

( ) ( )

sH s R s E + = 1 1

( )

( )

( ) ( )

sH s G s R s E + = 1 El error en estado estacionario es

( )

( )

( )

( ) ( )

sH s G s sR s sE t e e s s t ss + = = = → → ∞ → lim lim 1 lim 0 0

(4)

Error en estado estable para una entrada escalón de magnitud R1, R

( )

s =R1 s

( ) ( )

G

( ) ( )

sH s R s R s H s G s e s s ss 0 1 1 0 1 1 lim lim → → + = + =

La constante estática de error de posición Kp se define como

( ) ( )

sH s G K s p 0 lim → = p ss K R e + = 1 1 unidades sin p K

Error en estado estable para una entrada rampa de magnitud R2, R

( )

s =R2 s2

( ) ( )

sG

( ) ( )

sH s R s R s H s G s e s s ss 0 2 2 2 0 1 lim lim → → + = =

La constante estática de error de velocidad Kv se define como

( ) ( )

sH s sG K s v 0 lim → = v ss K R e = 2 1 1 1 − = = = seg seg tiempo Kv

Error en estado estable para una entrada parábola de magnitud R3, R

( )

s =R3 s3

( ) ( )

s G

( ) ( )

sH s R s R s H s G s e s s ss 2 0 3 3 3 0 1 lim lim → → + = =

La constante estática de error de aceleración Ka se define como

( ) ( )

sH s G s K s a 2 0 lim → = a ss K R e = 3 2 2 2 1 1 = = − = seg seg tiempo Ka

(5)

Coeficiente estático de error de posición K G

( ) ( )

sH s s p 0 lim → = Sistemas tipo 0

(

)(

) (

)

(

Ts

)(

T s

)

(

T s

)

K s T s T s T K K p m b a s p =         + + + + + + = → 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 0 L L (finito) K R K R e p ss + = + = 1 1 1 1 Sistemas tipo 1

(

(

)(

)(

)

) (

(

)

)

=∞         + + + + + + = → 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 0 sTs T s T s s T s T s T K K p m b a s p L L 0 1 1 = + = p ss K R e Sistemas tipo 2

(

)(

) (

)

(

)(

)

(

)

=∞      + + + + + + = → 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 2 0 s Ts T s T s s T s T s T K K p m b a s p L L 0 1 1 = + = p ss K R e

Coeficiente estático de error de velocidad K sG

( ) ( )

sH s

s v 0 lim → = Sistemas tipo 0

(

)(

) (

)

(

1

)(

1

)

(

1

)

0 1 1 1 lim 2 1 0 =         + + + + + + = → Ts T s T s s T s T s T K s K p m b a s v L L = = v ss K R e 2 Sistemas tipo 1

(

)(

) (

)

(

Ts

)(

T s

)

(

T s

)

K s s T s T s T K s K p m b a s v =         + + + + + + = → 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 0 L L (finito) K R K R e v ss 2 2 = = (finito) Sistemas tipo 2

(

)(

) (

)

(

)(

)

(

)

=∞      + + + + + + = → 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 2 0 s Ts T s T s s T s T s T K s K p m b a s v L L = 2 =0 v ss K R e

Coeficiente estático de error de aceleración K s G

( ) ( )

sH s

s a 2 0 lim → = Sistemas tipo 0

(

)(

) (

)

(

1

)(

1

)

(

1

)

0 1 1 1 lim 2 1 2 0 =         + + + + + + = → Ts T s T s s T s T s T K s K p m b a s a L L = = a ss K R e 3 Sistemas tipo 1

(

)(

) (

)

(

1

)(

1

)

(

1

)

0 1 1 1 lim 2 1 2 0 =        + + + + + + = → sTs T s T s s T s T s T K s K p m b a s a L L = = a ss K R e 3 Sistemas tipo 2

(

)(

) (

)

(

Ts

)(

T s

)

(

T s

)

K s s T s T s T K s K p m b a s a =         + + + + + + = → 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 2 2 0 L L (finito) K R K R e a ss 3 3 = = (finito) Tipo de sistema

Coeficientes estáticos de error Error de estado estable

p K v K Ka Entrada escalón p ss K R e + = 1 1 Entrada Rampa v ss K R e = 2 Entrada Parabólica a ss K R e = 3 0 Valor

finito 0 0 Valor finito

1

Valor finito 0 0 Valor finito

(6)

Ejemplo

Determine el ess para una entrada escalón de magnitud 10, para el siguiente sistema de control

a)

( )

(

1

)(

2

)

1

+

+

=

s

s

s

G

sistema tipo 0

( )

s

s

R

=

10

( ) ( )

(

)(

)

2

0

.

5

1

2

1

1

lim

lim

0 0

=

+

+

=

=

=

→ →

G

s

H

s

s

s

K

s s p

%

67

.

66

667

.

6

5

.

0

1

10

1

1

=

+

=

+

=

p ss

K

R

e

b) Si aumentamos la ganancia en un factor de 10, determinar el

e

ss

( )

(

1

)(

2

)

10

+

+

=

s

s

s

G

sistema tipo 0

( )

s

s

R

=

10

( ) ( )

(

)(

)

2

5

10

2

1

10

lim

lim

0 0

=

+

+

=

=

=

→ →

G

s

H

s

s

s

K

s s p

%

67

.

16

667

.

1

5

1

10

1

1

=

+

=

+

=

p ss

K

R

e

c) Si ahora deseamos un ess =5%, esto es para una entrada de magnitud 10 el

e

ss

=

0

.

5

, determinar la

ganancia

K

necesaria para obtenerlo.

( )

(

+

1

)(

+

2

)

=

s

s

K

s

G

sistema tipo 0

( )

s

s

R

=

10

1 1

0

.

05

1

K

R

R

e

p ss

=

+

=

1

19

05

.

1

=

=

p

K

( ) ( )

(

1

)(

2

)

2

lim

lim

0 0

K

s

s

K

s

H

s

G

K

s s p

=

+

+

=

=

→ →

19

2

=

=

K

K

p K =38

(7)

El transitorio para las funciones anteriores

a)

)

2

)(

1

(

1

)

(

)

(

+

+

=

s

s

s

H

s

G

3

3

1

)

2

)(

1

(

1

1

)

2

)(

1

(

1

)

(

)

(

2

+

+

=

+

+

+

+

+

=

s

s

s

s

s

s

s

R

s

C

333

.

0

3

1

%

43

.

1

3

804

.

0

3

2

2

=

=

=

=

=

=

G

M

P n n

ω

ζ

ζω

b)

)

2

)(

1

(

10

)

(

)

(

+

+

=

s

s

s

H

s

G

12

3

10

)

2

)(

1

(

10

1

)

2

)(

1

(

10

)

(

)

(

2

+

+

=

+

+

+

+

+

=

s

s

s

s

s

s

s

R

s

C

833

.

0

12

10

%

11

.

22

12

433

.

0

3

2

2

=

=

=

=

=

=

G

M

P n n

ω

ζ

ζω

c)

)

2

)(

1

(

)

(

)

(

+

+

=

s

s

K

s

H

s

G

40

3

38

)

2

)(

1

(

38

1

)

2

)(

1

(

38

)

(

)

(

2

+

+

=

+

+

+

+

+

=

s

s

s

s

s

s

s

R

s

C

95

.

0

40

38

%

47

.

46

40

237

.

0

3

2

2

=

=

=

=

=

=

G

M

P n n

ω

ζ

ζω

(8)

Ejemplo 2

Para el sistema de la figura, determine los valores de la ganancia K y la constante de realimentación de velocidad Kh para que el sobrepaso máximo en la respuesta al escalón unitario sea 0.2 y el error en estado estable sea del 2%. Con estos valores de

K

y Kh, obtenga el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento. Suponga que

J

=

1

Kg

m

y que

seg

rad

m

N

B

=

1

/

/

.

Función de transferencia de lazo cerrado

( )

( )

(

)

J

K

s

J

KK

B

s

J

K

K

s

KK

B

Js

K

s

R

s

C

h h

+

+

+

=

+

+

+

=

2 2 Estado estable

Función de transferencia de lazo abierto

( ) ( )

(

)

(

Js B

)

s s K K s H s G h + + = 1 Sistema tipo 1

Como el sistema es del tipo 1 existe un error de estado estable finito para entrada rampa

( )

22

s

R

s

R

=

Para un error de estado estable del 2% se necesita una Kv de 2 2

0

.

02

R

K

R

e

v ss

=

=

50

02

.

1

=

=

v

K

Para que el sistema cumpla con el

e

ss

=

2

%

necesita una ganancia de

( ) ( )

(

)

(

s

)

K

s

s

K

K

s

s

H

s

G

s

K

h s s v

=

+

+

=

=

→ →

1

1

lim

lim

0 0 K =50

Como se observa, el error en estado estable solo es afectado por la ganancia K del sistema. Transitorio

Para calcular Khse toma la función de transferencia de lazo cerrado

Comparándola con la forma general del sistema de segundo orden, nos queda

J

K

y

J

KK

B

n h n

=

+

=

2

2

ζω

ω

la ganancia del sistema es G=1

( )

( )

(

)

1

1

lim

2 0

=

+

+

+

=

=

Js

B

KK

s

K

s

K

s

c

c

h s

Como el sistema se estabiliza en la unidad y el máximo sobrepaso es 0.2 esto corresponde al

(

M

p

%

=

20

%

)

%

20

100

%

2 1

=

=

    πζ ζ

e

M

p

( )

[

]

456

.

0

1

2

.

0

ln

1

1

100

%

ln

1

2 2 2 2

=

+

=

+





=

π

π

ζ

p

M

(9)

como

J

K

n

=

2

ω

entonces

ω

n

=

K

=

50

=

7

.

071

(

.

456

)

6

.

293

1

071

.

7

1

2

=

2

=

=

ω

ζ

ω

d n como

J

KK

B

h n

+

=

ζω

2

(

)(

)( ) ( )

0

.

109

50

1

1

071

.

7

456

.

0

2

2

=

=

=

K

B

J

K

n h

ζω

El tiempo de levantamiento

t

r

( )

(

)

rad

097

.

1

456

.

0

cos

cos

1 1

=

=

=

ζ

β

seg

t

n d r

0

.

325

1

097

.

1

2

=

=

=

ζ

ω

π

ω

β

π

Tiempo de asentamiento

t

s

(

)(

)

seg

t

n s

1

.

24

071

.

7

456

.

0

4

4

=

=

=

ζω

Tiempo de pico

t

p

seg

t

n d p

0

.

5

1

2

=

=

=

ζ

ω

π

ω

π

Gráfica de respuesta

c

( )

t

El número de picos sería

2

.

48

2

5

.

0

24

.

1

cos

=

=

=

p s pi

t

t

N

c

( )

=

GR

1

=

1

Respuesta del sistema para una entrada escalón unitario. Los valores de la respuesta c

( )

t son

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

1

)

( )

(

1

)

( )

1 0.96 ) 2 ( ) 2 ( 2 . 1 1 1 1 ) 1 ( ) ( 224 . 3 2 612 . 1 = − = ∞ − = = = + = ∞ + = = − − − − e c e c t c e c e c t c p n p n t p t p ζω ζω

(10)

Sistemas tipo 0

( ) ( )

(

)(

) (

)

(

1

)(

1

)

(

1

)

1 1 1 2 1 + + + + + + = s T s T s T s T s T s T K s H s G p m b a L L

( ) ( )

(

)

(

finito

)

K R K R e finito K s H s G K p ss s p + = + = = = → 1 1 lim 1 1 0

( ) ( )

∞ = = = = → v ss s v K R e s H s sG K 2 0 0 lim

( ) ( )

∞ = = = = → a ss s a K R e s H s G s K 3 2 0 0 lim Sistemas tipo 1

( ) ( )

(

)(

) (

)

(

1

)(

1

)

(

1

)

1 1 1 2 1 + + + + + + = s T s T s T s s T s T s T K s H s G p m b a L L

( ) ( )

0 1 lim 1 0 = + = ∞ = = → p ss s p K R e s H s G K

( ) ( )

(

)

(

finito

)

K R K R e finito K s H s sG K v ss s v 2 2 0 lim = = = = →

( ) ( )

∞ = = = = → a ss s a K R e s H s G s K 3 2 0 0 lim Sistemas tipo 2

( ) ( )

(

)(

) (

)

(

1

)(

1

)

(

1

)

1 1 1 2 1 2 + + + + + + = s T s T s T s s T s T s T K s H s G p m b a L L

( ) ( )

0 1 lim 1 0 = + = ∞ = = → p ss s p K R e s H s G K

( ) ( )

0 lim 2 0 = = ∞ = = → v ss s v K R e s H s sG K

( ) ( )

(

)

(

finito

)

K R K R e finito K s H s G s K a ss s a 3 3 2 0 lim = = = = → Tipo de sistema Kp Kv Ka

Error de estado estable Entrada escalón p ss K R e + = 1 1 Entrada Rampa v ss K R e = 2 Entrada Parabólica a ss K R e = 3 0 Valor

finito 0 0 Valor finito

1

Valor finito 0 0 Valor finito

(11)

Tipo de sistema Kp ess 0 finito p K R + 1 1 1 ∞ 0 2 ∞ 0 Tipo de sistema Kv ess 0 0 ∞ 1 finito v K R2 2 ∞ 0 Tipo de sistema Ka ess 0 0 ∞ 1 0 ∞ 2 finito a K R3

Figure

Updating...

References

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