Error en Estado Estacionario
El error en estado estacionario es una medida de la exactitud de un sistema de control para seguir una entrada dada, después de desaparecer la respuesta transitoria.
Se analizará el error en estado estacionario provocado por la incapacidad del sistema de seguir determinados tipos de entradas.
El que un sistema dado presente o no un error en estado estacionario ante determinado tipo de señal de entrada, depende del tipo de función de transferencia de lazo abierto del sistema.
Clasificación de los sistemas de control
Los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parábola, etc. Considere el sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto G(s):
Este sistema contiene el término sN en el denominador, que representa un polo de multiplicidad N en el origen.
El esquema de clasificación se basa en la cantidad de integraciones (términos 1s) indicadas por la función de transferencia en lazo abierto. Un sistema se denomina de tipo 0, si N = 0, de tipo 1, si N = 1, de tipo 2, si N =
2,…etc.
Ejemplo:
Sistema tipo 0 Sistema tipo 1 Sistema tipo 2
1 1 + s
(
1)
1 + s s(
1)
1 2 + s sDiga a que tipo de sistema corresponde cada función de transferencia.
( ) ( )
(
)
(
2)(
3)
1 5 + + + = s s s s s H s G _________( ) ( )
(
1)(
3)
2 + + = s s s H s G _________( ) ( )
16 4 2 2+ + = s s s H s G _________( ) ( )
22 s s H s G = _________( ) ( )
(
)
s s s s s H s G 16 4 3 7 2 3 + + + = _________Error en estado estacionario
El error en un sistema de control es la diferencia entre el valor deseado r(t) y el valor actual c(t), de la variable controlada.
El error en estado estacionario es aquel error que permanece después de que ha desaparecido el transitorio. 1. 2. CE((SS))==RE((SS))G−(HS)(S)C(S) Sustituyendo 2 en 1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
(
1
[
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
S
GH
S
R
S
E
S
R
S
E
S
GH
S
R
S
E
S
GH
S
E
S
E
S
G
S
H
S
R
S
E
+
=
=
+
=
+
−
=
Puede observarse de que el error depende:
De la entrada: R(S)
De las características del sistema de lazo abierto GH(S)
Para el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es
( )
( )
( )
( ) ( )
sH s G s G s R s C + = 1( )
( )
s G( ) ( )
sH s R s E + = 1 1( )
( )
( ) ( )
sH s G s R s E + = 1 El error en estado estacionario es( )
( )
( )
( ) ( )
sH s G s sR s sE t e e s s t ss + = = = → → ∞ → lim lim 1 lim 0 0Error en estado estable para una entrada escalón de magnitud R1, R
( )
s =R1 s( ) ( )
G( ) ( )
sH s R s R s H s G s e s s ss 0 1 1 0 1 1 lim lim → → + = + =La constante estática de error de posición Kp se define como
( ) ( )
sH s G K s p 0 lim → = p ss K R e + = 1 1 unidades sin p KError en estado estable para una entrada rampa de magnitud R2, R
( )
s =R2 s2( ) ( )
sG( ) ( )
sH s R s R s H s G s e s s ss 0 2 2 2 0 1 lim lim → → + = =La constante estática de error de velocidad Kv se define como
( ) ( )
sH s sG K s v 0 lim → = v ss K R e = 2 1 1 1 − = = = seg seg tiempo KvError en estado estable para una entrada parábola de magnitud R3, R
( )
s =R3 s3( ) ( )
s G( ) ( )
sH s R s R s H s G s e s s ss 2 0 3 3 3 0 1 lim lim → → + = =La constante estática de error de aceleración Ka se define como
( ) ( )
sH s G s K s a 2 0 lim → = a ss K R e = 3 2 2 2 1 1 = = − = seg seg tiempo KaCoeficiente estático de error de posición K G
( ) ( )
sH s s p 0 lim → = Sistemas tipo 0(
)(
) (
)
(
Ts)(
T s)
(
T s)
K s T s T s T K K p m b a s p = + + + + + + = → 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 0 L L (finito) K R K R e p ss + = + = 1 1 1 1 Sistemas tipo 1(
(
)(
)(
)
) (
(
)
)
=∞ + + + + + + = → 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 0 sTs T s T s s T s T s T K K p m b a s p L L 0 1 1 = + = p ss K R e Sistemas tipo 2(
)(
) (
)
(
)(
)
(
)
=∞ + + + + + + = → 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 2 0 s Ts T s T s s T s T s T K K p m b a s p L L 0 1 1 = + = p ss K R eCoeficiente estático de error de velocidad K sG
( ) ( )
sH ss v 0 lim → = Sistemas tipo 0
(
)(
) (
)
(
1)(
1)
(
1)
0 1 1 1 lim 2 1 0 = + + + + + + = → Ts T s T s s T s T s T K s K p m b a s v L L = =∞ v ss K R e 2 Sistemas tipo 1(
)(
) (
)
(
Ts)(
T s)
(
T s)
K s s T s T s T K s K p m b a s v = + + + + + + = → 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 0 L L (finito) K R K R e v ss 2 2 = = (finito) Sistemas tipo 2(
)(
) (
)
(
)(
)
(
)
=∞ + + + + + + = → 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 2 0 s Ts T s T s s T s T s T K s K p m b a s v L L = 2 =0 v ss K R eCoeficiente estático de error de aceleración K s G
( ) ( )
sH ss a 2 0 lim → = Sistemas tipo 0
(
)(
) (
)
(
1)(
1)
(
1)
0 1 1 1 lim 2 1 2 0 = + + + + + + = → Ts T s T s s T s T s T K s K p m b a s a L L = =∞ a ss K R e 3 Sistemas tipo 1(
)(
) (
)
(
1)(
1)
(
1)
0 1 1 1 lim 2 1 2 0 = + + + + + + = → sTs T s T s s T s T s T K s K p m b a s a L L = =∞ a ss K R e 3 Sistemas tipo 2(
)(
) (
)
(
Ts)(
T s)
(
T s)
K s s T s T s T K s K p m b a s a = + + + + + + = → 1 1 1 1 1 1 lim 2 1 2 2 0 L L (finito) K R K R e a ss 3 3 = = (finito) Tipo de sistemaCoeficientes estáticos de error Error de estado estable
p K v K Ka Entrada escalón p ss K R e + = 1 1 Entrada Rampa v ss K R e = 2 Entrada Parabólica a ss K R e = 3 0 Valor
finito 0 0 Valor finito
∞
∞
1
∞
Valor finito 0 0 Valor finito∞
Ejemplo
Determine el ess para una entrada escalón de magnitud 10, para el siguiente sistema de control
a)
( )
(
1
)(
2
)
1
+
+
=
s
s
s
G
sistema tipo 0( )
s
s
R
=
10
( ) ( )
(
)(
)
2
0
.
5
1
2
1
1
lim
lim
0 0=
+
+
=
=
=
→ →G
s
H
s
s
s
K
s s p%
67
.
66
667
.
6
5
.
0
1
10
1
1=
⇒
+
=
+
=
p ssK
R
e
b) Si aumentamos la ganancia en un factor de 10, determinar el
e
ss( )
(
1
)(
2
)
10
+
+
=
s
s
s
G
sistema tipo 0( )
s
s
R
=
10
( ) ( )
(
)(
)
2
5
10
2
1
10
lim
lim
0 0=
+
+
=
=
=
→ →G
s
H
s
s
s
K
s s p%
67
.
16
667
.
1
5
1
10
1
1=
⇒
+
=
+
=
p ssK
R
e
c) Si ahora deseamos un ess =5%, esto es para una entrada de magnitud 10 el
e
ss=
0
.
5
, determinar laganancia
K
necesaria para obtenerlo.( )
(
+
1
)(
+
2
)
=
s
s
K
s
G
sistema tipo 0( )
s
s
R
=
10
1 10
.
05
1
K
R
R
e
p ss=
+
=
1
19
05
.
1
=
−
=
pK
( ) ( )
(
1
)(
2
)
2
lim
lim
0 0K
s
s
K
s
H
s
G
K
s s p=
+
+
=
=
→ →19
2
=
=
K
K
p K =38El transitorio para las funciones anteriores
a))
2
)(
1
(
1
)
(
)
(
+
+
=
s
s
s
H
s
G
3
3
1
)
2
)(
1
(
1
1
)
2
)(
1
(
1
)
(
)
(
2+
+
=
+
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
R
s
C
333
.
0
3
1
%
43
.
1
3
804
.
0
3
2
2=
=
=
=
=
=
G
M
P n nω
ζ
ζω
b))
2
)(
1
(
10
)
(
)
(
+
+
=
s
s
s
H
s
G
12
3
10
)
2
)(
1
(
10
1
)
2
)(
1
(
10
)
(
)
(
2+
+
=
+
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
R
s
C
833
.
0
12
10
%
11
.
22
12
433
.
0
3
2
2=
=
=
=
=
=
G
M
P n nω
ζ
ζω
c))
2
)(
1
(
)
(
)
(
+
+
=
s
s
K
s
H
s
G
40
3
38
)
2
)(
1
(
38
1
)
2
)(
1
(
38
)
(
)
(
2+
+
=
+
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
R
s
C
95
.
0
40
38
%
47
.
46
40
237
.
0
3
2
2=
=
=
=
=
=
G
M
P n nω
ζ
ζω
Ejemplo 2
Para el sistema de la figura, determine los valores de la ganancia K y la constante de realimentación de velocidad Kh para que el sobrepaso máximo en la respuesta al escalón unitario sea 0.2 y el error en estado estable sea del 2%. Con estos valores de
K
y Kh, obtenga el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento. Suponga queJ
=
1
Kg
−
m
y queseg
rad
m
N
B
=
1
−
/
/
.Función de transferencia de lazo cerrado
( )
( )
(
)
J
K
s
J
KK
B
s
J
K
K
s
KK
B
Js
K
s
R
s
C
h h+
+
+
=
+
+
+
=
2 2 Estado estableFunción de transferencia de lazo abierto
( ) ( )
(
)
(
Js B)
s s K K s H s G h + + = 1 Sistema tipo 1Como el sistema es del tipo 1 existe un error de estado estable finito para entrada rampa
( )
22s
R
s
R
=
Para un error de estado estable del 2% se necesita una Kv de 2 2
0
.
02
R
K
R
e
v ss=
=
50
02
.
1
=
=
vK
Para que el sistema cumpla con el
e
ss=
2
%
necesita una ganancia de( ) ( )
(
)
(
s
)
K
s
s
K
K
s
s
H
s
G
s
K
h s s v=
+
+
=
=
→ →1
1
lim
lim
0 0 K =50Como se observa, el error en estado estable solo es afectado por la ganancia K del sistema. Transitorio
Para calcular Khse toma la función de transferencia de lazo cerrado
Comparándola con la forma general del sistema de segundo orden, nos queda
J
K
y
J
KK
B
n h n=
+
=
22
ζω
ω
la ganancia del sistema es G=1( )
( )
(
)
1
1
lim
2 0=
+
+
+
=
=
∞
→Js
B
KK
s
K
s
K
s
c
c
h sComo el sistema se estabiliza en la unidad y el máximo sobrepaso es 0.2 esto corresponde al
(
M
p%
=
20
%
)
%
20
100
%
2 1=
=
−πζ −ζe
M
p( )
[
]
456
.
0
1
2
.
0
ln
1
1
100
%
ln
1
2 2 2 2=
+
=
+
=
π
π
ζ
pM
como
J
K
n=
2ω
entoncesω
n=
K
=
50
=
7
.
071
(
.
456
)
6
.
293
1
071
.
7
1
−
2=
−
2=
=
ω
ζ
ω
d n comoJ
KK
B
h n+
=
ζω
2
(
)(
)( ) ( )
0
.
109
50
1
1
071
.
7
456
.
0
2
2
=
−
=
−
=
K
B
J
K
n hζω
El tiempo de levantamientot
r( )
(
)
rad
097
.
1
456
.
0
cos
cos
1 1=
=
=
−ζ
−β
seg
t
n d r0
.
325
1
097
.
1
2=
−
−
=
−
=
ζ
ω
π
ω
β
π
Tiempo de asentamientot
s(
)(
)
seg
t
n s1
.
24
071
.
7
456
.
0
4
4
=
=
=
ζω
Tiempo de picot
pseg
t
n d p0
.
5
1
2=
−
=
=
ζ
ω
π
ω
π
Gráfica de respuestac
( )
t
El número de picos sería
2
.
48
2
5
.
0
24
.
1
cos=
=
=
≈
p s pit
t
N
c
( )
∞
=
GR
1=
1
Respuesta del sistema para una entrada escalón unitario. Los valores de la respuesta c
( )
t son( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
1)
( )
(
1)
( )
1 0.96 ) 2 ( ) 2 ( 2 . 1 1 1 1 ) 1 ( ) ( 224 . 3 2 612 . 1 = − = ∞ − = = = + = ∞ + = = − − − − e c e c t c e c e c t c p n p n t p t p ζω ζωSistemas tipo 0
( ) ( )
(
)(
) (
)
(
1)(
1)
(
1)
1 1 1 2 1 + + + + + + = s T s T s T s T s T s T K s H s G p m b a L L( ) ( )
(
)
(
finito)
K R K R e finito K s H s G K p ss s p + = + = = = → 1 1 lim 1 1 0( ) ( )
∞ = = = = → v ss s v K R e s H s sG K 2 0 0 lim( ) ( )
∞ = = = = → a ss s a K R e s H s G s K 3 2 0 0 lim Sistemas tipo 1( ) ( )
(
)(
) (
)
(
1)(
1)
(
1)
1 1 1 2 1 + + + + + + = s T s T s T s s T s T s T K s H s G p m b a L L( ) ( )
0 1 lim 1 0 = + = ∞ = = → p ss s p K R e s H s G K( ) ( )
(
)
(
finito)
K R K R e finito K s H s sG K v ss s v 2 2 0 lim = = = = →( ) ( )
∞ = = = = → a ss s a K R e s H s G s K 3 2 0 0 lim Sistemas tipo 2( ) ( )
(
)(
) (
)
(
1)(
1)
(
1)
1 1 1 2 1 2 + + + + + + = s T s T s T s s T s T s T K s H s G p m b a L L( ) ( )
0 1 lim 1 0 = + = ∞ = = → p ss s p K R e s H s G K( ) ( )
0 lim 2 0 = = ∞ = = → v ss s v K R e s H s sG K( ) ( )
(
)
(
finito)
K R K R e finito K s H s G s K a ss s a 3 3 2 0 lim = = = = → Tipo de sistema Kp Kv KaError de estado estable Entrada escalón p ss K R e + = 1 1 Entrada Rampa v ss K R e = 2 Entrada Parabólica a ss K R e = 3 0 Valor
finito 0 0 Valor finito
∞
∞
1
∞
Valor finito 0 0 Valor finito∞
Tipo de sistema Kp ess 0 finito p K R + 1 1 1 ∞ 0 2 ∞ 0 Tipo de sistema Kv ess 0 0 ∞ 1 finito v K R2 2 ∞ 0 Tipo de sistema Ka ess 0 0 ∞ 1 0 ∞ 2 finito a K R3
