Un dioptrio es una superficie de separación entre dos medios de diferente índice de refracción. Vamos a estudiar dos: el esférico y el plano.

(1)

Un dioptrio es una superficie de separación entre dos medios de diferente índice de refracción.

Vamos a estudiar dos: el esférico y el plano.

Dioptrio esférico

Vamos a trabajar con rayos paraxiales: rayos próximos a los ejes, con ángulos pequeños de forma

que se confundan el arco, el seno y la tangente.

Criterio de signos:

Distancias horizontales: positivas a la derecha del dioptrio, negativas a la izquierda.

Distancias verticales: positivas por encima del eje óptico, negativas por debajo.

Ángulos con el eje óptico: Positivos si el camino más corto para hacerlo coincidir con el eje

óptico va en sentido antihorario. ¡Ojo,

σ

1

es negativo!

Ángulos con la normal: son positivos.

Supongamos un rayo paraxial que sale del punto P

1

se refracta en el punto A y llega al punto P

2

. Si

aplicamos la ley de Snell tenemos:

1 2

n seni

=

n senr

y al ser rayos paraxiales

n i

₁

=

n r

₂

(1)

En el triángulo P

1

AC:

−σ + β +

1

(180

−

i)

=

180 luego

i

= β − σ

1

En el triángulo CAP

2

:

σ + +

2

r

(180

− β =

)

180 luego

r

= β − σ

2

Si sustituimos estos valores en la expresión (1) tenemos:

1 1 2 2

n (

β − σ =

)

n (

β − σ

)

(2)

Teniendo en cuenta que estamos trabajando en la zona paraxial:

1 1 2 2 1 2

h

tg

;

tg

;

tg

s

R

σ ≅

σ =

σ ≅

σ =

β ≅

β =

Sustituyendo estos valores en la expresión (2):

i r β h P1 _σ₁ _σ₂ P2 s1 s2 R A B C n2 n1 EJE OPTICO EJE OPTICO DIOPTRIO DIOPTRIO

(2)

1 2 1 2

h

n

R

s

R

s









−

=

−

















o lo que es lo mismo

1 1 2 2

1

1 n

n

R

s

R

s









−

=

−

















que es la invariante de

Abbe, a partir de la que se pueden obtener todas las fórmulas de la óptica.

También se puede escribir como

2 1 2 1

2 1

n

s

R

−

=

Focos del dioptrio

Todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico se refractan y pasan por el mismo punto, al que

vamos a llamar foco imagen F

2

. La distancia desde el vértice hasta ese punto es la distancia focal f

2

.

Para calcular la distancia focal aplicamos la ecuación del

dioptrio con

s

₁

= −∞

y

s

₂

=

f

₂ 2 1 2 1 2 2 2 2 1

n

f

R

n

f

R

n

−

=

−∞

=

−

Todos los rayos que pasan por un punto al que vamos a llamar foco objeto salen paralelos al eje

óptico. A ese punto le vamos a llamar foco objeto F

1

y f

1

a la distancia focal objeto.

Para calcular la distancia focal aplicamos la ecuación del

dioptrio con

s

₂

= +∞

y

s

₁

=

f

₁ 2 1 2 1 1 1 1 2 1

n

f

R

n

f

R

n

−

=

+∞

= −

−

La suma de las distancias focales es:

1 2 1 2 2 1 2 1

n

f

R

n

+

= −

+

=

−

El cociente de las distancias focales es:

1 1

2 2

f

n

f

= −

n

Si la ecuación del dioptrio la dividimos entre el segundo miembro obtenemos una nueva ecuación

del dioptrio, más sencilla:

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1

n

n R

;

1 s

s

R

s (n

n )

s (n

n )

f

1 s

s

−

=

−

=

−

+

=

que es la ecuación de Gauss (¡…!) del dioptrio esférico.

f1

f2

(3)

Formación de imágenes en un dioptrio

Los rayos paralelos al eje óptico pasan por el foco 2.

Los rayos que pasan por el centro de curvatura no se

desvían.

Los rayos que pasan por el foco 1 salen paralelos al

eje óptico.

El punto de corte de las tres líneas determina el

final de la imagen que comienza en el eje óptico.

La imagen es real si los rayos se cortan y virtual si se

cortan las prolongaciones hacia atrás de los rayos.

Aumento de un dioptrio

El aumento de un dioptrio es la relación entre los

tamaños de la imagen y del objeto. Si aplicamos la ley

de Snell, tenemos:

n seni

₁

=

n senr

₂

y como estamos

en la zona paraxial:

seni

= =

i

tg i

y

senr

= =

r

tgr

con lo que

n tg i

₁

=

n tgr

₂

;

1 2 1 2 1 2

y

n

s

=

s

y el aumento

del dioptrio es:

2 1 2 1 2 1

n s

y

A

y

n s

=

Lentes

Una lente es un medio transparente limitado por dos dioptrios, al menos uno es esférico. Vamos a

trabajar solo con lentes delgadas; en las que la anchura es despreciable frente al radio de

curvatura.

Lentes convergentes: son más gruesas en el centro que en los

extremos y pueden ser biconvexa (R

1

>0 y R

2

<0) planoconvexa

(R

1

>0 y R

2

=

∞

) y menisco convergente (R

1

>0, R

2

>0, R

2

>R

1

)

Lentes divergentes: son más gruesas en los extremos y pueden

ser biconcava (R

1

<0 y R

2

>0) planoconcava (R

1

=

∞

y R

2

<0) y

menisco divergente (R

1

>0, R

2

>0, R

1

>R

2

)

Para deducir la fórmula de las lentes sólo hay que tener en

cuenta que se trata de dos dioptrios en el aire:

y1 y2 F2 C F1 y1 y2 i r s2 s1

(4)

Dioptrio 1: n

1

=1; n

2

=n; R=R

1

y al sustituir en la ecuación del dioptrio:

1 1

n

1 n 1

s

R

−

=

′

Dioptrio 2: n

1

=n; n

2

=1; R=R

1

y al sustituir en la ecuación del dioptrio:

2 2

1

1 1 n

s

R

−

=

′

Si sumamos las dos expresiones, para eliminar s’ tenemos:

2 1 1 2

1

1 (n 1)

s

R





−

=

−



−







(3)

Todos los rayos que vienen paralelos al eje óptico se refractan pasando por el foco. La distancia

focal de la lente se calcula a partir de (3) teniendo en cuenta que:

1 2 2 2 1 2

s

1

1 (n 1)

s

f

R

= −∞





=

−



−



=

_

_

(4)

Comparando las expresiones (3) y (4) obtenemos la ecuación de las lentes:

2 1 2

1

1 s

−

s

=

f

Aumento de una lente

Tenemos dos triángulos semejantes A

1

B

1

O y A

2

B

2

O. Definimos el aumento de una lente como la relación de

tamaño entre la imagen y

2

y el objeto y

1

.

2 2 1 1

y

s

A

y

s

=

2

1 P

f

=

P>0 CONV; P<0 DIV

Se define la potencia de una lente como la inversa de su distancia

focal expresada en metros. La unidad es la dioptría que es la

potencia de una lente que tiene una distancia focal de 1m.

Formación de imágenes en las lentes

Para formar imágenes, al igual que en el dioptrio esférico hay que tener en cuenta:

1. Rayo que llega paralelo al eje óptico sale por el foco

2. Rayo que pasa por el centro óptico no se desvía

3. La imagen se forma desde el eje óptico hasta el punto de corte de los dos anteriores.

y

1

y

2

s

1

s

2 O A2 A1 B2 B1

(5)

Lentes convergentes.

Dependiendo de la posición del objeto tenemos cinco posibilidades:

Si el objeto está

la imagen se forma

y la imagen es

antes de 2F

entre F y 2F

menor, real e invertida

en 2F

igual, real e invertida

entre F y 2F

entre 2F y

+∞

mayor, real e invertida

en F

no hay imagen

entre F y la lente

entre

−∞

y F

mayor, virtual y derecha

Lentes divergentes.

Sólo hay una posibilidad de formación de imagen que siempre es menor, virtual y derecha.

F 2F 2F F F 2F 2F F F 2F F

(6)

Espejos

Vamos a considerar un espejo como un dioptrio esférico en el que el índice de refracción n

2

es igual

y de sentido contrario al n

1

. El rayo llega, se refleja y vuelve por el primer medio pero en sentido

contrario.

En la ecuación del dioptrio esférico:

2 1 2 1

2 1

n

s

R

−

=

si

n

₂

= −

n

₁

, tenemos:

1 1 1 1 2 1

n

s

R

−

=

o bien

2 1

1

2 s

+

s

=

R

que es la fórmula de los espejos.

¡Cuidado con los signos de los radios!

Los espejos cóncavos tienen radio negativo y los convexos tienen radio positivo.

De la fórmula de los espejos podemos deducir inmediatamente que la distancia focal es la mitad del

radio.

Formación de imágenes en los espejos

1. Los rayos paralelos al eje óptico se reflejan pasando por el foco.

2. Los rayos que pasan por el foco se reflejan y salen paralelos al eje óptico.

3. Los rayos que pasan por el centro no se desvían.

Espejos cóncavos

Se pueden dar cinco posibilidades, dependiendo de la posición del objeto.

F C C F F C C F F C

(7)

Espejos convexos

Sólo hay una posibilidad de formación de imagen.

Independientemente de dónde esté el objeto, la imagen

siempre es menor, derecha y virtual.

Aumento de un espejo

Se obtiene a partir del aumento de un dioptrio, sin más que hacer la sustitución

n

₂

= −

n

₁

1 2 2 2 1 2 1 1

n s

y

s

A

y

n s

s

=

= −

C F