P R O B A B I L I D A D

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P R O B A B I L I D A D

1 . E X P E R I M E N T O A L E A T O R I O . E S P A C I O M U E S T R A L

Se llama experimento aleatorio a todo fenómeno cuyos resultados no se pueden predecir de antemano, aunque cada prueba se repita bajo las mismas condiciones iniciales. Por ejemplo:

- Extraer una carta de una baraja española.

- Tirar un dado y anotar el resultado.

- Lanzar una moneda y anotar el resultado.

Espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles correspondientes a un experimento aleatorio y se denota por E. También recibe el nombre de universo o población. Cualquier subconjunto de E es un suceso. Los sucesos que tienen un único elemento se llaman sucesos elementales.

Ejemplo: Sea el experimento aleatorio “lanzar dos monedas al aire”. Los posibles resultados son los siguientes: (c, c), (c,+), (+, c), (+,+)

El espacio muestral es, por lo tanto, E= { (c,c), (c,+), (+,c), (+,+) }. Son sucesos, por ejemplo:

- “sacar cara en la primera tirada” = {(c,c), (c,+)}

- “sacar por lo menos una cruz” = { (c,+), (+,c), (+,+) } - “sacar dos caras” = { (c,c) }. (Suceso elemental)

Se llama suceso imposible al que no se puede dar nunca, es decir, corresponde al conjunto vacío (). En el ejemplo anterior, es un suceso imposible “sacar un uno“ o “no sacar ni cara ni cruz”.

Se llama suceso seguro al correspondiente al espacio total E.

El suceso contrario o complementario de un suceso A, es aquel que se realiza sí y sólo sí no se realiza el suceso A. Se denota por A o porAc. Por ejemplo, el suceso contrario de

“sacar cara” es “ no sacar cara” = “sacar cruz”. Operaciones con sucesos

Dados dos sucesos A y B se pueden definir las siguientes operaciones entre ellos: a) Intersección (AB): Se da cuando sucede A y B al mismo tiempo.

b) Unión ( AB): Sucede A o B, o los dos. No es excluyente, es decir, sucede por lo menos uno de los dos o los dos.

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En el ejemplo anterior consideremos los sucesos A = “sacar por lo menos una cara” y B=“sacar dos cruces”.

Entonces: A = {(c,c), (c,+), (+,c)} y B= {(+,+)} AB= , AB= {(c,c), (c,+), (+,c), (+,+)}, A – B= A Propiedades: 1) A U  = A ; A∩∅ =  2) A U E = E ; A  E = A 3) Leyes de De Morgan:

a) El contrario de la unión es la intersección de los contrarios: ABAB b) El contrario de la intersección es la unión de los contrarios: ABAB

Dos sucesos son incompatibles si es imposible que se verifiquen simultáneamente, es decir, su intersección es el conjunto vacío (suceso imposible). En el ejemplo anterior, A y B son incompatibles.

2 . P R O B A B I L I D A D

Si se repite n veces cierta experiencia aleatoria, el número de veces en las que aparece un suceso S se llama frecuencia absoluta de S y se designa por F(S). La proporción de veces en que tiene lugar S, es decir, el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de pruebas, se llama frecuencia relativa de S y la denotaremos por f(S):

Propiedades de la frecuencia relativa:

1) 0 ≤ f(S) ≤ 1

Como 0 ≤ F(S) ≤ n, dividiendo la desigualdad anterior entre n obtenemos la propiedad correspondiente.

2) f( ) = 0 y f(E) = 1

3) Si A y B son incompatibles , f(A U B)= f(A) + f(B)

Cuando el número de pruebas correspondiente a un experimento aleatorio se repite un número infinito de veces, se pudo comprobar experimentalmente que las frecuencias relativas de un suceso dado tienden a estabilizarse. Así surgió el concepto de probabilidad como el límite de la frecuencia relativa cuando el número de pruebas efectuadas tiende a infinito: n S F S f S P n n ) ( lím ) ( lím ) (       n S F S f( ) ( )

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Esta definición presenta muchas dificultades matemáticas, ya que es necesario efectuar un gran número de pruebas para poder observar si las frecuencias relativas tienden a estabilizarse hacia un número; pero sobre todo la dificultad mayor se centra en obtener dicho número.

Debido al matemático Kolmogoroff, la teoría del cálculo de probabilidades se basa en un sistema de axiomas relacionados con las propiedades de las frecuencias y cuya definición es la siguiente:

Dada una experiencia aleatoria, se llama probabilidad a una aplicación que asigna a cada suceso S un número llamado probabilidad del suceso S, al que denotaremos por P(S), y que verifica los axiomas:

1) Cualquiera que sea el suceso S, debe cumplirse que P(S)  0 (la probabilidad de un suceso nunca puede ser negativa).

2) Si dos sucesos son incompatibles (AB = ), entonces la probabilidad de su unión es la suma de las probabilidades:

P (A U B) = P(A) + P(B)

En general, si A1, A 2, ... , An son n sucesos incompatibles dos a dos, se verifica:

3) La probabilidad total es siempre 1. (P(E) =1)

Propiedades de la probabilidad: 1) Si S es un suceso, P(Sc) = 1-P(S)

2) P() = 0

3) Si A y B son sucesos compatibles, entonces se verifica: 4) Si A está contenido en B, entonces P(A) ≤ P(B)

5) Para todo suceso A, P(A) ≤ 1

Regla de Laplace:

Sea E el espacio muestral de un experimento aleatorio y sean A1, A 2, ... , An los n sucesos

elementales. Si todos ellos son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad, y si A es un suceso formado por k sucesos elementales, entonces:

posibles casos favorables casos n k A P( )  1 1 ( ) n n i i i i P A P A æ ö ç ÷ è ø

å

) ( ) ( ) ( ) (A B P A P B P A B P     

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Ejemplo: Halla la probabilidad de que al sacar una carta de una baraja de 40 cartas salga una figura (sota, caballo o rey):

Como una baraja tiene tres figuras por cada uno de los cuatro palos, los casos favorables son 12 y los posibles las 40 cartas. Por tanto,

3 . P R O B A B I L I D A D C O N D I C I O N A D A

Dados dos sucesos A y B, se llama probabilidad de B condicionada a A al valor

Mide la proporción de veces que ocurre B de entre las que ocurrió A.

Por ejemplo: Sea A el suceso “salir una figura en la baraja de 40 cartas” y sea B el suceso “sacar un rey”. Tenemos que P(A)= 3/10 y P(B) = 1/10. Sin embargo, estas probabilidades varían si se conoce alguna información complementaria. Supongamos que al sacar una carta sabemos que esta fue una figura. En este caso la probabilidad del suceso B ya no es 1/10, sino que al ser 12 los casos posibles (son 12 figuras en total) y 4 los casos favorables, P(B) es ahora 1/3.

Este es el motivo por lo que es necesario introducir el suceso que denotamos por B/A y se lee “B condicionado por A”.

Se dice que un suceso B es independiente de otro A, cuando A no influye en B, es decir: la probabilidad de que ocurra B es exactamente la misma que si la calculamos condicionada a A:

P(B/A) = P(B)

De la definición de probabilidad condicionada se deduce además que

) / ( ) ( ) (A B P A P B A P  

Este es el Teorema de la probabilidad compuesta o del producto.

Observación: Si B es independiente de A, se cumple que P( AB) = P(A)∙P(B). Además, en este caso, A también será independiente de B.

Para el caso de n sucesos dependientes, el teorema anterior se escribirá así:

) 1 ... 2 1 / ( ).... 2 1 / 3 ( ) 1 / 2 ( ) 1 ( ) ... 2 1 (SS  SnP SP S SP S SS P Sn SS  Sn P 10 3 40 12 ) (salir figura   P ) ( ) ( ) / ( A P B A P A B P  

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Ejemplo: Una urna contiene 20 bolas rojas y 30 negras. Se saca al azar una bola y, sin devolverla, se extrae una segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas? Llamamos V1 al suceso “sacar roja en la primera extracción”, y V2 a “sacar roja en la

segunda”. Se nos pide sacar las dos a la vez; es decir P( V1  V2 ). Aplicamos la fórmula del

teorema de la probabilidad compuesta:

16 , 0 49 19 50 20 ) 1 V / 2 V ( P ) 1 V ( P ) 2 V 1 V ( P      

Con la misma urna anterior, halla la probabilidad de obtener roja-roja-negra-negra si se extraen cuatro bolas, una tras otra, sin devolución:

06 , 0 47 29 48 30 49 19 50 20 ) 4 N 3 N 2 V 1 V ( P        

Ejemplo: Una urna contiene cuatro bolas rojas, 5 negras y 6 blancas. Se sacan dos bolas con devolución. Se pide la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean blancas. Sean A y B los sucesos “salir bola blanca en la primera y segunda extracción”, respectivamente. Se tiene que:

En este caso podemos observar que P(B/A)= P(B)= 156 y, por tanto, los sucesos son independientes.

Ejemplo: El 35% de los créditos de un banco son para vivienda, el 50% para industria y el

15% para consumo diverso. Resultan fallidos (no se pagan) el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias y el 70% de los créditos para consumo. Vamos a calcular las probabilidades de que se paguen los créditos, según el tipo de crédito:

Sean los sucesos V=”escoger un crédito para vivienda”, I=”escoger un crédito para industria”, C=”escoger un crédito para consumo diverso” y F=”escoger un crédito fallido”.

15 6 15 6 ) ( 15 6 ) ( ) (AP By P AB   P

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4 . P R O B A B I L I D A D T O T A L

Si la probabilidad de un suceso es difícil de calcular directamente pero se puede obtener de forma más sencilla si se condiciona a sucesos previos, resulta de utilidad la llamada regla de las probabilidades totales:

Dados n sucesos A1,A2,..., An incompatibles, con A1A2 ... AnE , y un

suceso cualquiera B del espacio muestral E, conocidas las probabilidades ) ( ..., ), 2 ( ), 1 (A P A P An P y P(B/A1),P(B/A2),...,P(B/An) la probabilidad de B, denominada probabilidad total, se obtiene de la siguiente manera:

P(B) = P(A1)P(B/A1)P(A2)P(B/A2)...P(An)P(B/An)

En el ejemplo anterior, la probabilidad de que pagar un crédito será: P( F )=P( V∩¯F )+P( I∩¯F )+P( C∩¯F )=0,28+0,425+0,045=0,75

Ejemplo : Ana y Pedro tienen tres bolsas A1, A2 y A3 que contienen bolas rojas (V) y negras

(N) en las siguientes cantidades: A1 : 2 bolas rojas y 3 negras

A2 : 3 bolas rojas y 7 negras

A3 : 4 bolas rojas y 4 negras

Ana saca una bola al azar de una de las bolsas. Que probabilidad tiene de que a bola extraida sea roja?

La probabilidad de elegir una de las bolsas es la misma. Se consideran equiprobables. Entonces, 3 1 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (AP AP AP .

Una vez elegida la bolsa A 1:

5 2 ) 1 A / V ( P 

Una vez elegida la bolsa A 2:

10 3 ) 2 A / V ( P 

Una vez elegida la bolsa A 3:

8 4 ) 3 A / V ( P 

A1, A2 y A3 completan el espacio muestral E y son incompatibles. Como el suceso V se

descompone en tres sucesos incompatibles A1V,A2VeA3V , por el segundo

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4 , 0 8 4 3 1 10 3 3 1 5 2 3 1 ) V 3 A ( P ) V 2 A ( P ) V 1 A ( P ) V ( P              5 . T E O R E M A D E B A Y E S

Si la bola extraída por Ana en el apartado anterior es roja, ¿qué probabilidad hay de que proceda de la primera bolsa?

Se pide la probabilidad condicionada P(A1/V) :

3 1 4 , 0 5 2 3 1 ) ( ) 1 / ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) / 1 (        V P A V P A P V P V A P V A P

Esta probabilidad recibe el nombre de probabilidad a posteriori.

Del mismo modo podríamos haber calculado la probabilidad de que la bola proceda de la segunda bolsa, o también de la tercera.

En general, si A1,A2,...,An son incompatibles, con A1A2...AnE , y B es un

suceso cualquiera del espacio muestral E, las probabilidades a posteriori ) / ( ..., ), / 2 ( ), / 1 (A B P A B P An B

P se determinan, conocidas las probabilidades

) ( ..., ), 2 ( ), 1 (A P A P An P y , P(B/A1),P(B/A2),...,P(B/An) mediante:

, siendo el denominador no nulo.

) ( ) / ( ... ) 2 ( ) 2 / ( ) 1 ( ) 1 / ( ) ( ) / ( ) / ( n A P n A B P A P A B P A P A B P i A P i A B P B i A P        

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E J E R C I C I O S

1. En un sorteo de lotería nos fijamos en la cifra en la que termina el “gordo”. a) ¿Cuál es el espacio muestral?, b) Describe, escribiendo todos sus elementos, los sucesos: A= “Menor que 4”, B= ”Par”, C= ”Mayor que 5”, c) Calcula los sucesos A U B, B U C,

A∩B, AC .

2. De los sucesos A y B se sabe que P(A)=0,4; P(B)=0,5; P( AB)=0,3. Calcula P(AB) y (Soluc: 0,7 ; 0,2)

3. Una encuesta revela que el 35% de los habitantes de una ciudad escucha la emisora A, el 28% escucha la B y el 10% escucha las dos emisoras. Elegido un ciudadano al azar, calcula la probabilidad de que escuche: a) Alguna de esas emisoras. b) Ninguna de ellas. c) La emisora A sabiendo que no escucha la B. d) La emisora A sabiendo que escucha la B. e) Sólo una de las dos. (Soluc: a) 0,53 , b) 0,47, c) 0,347, d) 0,357, e) 0,43)

4. En una academia se puede estudiar: Francés (F), Inglés (I) y Ofimática (O). Consideramos tres categorías de alumnos: Menores de 26 años (J), entre 26 y 45 años (M) y mayores de 45 años (V). Conocemos los datos que aparecen en la tabla adjunta. Escogemos un alumno al azar. Calcula las siguientes probabilidades: a) Que sea de Francés. b) Que sea de los alumnos más jóvenes. c) Que sea mayor de 25 años. d) Que sea de los alumnos medianos y estudie inglés. c) Si es de los mayores, que estudie inglés. f) Que sea de los mayores, sabiendo que estudia ofimática.

F I O Total J 6 72 42 M 4 48 80 V 10 30 50 Total 80 (Soluc: a) 0,08 , b) 0,48 , c) 0,52 , d) 0,192 , e) 0,6 , f) 0,125)

5. En una casa hay tres llaveros, A, B y C, el primero con 5 llaves, el segundo con 7 y el tercero con 8, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él, una llave para intentar abrir el trastero. a) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave? b) ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra? c) Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al llavero A?

( Soluc: a) 131/840, b) 7/24, c) 56/131)

6. Una fábrica de tornillos dispone de dos máquinas que elaboran el 75% y el 25% de la producción total. El porcentaje de tornillos defectuosos que produce cada máquina es, también respectivamente, del 4% y del 2%. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un tornillo al azar este sea defectuoso? (Soluc: 0,035)

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7. En un trayecto de metro utilizamos dos escaleras mecánicas A y B. La escalera A está averiada uno de cada diez días; la escalera B, uno de cada siete, y las dos escaleras se averían de forma independiente. Calcula la probabilidad de que al efectuar un viaje: a) Como mínimo haya una averiada. b) No haya ninguna escalera averiada. c) Haya exactamente una escalera averiada. ( Soluc: la) 8/35, b) 27/35, c) 3/14)

8. El 80% de las personas que este verano subieron al Aneto eran españolas y el 60% de estas tenía menos de 30 años. De las que no eran españolas, el 30% tenía más de 30 años. Escogida una persona al azar, se pide: a) Si no es española, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 30 años? b) Si es española, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 30 años? c) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 30 años? (Soluc: a) 0,7; b) 0,4; c) 0,38)

9. Dos sucesos A y B son independientes. Sabiendo que P(A)=0,92 y P(B)=0,18, calcula P( ¯A∩ ¯B). ¿Son independientes los sucesos A y B? (Soluc: 0,0656)

10.Los datos de votantes en las últimas elecciones correspondientes a una determinada ciudad muestran que el 73,5% de los hombres censados ejerció su derecho a voto, mientras que el porcentaje de mujeres censadas que no lo ejerció fue del 42,9%. El censo de esta ciudad está compuesto por un 48% de hombres y un 52% de mujeres. De entre todas las personas censadas, escogemos una al azar. Calcula la probabilidad de que esta persona: a) Votara. b) Votara y sea hombre. c) Sabiendo que votó, sea mujer. (Soluc: a) 0,6497; b) 0,3528; c) 0,4570)

11.En un país se sabe que una de cada 145 personas tiene una determinada enfermedad. En este país se dispone de una prueba para detectar la enfermedad, bastante fiable, pero no del todo segura. Concretamente, si un individuo tiene la enfermedad, la prueba da positiva en un 96% de los casos, mientras que si no la tiene, la prueba da positiva en un 6% de los casos. Si un ciudadano hace la prueba y el resultado es positivo, ¿cuál es la probabilidad de que el diagnóstico sea erróneo? (Soluc: 0,9)

12.Una fábrica produce tres tipos de bolígrafos diferentes, A, B y C. El número de unidades producidas de cada uno de ellos es el mismo y salen defectuosos un 15‰ de todos los de tipo A, un 3‰ de los de tipo B y un 7‰ de todos los de tipo C. En un control de calidad se detecta el 70% de todos los bolígrafos defectuosos de tipo A, el 80% de los de tipo B y el 90 % de los de tipo C. Los bolígrafos defectuosos detectados en ese control se tiran. Si cogemos al azar uno de estos bolígrafos defectuosos que se tiró, calcula cuál es la probabilidad de que sea de tipo A. (Soluc.: 0,5469)

13.Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio con P(AB)=0,1, P(A)=0,4; P(B)=0,3. Calcula P(AUB), P( ¯A∪¯B), P(A – B) y P( ¯A∩¯B). ( Soluc: 0,6; 0,9; 0,3; 0,4)

14.Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio con P(AB)=0,2, P(A)=0,5; P(B)=0,4. Calcula P(AUB), P(A–B), P(B–A), P( ¯A∪¯B),P( ¯A∩¯B). (Sol: 0,7; 0,3; 0,2; 0,8; 0,3)

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15.En un dado trucado la probabilidad de que aparezca cara par es doble de que aparezca cara impar. Calcula: a) Probabilidad de que salga cara 1. b) Probabilidad de que salga cara 2. c) Probabilidad de que salga cara par. d) Probabilidad de que salga cara impar. ( Soluc: 1/9; 2/9; 6/9; 3/9 )

16.Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = ½ y P(B) = 3/5. Calcula razoadamente para qué valor de P(A U B) los sucesos A y B son independientes. (Soluc: 4/5)

17.Se comprobó que el 48% de los alumnos de 2º Bachillerato de cierta región son aficionados a la música clásica y a la pintura, y que el 60% de los aficionados a la pintura también lo son a la música clásica. Si se elige al azar un alumno de Bachillerato de esa región, ¿qué probabilidad hay de que no sea aficionado a la pintura? Razona la respuesta. ( Soluc: 0,2 )

18.Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la primera es 0,6; la probabilidad de que pase la segunda es 0,8 y la de que pase ambas es 0,5. Se pide: a) Probabilidad de que pase por lo menos una prueba. b) Probabilidad de que no pase ninguna prueba. c) ¿Son ambas pruebas sucesos independientes?

( Soluc: 0,9; 0,1; no )

19.En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al balonmano y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, calcula la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase: a) Juegue sólo al fútbol. b) Juegue sólo al balonmano. c) Practique sólo uno de los dos deportes. d) No practique ninguno de los dos. ( Soluc: la) 0.3, b) 0.2, c) 0.5, d) 0,4 )

20.Se sortea un viaje a Singapur entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

( Soluc: a) 1/6 , b) 9/16 )

21.En un Instituto hay 120 alumnos de Bachillerato. De ellos, 50 estudian Francés, 80 Química y 20 estudian Francés y Química. Se elige un estudiante de Bachillerato al azar. ¿Qué probabilidad hay de que no estudie ninguna de las dos materias? Si se sabe que el alumno escogido estudia Francés, ¿qué probabilidad hay de que también estudie Química? ( Soluc: a) 1/12 , b) 2/5 )

22.En cierta ciudad el 40% de la población tiene el pelo castaño; el 25% tiene los ojos castaños y el 15 % tiene el pelo y los ojos castaños. Se escoge una persona al azar. a) Si tiene el pelo castaño, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga los ojos castaños? b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga el pelo castaño? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga ni el pelo ni los ojos castaños?

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23.El 6% de los coches de una fábrica tienen defecto en el motor, el 8% en la carrocería y el 2% en los dos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un coche tenga por lo menos un defecto? b) ¿Y la probabilidad de que no sea defectuoso? (Sol: a) 0.12, b) 0.88)

24.En una Universidad en la que sólo hay estudiantes de Arquitectura, Biología y Derecho, terminan la carrera el 5% de Arquitectura, el 10% de Biología y el 20% de Derecho. Se sabe que el 20% estudia Arquitectura, el 30% Biología y el 50% Derecho. Se elige un estudiante al azar. a) Calcula la probabilidad de que sea de Arquitectura y haya terminado la carrera. b) Se nos dice que terminó la carrera. Halla la probabilidad de que sea de Arquitectura. ( Soluc: a) 0.01 , b) 1/14 )

25.En un hospital se hace un estudio del tipo de emergencia que se presenta, distinguiendo si corresponde al turno de día o de noche, y agrupándolos en cuatro grupos obteniendo los siguientes resultados:

Infartos Acc. Laboral Acc. Coche Otros

Turno día 12% 4% 9% 35%

Turno noche 8% 6% 11% 15%

Calcula: a) Probabilidad de que una persona que llega a urgencias haya sufrido un infarto o un accidente laboral. b) Suponiendo que se trata del turno de día, probabilidad de que haya sido un accidente de coche. ( Soluc: a) 0.3, b) 0.15)

26.El volumen diario de producción de tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la primera, 1000 unidades en la segunda y 2000 unidades en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1%, 0,8% y 2%, respectivamente, calcula la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa. ( Soluc: 0.015)

27.En un centro escolar, los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera entre inglés y francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudian inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son varones, y de los que estudian francés, son varones el 40%. Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una niña? ( Soluc: 0,69)

28.Se tienen tres recipientes A, B y C. El recipiente A contiene tres galletas de vainilla y dos de chocolate. El B contiene tres de chocolate y dos de vainilla, y el C contiene dos de chocolate y una de vainilla. Se elige un recipiente al azar y se escoge una galleta también al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de chocolate? ( Soluc: 5/9)

29.En una ciudad en la que hay doble número de hombres que de mujeres hay una epidemia. El 6% de los hombres y el 11% de las mujeres están enfermos. Se elige una persona al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Sea hombre. b) Esté enfermo. c) Sea hombre, sabiendo que está enfermo. ( Soluc: a) 2/3, b) 0,077, c) 0,52)

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