Números Complejos
● Números naturales: útiles para contar cosas
N={ 0, 1, 2, … }
Pero con ellos no podemos resolver la ecuación: X+5=2
Números Complejos
● Entonces inventamos los números enteros:
Z = {…-2, -1, 0, 1, 2, … }
Sin embargo, con ellos no podemos resolver la ecuación:
Números Complejos
● Entonces inventamos los números racionales Q, como la fracción:
p/q
con p y q números enteros (q distinto de cero) Sin embargo, hay números que no son
Números Complejos
● Entonces inventamos los números reales, R
Sin embargo, no podemos resolver la ecuación:
?
● A esta nuevo conjunto de números complejos
nos gustaría imponer, tantas como sean
posibles, propiedades de los números que ya conocemos.
Por ejemplo:
● Por lo tanto, postulamos que i se comporta
como un número real en operaciones tales como la adición y la multiplicación.
● Con la única nueva característica que:
● Definición formal: definimos los números
complejos como un par ordenado (x,y) de números reales:
● Dos números complejos:
y son iguales si y sólo si
e
● Ecuación de Euler
● Raíces
Dos números complejos y son iguales si y solo si
● Raíces
De aquí se deduce que si las raíces n-ésimas de están dadas por
Definimos la función valor principal de Ln(z), ln(z), restringiendo el argumento de z en el intervalo:
Ejemplo: evaluar Ln(-i)
es decir
Ejemplo: simplifique la expresión
Usando que
Regiones en el plano complejo
● Disco abierto, vecindad o entorno:
El conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad
====================================== Recordemos que representa la
distancia entre y
Ejemplos
●
●
● Punto interior:
un punto en un conjunto S se le llama punto interior de S, si hay un disco abierto, o
vecindad circular, que está completamente contenido en S
Ejemplo:
en el conjunto Re(z)>0, pues existe un disco contenido en el conjunto:
● Si cada punto del conjunto S es un punto
interior, entonces S es un conjunto abierto Ejemplo: un disco abierto es un conjunto abierto
● Un conjunto abierto S es conexo, si para cada
par de puntos y en S pueden unirse por una línea poligonal.
Ejemplo: el anillo es un conjunto abierto y conexo
●
A un conjunto abierto y conexo se le llama
dominio
Regiones en el plano complejo
●
Punto frontera:
un punto está en la frontera de
S
, si cada
vecindad de contiene al menos un punto
en
S
y punto fuera de
S
●
Un conjunto es cerrado si contiene a todos
sus puntos frontera
● Los números complejos pueden visualizarse
como puntos en la esfera unidad o esfera de Riemann por medio de una proyección
estereográfica.
● Esta proyección asocia un punto
z
en el planoecuatorial con un punto sobre la esfera, por el que una línea recta corta la esfera al unir
z
y el polo norte de la esferaRegiones en el plano complejo
El punto infinito se identifica con el polo norte de la esfera. A la unión de este punto y el plano
● Una vez introducido los números complejos y
visto alguna de sus propiedades (y definido
regiones en el plano x-y) quisieramos estudiar funciones de esos números:
● Recordemos que un función
f
es una regla queasigna a cada elemento de un conjunto A uno y sólo (*) un elemento de un conjunto B
● Si f asigna el valor b al elemento a en A, es decir, tenemos que:
El conjunto A es el dominio(*) de definición de f y el conjunto de imágenes f(a) es el rango de f (*) no necesariamente el dominio que hemos definido
anteriormente
imagen de a bajo f
Mapeos/Transformaciones
● Comentario
Podemos construir, de hecho ya lo hemos
hecho, funciones que van del conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos
Por ejemplo
Pero estas funciones se pueden estudiar mediante el análisis vectorial de funciones
Resulta conveniente introducir el valor
(complejo) w de la función f(z) en el punto z, es decir,
Mapeos/Transformaciones
Ejemplo: Sea
a)Describa las curvas en el plan x-y tales que y
Mapeos/Transformaciones
b) Describa las curvas en el plan u-v cuya preimagen está dada por las coordenadas x=a e y=b
Mapeos/Transformaciones
b) Entonces tenemos la transformacion de la región
Plano x-y Plano u-v
Mapeos
● Ejemplo: Describa la función para z
