Transformada de Laplace

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(1)

© UdeC - DIE 0 T fc s T , ( ) lim → 1 → fc s T( , ) 1 e s − ⋅T − s T⋅ := fc s T( , ) 0 ∞ t fc t T( , ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d := Impulso Impulso aproximado fc t T( , ) 1 T⋅

(

Φ( )t −Φ(t−T)

)

:= Caso 3 fb s a( , ) 1 s+ a := fb s a( , ) 0 ∞ t fb t a( , ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d := Exponencial decreciente fb t a( , ):= e−a⋅t⋅Φ( )t Caso 2 fa s( ) 1 s := fa s( ) 0 ∞ t fa t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d := Escalón fa t( ):= Φ( )t Caso 1 f t( ) 1 2⋅π⋅j c j c j+ ⋅∞ s f s( ) e⋅ s t⋅ ⌠  ⌡ d ⋅ =

la transformada inversa resulta ser,

f s( ) 0 ∞ t f t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d =

Sea la señal f(t), entonces la Transformada de Laplace de f(t), denotada por f(s) es,

Transformada de Laplace Definiciones

problema

solución

Dominio original d if íc il

problema

solución

Dominio de la transformación fá c il transformación directa transformación inversa

Estudiar la Aplicabilidad de la Transformada de Laplace en Sistemas de Ingeniería.

Problema

(2)

© UdeC - DIE f2 s( ) −3 − ⋅ := f2 s( ):= −2 f2 s( ) exp s T( ⋅ )−2 +exp(−s⋅T) s2 := f2 s( ) 1 s 1 s−3 − := f2 s( ) 1 s+1 1 s − +1 + := f2 s( ) ∞ − ∞ t f t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d := f2 s( ) 0 ∞ t f t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d 0 t f t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d + := f2 s( ) 0 ∞ t f t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d 0 t f t( ) − ⋅e−s⋅t ⌠  ⌡ d + := f t( ) (t+ T)⋅Φ(t+T)−2 t⋅ Φ⋅ ( )t t−T ( )⋅Φ(t−T) + ... := Caso 4 f t( ):= Φ( )t + e3 t⋅⋅Φ( )−t Caso 3 f t( ):= e− t Caso 2 M M I m n, := Im f2 rz

(

(

m+i iz⋅ n

)

)

R m n, := Re f2 rz

(

(

m+ i iz⋅ n

)

)

M m n, := f2 rz

(

m+ i iz⋅ n

)

iz m − π2⋅ m 4⋅π N ⋅ + := rz m −1.001 m 2 N ⋅ + := n:= 0 N.. m:= 0 N.. N:= 45 f2 s( ) ∞ − ∞ t f t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d 2 exp 4 s( ⋅ ) −1 s ⋅ ⋅exp(−2⋅s) −exp 4 s( ⋅ )+ 1 s ⋅exp(−2⋅s) + → := f t( ):= Φ(t+T)−Φ(t−T) T:= 2 Caso 1 f2 s( ) ∞ − ∞ t f t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d =

Sea la señal f(t), entonces la Transformada Bilateral de Laplace de f(t), denotada por f2(s) es,

(3)

© UdeC - DIE f s( ) 0 t t f t( ) ⌠  ⌡ d f s( ) s Valor Inicial f t( ) f s( ) 0 t f t( ) lim → s ∞ s f s⋅( ) lim → = Valor Final f t( ) f s( ) ∞ t f t( ) lim → s 0 s f s⋅( ) lim → = Señales Periodicas fo t ( ) fo s( ) f t( ) 0 ∞ i fo t i T( − ⋅ )

= = f s( ) 1 1 −e−s⋅T fo s( ) ⋅ = Convolución f t( ) f s( ) g t( ) g s( ) f t

(

−τ

)

g

( )

τ τ ⌠  ⌡ d f s( ) g s⋅ ( ) Convolución Compleja f t( ) f s( ) g t( ) g s( ) f t( ) g t⋅ ( ) 1 2⋅π⋅j c j c j+ ⋅∞ ω f s

(

−ω

)

⋅g

( )

ω ⌠  ⌡ d ⋅ Propiedades Linealidad fa t( ) fa s( ) fb t( ) fb s( ) αa fa t⋅ ( )+αb fb t⋅ ( ) αa fa s⋅ ( )+αb fb s⋅ ( ) Escalamient-o en tiempEscalamient-o f t( ) f s( ) f a t( ⋅) 1 a f s a





⋅ Despl. en tiempo f t( ) f s( ) f t( −a) e−a⋅s⋅f s( ) Despl. en frecuencia f t( ) f s( ) e−a⋅t⋅f t( ) f s( + a) Derivación f t( ) f s( ) t f t( ) d d s f s⋅( )−f t( =0) Integración f t( )

(4)

© UdeC - DIE

Aplicacio-nes

Manipulación de Diagrama de Bloques

h s( ) 1 A 1 s ⋅ ⋅

(

fe s( ) −fs s( )

)

= 1 A 1 s ⋅ ⋅

(

v s( ) u s⋅ ( ) −fs s( )

)

= h s( ) 1 A 1 s ⋅ v s( ) kc e s⋅ ( ) 1 Ti 1 s ⋅ ⋅e s( ) +

⋅ −fs s( )

⋅ = 1 A 1 s ⋅ v s( ) kc 1 Ti 1 s ⋅ +

⋅ ⋅e s( ) −fs s( )

⋅ = fs fe h Estánque Válvula u + -v(s) Controlador e kc + -+ 1 1 i T s 1 1 A s hd h s( ) 1 A 1 s ⋅ v s( ) kc 1 Ti 1 s ⋅ +

⋅ ⋅

(

hd s( ) −h s( )

)

fs s( )

⋅ = h s( ) 1 A 1 s ⋅ v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+ 1 s ⋅

⋅ ⋅

(

hd s( ) −h s( )

)

fs s( )

⋅ = h s( ) 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+1 s ⋅

⋅ ⋅h s( ) + 1 A 1 s ⋅ v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+1 s ⋅

⋅ ⋅hd s( ) −fs s( )

= Diagrama de Bloques Original

h s( ) 1 A 1 s ⋅ v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+ 1 s ⋅

⋅ ⋅hd s( )−fs s( )

⋅ 1 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+ 1 s ⋅

⋅ + = 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+1 s ⋅

⋅ ⋅hd s( ) 1 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+ 1 s ⋅

⋅ + 1 − A 1 s ⋅ ⋅fs s( ) 1 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+1 s ⋅

⋅ + + = h s( ) 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+ 1 s ⋅

⋅ 1 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+1 s ⋅

⋅ + hd s( ) ⋅ 1 − A 1 s ⋅ 1 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+ 1 s ⋅

⋅ + fs s( ) ⋅ + =

h

2

(

s

)

h

1

(

s

)

h

+ fs

h

d h s( ) g s( ) v s⋅ ( )⋅c s( ) 1+ g s( ) v s⋅ ( )⋅c s( )⋅hd s( ) g s( ) − 1 +g s( ) v s⋅ ( )⋅c s( )⋅fs s( ) + = Diagrama de Bloques Resultante h s( )=h1 s( ) hd s⋅ ( ) +h2 s( ) fs s⋅ ( )

(5)

© UdeC - DIE uo:= do po:= eo Modelo Lineal. ∆i−

(

∆d io⋅ + do⋅∆i

)

C t∆v d d ⋅ ∆v R + = ∆e L t ∆i d d ⋅ +∆v−

(

d vo⋅ +do⋅∆v

)

= Modelo Lineal Normalizado. ∆v vo =∆vn ∆i io =∆in ∆d do =∆dn ∆e

eo =∆en Definción de Variables Normalizadas

t ∆vn d d 1 − R C⋅ ⋅∆vn 1 R C⋅ ⋅∆in + −do R C⋅ ⋅

(

1−do

)

⋅∆dn +

= Modelo Normalizado y Ordenado

t ∆in d d R − L

(

1 −do

)

2 ⋅ ⋅∆vn R L⋅

(

1 −do

)

⋅do⋅∆dn + R L

(

1−do

)

2 ⋅ ⋅∆en + = An 1 − R C⋅ R − L

(

1−do

)

2 ⋅ 1 R C⋅ 0

:= bn do − R C⋅ ⋅

(

1 −do

)

R L⋅

(

1−do

)

⋅do

:= en 0 R L

(

1 −do

)

2 ⋅

:= cn:= (1 0)

Problema Estudiar el uso de la T.L. en la respuesta a impulso.

Parámetros L:= 5 10⋅ −3 C:= 200 10⋅ −6 R:= 12 ∆d1:= −0.2 do:= 0.5 eo:= 6 ∆e:= 1 ∆d2:= 0.2 + -L e(t) i(t) C + -v(t) R Sw(t) Modelo Promedio. i 1⋅( −d) C tv d d ⋅ v R + = e L t i d d ⋅ +v 1⋅( −d) = Punto de operación vo eo 1 −do := vo 12= io vo R 1⋅

(

do

)

:= io 2=

(6)

© UdeC - DIE + -L e(t) i(t) C + -v(t) R Sw(t) 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 500 0 500

Respuesta (tensión) a impulso aproximado

0

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0 1000 2000

Entrada impulso aproximada

0 Zno3:= rkfixed CI 0

(

, ,tf,nf,D3

)

D3 t x( , ) An x 0 x 1





⋅ + bn⋅∆un t 0.0005( , )+ en⋅∆pn t( ) := Zno2:= rkfixed CI 0

(

, ,tf,nf,D2

)

D2 t x( , ) An x 0 x 1





⋅ + bn⋅∆un t 0.005( , )+ en⋅∆pn t( ) := Zno1:= rkfixed CI 0

(

, ,tf,nf,D1

)

CI 0 0

:= D1 t x( , ) An x 0 x 1





⋅ + bn⋅∆un t 0.01( , ) +en⋅∆pn t( ) := t 0 tf nf , ..tf := n:= 0 nf.. nf:= 2000 tf:= 0.03 ∆pn t( ):= 0 ∆un t T( , ):= delT t T( , ) delT t T( , ) 1 T⋅

(

Φ( )t −Φ(t−T)

)

:= Simulación. Respuesta Gráfica a Impulso en la Entrada ∆ ∆∆ ∆un(t) = d(t).

(7)

© UdeC - DIE + -L e(t) i(t) C + -v(t) R Sw(t) 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 500 0 500

Respuesta (tensión) a Entrada Impulso

0 ∆hn t( ) kp exp

(

− ωζ⋅ n⋅t

)

1+ 2⋅ζ2

(

)

⋅ωn⋅ 1−ζ2 1−ζ2 sin

ωn⋅ 1 −ζ2⋅t

⋅ − ζ2⋅ ω⋅ n 1 ζ 2 −

(

)

⋅ 1 −ζ2 cos

ωn⋅ 1−ζ2⋅t

⋅ +

⋅ ⋅Φ( )t := Tomando Laplace Inversa. ∆hn s( ) kp 2 − ζ⋅ ω⋅ n⋅s+ ωn2 s2+2⋅ ωζ⋅ n⋅s+ωn2 ⋅ = ζ 1 2 R⋅ ⋅C 1 L C⋅ 1−do

(

)

⋅ := kp 1 do do − := ωn 1 L C⋅ 1−do

(

)

⋅ := ∆hn s( )=∆vn s( ) do − R C⋅ ⋅

(

1 −do

)

⋅s 1 L C⋅ ⋅

(

1−do

)

⋅do + s2 1 R C⋅ ⋅s + 1 L C⋅

(

1 −do

)

2 ⋅ + = Definiendo Con ∆∆∆∆dn = δδδδ(t) y ∆∆∆∆en= 0 s2⋅∆vn 1 R C⋅ ⋅ ∆s⋅ vn + 1 L C⋅

(

1 −do

)

2 ⋅ ⋅∆vn + −do R C⋅ ⋅

(

1 −do

)

⋅s 1 L C⋅ ⋅

(

1−do

)

⋅do + = t t ∆vn d d d d 1 − R C⋅ t ∆vn d d ⋅ 1 R C⋅ R − L

(

1−do

)

2 ⋅ ⋅∆vn R L⋅

(

1−do

)

⋅do⋅∆dn + R L

(

1−do

)

2 ⋅ ⋅∆en +





⋅ + −do R C⋅ ⋅

(

1−do

)

t ∆dn d d ⋅ + = Reemplaza-ndo la 2da ec. en la anterior: t t ∆vn d d d d 1 − R C⋅ t ∆vn d d ⋅ 1 R C⋅ t ∆in d d ⋅ + −do R C⋅ ⋅

(

1−do

)

t ∆dn d d ⋅ + = Derivando la 1ra ec.: 2da t ∆in d d R − L

(

1 −do

)

2 ⋅ ⋅∆vn R L⋅

(

1 −do

)

⋅do⋅∆dn + R L

(

1−do

)

2 ⋅ ⋅∆en + = Modelo Normalizado y Ordenado 1ra t ∆vn d d 1 − R C⋅ ⋅∆vn 1 R C⋅ ⋅∆in + −do R C⋅ ⋅

(

1−do

)

⋅∆dn + =

(8)

© UdeC - DIE 5 0 5 0 2 4 6 Señal en Frecuencia 0 5 0 5 0 0.5 1 1.5 Señal en el Tiempo 0 ω ωi ωi ωf−ωi nω + , ..ωf := t ti ti tf ti − nt + , ..tf := nω:= 300 ωf:= 2⋅π ωi:= − π2⋅ nt:= 300 tf:= 6 ti:= −6 Señal a graficar ftω ω

( )

:= 2 sin⋅ ω

(

ω⋅T

)

ftω ω

( )

∞ − ∞ t ft t( ) e⋅ − ωj⋅ ⋅t ⌠  ⌡ d = e j⋅ω⋅T e− ωj⋅ ⋅T − j⋅ω = cos

(

ω⋅T

)

+ j sin⋅

(

ω⋅T

)

cos

(

ω⋅T

)

−j sin⋅

(

ω⋅T

)

(

)

− + ... j⋅ω = 2 j⋅ ⋅sin

(

ω⋅T

)

j⋅ω = ft2 s( ) ∞ − ∞ t ft t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d = e s T⋅ e−s⋅T − s

= Transformada Bilateral de Laplace, por lo tanto la

Transformada de Fourier es: ft t( ):= Φ(t+ T)−Φ(t−T) T:= 2 Caso 1 f

( )

ω ∞ − ∞ t f t( ) e⋅ − ωj⋅ ⋅t ⌠  ⌡ d

= Nótese que corresponde a la Transformada Bilateral de Laplace,

reemplaznado s por jω.

Sea la señal f(t), entonces la Transformada de Fourier de f(t), denotada por f(ω) es,

Transformada de Fourier Definiciones

Estudiar señales en el campo de la frecuencia.

Problema

(9)

© UdeC - DIE 5 0 5 0 2 4 6 8 Señal en Frecuencia 2⋅π 0 4 2 0 2 4 0 1 2 3 Señal en el Tiempo 2 0 ω ωi ωi ωf−ωi nω + , ..ωf := nω:= 300 ωf:= 6 ωi:= −6 t ti ti tf ti − nt + , ..tf := nt:= 300 tf:= 1.5⋅π ti:= −1.5⋅π Señal a graficar ftω ω

( )

100 − 100 t ft t( ) e⋅ − ωj⋅ ⋅t ⌠  ⌡ d := ftω ω

( )

∞ − ∞ t ft t( ) e⋅ − ωj⋅ ⋅t ⌠  ⌡ d = ft t( ) 2 1 +t2 := Caso 3 4 2 0 2 4 0 1 2 3 Señal en Frecuencia 2 0 5 0 5 0 0.5 1 1.5 Señal en el Tiempo 1 0 ω ωi ωi ωf−ωi nω + , ..ωf := nω:= 300 ωf:= 1.5⋅π ωi:= −1.5⋅π t ti ti tf ti − nt + , ..tf := nt:= 300 tf:= 6 ti:= −6 Señal a graficar ftω ω

( )

2 1+ ω2 := ft2 s( ) 2 1−s2

= Transformada Bilateral de Laplace, por lo tanto la

Transformada de Fourier es:

Señal a graficar ft t( ):= e− t

(10)

© UdeC - DIE

Transformada de Fourier (Señales No-Periodicas)

Problema Revisar su inversa, ejemplos y propiedades.

Determine la función f(t) si su T.F. es f(ω) = δ(ω - ωo). R.: f(t) = 1 ( ) 2 j t f e d ∞ ω −∞ ω ω π

= 1 ( ) 2 j t o e d ∞ ω −∞δ ω − ω ω π

= 1 (0) 2 o j t e d ∞ ω −∞δ ω π

= 2 (0) o j t e d ω −∞δ ω π

= 2 o j t eω

π . Nótese que si ωo= 0; entonces la T.F. de f(t) =

1

2π es δ(ω). ♣

Determine la T.F. de f(t) = cos(ωot). R.: Como f(t) = cos(ωot) = (ejωot + e-jωot)/2, y utilizando el resultado anterior se tiene que

f(ω) = πδ(ω - ωo) + πδ(ω + ωo). ♣ Determine la T.F. de f(t) = ( 0) l t lT ∞ =−∞ δ −

. R.: Como la señal es periódica, se puede escribir como f(t) = jn 0t

n n c e ∞ ω =−∞

, donde ω0 = 2π/T0 y cn = 0 0 0 0 1 ( ) T jn t t e dt T − ω δ

= 1/T0; por lo tanto, f(t) = 0 0 1 jn t n e T ∞ ω =−∞

y f(ω) = 0 0 1 jn t n e T ∞ ω =−∞     

F

=

{

0

}

0 1 jn t n e T ∞ ω =−∞

F

= 0 0 1 2 ( ) n n T ∞ =−∞ πδ ω − ω

= 0 ( 0) n n ∞ =−∞ ω

δ ω − ω . ♣

Simetría de la T.F.

. Sea

f

(

t

) con T.F.

f

(

ω

), si

g

(

t

) =

f

(

ω

)|

ω = t

, entonces,

g

(

ω

) = 2

π

f

(

t

)|

t = -ω

. Dem.:

( )

1

( )

( )

( ) |

2

( )

2

1

2

( )

2

( )

2

j t j t j t t j t

g

g t e

dt

f

e

dt

f t e

dt

f

e

d

f t

− ω− ω− ω ω= −∞ −∞ −∞ ∞ −ω Ω =−ω −∞

ω =

=

ω

= π

π

= π

Ω = π

π

.

Convolución

. Sea

f

(

t

) con T.F.

f

(

ω

) y

g

(

t

) con T.F.

g

(

ω

), entonces,

f

(

t

)*

g

(

t

) =

f

(

ω

)

g

(

ω

). Dem.:

-1 ( )

1

1

{ ( ) ( )}

( ) ( )

( )

( )

2

2

1

( )

( )

(

) ( )

( ) * ( )

2

j t j j t j t

f

g

f

g

e

d

f

e

d g

e

d

g

e

d f

d

g t

f

d

g t

f t

ω ∞ ∞ − ωτ ω −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ ω −τ ∞ −∞ −∞ −∞

ω

ω

=

ω

ω

ω =

τ

τ ω

ω

π

π

=

ω

ω τ τ =

− τ

τ τ =

π

∫ ∫

F

.

(11)

© UdeC - DIE

Producto

. Sea

f

(

t

) con T.F.

f

(

ω

) y

g

(

t

) con T.F.

g

(

ω

), entonces,

f

(

t

)

g

(

t

) =

f

(

ω

)*

g

(

ω

)/(2

π

). Dem.:

{

}

( )

1

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

2

1

1

1

( )

( )

(

) ( )

( ) * ( )

2

2

2

j t j t j t j t

f t g t

f t g t e

dt

f t

g

e

d e

dt

f t e

dtg

d

f

g

d

f

g

− ω ∞ ∞ ψ − ω −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ − ω−ψ ∞ −∞ −∞ −∞

=

=

ψ

ψ

π

=

ψ ψ =

ω − ψ

ψ ψ =

ω

ω

π

π

π

∫ ∫

F

.

Modulación AM

(caso especial del producto). Sea

f

(

t

) con T.F.

f

(

ω

), entonces, la T.F. de

f

(

t

)cos(

ω

o

t

) es,

1/2

f

(

ω

-

ω

o

) + 1/2

f

(

ω

+

ω

o

). Dem.:

{

}

{

} {

}

{

}

{

}

1

1

( ) cos(

)

( ) *

cos(

)

( ) *

(

)

(

)

2

2

1

(

)

(

)

2

o o o o o o

f t

t

f t

t

f

f

f

ω

=

ω

=

ω

πδ ω − ω + πδ ω + ω

π

π

=

ω − ω +

ω + ω

F

F

F

.

Muestreo con Impulsos

(caso especial del producto). Sea

f

(

t

) con T.F.

f

(

ω

), entonces, la T.F. de

0

( )

(

)

l

f t

t lT

∞ =−∞

δ −

es

0 0

1

(

)

n

f

n

T

∞ =−∞

ω − ω

. Dem.:

0 0 0 0 0 0

1

( )

(

)

( ) *

(

)

2

1

1

( ) *

(

)

(

)

2

k l n n

f t

t

kT

f

t lT

f

n

f

n

T

∞ ∞ =−∞ =−∞ ∞ ∞ =−∞ =−∞

δ −

=

ω

δ −

π

=

ω ω

δ ω − ω =

ω − ω

π

F

F

.

Teorema de la Potencia

. Sea

f

(

t

) con T.F.

f

(

ω

) y

g

(

t

) con T.F.

g

(

ω

), entonces

f t g t dt

( )

*

( )

−∞

=

*

1

( )

( )

2

f

g

d

∞ −∞

ω

ω ω

π

. Dem.:

* * * * *

1

1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

1

1

( )

( )

( ) ( )

2

2

j t j t

f t g t dt

f t

g

e

d

dt

f t

g

e

d dt

g

f

d

f

g

d

∞ ∞ ∞ ω ∞ ∞ − ω −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ −∞ −∞

=

ω

ω

=

ω

ω

π

π

=

ω

ω ω =

ω

ω

ω

π

π

.

(12)

© UdeC - DIE

Teorema de la Energía

(Teorema de Rayleigh y caso especial del Teorema de Potencia). Sea

f

(

t

) con T.F.

f

(

ω

), entonces

| ( ) |

f t

2

dt

−∞

=

1

| ( ) |

2

2

f

d

∞ −∞

ω

ω

π

. Dem.:

Dado que

| ( ) |

f x

2

=

f x f x

( ) ( )

*

se demuestra con el teorema anterior.

5 0 5 0 0.5 1 1.5 f(t) = e-|t| π 0 π 0 1 2 3 f(ω) = 2/(1+ω2)

a)

0 0 0.5 1 1.5 0 ( ) l t lT ∞ =−∞ δ −

π 0 π 0 2π 0 ( 0) n n ∞ =−∞ ω

δ ω − ω

b)

5 T0 5 2π 5 0 5 0 0.5 1 1.5 e-|t| ( 0) l t lT ∞ =−∞ δ −

0 2 0 ( ) n f n ∞ =−∞ ω − ω

/T0

c)

π 0 π ω0 = 2π/T0

(13)

© UdeC - DIE Transformada de Fourier Discreta de ftp(t). fto2 s( ) e s T⋅ e−s⋅T − s := ftoω ω

( )

2 sin⋅

(

ω⋅T

)

ω := ftpω( )n 1 To 2 sin 2⋅

(

⋅π⋅n⋅Fo⋅T

)

2⋅π⋅n⋅Fo ⋅ := ti:= −10 tf:= 10 nt:= 300 ωi:= −2.0001⋅π ωf:= 2⋅π nω:= 200 ni:= −6.0001 nf:= 6 t ti ti tf ti − nt + , ..tf := ω ωi ωi ωf−ωi nω + , ..ωf := n ni ni nf ni − nf ni− + , ..nf := 10 5 0 5 10 0 0.5 1 1.5 Señal en el Tiempo To 0 5 0 5 0 2 4 6

Fourier Continua y Discreta (por To) 2⋅π

To 0

Transformada de Fourier (Señales Periodicas)

Problema Estudiar señales periodicas en el campo de la frecuencia.

Definiciones Transformada de Fourier para Señales Periodicas

Sea la señal f(t) de periodo ωo, entonces la Transformada de Fourier de f(t), denotada por f(mωo) es,

Nótese que corresponde a la Transformada de Fourier para un periodo de la señal evaluada en frecuencias múltiples de ωο. f n( ) ωo 2⋅π 0 2⋅π ωo t f t( ) e j − ⋅ ωn⋅ o⋅t ⋅ ⌠   ⌡ d ⋅ =

Definición para valores múltiples de la frecuencia Fο = 1/To. f n( ) 1 To 0 To t f t( ) e j − ⋅n⋅ π2⋅ ⋅Fo⋅t ⋅ ⌠  ⌡ d ⋅ = Caso 1 T:= 2 To:= 6 Fo 1 To := fto t( ):= Φ(t+T)−Φ(t−T) ftp t( ) 3 − 3 l fto t l To

(

− ⋅

)

= := Transformada Bilateral de Laplace de fto(t). Transformada de Fourier de fto(t).

(14)

© UdeC - DIE nf:= 6 t ti ti tf ti − nt + , ..tf := ω ωi ωi ωf−ωi nω + , ..ωf := n ni ni nf ni − nf ni− + , ..nf := 10 5 0 5 10 0 1 2 3 Señal en el Tiempo To 0 5 0 5 0 2 4 6

Fourier Continua y Discreta (por To) 2⋅π To 0 Caso 3 T:= 2 To:= 6 Fo 1 To := fto t( ):= (t+ T)⋅Φ(t+ T)−2 t⋅ Φ⋅ ( )t + (t−T)⋅Φ(t−T) ftp t( ) 3 − 3 l fto t l To

(

− ⋅

)

= := ftoω ω

( )

2 1−cos

(

ω⋅T

)

ω2 ⋅ := T. de F. de fto(t). ftpω( )n 2 To 1 −cos 2 n

(

⋅ π⋅ ⋅Fo⋅T

)

2 n⋅ π⋅ ⋅Fo

(

)

2 ⋅ := T. de F. Discreta de ftp(t). 0 1 2 3 Señal en el Tiempo To 0 0 2 4 6

Fourier Continua y Discreta (por To) 2⋅π To 0 Caso 2 T:= 2 To:= 4 Fo 1 To := fto t( ):= (t+ T)⋅Φ(t+ T)−2 t⋅ Φ⋅ ( )t + (t−T)⋅Φ(t−T) ftp t( ) 3 − 3 l fto t l To

(

− ⋅

)

= := T. de F. Discreta de ftp(t). ftoω ω

( )

exp j

(

⋅ω⋅T

)

−2 +exp

(

− ωj⋅ ⋅T

)

j⋅ω

( )

2 = ftoω ω

( )

2 1−cos

(

ω⋅T

)

ω2 ⋅ := T. de F. de fto(t). ftpω n ( ) 2 To 1 −cos 2 n

(

⋅ π⋅ ⋅Fo⋅T

)

2 n⋅ π⋅ ⋅Fo

(

)

2 ⋅ := ti:= −10 tf:= 10 nt:= 300 ωi:= −2.0001⋅π ωf:= 2⋅π nω:= 200 ni:= −6.0001

(15)

© UdeC - DIE

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 2 4

Fourier Discreta (por 2) 3 4 π ⋅ cos T To 2 ⋅ π⋅

⋅ 0 2 4 6 5 0 5 Señal en el Tiempo 0 T n ni ni nf ni − nf ni− + , ..nf := nf:= 16 ni:= 0 t ti ti tf ti − nt + , ..tf := nt:= 300 tf:= 6 ti:= 0 T. de F. Discreta de ftp(t). ftpω( )n 1 To 0 To t fto t( ) e j − ⋅n⋅ π2⋅ ⋅Fo⋅t ⋅ ⌠   ⌡ d ⋅ := ftp t( ) 3 − 3 l fto t l To

(

− ⋅

)

= := fto t( ) 3 Φ(t−T) Φ t To 2 −T

− Φ t To 2 + T

− +Φ



t−

(

To T

)



+ ...









⋅ := Fo 1 To := To:= 6 T:= 0.5 Caso 4 To:= 6 Fo 1 To := fto t( ) 3.0000 sin 1 2⋅

⋅ π⋅ ⋅To−1⋅t

(

Φ( )t −Φ

(

t−To

)

)

0.5 − ⋅sin 3 2

⋅ π⋅ ⋅To−1⋅t

(

Φ( )t −Φ

(

t−To

)

)

+ ... 1.0 − ⋅sin 5 2

⋅ π⋅ ⋅To−1⋅t

(

Φ( )t −Φ

(

t−To

)

)

+ ... := ftp t( ) 3 − 3 l fto t l To

(

− ⋅

)

= := ftpω( )n 1 To 0 To t ftp t( ) e j − ⋅n⋅ π2⋅ ⋅Fo⋅t ⋅ ⌠   ⌡ d ⋅ := T. de F. Discreta de ftp(t). ti:= −6 tf:= 6 nt:= 300 t ti ti tf ti − nt + , ..tf := ni:= −8 nf:= 8 n ni ni nf ni − nf ni− + , ..nf := 5 0 5 5 0 5 Señal en el Tiempo 0 To 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 0 1 2 Fourier Discreta 0 Caso 5

(16)

© UdeC - DIE

200 0 200

Fase de la T. de F. de la Sal. Per. 2⋅π To 0 0 0.01 0.02 0.03

Mod. (x To) T. de F. de la Sal. Per. 2⋅π To 0 ω ωi ωi ωf−ωi nω + , ..ωf := nω:= 300 ωf:= 400⋅π ωi:= −400⋅π n ni ni nf ni − nf ni− + , ..nf := nf:= 9 ni:= −9 ∆ynpn n( ) 1 To kp 2 − ζ⋅ ω⋅ n



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)



n2 j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)





2+2⋅ ωζ⋅ n



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)



n2 ⋅ 1−2 exp⋅



−0.015⋅



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)





+ exp



−0.030⋅



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)





j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)









⋅ + 10−9 :=

T. de F. de la salida periodica ∆∆∆∆ynp(t) que se denotará por ∆ynpn(n) es,

ynω ω

( )

kp − ζ2⋅ ω⋅ n⋅ ωj⋅ ωn 2 + j⋅ω

( )

2 2⋅ ωζ⋅ n

( )

j⋅ω + + ωn2 ⋅ 1 −2 exp⋅

(

−0.015⋅ ωj⋅

)

+exp

(

−0.030⋅ ωj⋅

)

j⋅ω ⋅ := ∆yns s( ) kp 2 − ζ⋅ ω⋅ n⋅s+ ωn2 s2+2⋅ ωζ⋅ n⋅s+ωn2 ⋅ 1−2 exp⋅ (−0.015⋅s)+exp(−0.030⋅s) s ⋅ :=

T. de F. de ∆∆∆∆yn(t) que se denotará por ∆ynω(ω) es,

Laplace de la salida ∆yn(t) que se denotará por ∆yns(s) es,

hns s( ) kp 2 − ζ⋅ ω⋅ n⋅s+ ωn2 s2+2⋅ ωζ⋅ n⋅s+ωn2 ⋅ := ∆uns s( ) 1−2 exp⋅ (−0.015⋅s)+exp(−0.030⋅s)

s

:= Laplace de la respuesta a

impulso ∆hn(t) que se denotará por ∆hns(s) es,

Laplace de la entrada ∆un(t) que se denotará por ∆uns(s) es, 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 Entrada 0 n:= 0 nf.. t ti ti tf ti − nf + , ..tf := nf:= 2000 ti:= 0 tf:= 2 To⋅ + -L e(t) i(t) C + -v(t) R Sw(t) ∆unp t( ) 0 2 m ∆un t m To

(

− ⋅

)

= := Fo 1 To := To:= 0.045 ∆un t( ):= Φ( )t −2⋅Φ(t−0.015)+ Φ(t−0.030)

Circuito Elevador. Coeficientes de Fourier. Caso 6

(17)

© UdeC - DIE 1000 500 0 500 1000 0 0.01 0.02 0.03

Mod. (x To) T. de F. de la Sal. Per. 2⋅π To 0 1000 500 0 500 1000 200 0 200

Fase de la T. de F. de la Sal. Per. 2⋅π

To 0

Coeficientes de Fourier de la salida ∆∆∆∆yn(t) para una entrada periódica ∆∆∆∆un(t) dada.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0.5 1 1.5

Módulo de los Coeficientes de Fourier

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 180 90 0 90 180

Fase de los Coeficientes de Fourier

Reconstrucción de la Salida en base a cuatro de los Coeficientes de Fourier.

Sal1234 t( ) 2⋅ ∆ynpn 1( ) ⋅cos 1 2

(

⋅ π⋅ ⋅Fo⋅t+ arg

(

ynpn 1( )

)

)

+2⋅ ∆ynpn 2( ) ⋅cos 2 2

(

⋅ π⋅ ⋅Fo⋅t+ arg

(

ynpn 2( )

)

)

2⋅ ∆ynpn 3( ) ⋅cos 3 2

(

⋅ π⋅ ⋅Fo⋅t+arg

(

ynpn 3( )

)

)

+ 2⋅ ∆ynpn 4( ) ⋅cos 4 2

(

⋅ π⋅ ⋅Fo⋅t+ arg

(

ynpn 4( )

)

)

+

... :=

(18)

© UdeC - DIE 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 2 1 0 1 2 Entrada y salidas. 0 Zp n 1, Sal1234 t( ) ∆un t( ) Zp n 0, t , ,t Zp:= rkfixed CI 0

(

, ,tf,nf,D

)

CI Zpnf 1, Zpnf 2,

:= D t x( , ) An x 0 x 1





⋅ + bn⋅∆un t( )+ en⋅∆pn t( ) := Simulación Zp:= rkfixed CI 0

(

, ,tf,nf,D

)

CI 0 0

:= D t x( , ) An x 0 x 1





⋅ + bn⋅∆un t( )+ en⋅∆pn t( ) :=

Simulación para encontrar la C.I.

n:= 0 nf.. t ti ti tf ti − nf + , ..tf := nf:= 2000 ti:= 0 tf:= 2 To⋅ ∆pn t( ):= 0 ∆un t( ):= ∆unp t( )

(19)

© UdeC - DIE fc z( ) T z 1 − ⋅ 1 −z−1

(

)

2 := fb z( ) 1 1−z−1 := fa z( ):= 1 Rampa Escalón Impulso fc z T( , ) 0 ∞ k k T⋅ ⋅z−k

= T z⋅ −1⋅

(

1+ 2 z⋅ −1+....

)

= := .... fb z T( , ) 0 ∞ k fb kT( ) z⋅ −k

= := kT fa z T( , ) 0 ∞ k fa k T( , ) z⋅ −k

= := fa fc k T( , ):= k T⋅ Caso 3 fb k T( , ):= Φ(k T⋅ ) Caso 2 fa k T( , ):= δδ((k Tk T⋅⋅ )) Caso 1 f z( ) 0 ∞ k f kT( ) z⋅ −k

= = =f 0( ) + f T( ) z⋅ −1+ f 2 T( ⋅ ) z⋅ −2+ f 3 T( ⋅ ) z⋅ −3+....

Sea la señal f(kT), entonces la Transformada

Z

de f(kT), denotada por f(z) =

Z

{f(kT)} es,

Transformada

Z

0 ∞ k r−k

=

2 0 ∞ k r−1

( )

k

=

2 = 1 1−r−1

2 = 0 ∞ k r−k

= 0 ∞ k r−1

( )

k

= = 1 1−r−1 = por lo tanto: 0 ∞ k rk

=

2 1+2 r⋅ +3 r⋅2+ 4 r⋅3+ 5 r⋅4+.... = 0 ∞ k 1 +k ( ) r⋅k

= = 1 1 −r





2 = 0 ∞ k rk

=

2 1 +r+ r2+ ....

(

)

(

1 +r+ r2+ ....

)

= =

(

1+r+ r2+....

)

+

(

r+ r2+ r3+....

)

+

(

r2+r3+r4+ ....

)

+ .... por otro lado:

r <1 si y sólo si 0 ∞ k rk

= 1+ r+r2+ r3+ ....+ rk+ .... = 1 1−r = La serie infinita: Definiciones

Estudiar la Aplicabilidad de la Transformada

Z

en Sistemas de Ingeniería.

Problema

(20)

© UdeC - DIE Valor Final f k( ) f z( ) ∞ t f k( ) lim → z 1 1−z−1

(

)

⋅f z( ) lim → = Señales Periodicas fo k ( ) fo z( ) f k( ) 0 ∞ i fo k i p( − ⋅ )

= = f z( ) 1 1−z−p fo z( ) ⋅ = Convolución f k( ) f z( ) g k( ) g z( ) 0 ∞ i f i( ) g k⋅ ( −i)

= f z( ) g z⋅ ( ) Derivación f k( ) f z( ) f k( ) −f k( −1)

(

1−z−1

)

⋅f z( ) Integración f k( ) f z( ) 0 k i f i( )

= 1 1 −z−1 f z( ) ⋅ Propiedades Linealidad fa k( ) fa z( ) fb k( ) fb z( ) αa fa k⋅ ( )+ αb fb k⋅ ( ) αa fa z⋅ ( )+ αb fb z⋅ ( ) Escalamient-o en tiempEscalamient-o f k( ) f z( ) f a k( ⋅ ) f z 1 a

Despl. en tiempo f k( ) f z( ) f k( −a) z−a⋅f z( ) Despl. en frecuencia f k( ) f z( ) ak⋅f k( ) f a

(

−1⋅z

)

Valor Inicial f k( ) f z( ) 0 k f k( ) lim → z ∞ f z( ) lim → =

(21)

© UdeC - DIE fkΩ Ω

( )

e j⋅Ω⋅Tm

T Tm 1 e j⋅Ω⋅Tm

1 − − e j⋅Ω⋅Tm

T − Tm 1 e j⋅Ω⋅Tm

1 − − − := ftω ω

( )

2 sin⋅

(

ω⋅T

)

ω := ki:= −12 kf:= 12 nk:= kf ki− ωi −2.5 π Tm ⋅ := ωf 2.5 π Tm ⋅ := nω:= 300 Ωi −2.5 π Tm ⋅ := Ωf 2.5 π Tm ⋅ := n:= 300 ti:= ki Tmtf:= kf Tm⋅ k ki ki kf ki − nk + , ..kf := ω ωi ωi ωf−ωi nω + , ..ωf := Ω Ωii Ωf−Ωi n + , ..Ωf := t ti ti tf ti − nf + , ..tf := 5 0 5 0 0.5 1 1.5

Señal en el Tiempo Continuo y Discreto

0 10 0 10 0 2 4 6

Señal en Frec. (cont., discr. por Tm) 2⋅π Tm 0

Transformada de Fourier (Señales Discretas No-Periodicas)

Problema Estudiar señales discretas en el campo de la frecuencia.

Definiciones Transformada de Fourier

Sea la señal f(kTm), entonces la Transformada de Fourier de f(kTm), denotada por f(Ω) es,

Nótese que corresponde a la Transformada

Z

(bilateral) de la señal f(kTm), reemplazando z por ejΩΤm. f

( )

Ω ∞ − ∞ k f k Tm

(

)

e j − Ω⋅ ⋅Tm⋅k ⋅

= =

Caso 1 T:= 2 ft t( ):= Φ(t+ T)−Φ(t−T) Señal en el Tiempo Tm:= 0.5 fk k( ):= Φ

(

k Tm⋅ +T

)

−Φ

(

k Tm⋅ −T

)

Señal Discreta Transformada

Z

; por lo tanto, la Transformada de Fourier es: fk2 z( ) ∞ − ∞ k f k T( ⋅ ) z⋅ −k

= = z T Tm 1−z−1 z T − Tm 1−z−1 − = Transformada de Fourier Señal Discreta Transformada de Fourier Señal Continua

(22)

© UdeC - DIE 10 0 10 0 1 2 3

Señal en Frec. (cont., discr. por Tm) 2⋅π Tm 0 5 0 5 0 0.5 1 1.5

Señal en el Tiempo Continuo y Discreto

0 t ti ti tf ti − nf + , ..tf := Ω Ωii Ωf−Ωi n + , ..Ωf := ω ωi ωi ωf−ωi nω + , ..ωf := k ki ki kf ki − nk + , ..kf := tf:= kf Tm⋅ ti:= ki Tm⋅ n:= 300 Ωf 3 π Tm ⋅ := Ωi −3 π Tm ⋅ := nω:= 300 ωf 3 π Tm ⋅ := ωi −3 π Tm ⋅ := nk:= kf ki− kf:= 12 ki:= −12 ftω ω

( )

2 1+ ω2 := T. de F. Señal Continua T. de F. Señal Discreta fkΩ Ω

(

,Tm

)

exp 2 Tm ⋅

(

)

−1

(

)

2 exp Tm⋅

( )

⋅cos

(

Ω⋅Tm

)

exp 2 Tm

(

)

−1 := fkΩ Ω

( )

exp 2 Tm ⋅

(

)

−1

(

)

2 exp Tm⋅

( )

⋅cos

(

Ω⋅Tm

)

exp 2 Tm

(

)

−1

= fkΩ Ω

( )

∞ − ∞ k fk k Tm

(

)

e j − Ω⋅ ⋅Tm⋅k ⋅

= = 0 ∞ k e k − ⋅Tm e j − Ω⋅ ⋅Tm⋅k ⋅

= 0 ∞ k e k − ⋅Tm e j⋅Ω⋅Tm⋅k ⋅

= + −1 = 1 1−exp



Tm

(

1+ j⋅Ω

)



1 1−exp Tm 1



(

− + j⋅Ω

)



+ −1 = Señal discreta fk k( ) e k Tm ⋅ − := Tm:= 0.5 Señal continua ft t( ):= e− t Caso 2

(23)

© UdeC - DIE 10 0 10 0 1 2 3

Señal en Frec. (cont., discr. por Tm) 2⋅π Tm 0 5 0 5 0 0.5 1 1.5

Señal en el Tiempo Continuo y Discreto

0 Ω Ωii Ωf−Ωi n + , ..Ωf := ω ωi ωi ωf−ωi nω + , ..ωf := k ki ki kf ki − nk + , ..kf := n:= 300 Ωf 6 π Tm ⋅ := Ωi −6 π Tm ⋅ := nω:= 300 ωf 6 π Tm ⋅ := ωi −6 π Tm ⋅ := nk:= kf ki− kf:= 6 ki:= −6 Señal discreta fk k( ) e k Tm ⋅ − := Tm:= 1 Señal continua ft t( ):= e− t Caso 3 10 0 10 0 1 2 3

Señal en Frec. (cont., discr. por Tm) 2⋅π Tm 0 5 0 5 0 0.5 1 1.5

Señal en el Tiempo Continuo y Discreto

(24)

© UdeC - DIE

Transformada de Fourier (Señales Discretas Periodicas)

Problema Estudiar señales discretas periodicas en el campo de la frecuencia.

Definiciones Transformada de Fourier para Señales Discretas Periodicas

Sea la señal f(kTm) de periodo Ωo, entonces la Transformada de Fourier de f(kTm), denotada por f(mΩo) es,

Nótese que corresponde a la T. de F. para un periodo de la señal evaluada en frecuencias múltiples de Ωο. Nótese que

Fο = 1/To, donde To/Tm = N. f m

( )

o 1 N 0 N 1− k f k T( ⋅ ) e j − ⋅ Ωm⋅ oTm⋅k ⋅

= ⋅ = f m

( )

o 1 N 0 N 1− k f k T( ⋅ ) e j − ⋅m2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

= ⋅ = f

( )

Ω ∞ − ∞ k f k Tm

(

)

e j − Ω⋅ ⋅Tm⋅k ⋅

= = f m( ) ∞ − ∞ k f k Tm

(

)

e j − ⋅ Ωm⋅ oTm⋅k ⋅

= = f m( ) 1 N 0 N 1− k f k Tm

(

)

e j − ⋅ Ωm⋅ oTm⋅k ⋅

= ⋅ = f m( ) 1 N 0 N 1− k f k Tm

(

)

e j − ⋅m 2⋅π To ⋅ ⋅Tm⋅k ⋅

= ⋅ = f m( ) 1 N 0 N 1− k f k Tm

(

)

e j − ⋅m 2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

= ⋅ =

(25)

© UdeC - DIE 10 0 10 0 2 4 6

Frec. (cont. x Tm, discr. x To) 2⋅π Tm 0 10 5 0 5 10 0 0.5 1 1.5 Señal Discreta 0 Ω Ωii Ωf−Ωi n + , ..Ωf := k ki ki kf ki − kf ki− + , ..kf := m mi mi mf mi− mf mi− + , ..mf := n:= 600 Ωf 2.5 π Tm ⋅ := Ωi −2.5 π Tm ⋅ := kf:= 20 ki:= −20 mi:= −15 mf:= 15 fkpΩ( )m 1 N 0 N 1− k fkp k( ) e j − ⋅m 2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

= ⋅ := N To Tm := fkoΩ Ω

( )

e j⋅Ω⋅Tm

T Tm 1 e j⋅Ω⋅Tm

1 − − e j⋅Ω⋅Tm

T − Tm 1 e j⋅Ω⋅Tm

1 − − − := fkp k( ) 3 − 3 l fko k l To Tm ⋅ −

= := fko k( ):=Φ

(

k Tm⋅ + T

)

−Φ

(

k Tm⋅ −T

)

Tm:= 0.5 Fo 1 To := To:= 6 T:= 2 Caso 1

(26)

© UdeC - DIE k ki ki kf ki − kf ki− + , ..kf := Ω Ωii Ωf−Ωi n + , ..Ωf := m mi mi mf mi − mf mi− + , ..mf := 10 5 0 5 10 0 1 2 3 Señal Discreta 0 10 0 10 0 2 4 6

Frec. (cont. x Tm, discr. x To) 2⋅π To 0 Caso 3 T:= 2 To:= 6 Fo 1 To := Tm:= 0.5 fko k( ):=

(

k Tm⋅ + T

)

⋅Φ

(

k Tm⋅ +T

)

−2 k⋅ ⋅Tm⋅Φ( )k +

(

k Tm⋅ −T

)

⋅Φ

(

k Tm⋅ −T

)

T. de F. de la señal periodica fkp(t) y la no periodica fko(k). fkp k( ) 3 − 3 l fko k l To Tm ⋅ −

= := N To Tm := fkp( )m 1 N 0 N 1− k fkp k( ) e j − ⋅m 2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

= ⋅ := fkoΩ Ω

( )

10 − 10 k fko k( ) e j − Ω⋅ ⋅Tm⋅k ⋅

= := 0 1 2 3 Señal Discreta 0 0 2 4 6

Frec. (cont. x Tm, discr. x To) 2⋅π Tm 0 Caso 2 T:= 2 To:= 4 Fo 1 To := Tm:= 0.5 fko k( ):=

(

k Tm⋅ + T

)

⋅Φ

(

k Tm⋅ +T

)

−2 k⋅ ⋅Tm⋅Φ( )k +

(

k Tm⋅ −T

)

⋅Φ

(

k Tm⋅ −T

)

T. de F. de la señal periodica fkp(t) y la no periodica fko(k). fkp k( ) 3 − 3 l fko k l To Tm ⋅ −

= := N To Tm := fkp( )m 1 N 0 N 1− k fkp k( ) e j − ⋅m 2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

= ⋅ := fkoΩ Ω

( )

10 − 10 k fko k( ) e j − Ω⋅ ⋅Tm⋅k ⋅

= := ki:= −20 kf:= 20 Ωi −2.5 π Tm ⋅ := Ωf 2.5 π Tm ⋅ := n:= 300 mi:= −15 mf:= 15

(27)

© UdeC - DIE 8 6 4 2 0 2 4 6 8 0 1 2 Fourier Discreto 0 4 2 0 2 4 5 0 5 Señal Discreta 0 m mi mi mf mi − mf mi− + , ..mf := Ω Ωii Ωf−Ωi n + , ..Ωf := k ki ki kf ki − kf ki− + , ..kf := mf:= 8 mi:= −8 n:= 300 Ωf 1 π Tm ⋅ := Ωi −1 π Tm ⋅ := kf:= 50 ki:= −50 fkpΩ( )m 1 N 0 N 1− k fkp k( ) e j − ⋅m 2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

= ⋅ := N To Tm := fkp k( ) 3 − 3 l fko k l To Tm ⋅ −

= := T. de F. de la señal periodica fkp(k). fko k( ) 3.0000 sin 1 2⋅

⋅ π⋅ ⋅To−1⋅k⋅Tm

(

Φ

(

k Tm

)

−Φ

(

k Tm⋅ −To

)

)

0.5 − ⋅sin 3 2

⋅ π⋅ ⋅To−1⋅

(

k Tm

)

(

Φ

(

k Tm

)

−Φ

(

k Tm⋅ −To

)

)

+ ... 1.0 − ⋅sin 5 2

⋅ π⋅ ⋅To−1⋅

(

k Tm

)

(

Φ

(

k Tm

)

−Φ

(

k Tm⋅ −To

)

)

+ ... := Tm:= 0.1 Fo 1 To := To:= 6 T:= 2 Caso 4

(28)

© UdeC - DIE

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 2 4

Fourier Discreto (por 2) 3 4 π ⋅ cos T To⋅ π2⋅

⋅ 0 2 4 6 5 0 5 Señal Discreta 0 T m mi mi mf mi − mf mi− + , ..mf := Ω Ωii Ωf−Ωi n + , ..Ωf := k ki ki kf ki − kf ki− + , ..kf := mf:= 16 mi:= 0 n:= 300 Ωf 1 π Tm ⋅ := Ωi −1 π Tm ⋅ := kf:= 30 ki:= 0 fkpΩ( )m 1 N 0 N 1− k fkp k( ) e j − ⋅m 2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

= ⋅ := N To Tm := fkp k( ) 3 − 3 l fko k l To Tm ⋅ −

= := T. de F. de la señal periodica fkp(k). fko k( ) 3 Φ

(

k Tm⋅ −T

)

Φ k Tm⋅ To 2 −T

− Φ k Tm⋅ To 2 +T

− + Φ



k Tm⋅ −

(

To T

)



+ ...









⋅ := Tm:= 0.2 Fo 1 To := To:= 6 T:= 0.5 Caso 5

(29)

© UdeC - DIE en 0 R L

(

1 −do

)

2 ⋅

:= cn:= (1 0) ∆un t( ):= Φ( )t −2⋅Φ(t−0.015)+ Φ(t−0.030) To:= 0.045 Fo 1 To := Entrada ∆unp t( ) 0 2 m ∆un t m To

(

− ⋅

)

= := ti:= 0 tf:= 2 Tonf:= 1500 t ti ti tf ti − nf + , ..tf := 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 Entrada 0 ni:= −10 nf:= 10 n ni ni nf ni − nf ni− + , ..nf :=

T. de F. de la salida periodica ∆∆∆∆ynp(t) que se denotará por ∆ynpn(n) es,

ynpn n( ) 1 To kp 2 − ζ⋅ ω⋅ n



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)



n2 j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)





2+2⋅ ωζ⋅ n



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)



n2 ⋅ 1−2 exp⋅



−0.015⋅



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)





+ exp



−0.030⋅



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)





j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)









⋅ + 10−9 := 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 1.5

Módulo de los Coeficientes de Fourier

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 300 150 0 150 300

Fase de los Coeficientes de Fourier

Coeficientes de Fourier de la salida ∆

∆∆

∆yn(t) para una entrada periódica ∆

∆∆

∆un(t) dada. Caso 6 Circuito Elevador. Coeficientes de Fourier.

L:= 5 10⋅ −3 C:= 200 10⋅ −6 R:= 12 ∆d1:= −0.2 do:= 0.5 eo:= 6 ∆e:= 1 ∆d2:= 0.2 vo 1 eo do − := io vo R 1⋅

(

do

)

:= uo:= do po:= eo ωn 1 L C⋅ 1−do

(

)

⋅ := kp do 1 −do := ζ L C⋅ 2 R⋅ ⋅C⋅

(

1−do

)

:= + -L e(t) i(t) C + -v(t) R Sw(t) An 1 − R C⋅ R − L

(

1−do

)

2 ⋅ 1 R C⋅ 0

:= bn do − R C⋅ ⋅

(

1 −do

)

R L⋅

(

1−do

)

⋅do

:=

(30)

© UdeC - DIE 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 2 1 0 1 2 Entrada y salidas. 0 fkp k( ) Zp k nf kf ⋅ ,1 := k ki ki kf ki − kf ki− + , ..kf := kf tf Tm := ki:= 0 Tm:= 0.0045 Muestreo Zp:= rkfixed CI 0

(

, ,tf,nf,D

)

CI Zpnf 1, Zpnf 2,

:= Zp:= rkfixed CI 0

(

, ,tf,nf,D

)

CI 0 0

:= D t x( , ) An x 0 x 1





⋅ + bn⋅∆un t( )+ en⋅∆pn t( ) := n:= 0 nf.. t ti ti tf ti − nf + , ..tf := nf:= 1500 ti:= 0 tf:= 2 To⋅ ∆pn t( ):= 0 ∆un t( ):= ∆unp t( ) Simulación

Sal1234 t( ) 2⋅ ∆ynpn 1( ) ⋅cos 1 2

(

⋅ π⋅ ⋅Fo⋅t+ arg

(

ynpn 1( )

)

)

+2⋅ ∆ynpn 2( ) ⋅cos 2 2

(

⋅ π⋅ ⋅Fo⋅t+ arg

(

ynpn 2( )

)

)

2⋅ ∆ynpn 3( ) ⋅cos 3 2

(

⋅ π⋅ ⋅Fo⋅t+arg

(

ynpn 3( )

)

)

+ 2⋅ ∆ynpn 4( ) ⋅cos 4 2

(

⋅ π⋅ ⋅Fo⋅t+ arg

(

ynpn 4( )

)

)

+ ... := Salida en base a 4 coef. de la T.F.

(31)

© UdeC - DIE T.F.D. N To Tm := mi:= 0 mf:= N m mi mi mf mi − mf mi− + , ..mf := fkp( )m 1 N 0 N 1− k fkp k( ) e j − ⋅m 2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

= ⋅ := 0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5

Módulo de los Coeficientes de Fourier

0 2 4 6 8 10 300 150 0 150 300

Fase de los Coeficientes de Fourier

Salida en base a 4 coef. de la T.F.D.

Sal1234d t( ) 2 fkp( )1 ⋅cos 1 2

(

⋅ π⋅ ⋅Fo⋅t+ arg fkp

(

( )1

)

)

+2 fkp( )2 ⋅cos 2 2

(

⋅ π⋅ ⋅Fo⋅t+ arg fkp

(

( )2

)

)

2 fkp⋅ Ω( )3 ⋅cos 3 2

(

⋅ π⋅ ⋅Fo⋅t+arg fkp

(

( )3

)

)

+ 2 fkp( )4 ⋅cos 4 2

(

⋅ π⋅ ⋅Fo⋅t+arg fkp

(

( )4

)

)

+ ... := 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 2 1 0 1 2 Entrada y salidas. 0 Zp n 1, Sal1234 t( ) Sal1234d t( ) Zp n 0, t , ,t

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