Transformada de Laplace

(1)

(

Φ( )t −Φ(t−T)

)

:= Caso 3 fb s a( , ) 1 s+ a := fb s a( , ) 0 ∞ t fb t a( , ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d := Exponencial decreciente fb t a( , ):= e−a⋅t⋅Φ( )t Caso 2 fa s( ) 1 s := fa s( ) 0 ∞ t fa t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d := Escalón fa t( ):= Φ( )t Caso 1 f t( ) 1 2⋅π⋅j _{c j}₋_⋅_∞ c j+ ⋅∞ s f s( ) e⋅ s t⋅ ⌠  ⌡ d ⋅ =

la transformada inversa resulta ser,

f s( ) 0 ∞ t f t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d =

Sea la señal f(t), entonces la Transformada de Laplace de f(t), denotada por f(s) es,

Transformada de Laplace Definiciones

problema

solución

Dominio original d if íc il

problema

solución

Dominio de la transformación fá c il transformación directa transformación inversa

Estudiar la Aplicabilidad de la Transformada de Laplace en Sistemas de Ingeniería.

Problema

(2)

© UdeC - DIE f2 s( ) −3 − ⋅ := f2 s( ):= −2 f2 s( ) exp s T( ⋅ )−2 +exp(−s⋅T) s2 := f2 s( ) 1 s 1 s−3 − := f2 s( ) 1 s+1 1 s − +1 + := f2 s( ) ∞ − ∞ t f t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d := f2 s( ) 0 ∞ t f t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d ₋_∞ 0 t f t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d + := f2 s( ) 0 ∞ t f t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d ₋_∞ 0 t f t( ) − ⋅e−s⋅t ⌠  ⌡ d + := f t( ) (t+ T)⋅Φ(t+T)−2 t⋅ Φ⋅ ( )t t−T ( )⋅Φ(t−T) + ... := Caso 4 f t( ):= Φ( )t + e3 t⋅⋅Φ( )−t Caso 3 f t( ):= e− t Caso 2 M M I m n, := Im f2 rz

(

m+i iz⋅ n

)

R m n, := Re f2 rz

(

m+ i iz⋅ n

)

M m n, := f2 rz

(

m+ i iz⋅ n

)

iz m − π2⋅ m 4⋅π N ⋅ + := rz m −1.001 m 2 N ⋅ + := n:= 0 N.. m:= 0 N.. N:= 45 f2 s( ) ∞ − ∞ t f t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d 2 exp 4 s( ⋅ ) −1 s ⋅ ⋅exp(−2⋅s) −exp 4 s( ⋅ )+ 1 s ⋅exp(−2⋅s) + → := f t( ):= Φ(t+T)−Φ(t−T) T:= 2 Caso 1 f2 s( ) ∞ − ∞ t f t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d =

Sea la señal f(t), entonces la Transformada Bilateral de Laplace de f(t), denotada por f₂(s) es,

(3)

© UdeC - DIE f s( ) 0 t t f t( ) ⌠  ⌡ d f s( ) s Valor Inicial f t( ) f s( ) 0 t f t( ) lim → s ∞ s f s⋅( ) lim → = Valor Final f t( ) f s( ) ∞ t f t( ) lim → s 0 s f s⋅( ) lim → = Señales Periodicas fo t ( ) _{fo s}( ) f t( ) 0 ∞ i fo t i T( − ⋅ )

∑

= = f s( ) 1 1 −e−s⋅T fo s( ) ⋅ = Convolución f t( ) f s( ) g t( ) g s( ) f t

(

−τ

)

g

( )

τ τ ⌠  ⌡ d f s( ) g s⋅ ( ) Convolución Compleja f t( ) f s( ) g t( ) g s( ) f t( ) g t⋅ ( ) 1 2⋅π⋅j _{c j}₋_⋅_∞ c j+ ⋅∞ ω f s

(

−ω

)

⋅g

( )

ω ⌠  ⌡ d ⋅ Propiedades Linealidad _{fa t}( ) _{fa s}( ) _{fb t}( ) _{fb s}( ) α_{a fa t}⋅ ( )+α_{b fb t}⋅ ( ) α_{a fa s}⋅ ( )+α_{b fb s}⋅ ( ) Escalamient-o en tiempEscalamient-o f t( ) f s( ) f a t( ⋅) 1 a f s a









⋅ Despl. en tiempo f t( ) f s( ) f t( −a) e−a⋅s⋅f s( ) Despl. en frecuencia f t( ) f s( ) e−a⋅t⋅f t( ) f s( + a) Derivación f t( ) f s( ) t f t( ) d d s f s⋅( )−f t( =0) Integración f t( )

(4)

Aplicacio-nes

Manipulación de Diagrama de Bloques

h s( ) 1 A 1 s ⋅ ⋅

(

_{fe s}( ) −_{fs s}( )

)

= 1 A 1 s ⋅ ⋅

(

v s( ) u s⋅ ( ) −_{fs s}( )

)

= h s( ) 1 A 1 s ⋅ v s_{( ) kc e s}⋅ ( ) 1 Ti 1 s ⋅ ⋅e s( ) +













⋅ −_{fs s}( )













⋅ = 1 A 1 s ⋅ v s_{( ) kc} 1 Ti 1 s ⋅ +













⋅ ⋅e s( ) −_{fs s}( )













⋅ = fs fe h Estánque Válvula u + -v(s) Controlador e kc + -+ 1 1 i T s 1 1 A s hd h s( ) 1 A 1 s ⋅ v s_{( ) kc} 1 Ti 1 s ⋅ +













⋅ ⋅

(

_{hd s}( ) −h s( )

)

−_{fs s}( )













⋅ = h s( ) 1 A 1 s ⋅ v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+ 1 s ⋅













⋅ ⋅

(

_{hd s}( ) −h s( )

)

−_{fs s}( )













⋅ = h s( ) 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+1 s ⋅













⋅ ⋅h s( ) + 1 A 1 s ⋅ v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+1 s ⋅













⋅ ⋅_{hd s}( ) −_{fs s}( )













⋅

= Diagrama de Bloques Original

h s( ) 1 A 1 s ⋅ v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+ 1 s ⋅













⋅ ⋅_{hd s}( )−_{fs s}( )













⋅ 1 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+ 1 s ⋅













⋅ + = 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+1 s ⋅













⋅ ⋅_{hd s}( ) 1 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+ 1 s ⋅













⋅ + 1 − A 1 s ⋅ ⋅_{fs s}( ) 1 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+1 s ⋅













⋅ + + = h s( ) 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+ 1 s ⋅













⋅ 1 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+1 s ⋅













⋅ + hd s( ) ⋅ 1 − A 1 s ⋅ 1 1 A 1 s ⋅ ⋅v s( ) 1 Ti kc Ti⋅ ⋅s+ 1 s ⋅













⋅ + fs s( ) ⋅ + =

h

2

(

s

)

h

1

(

s

)

h

+ fs

h

d h s( ) g s( ) v s⋅ ( )⋅c s( ) 1+ g s( ) v s⋅ ( )⋅c s( )⋅hd s( ) g s( ) − 1 +g s( ) v s⋅ ( )⋅c s( )⋅fs s( ) + = Diagrama de Bloques Resultante h s( )=_{h1 s}_{( ) hd s}⋅ ( ) +_{h2 s}_{( ) fs s}⋅ ( )

(5)

(

∆d io⋅ + do⋅∆i

)

C _t∆v d d ⋅ ∆v R + = ∆e L t ∆i d d ⋅ +∆v−

(

∆_{d vo}⋅ +_do⋅∆v

)

= Modelo Lineal Normalizado. ∆v vo =∆vn ∆i io =∆in ∆d do =∆dn ∆e

eo =∆en Definción de Variables Normalizadas

t ∆_vn d d 1 − R C⋅ ⋅∆vn 1 R C⋅ ⋅∆in + −do R C⋅ ⋅

(

1−_do

)

⋅∆dn +

= Modelo Normalizado y Ordenado

t ∆_in d d R − L

(

1 −do

)

2 ⋅ ⋅∆_vn R L⋅

(

1 −do

)

⋅do⋅∆dn + R L

(

1−do

)

2 ⋅ ⋅∆_en + = An 1 − R C⋅ R − L

(

1−do

)

2 ⋅ 1 R C⋅ 0













:= _bn do − R C⋅ ⋅

(

1 −_do

)

R L⋅

(

1−do

)

⋅do













:= _en 0 R L

(

1 −do

)

2 ⋅













:= _cn:= (1 0)

Problema Estudiar el uso de la T.L. en la respuesta a impulso.

Parámetros L:= 5 10⋅ −3 C:= 200 10⋅ −6 R:= 12 ∆_d1:= −0.2 _do:= 0.5 _eo:= 6 ∆e:= 1 ∆_d2:= 0.2 + -L e(t) i(t) C + -v(t) R Sw(t) Modelo Promedio. i 1⋅( −d) C _tv d d ⋅ v R + = e L t i d d ⋅ +v 1⋅( −d) = Punto de operación vo eo 1 −_do := _{vo 12}= _io vo R 1⋅

(

−_do

)

:= _{io 2}=

(6)

Respuesta (tensión) a impulso aproximado

0

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0 1000 2000

Entrada impulso aproximada

0 Zno3:= rkfixed CI 0

(

, ,_tf,_nf,_D3

)

D3 t x( , ) _An x 0 x 1













⋅ + _bn⋅∆_{un t 0.0005}( , )+ _en⋅∆_{pn t}( ) := Zno2:= rkfixed CI 0

(

, ,_tf,_nf,_D2

)

D2 t x( , ) _An x 0 x 1













⋅ + _bn⋅∆_{un t 0.005}( , )+ _en⋅∆_{pn t}( ) := Zno1:= rkfixed CI 0

(

, ,_tf,_nf,_D1

)

CI 0 0













:= D1 t x( , ) _An x 0 x 1













⋅ + _bn⋅∆_{un t 0.01}( , ) +_en⋅∆_{pn t}( ) := t 0 tf nf , .._tf := n:= _{0 nf}.. nf:= 2000 tf:= 0.03 ∆_{pn t}( ):= 0 ∆_{un t T}( , ):= _{delT t T}( , ) delT t T( , ) 1 T⋅

(

Φ( )t −Φ(t−T)

)

:= Simulación. Respuesta Gráfica a Impulso en la Entrada ∆ ∆∆ ∆u_n(t) = d(t).

(7)

Respuesta (tensión) a Entrada Impulso

0 ∆_{hn t}( ) _{kp exp}⋅

(

− ωζ⋅ _n⋅t

)

1+ 2⋅ζ2

(

)

⋅ω_n⋅ 1−ζ2 1−ζ2 sin



_

ω_n⋅ 1 −ζ2⋅t



_

⋅ − ζ2⋅ ω⋅ n 1 ζ 2 −

(

)

⋅ 1 −ζ2 cos



_

ω_n⋅ 1−ζ2⋅t



_

⋅ +













⋅ ⋅Φ( )t := Tomando Laplace Inversa. ∆_{hn s}( ) _kp 2 − ζ⋅ ω⋅ _n⋅s+ ω_n2 s2+2⋅ ωζ⋅ _n⋅s+ω_n2 ⋅ = ζ 1 2 R⋅ ⋅C 1 L C⋅ 1−_do

(

)

⋅













⋅ := kp ₁ do do − := ω_n 1 L C⋅ 1−_do

(

)

⋅ := ∆_{hn s}( )=∆_{vn s}( ) do − R C⋅ ⋅

(

1 −_do

)

⋅s 1 L C⋅ ⋅

(

1−do

)

⋅do + s2 1 R C⋅ ⋅s + 1 L C⋅

(

1 −do

)

2 ⋅ + = Definiendo Con ∆∆∆∆d_n = δδδδ(t) y ∆∆∆∆e_n= 0 s2⋅∆_vn 1 R C⋅ ⋅ ∆s⋅ vn + 1 L C⋅

(

1 −do

)

2 ⋅ ⋅∆_vn + −do R C⋅ ⋅

(

1 −_do

)

⋅s 1 L C⋅ ⋅

(

1−do

)

⋅do + = t t ∆_vn d d d d 1 − R C⋅ t ∆_vn d d ⋅ 1 R C⋅ R − L

(

1−do

)

2 ⋅ ⋅∆_vn R L⋅

(

1−do

)

⋅do⋅∆dn + R L

(

1−do

)

2 ⋅ ⋅∆_en +









⋅ + −do R C⋅ ⋅

(

1−_do

)

t ∆_dn d d ⋅ + = Reemplaza-ndo la 2da ec. en la anterior: t t ∆_vn d d d d 1 − R C⋅ t ∆_vn d d ⋅ 1 R C⋅ t ∆_in d d ⋅ + −do R C⋅ ⋅

(

1−_do

)

t ∆_dn d d ⋅ + = Derivando la 1ra_ec.: 2da t ∆_in d d R − L

(

1 −do

)

2 ⋅ ⋅∆_vn R L⋅

(

1 −do

)

⋅do⋅∆dn + R L

(

1−do

)

2 ⋅ ⋅∆_en + = Modelo Normalizado y Ordenado 1ra t ∆_vn d d 1 − R C⋅ ⋅∆vn 1 R C⋅ ⋅∆in + −do R C⋅ ⋅

(

1−_do

)

⋅∆dn + =

(8)

© UdeC - DIE 5 0 5 0 2 4 6 Señal en Frecuencia 0 5 0 5 0 0.5 1 1.5 Señal en el Tiempo 0 ω ω_i ω_i ωf−ωi n_ω + , ..ω_f := t _{ti ti} tf ti − nt + , .._tf := n_ω:= 300 ω_f:= 2⋅π ω_i:= − π2⋅ nt:= 300 tf:= 6 ti:= −6 Señal a graficar ftω ω

( )

:= 2 sin⋅ _ω

(

ω⋅T

)

ftω ω

( )

∞ − ∞ t ft t( ) e⋅ − ωj⋅ ⋅t ⌠  ⌡ d = e j⋅ω⋅T e− ωj⋅ ⋅T − j⋅ω = cos

(

ω⋅T

)

+ j sin⋅

(

ω⋅T

)

cos

(

ω⋅T

)

−j sin⋅

(

ω⋅T

)

(

)

− + ... j⋅ω = 2 j⋅ ⋅sin

(

ω⋅T

)

j⋅ω = ft2 s( ) ∞ − ∞ t ft t( ) e⋅ −s⋅t ⌠  ⌡ d = e s T⋅ e−s⋅T − s

= Transformada Bilateral de Laplace, por lo tanto la

Transformada de Fourier es: ft t( ):= Φ(t+ T)−Φ(t−T) T:= 2 Caso 1 f

( )

ω ∞ − ∞ t f t( ) e⋅ − ωj⋅ ⋅t ⌠  ⌡ d

= Nótese que corresponde a la Transformada Bilateral de Laplace,

reemplaznado s por jω.

Sea la señal f(t), entonces la Transformada de Fourier de f(t), denotada por f(ω) es,

Transformada de Fourier Definiciones

Estudiar señales en el campo de la frecuencia.

Problema

(9)

© UdeC - DIE 5 0 5 0 2 4 6 8 Señal en Frecuencia 2⋅π 0 4 2 0 2 4 0 1 2 3 Señal en el Tiempo 2 0 ω ω_i ω_i ωf−ωi n_ω + , ..ω_f := n_ω:= 300 ω_f:= 6 ω_i:= −6 t _{ti ti} tf ti − nt + , .._tf := nt:= 300 tf:= 1.5⋅π ti:= −1.5⋅π Señal a graficar ftω ω

( )

100 − 100 t ft t( ) e⋅ − ωj⋅ ⋅t ⌠  ⌡ d := ftω ω

( )

∞ − ∞ t ft t( ) e⋅ − ωj⋅ ⋅t ⌠  ⌡ d = ft t( ) 2 1 +t2 := Caso 3 4 2 0 2 4 0 1 2 3 Señal en Frecuencia 2 0 5 0 5 0 0.5 1 1.5 Señal en el Tiempo 1 0 ω ω_i ω_i ωf−ωi n_ω + , ..ω_f := n_ω:= 300 ω_f:= 1.5⋅π ω_i:= −1.5⋅π t _{ti ti} tf ti − nt + , .._tf := nt:= 300 tf:= 6 ti:= −6 Señal a graficar ftω ω

( )

2 1+ ω2 := ft2 s( ) 2 1−s2

= Transformada Bilateral de Laplace, por lo tanto la

Transformada de Fourier es:

Señal a graficar ft t( ):= e− t

(10)

Transformada de Fourier (Señales No-Periodicas)

Problema Revisar su inversa, ejemplos y propiedades.

Determine la función f(t) si su T.F. es f(ω) = δ(ω - ωo). R.: f(t) = 1 ( ) 2 j t f e d ∞ _ω −∞ ω ω π

∫

= 1 ( ) 2 j t o e d ∞ _ω −∞δ ω − ω ω π

∫

= 1 (0) 2 o j t e d ∞ _ω −∞δ ω π

∫

= 2 (0) o j t e d ω _∞ −∞δ ω π

∫

= 2 o j t eω

π . Nótese que si ωo= 0; entonces la T.F. de f(t) =

1

2π es δ(ω). ♣

Determine la T.F. de f(t) = cos(ωot). R.: Como f(t) = cos(ωot) = (ejωot + e-jωot)/2, y utilizando el resultado anterior se tiene que

f(ω) = πδ(ω - ωo) + πδ(ω + ωo). ♣ Determine la T.F. de f(t) = ( 0) l t lT ∞ =−∞ δ −

∑

. R.: Como la señal es periódica, se puede escribir como f(t) = jn 0t

n n c e ∞ ω =−∞

∑

, donde ω0 = 2π/T0 y cn = 0 0 0 0 1 ( ) T _jn _t t e dt T − ω δ

∫

= 1/T0; por lo tanto, f(t) = 0 0 1 jn t n e T ∞ ω =−∞

∑

y f(ω) = 0 0 1 jn t n e T ∞ ω =−∞     

∑



F

=

{

0

}

0 1 jn t n e T ∞ ω =−∞

∑

F

= 0 0 1 2 ( ) n n T ∞ =−∞ πδ ω − ω

∑

= ₀ ( ₀) n n ∞ =−∞ ω

∑

δ ω − ω . ♣

Simetría de la T.F.

. Sea

f

(

t

) con T.F.

f

(

ω

), si

g

(

t

) =

f

(

ω

)|

ω = t

, entonces,

g

(

ω

) = 2

π

f

(

t

)|

t = -ω

. Dem.:

( )

1 ( )

( )

( ) |

2 ( )

2

1

2 ( )

2

j t j t j t t j t

g

g t e

dt

f

e

dt

f t e

dt

f

e

d

f t

∞ _{− ω} ∞ _{− ω} ∞ _{− ω} ω= −∞ −∞ −∞ ∞ _{−ω Ω} =−ω −∞

ω =

=

ω

= π

π

= π

Ω

Ω = π

π

∫

.

Convolución

. Sea

f

(

t

) con T.F.

f

(

ω

) y

g

(

t

) con T.F.

g

(

ω

), entonces,

f

(

t

)*

g

(

t

) =

f

(

ω

)

g

(

ω

). Dem.:

-1 ( )

1

1 { ( ) ( )}

( ) ( )

( )

2

1 ( )

( )

(

) ( )

( ) * ( )

2

j t j j t j t

f

g

f

g

e

d

f

e

d g

e

d

g

e

d f

d

g t

f

d

g t

f t

∞ _ω ∞ ∞ _{− ωτ} _ω −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ _{ω −τ} ∞ −∞ −∞ −∞

ω

=

ω

ω =

τ

τ ω

ω

π

=

ω

ω τ τ =

− τ

τ τ =

π

∫

∫ ∫

∫

F

.

(11)

Producto

. Sea

f

(

t

) con T.F.

f

(

ω

) y

g

(

t

) con T.F.

g

(

ω

), entonces,

f

(

t

)

g

(

t

) =

f

(

ω

)*

g

(

ω

)/(2

π

). Dem.:

{

}

( )

1 ( ) ( )

( ) ( )

( )

2

1

1 ( )

( )

(

) ( )

( ) * ( )

2

j t j t j t j t

f t g t

f t g t e

dt

f t

g

e

d e

dt

f t e

dtg

d

f

g

d

f

g

∞ _{− ω} ∞ ∞ _ψ _{− ω} −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ _{− ω−ψ} ∞ −∞ −∞ −∞

=

ψ

π

=

ψ ψ =

ω − ψ

ψ ψ =

ω

π

∫

∫ ∫

∫

F

.

Modulación AM

(caso especial del producto). Sea

f

(

t

) con T.F.

f

(

ω

), entonces, la T.F. de

f

(

t

)cos(

ω

o

t

) es,

1/2

f

(

ω

-

ω

o

) + 1/2

f

(

ω

+

ω

o

). Dem.:

{

}

{

} {

}

{

}

{

}

1

1 ( ) cos(

)

( ) *

cos(

)

( ) *

(

)

(

)

2

1 (

)

(

)

2

o o o o o o

f t

t

f t

t

f

ω

=

ω

=

ω

πδ ω − ω + πδ ω + ω

π

=

ω − ω +

ω + ω

F

.

Muestreo con Impulsos

(caso especial del producto). Sea

f

(

t

) con T.F.

f

(

ω

), entonces, la T.F. de

0

( )

(

)

l

f t

t lT

∞ =−∞

δ −

∑

es

0 0

1 (

)

n

f

n

T

∞ =−∞

ω − ω

∑

. Dem.:

0 0 0 0 0 0

1 ( )

(

)

( ) *

(

)

2

1

1 ( ) *

(

)

(

)

2

k l n n

f t

t

kT

f

t lT

f

n

f

n

T

∞ ∞ =−∞ =−∞ ∞ ∞ =−∞ =−∞



_{δ −}



₌

_ω



_{δ −}







_π













=

ω ω

δ ω − ω =

ω − ω

π

∑

F

.

Teorema de la Potencia

. Sea

f

(

t

) con T.F.

f

(

ω

) y

g

(

t

) con T.F.

g

(

ω

), entonces

∞

f t g t dt

( )

*

( )

−∞

∫

=

*

1 ( )

( )

2 f

g

d

∞ −∞

ω

ω ω

π

∫

. Dem.:

* * * * *

1

1 ( )

( )

2

1

1 ( )

( )

( ) ( )

2

j t j t

f t g t dt

f t

g

e

d

dt

f t

g

e

d dt

g

f

d

f

g

d

∞ ∞ ∞ _ω ∞ ∞ _{− ω} −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ −∞ −∞





=

_

ω

_

=

ω

π





=

ω

ω ω =

ω

π

∫

.

(12)

Teorema de la Energía

(Teorema de Rayleigh y caso especial del Teorema de Potencia). Sea

f

(

t

) con T.F.

f

(

ω

), entonces

∞

| ( ) |

f t

2

dt

−∞

∫

=

1 | ( ) |

2

2 f

d

∞ −∞

ω

π

∫

. Dem.:

Dado que

| ( ) |

f x

2

=

f x f x

( ) ( )

*

se demuestra con el teorema anterior.

5 0 5 0 0.5 1 1.5 f(t) = e-|t| π 0 π 0 1 2 3 f(ω) = 2/(1+ω2₎

a)

0 0 0.5 1 1.5 0 ( ) l t lT ∞ =−∞ δ −

∑

π 0 π 0 2π 0 ( 0) n n ∞ =−∞ ω

∑

δ ω − ω

b)

5 T0 5 2π 5 0 5 0 0.5 1 1.5 e-|t| ( 0) l t lT ∞ =−∞ δ −

∑

0 2 0 ( ) n f n ∞ =−∞ ω − ω

∑

/T0

c)

π 0 π ω0 = 2π/T0

(13)

( )

2 sin⋅

(

ω⋅T

)

ω := _ftp_ω( )n 1 To 2 sin 2⋅

(

⋅π⋅n⋅_Fo⋅T

)

2⋅π⋅n⋅_Fo ⋅ := ti:= −10 _tf:= 10 _nt:= 300 ω_i:= −2.0001⋅π ω_f:= 2⋅π n_ω:= 200 _ni:= −6.0001 _nf:= 6 t _{ti ti} tf ti − nt + , .._tf := ω ω_i ω_i ωf−ωi n_ω + , ..ω_f := n _{ni ni} nf ni − nf ni− + , .._nf := 10 5 0 5 10 0 0.5 1 1.5 Señal en el Tiempo To 0 5 0 5 0 2 4 6

Fourier Continua y Discreta (por To) 2⋅π

To 0

Transformada de Fourier (Señales Periodicas)

Problema Estudiar señales periodicas en el campo de la frecuencia.

Definiciones Transformada de Fourier para Señales Periodicas

Sea la señal f(t) de periodo ω_o, entonces la Transformada de Fourier de f(t), denotada por f(mω_o) es,

Nótese que corresponde a la Transformada de Fourier para un periodo de la señal evaluada en frecuencias múltiples de ω_ο. f n( ) ω_o 2⋅π ₀ 2⋅π ω_o t f t( ) e j − ⋅ ωn⋅ _o⋅t ⋅ ⌠   ⌡ d ⋅ =

Definición para valores múltiples de la frecuencia F_ο = 1/T_o. f n( ) 1 To 0 To t f t( ) e j − ⋅n⋅ π2⋅ ⋅_Fo⋅t ⋅ ⌠  ⌡ d ⋅ = Caso 1 T:= 2 _To:= 6 _Fo 1 To := _{fto t}( ):= Φ(t+T)−Φ(t−T) _{ftp t}( ) 3 − 3 l fto t l To

(

− ⋅

)

∑

= := Transformada Bilateral de Laplace de f_to(t). Transformada de Fourier de f_to(t).

(14)

Fourier Continua y Discreta (por To) 2⋅π To 0 Caso 3 T:= 2 _To:= 6 _Fo 1 To := _{fto t}( ):= (t+ T)⋅Φ(t+ T)−2 t⋅ Φ⋅ ( )t + (t−T)⋅Φ(t−T) _{ftp t}( ) 3 − 3 l fto t l To

(

− ⋅

)

∑

= := ftoω ω

( )

2 1−cos

(

ω⋅T

)

ω2 ⋅ := T. de F. de f_to(t). _ftp_ω( )n 2 To 1 −cos 2 n

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo⋅T

)

2 n⋅ π⋅ ⋅_Fo

(

)

2 ⋅ := T. de F. Discreta de f_tp(t). 0 1 2 3 Señal en el Tiempo To 0 0 2 4 6

Fourier Continua y Discreta (por To) 2⋅π To 0 Caso 2 T:= 2 _To:= 4 _Fo 1 To := _{fto t}( ):= (t+ T)⋅Φ(t+ T)−2 t⋅ Φ⋅ ( )t + (t−T)⋅Φ(t−T) _{ftp t}( ) 3 − 3 l fto t l To

(

− ⋅

)

∑

= := T. de F. Discreta de f_tp(t). ftoω ω

( )

exp j

(

⋅ω⋅T

)

−2 +exp

(

− ωj⋅ ⋅T

)

j⋅ω

( )

2 = _fto_{ω ω}

( )

2 1−cos

(

ω⋅T

)

ω2 ⋅ := T. de F. de f_to(t). ftpω n ( ) 2 To 1 −cos 2 n

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo⋅T

)

2 n⋅ π⋅ ⋅_Fo

(

)

2 ⋅ := ti:= −10 _tf:= 10 _nt:= 300 ω_i:= −2.0001⋅π ω_f:= 2⋅π n_ω:= 200 _ni:= −6.0001

(15)

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 2 4

Fourier Discreta (por 2) 3 4 π ⋅ cos T To 2 ⋅ π⋅













⋅ 0 2 4 6 5 0 5 Señal en el Tiempo 0 T n _{ni ni} nf ni − nf ni− + , .._nf := nf:= 16 ni:= 0 t _{ti ti} tf ti − nt + , .._tf := nt:= 300 tf:= 6 ti:= 0 T. de F. Discreta de f_tp(t). ftpω( )n 1 To ₀ To t fto t( ) e j − ⋅n⋅ π2⋅ ⋅_Fo⋅t ⋅ ⌠   ⌡ d ⋅ := ftp t( ) 3 − 3 l fto t l To

(

− ⋅

)

∑

= := fto t( ) 3 Φ(t−T) Φ t To 2 −T













−













− Φ t To 2 + T













−













− +Φ



t−

(

_{To T}−

)



+ ...













⋅ := Fo 1 To := To:= 6 T:= 0.5 Caso 4 _To:= 6 _Fo 1 To := _{fto t}( ) 3.0000 sin 1 2⋅



_

⋅ π⋅ ⋅_To−1⋅t

_



⋅

(

Φ( )t −Φ

(

t−_To

)

0.5 − ⋅sin 3 2



_

⋅ π⋅ ⋅_To−1⋅t



_

⋅

(

Φ( )t −Φ

(

t−_To

)

+ ... 1.0 − ⋅sin 5 2



_

⋅ π⋅ ⋅_To−1⋅t



_

⋅

(

Φ( )t −Φ

(

t−_To

)

+ ... := ftp t( ) 3 − 3 l fto t l To

(

− ⋅

)

∑

= := ftpω( )n 1 To ₀ To t ftp t( ) e j − ⋅n⋅ π2⋅ ⋅_Fo⋅t ⋅ ⌠   ⌡ d ⋅ := T. de F. Discreta de f_tp(t). ti:= −6 _tf:= 6 _nt:= 300 t _{ti ti} tf ti − nt + , .._tf := _ni:= −8 _nf:= 8 n _{ni ni} nf ni − nf ni− + , .._nf := 5 0 5 5 0 5 Señal en el Tiempo 0 To 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 0 1 2 Fourier Discreta 0 Caso 5

(16)

200 0 200

Fase de la T. de F. de la Sal. Per. 2⋅π To 0 0 0.01 0.02 0.03

Mod. (x To) T. de F. de la Sal. Per. 2⋅π To 0 ω ω_i ω_i ωf−ωi n_ω + , ..ω_f := n_ω:= 300 ω_f:= 400⋅π ω_i:= −400⋅π n _{ni ni} nf ni − nf ni− + , .._nf := nf:= 9 ni:= −9 ∆_{ynpn n}( ) 1 To kp 2 − ζ⋅ ω⋅ _n⋅



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo

)



+ω_n2 j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo

)





2+2⋅ ωζ⋅ _n⋅



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo

)



+ω_n2 ⋅ 1−2 exp⋅



−0.015⋅



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)



+ exp



−0.030⋅



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo

)

⋅













⋅ + 10−9 :=

T. de F. de la salida periodica ∆∆∆∆y_np(t) que se denotará por ∆y_npn(n) es,

∆_yn_{ω ω}

( )

_kp − ζ2⋅ ω⋅ n⋅ ωj⋅ ωn 2 + j⋅ω

( )

2 2⋅ ωζ⋅ _n⋅

( )

j⋅ω + + ω_n2 ⋅ 1 −2 exp⋅

(

−0.015⋅ ωj⋅

)

+exp

(

−0.030⋅ ωj⋅

)

j⋅ω ⋅ := ∆_{yns s}( ) _kp 2 − ζ⋅ ω⋅ _n⋅s+ ω_n2 s2+2⋅ ωζ⋅ _n⋅s+ω_n2 ⋅ 1−2 exp⋅ (−0.015⋅s)+exp(−0.030⋅s) s ⋅ :=

T. de F. de ∆∆∆∆y_n(t) que se denotará por ∆y_n_ω(ω) es,

Laplace de la salida ∆y_n(t) que se denotará por ∆y_ns(s) es,

∆_{hns s}( ) _kp 2 − ζ⋅ ω⋅ _n⋅s+ ω_n2 s2+2⋅ ωζ⋅ _n⋅s+ω_n2 ⋅ := ∆_{uns s}( ) 1−2 exp⋅ (−0.015⋅s)+exp(−0.030⋅s)

s

:= Laplace de la respuesta a

impulso ∆h_n(t) que se denotará por ∆h_ns(s) es,

Laplace de la entrada ∆u_n(t) que se denotará por ∆u_ns(s) es, 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 Entrada 0 n:= _{0 nf}.. t _{ti ti} tf ti − nf + , .._tf := nf:= 2000 ti:= 0 tf:= 2 To⋅ + -L e(t) i(t) C + -v(t) R Sw(t) ∆_{unp t}( ) 0 2 m ∆_{un t m To}

(

− ⋅

)

∑

= := Fo 1 To := To:= 0.045 ∆_{un t}( ):= Φ( )t −2⋅Φ(t−0.015)+ Φ(t−0.030)

Circuito Elevador. Coeficientes de Fourier. Caso 6

(17)

Mod. (x To) T. de F. de la Sal. Per. 2⋅π To 0 1000 500 0 500 1000 200 0 200

Fase de la T. de F. de la Sal. Per. 2⋅π

To 0

Coeficientes de Fourier de la salida ∆∆∆∆y_n(t) para una entrada periódica ∆∆∆∆u_n(t) dada.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0.5 1 1.5

Módulo de los Coeficientes de Fourier

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 180 90 0 90 180

Fase de los Coeficientes de Fourier

Reconstrucción de la Salida en base a cuatro de los Coeficientes de Fourier.

Sal1234 t( ) 2⋅ ∆_{ynpn 1}( ) ⋅cos 1 2

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo⋅t+ arg

(

∆_{ynpn 1}( )

)

+2⋅ ∆_{ynpn 2}( ) ⋅cos 2 2

(

∆_{ynpn 2}( )

)

2⋅ ∆_{ynpn 3}( ) ⋅cos 3 2

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo⋅t+arg

(

∆_{ynpn 3}( )

)

+ 2⋅ ∆_{ynpn 4}( ) ⋅cos 4 2

(

∆_{ynpn 4}( )

)

+

... :=

(18)

(

, ,_tf,_nf,D

)

CI Zp_{nf 1}, Zp_{nf 2},













:= D t x( , ) _An x 0 x 1













⋅ + _bn⋅∆_{un t}( )+ _en⋅∆_{pn t}( ) := Simulación Zp:= rkfixed CI 0

(

, ,_tf,_nf,D

)

CI 0 0













:= D t x( , ) _An x 0 x 1













⋅ + _bn⋅∆_{un t}( )+ _en⋅∆_{pn t}( ) :=

Simulación para encontrar la C.I.

n:= _{0 nf}.. t _{ti ti} tf ti − nf + , .._tf := nf:= 2000 ti:= 0 tf:= 2 To⋅ ∆_{pn t}( ):= 0 ∆_{un t}( ):= ∆_{unp t}( )

(19)

(

)

2 := fb z( ) 1 1−z−1 := fa z( ):= 1 Rampa Escalón Impulso fc z T( , ) 0 ∞ k k T⋅ ⋅z−k

∑

= T z⋅ −1⋅

(

1+ 2 z⋅ −1+....

)

= := .... fb z T( , ) 0 ∞ k fb kT( ) z⋅ −k

∑

= := kT fa z T( , ) 0 ∞ k fa k T( , ) z⋅ −k

∑

= := fa fc k T( , ):= k T⋅ Caso 3 fb k T( , ):= Φ(k T⋅ ) Caso 2 fa k T( , ):= δδ((k Tk T⋅⋅ )) Caso 1 f z( ) 0 ∞ k f kT( ) z⋅ −k

∑

= = =f 0( ) + f T( ) z⋅ −1+ f 2 T( ⋅ ) z⋅ −2+ f 3 T( ⋅ ) z⋅ −3+....

Sea la señal f(kT), entonces la Transformada

Z

de f(kT), denotada por f(z) =

Z

{f(kT)} es,

Transformada

Z

0 ∞ k r−k

∑

=













2 0 ∞ k r−1

( )

k

∑

=













2 = 1 1−r−1













2 = 0 ∞ k r−k

∑

= 0 ∞ k r−1

( )

k

∑

= = 1 1−r−1 = por lo tanto: 0 ∞ k rk

∑

=













2 1+2 r⋅ +3 r⋅2+ 4 r⋅3+ 5 r⋅4+.... = 0 ∞ k 1 +k ( ) r⋅k

∑

= = 1 1 −r









2 = 0 ∞ k rk

∑

=













2 1 +r+ r2+ ....

(

)

⋅

(

1 +r+ r2+ ....

)

= =

(

1+r+ r2+....

)

+

(

r+ r2+ r3+....

)

+

(

r2+r3+r4+ ....

)

+ .... por otro lado:

r <1 si y sólo si 0 ∞ k rk

∑

= 1+ r+r2+ r3+ ....+ rk+ .... = 1 1−r = La serie infinita: Definiciones

Estudiar la Aplicabilidad de la Transformada

Z

en Sistemas de Ingeniería.

Problema

(20)

(

)

⋅f z( ) lim → = Señales Periodicas fo k ( ) _{fo z}( ) f k( ) 0 ∞ i fo k i p( − ⋅ )

∑

= = f z( ) 1 1−z−p fo z( ) ⋅ = Convolución f k( ) f z( ) g k( ) g z( ) 0 ∞ i f i( ) g k⋅ ( −i)

∑

= f z( ) g z⋅ ( ) Derivación f k( ) f z( ) f k( ) −f k( −1)

(

1−z−1

)

⋅f z( ) Integración f k( ) f z( ) 0 k i f i( )

∑

= 1 1 −z−1 f z( ) ⋅ Propiedades Linealidad _{fa k}( ) _{fa z}( ) _{fb k}( ) _{fb z}( ) α_{a fa k}⋅ ( )+ α_{b fb k}⋅ ( ) α_{a fa z}⋅ ( )+ α_{b fb z}⋅ ( ) Escalamient-o en tiempEscalamient-o f k( ) f z( ) f a k( ⋅ ) f z 1 a













Despl. en tiempo f k( ) f z( ) f k( −a) z−a⋅f z( ) Despl. en frecuencia f k( ) f z( ) ak⋅f k( ) f a

(

−1⋅z

)

Valor Inicial f k( ) f z( ) 0 k f k( ) lim → z ∞ f z( ) lim → =

(21)

( )

e j⋅Ω⋅_Tm









T Tm 1 e j⋅Ω⋅_Tm









1 − − e j⋅Ω⋅_Tm









T − Tm 1 e j⋅Ω⋅_Tm









1 − − − := _ft_{ω ω}

( )

2 sin⋅

(

ω⋅T

)

ω := ki:= −12 _kf:= 12 _nk:= _{kf ki}− ω_i −2.5 π Tm ⋅ := ω_f 2.5 π Tm ⋅ := n_ω:= 300 Ω_i −2.5 π Tm ⋅ := Ω_f 2.5 π Tm ⋅ := n_Ω:= 300 _ti:= _{ki Tm}⋅ _tf:= _{kf Tm}⋅ k _{ki ki} kf ki − nk + , .._kf := ω ω_i ω_i ωf−ωi n_ω + , ..ω_f := Ω Ω_i Ω_i Ωf−Ωi n_Ω + , ..Ω_f := t _{ti ti} tf ti − nf + , .._tf := 5 0 5 0 0.5 1 1.5

Señal en el Tiempo Continuo y Discreto

0 10 0 10 0 2 4 6

Señal en Frec. (cont., discr. por Tm) 2⋅π Tm 0

Transformada de Fourier (Señales Discretas No-Periodicas)

Problema Estudiar señales discretas en el campo de la frecuencia.

Definiciones Transformada de Fourier

Sea la señal f(kT_m), entonces la Transformada de Fourier de f(kT_m), denotada por f(Ω) es,

Nótese que corresponde a la Transformada

Z

(bilateral) de la señal f(kT_m), reemplazando z por ejΩΤ_m. f

( )

Ω ∞ − ∞ k f k Tm

(

⋅

)

e j − Ω⋅ ⋅_Tm⋅k ⋅

∑

= =

Caso 1 T:= 2 _{ft t}( ):= Φ(t+ T)−Φ(t−T) Señal en el Tiempo _Tm:= 0.5 _{fk k}( ):= Φ

(

_{k Tm}⋅ +T

)

−Φ

(

_{k Tm}⋅ −T

)

Señal Discreta Transformada

Z

; por lo tanto, la Transformada de Fourier es: fk2 z( ) ∞ − ∞ k f k T( ⋅ ) z⋅ −k

∑

= = z T Tm 1−z−1 z T − Tm 1−z−1 − = Transformada de Fourier Señal Discreta Transformada de Fourier Señal Continua

(22)

Señal en Frec. (cont., discr. por Tm) 2⋅π Tm 0 5 0 5 0 0.5 1 1.5

0 t _{ti ti} tf ti − nf + , .._tf := Ω Ω_i Ω_i Ωf−Ωi n_Ω + , ..Ω_f := ω ω_i ω_i ωf−ωi n_ω + , ..ω_f := k _{ki ki} kf ki − nk + , .._kf := tf:= kf Tm⋅ ti:= ki Tm⋅ n_Ω:= 300 Ω_f 3 π Tm ⋅ := Ω_i −3 π Tm ⋅ := n_ω:= 300 ω_f 3 π Tm ⋅ := ω_i −3 π Tm ⋅ := nk:= kf ki− kf:= 12 ki:= −12 ftω ω

( )

2 1+ ω2 := T. de F. Señal Continua T. de F. Señal Discreta fkΩ Ω

(

,Tm

)

exp 2 Tm ⋅

(

)

−1

(

)

−

2 exp Tm⋅

( )

⋅cos

(

Ω⋅_Tm

)

−_{exp 2 Tm}

(

⋅

)

−1 := fkΩ Ω

( )

exp 2 Tm ⋅

(

)

−1

(

)

−

2 exp Tm⋅

( )

⋅cos

(

Ω⋅_Tm

)

−_{exp 2 Tm}

(

⋅

)

−1

= fkΩ Ω

( )

∞ − ∞ k fk k Tm

(

⋅

)

e j − Ω⋅ ⋅_Tm⋅k ⋅

∑

= = 0 ∞ k e k − ⋅_Tm e j − Ω⋅ ⋅_Tm⋅k ⋅

∑

= 0 ∞ k e k − ⋅_Tm e j⋅Ω⋅_Tm⋅k ⋅

∑

= + −1 = 1 1−exp



−_Tm⋅

(

1+ j⋅Ω

)



1 1−_{exp Tm 1}



⋅

(

− + j⋅Ω

)



+ −1 = Señal discreta fk k( ) e k Tm ⋅ − := Tm:= 0.5 Señal continua ft t( ):= e− t Caso 2

(23)

0 Ω Ω_i Ω_i Ωf−Ωi n_Ω + , ..Ω_f := ω ω_i ω_i ωf−ωi n_ω + , ..ω_f := k _{ki ki} kf ki − nk + , .._kf := n_Ω:= 300 Ω_f 6 π Tm ⋅ := Ω_i −6 π Tm ⋅ := n_ω:= 300 ω_f 6 π Tm ⋅ := ω_i −6 π Tm ⋅ := nk:= kf ki− kf:= 6 ki:= −6 Señal discreta fk k( ) e k Tm ⋅ − := Tm:= 1 Señal continua ft t( ):= e− t Caso 3 10 0 10 0 1 2 3

(24)

Transformada de Fourier (Señales Discretas Periodicas)

Problema Estudiar señales discretas periodicas en el campo de la frecuencia.

Definiciones Transformada de Fourier para Señales Discretas Periodicas

Sea la señal f(kT_m) de periodo Ω_o, entonces la Transformada de Fourier de f(kT_m), denotada por f(mΩ_o) es,

Nótese que corresponde a la T. de F. para un periodo de la señal evaluada en frecuencias múltiples de Ω_ο. Nótese que

F_ο = 1/T_o, donde T_o/T_m = N. f m

( )

Ω_o 1 N 0 N 1− k f k T( ⋅ ) e j − ⋅ Ωm⋅ _o⋅_Tm⋅k ⋅

∑

= ⋅ = f m

( )

Ω_o 1 N 0 N 1− k f k T( ⋅ ) e j − ⋅m2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

∑

= ⋅ = f

( )

Ω ∞ − ∞ k f k Tm

(

⋅

)

e j − Ω⋅ ⋅_Tm⋅k ⋅

∑

= = f m( ) ∞ − ∞ k f k Tm

(

⋅

)

e j − ⋅ Ωm⋅ _o⋅_Tm⋅k ⋅

∑

= = f m( ) 1 N 0 N 1− k f k Tm

(

⋅

)

e j − ⋅ Ωm⋅ _o⋅_Tm⋅k ⋅

∑

= ⋅ = f m( ) 1 N 0 N 1− k f k Tm

(

⋅

)

e j − ⋅m 2⋅π To ⋅ ⋅_Tm⋅k ⋅

∑

= ⋅ = f m( ) 1 N 0 N 1− k f k Tm

(

⋅

)

e j − ⋅m 2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

∑

= ⋅ =

(25)

Frec. (cont. x Tm, discr. x To) 2⋅π Tm 0 10 5 0 5 10 0 0.5 1 1.5 Señal Discreta 0 Ω Ω_i Ω_i Ωf−Ωi n_Ω + , ..Ω_f := k _{ki ki} kf ki − kf ki− + , .._kf := m mi mi mf mi− mf mi− + , .._mf := n_Ω:= 600 Ω_f 2.5 π Tm ⋅ := Ω_i −2.5 π Tm ⋅ := kf:= 20 ki:= −20 mi:= −15 mf:= 15 fkpΩ( )m 1 N 0 N 1− k fkp k( ) e j − ⋅m 2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

∑

= ⋅ := N To Tm := fkoΩ Ω

( )

e j⋅Ω⋅_Tm









T Tm 1 e j⋅Ω⋅_Tm









1 − − e j⋅Ω⋅_Tm









T − Tm 1 e j⋅Ω⋅_Tm









1 − − − := fkp k( ) 3 − 3 l fko k l To Tm ⋅ −













∑

= := fko k( ):=Φ

(

_{k Tm}⋅ + T

)

−Φ

(

_{k Tm}⋅ −T

)

Tm:= 0.5 Fo 1 To := To:= 6 T:= 2 Caso 1

(26)

Frec. (cont. x Tm, discr. x To) 2⋅π To 0 Caso 3 T:= 2 _To:= 6 _Fo 1 To := _Tm:= 0.5 _{fko k}( ):=

(

_{k Tm}⋅ + T

)

⋅Φ

(

_{k Tm}⋅ +T

)

−2 k⋅ ⋅_Tm⋅Φ( )k +

(

_{k Tm}⋅ −T

)

⋅Φ

(

_{k Tm}⋅ −T

)

T. de F. de la señal periodica f_kp(t) y la no periodica f_ko(k). fkp k( ) 3 − 3 l fko k l To Tm ⋅ −













∑

= := N To Tm := _fkp_Ω( )m 1 N 0 N 1− k fkp k( ) e j − ⋅m 2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

∑

= ⋅ := _fko_{Ω Ω}

( )

10 − 10 k fko k( ) e j − Ω⋅ ⋅_Tm⋅k ⋅

∑

= := 0 1 2 3 Señal Discreta 0 0 2 4 6

Frec. (cont. x Tm, discr. x To) 2⋅π Tm 0 Caso 2 T:= 2 _To:= 4 _Fo 1 To := _Tm:= 0.5 _{fko k}( ):=

(

_{k Tm}⋅ + T

)

⋅Φ

(

_{k Tm}⋅ +T

)

−2 k⋅ ⋅_Tm⋅Φ( )k +

(

_{k Tm}⋅ −T

)

⋅Φ

(

_{k Tm}⋅ −T

)

T. de F. de la señal periodica f_kp(t) y la no periodica f_ko(k). fkp k( ) 3 − 3 l fko k l To Tm ⋅ −













∑

= := N To Tm := _fkp_Ω( )m 1 N 0 N 1− k fkp k( ) e j − ⋅m 2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

∑

= ⋅ := _fko_{Ω Ω}

( )

10 − 10 k fko k( ) e j − Ω⋅ ⋅_Tm⋅k ⋅

∑

= := ki:= −20 _kf:= 20 Ω_i −2.5 π Tm ⋅ := Ω_f 2.5 π Tm ⋅ := n_Ω:= 300 _mi:= −15 _mf:= 15

(27)

© UdeC - DIE 8 6 4 2 0 2 4 6 8 0 1 2 Fourier Discreto 0 4 2 0 2 4 5 0 5 Señal Discreta 0 m _{mi mi} mf mi − mf mi− + , .._mf := Ω Ω_i Ω_i Ωf−Ωi n_Ω + , ..Ω_f := k _{ki ki} kf ki − kf ki− + , .._kf := mf:= 8 mi:= −8 n_Ω:= 300 Ω_f 1 π Tm ⋅ := Ω_i −1 π Tm ⋅ := kf:= 50 ki:= −50 fkpΩ( )m 1 N 0 N 1− k fkp k( ) e j − ⋅m 2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

∑

= ⋅ := N To Tm := fkp k( ) 3 − 3 l fko k l To Tm ⋅ −













∑

= := T. de F. de la señal periodica f_kp(k). fko k( ) 3.0000 sin 1 2⋅

_



⋅ π⋅ ⋅_To−1⋅k⋅_Tm



_

⋅

(

Φ

(

_{k Tm}⋅

)

−Φ

(

_{k Tm}⋅ −_To

)

0.5 − ⋅sin 3 2

_



⋅ π⋅ ⋅_To−1⋅

(

_{k Tm}⋅

)



_

⋅

(

Φ

(

_{k Tm}⋅

)

−Φ

(

_{k Tm}⋅ −_To

)

+ ... 1.0 − ⋅sin 5 2

_



⋅ π⋅ ⋅_To−1⋅

(

_{k Tm}⋅

)



_

⋅

(

Φ

(

_{k Tm}⋅

)

−Φ

(

_{k Tm}⋅ −_To

)

+ ... := Tm:= 0.1 Fo 1 To := To:= 6 T:= 2 Caso 4

(28)

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 2 4

Fourier Discreto (por 2) 3 4 π ⋅ cos T To⋅ π2⋅













⋅ 0 2 4 6 5 0 5 Señal Discreta 0 T m _{mi mi} mf mi − mf mi− + , .._mf := Ω Ω_i Ω_i Ωf−Ωi n_Ω + , ..Ω_f := k _{ki ki} kf ki − kf ki− + , .._kf := mf:= 16 mi:= 0 n_Ω:= 300 Ω_f 1 π Tm ⋅ := Ω_i −1 π Tm ⋅ := kf:= 30 ki:= 0 fkpΩ( )m 1 N 0 N 1− k fkp k( ) e j − ⋅m 2⋅π N ⋅ ⋅k ⋅

∑

= ⋅ := N To Tm := fkp k( ) 3 − 3 l fko k l To Tm ⋅ −













∑

= := T. de F. de la señal periodica f_kp(k). fko k( ) 3 Φ

(

_{k Tm}⋅ −T

)

Φ _{k Tm}⋅ To 2 −T













−













− Φ _{k Tm}⋅ To 2 +T













−













− + Φ

_

_{k Tm}⋅ −

(

_{To T}−

)

_

+ ...













⋅ := Tm:= 0.2 Fo 1 To := To:= 6 T:= 0.5 Caso 5

(29)

(

1 −do

)

2 ⋅













:= _cn:= (1 0) ∆_{un t}( ):= Φ( )t −2⋅Φ(t−0.015)+ Φ(t−0.030) _To:= 0.045 _Fo 1 To := Entrada ∆_{unp t}( ) 0 2 m ∆_{un t m To}

(

− ⋅

)

∑

= := _ti:= 0 _tf:= _{2 To}⋅ _nf:= 1500 t _{ti ti} tf ti − nf + , .._tf := 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 Entrada 0 ni:= −10 _nf:= 10 n _{ni ni} nf ni − nf ni− + , .._nf :=

T. de F. de la salida periodica ∆∆∆∆y_np(t) que se denotará por ∆y_npn(n) es,

∆_{ynpn n}( ) 1 To kp 2 − ζ⋅ ω⋅ _n⋅



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo

)



+ω_n2 j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo

)





2+2⋅ ωζ⋅ _n⋅



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo

)



+ω_n2 ⋅ 1−2 exp⋅



−0.015⋅



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)



+ exp



−0.030⋅



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅Fo

)



j 2 n⋅

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo

)

⋅













⋅ + 10−9 := 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 1.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 300 150 0 150 300

Coeficientes de Fourier de la salida ∆

∆∆

∆y_n(t) para una entrada periódica ∆

∆∆

∆u_n(t) dada. Caso 6 Circuito Elevador. Coeficientes de Fourier.

L:= 5 10⋅ −3 C:= 200 10⋅ −6 R:= 12 ∆_d1:= −0.2 _do:= 0.5 _eo:= 6 ∆e:= 1 ∆_d2:= 0.2 vo ₁ eo do − := _io vo R 1⋅

(

−_do

)

:= _uo:= _do _po:= _eo ω_n 1 L C⋅ 1−_do

(

)

⋅ := _kp do 1 −_do := ζ L C⋅ 2 R⋅ ⋅C⋅

(

1−_do

)

:= + -L e(t) i(t) C + -v(t) R Sw(t) An 1 − R C⋅ R − L

(

1−do

)

2 ⋅ 1 R C⋅ 0













:= _bn do − R C⋅ ⋅

(

1 −_do

)

R L⋅

(

1−do

)

⋅do













:=

(30)

© UdeC - DIE 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 2 1 0 1 2 Entrada y salidas. 0 fkp k( ) _Zp k nf kf ⋅ ,1 := k _{ki ki} kf ki − kf ki− + , .._kf := kf tf Tm := ki:= 0 Tm:= 0.0045 Muestreo Zp:= rkfixed CI 0

(

, ,_tf,_nf,D

)

CI Zp_{nf 1}, Zp_{nf 2},













:= Zp:= rkfixed CI 0

(

, ,_tf,_nf,D

)

CI 0 0













:= D t x( , ) _An x 0 x 1













⋅ + _bn⋅∆_{un t}( )+ _en⋅∆_{pn t}( ) := n:= _{0 nf}.. t _{ti ti} tf ti − nf + , .._tf := nf:= 1500 ti:= 0 tf:= 2 To⋅ ∆_{pn t}( ):= 0 ∆_{un t}( ):= ∆_{unp t}( ) Simulación

Sal1234 t( ) 2⋅ ∆_{ynpn 1}( ) ⋅cos 1 2

(

∆_{ynpn 1}( )

)

+2⋅ ∆_{ynpn 2}( ) ⋅cos 2 2

(

∆_{ynpn 2}( )

)

2⋅ ∆_{ynpn 3}( ) ⋅cos 3 2

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo⋅t+arg

(

∆_{ynpn 3}( )

)

+ 2⋅ ∆_{ynpn 4}( ) ⋅cos 4 2

(

∆_{ynpn 4}( )

)

+ ... := Salida en base a 4 coef. de la T.F.

(31)

∑

= ⋅ := 0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5

0 2 4 6 8 10 300 150 0 150 300

Salida en base a 4 coef. de la T.F.D.

Sal1234d t( ) _{2 fkp}⋅ _Ω( )1 ⋅cos 1 2

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo⋅t+ _{arg fkp}

(

_Ω( )1

)

+_{2 fkp}⋅ _Ω( )2 ⋅cos 2 2

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo⋅t+ _{arg fkp}

(

_Ω( )2

)

2 fkp⋅ Ω( )3 ⋅cos 3 2

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo⋅t+_{arg fkp}

(

_Ω( )3

)

+ _{2 fkp}⋅ _Ω( )4 ⋅cos 4 2

(

⋅ π⋅ ⋅_Fo⋅t+_{arg fkp}

(

_Ω( )4

)

+ ... := 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 2 1 0 1 2 Entrada y salidas. 0 Zp n 1, Sal1234 t( ) Sal1234d t( ) Zp n 0, t , ,t