Cotas para los ceros de E-polinomios

Cotas para los ceros de E-polinomios

Gabriela Jeronimo - Juan Sabia

Universidad de Buenos Aires & CONICET Argentina

Reuni´on Anual de la Uni´on Matem´atica Argentina Bah´ıa Blanca, 20 al 23 de septiembre de 2016

E-polinomios

UnE-polinomioreal en una variable x es una funci´onf :R→R, f(x) =F(x,eh(x))

conF ∈_Z[x,y] yh∈_Z[x].

(Khovanskii 1980) Un E-polinomio tiene finitos ceros.

(Vorobjov 1992) Algoritmo para el problema de la consistencia de sistemas de ecuaciones e inecuaciones dadas por

E-polinomios.

(Achatz-McCallum-Weispfenning 2008) Algoritmo de decisi´on para f´ormulas con E-polinomios conh(x) =x.

Motivaci´on. Eliminaci´on de cuantificadores en la teor´ıa de primer orden deRextendida con exponenciaci´on (Tarski 1948).

E-polinomios

UnE-polinomioreal en una variable x es una funci´onf :R→R, f(x) =F(x,eh(x))

conF ∈_Z[x,y] yh∈_Z[x].

(Khovanskii 1980) Un E-polinomio tiene finitos ceros.

(Vorobjov 1992) Algoritmo para el problema de la consistencia de sistemas de ecuaciones e inecuaciones dadas por

E-polinomios.

(Achatz-McCallum-Weispfenning 2008) Algoritmo de decisi´on para f´ormulas con E-polinomios conh(x) =x.

Motivaci´on. Eliminaci´on de cuantificadores en la teor´ıa de primer orden deRextendida con exponenciaci´on (Tarski 1948).

E-polinomios

UnE-polinomioreal en una variable x es una funci´onf :R→R, f(x) =F(x,eh(x))

conF ∈_Z[x,y] yh∈_Z[x].

(Khovanskii 1980) Un E-polinomio tiene finitos ceros.

(Vorobjov 1992) Algoritmo para el problema de la consistencia de sistemas de ecuaciones e inecuaciones dadas por

E-polinomios.

(Achatz-McCallum-Weispfenning 2008) Algoritmo de decisi´on para f´ormulas con E-polinomios conh(x) =x.

Motivaci´on. Eliminaci´on de cuantificadores en la teor´ıa de primer orden deRextendida con exponenciaci´on (Tarski 1948).

E-polinomios

UnE-polinomioreal en una variable x es una funci´onf :R→R, f(x) =F(x,eh(x))

conF ∈_Z[x,y] yh∈_Z[x].

(Khovanskii 1980) Un E-polinomio tiene finitos ceros.

(Vorobjov 1992) Algoritmo para el problema de la consistencia de sistemas de ecuaciones e inecuaciones dadas por

E-polinomios.

(Achatz-McCallum-Weispfenning 2008) Algoritmo de decisi´on para f´ormulas con E-polinomios conh(x) =x.

Motivaci´on. Eliminaci´on de cuantificadores en la teor´ıa de primer orden deRextendida con exponenciaci´on (Tarski 1948).

E-polinomios

UnE-polinomioreal en una variable x es una funci´onf :R→R, f(x) =F(x,eh(x))

conF ∈_Z[x,y] yh∈_Z[x].

(Khovanskii 1980) Un E-polinomio tiene finitos ceros.

(Vorobjov 1992) Algoritmo para el problema de la consistencia de sistemas de ecuaciones e inecuaciones dadas por

E-polinomios.

(Achatz-McCallum-Weispfenning 2008) Algoritmo de decisi´on para f´ormulas con E-polinomios conh(x) =x.

Motivaci´on. Eliminaci´on de cuantificadores en la teor´ıa de primer orden deRextendida con exponenciaci´on (Tarski 1948).

E-polinomios

UnE-polinomioreal en una variable x es una funci´onf :R→R, f(x) =F(x,eh(x))

conF ∈_Z[x,y] yh∈_Z[x].

(Khovanskii 1980) Un E-polinomio tiene finitos ceros.

(Vorobjov 1992) Algoritmo para el problema de la consistencia de sistemas de ecuaciones e inecuaciones dadas por

E-polinomios.

(Achatz-McCallum-Weispfenning 2008) Algoritmo de decisi´on para f´ormulas con E-polinomios conh(x) =x.

Motivaci´on. Eliminaci´on de cuantificadores en la teor´ıa de primer orden deRextendida con exponenciaci´on (Tarski 1948).

Dos herramientas fundamentales

C´alculo efectivo de la cantidad exacta de ceros reales de un E-polinomio en un intervalo.

Definici´on y c´alculo desucesiones de Sturmpara E-polinomios. Si f(x) =F(x,eh(x)_{), con F ∈}

Z[x,y], h∈Z[x] polinomios de grados acotados por d y coeficientes de valor absoluto acotado por H, la cantidad de ceros def en un intervalo puede calcularse con un algoritmo de complejidad (2dH)dO(1) (Barbagallo-J.-Sabia 2015).

Determinaci´on de un intervalo acotado que contiene a todos los ceros de un E-polinomio.

Dos herramientas fundamentales

C´alculo efectivo de la cantidad exacta de ceros reales de un E-polinomio en un intervalo.

Definici´on y c´alculo desucesiones de Sturmpara E-polinomios. Si f(x) =F(x,eh(x)_{), con F ∈}

Z[x,y], h∈Z[x] polinomios de grados acotados por d y coeficientes de valor absoluto acotado por H, la cantidad de ceros def en un intervalo puede calcularse con un algoritmo de complejidad (2dH)dO(1) (Barbagallo-J.-Sabia 2015).

Determinaci´on de un intervalo acotado que contiene a todos los ceros de un E-polinomio.

Objetivo de esta charla.

Dos herramientas fundamentales

C´alculo efectivo de la cantidad exacta de ceros reales de un E-polinomio en un intervalo.

Definici´on y c´alculo desucesiones de Sturmpara E-polinomios.

Si f(x) =F(x,eh(x)_{), con F ∈}

Z[x,y], h∈Z[x] polinomios de grados acotados por d y coeficientes de valor absoluto acotado por H, la cantidad de ceros def en un intervalo puede calcularse con un algoritmo de complejidad (2dH)dO(1) (Barbagallo-J.-Sabia 2015).

Determinaci´on de un intervalo acotado que contiene a todos los ceros de un E-polinomio.

Dos herramientas fundamentales

C´alculo efectivo de la cantidad exacta de ceros reales de un E-polinomio en un intervalo.

Definici´on y c´alculo desucesiones de Sturmpara E-polinomios. Si f(x) =F(x,eh(x)_{), conF ∈}

Z[x,y], h∈Z[x] polinomios de grados acotados por d y coeficientes de valor absoluto acotado por H, la cantidad de ceros def en un intervalo puede calcularse con un algoritmo de complejidad (2dH)dO(1) (Barbagallo-J.-Sabia 2015).

Determinaci´on de un intervalo acotado que contiene a todos los ceros de un E-polinomio.

Objetivo de esta charla.

Dos herramientas fundamentales

C´alculo efectivo de la cantidad exacta de ceros reales de un E-polinomio en un intervalo.

Definici´on y c´alculo desucesiones de Sturmpara E-polinomios. Si f(x) =F(x,eh(x)_{), conF ∈}

Z[x,y], h∈Z[x] polinomios de grados acotados por d y coeficientes de valor absoluto acotado por H, la cantidad de ceros def en un intervalo puede calcularse con un algoritmo de complejidad (2dH)dO(1) (Barbagallo-J.-Sabia 2015).

Determinaci´on de un intervalo acotado que contiene a todos los ceros de un E-polinomio.

Cota de Cauchy para ceros de polinomios

Seaf(x) = d P j=0 ajxj ∈C[x] conad 6= 0. Si α∈C es ra´ız def, |α|<1 + max 0≤j≤d−1 aj ad . En particular, sif ∈_Z[x] yH(f) := max{|aj|: 0≤j ≤d}es la altura def, para todo α∈C,

si f(α) = 0, entonces|α|<1 +H(f).

Cota de Cauchy para ceros de polinomios

Seaf(x) = d P j=0 ajxj ∈C[x] conad 6= 0. Si α∈C es ra´ız def, |α|<1 + max 0≤j≤d−1 aj ad . En particular, sif ∈_Z[x] yH(f) := max{|aj|: 0≤j ≤d}es la altura def, para todo α∈C,

Cota de Cauchy para ceros de polinomios

Seaf(x) = d P j=0 ajxj ∈C[x] conad 6= 0. Si α∈C es ra´ız def, |α|<1 + max 0≤j≤d−1 aj ad . En particular, sif ∈_Z[x] yH(f) := max{|aj|: 0≤j ≤d}es la altura def, para todo α∈C,

si f(α) = 0, entonces |α|<1 +H(f).

El problema

Dado unE-polinomio

f(x) =F(x,eh(x)) definido porF ∈Z[x,y] yh∈Z[x] tales que

deg(F)≤d1, deg(h) =d2 ≥1, H(F)≤H1,H(h)≤H2,

buscamos una cotaM(d1,d2,H1,H2) tal que

El problema

Dado unE-polinomio

f(x) =F(x,eh(x)) definido porF ∈Z[x,y] yh∈Z[x] tales que

deg(F)≤d1, deg(h) =d2 ≥1, H(F)≤H1,H(h)≤H2,

buscamos una cotaM(d1,d2,H1,H2) tal que

sif(α) = 0para α∈R, entonces|α|<M(d1,d2,H1,H2).

El problema

Dado unE-polinomio

f(x) =F(x,eh(x)) definido porF ∈Z[x,y] yh∈Z[x] tales que

deg(F)≤d1, deg(h) =d2 ≥1, H(F)≤H1,H(h)≤H2,

buscamos una cotaM(d1,d2,H1,H2) tal que

Antecedentes

Conocido como el “problema de la ´ultima ra´ız”.

(Wolter 1985): existencia de una cota para t´erminos exponenciales generales; procedimiento inductivo, cota no expl´ıcita.

(Maignan 1998): algoritmo para el c´alculo de una cota para el casoF(x,ex_{), dondeF es un polinomio en dos variables.} (Barbagallo-J.-Sabia 2015): primera cota expl´ıcita para E-polinomios.

Antecedentes

Conocido como el “problema de la ´ultima ra´ız”.

(Wolter 1985): existencia de una cota para t´erminos exponenciales generales; procedimiento inductivo, cota no expl´ıcita.

(Maignan 1998): algoritmo para el c´alculo de una cota para el casoF(x,ex_{), dondeF es un polinomio en dos variables.} (Barbagallo-J.-Sabia 2015): primera cota expl´ıcita para E-polinomios.

Antecedentes

Conocido como el “problema de la ´ultima ra´ız”.

(Wolter 1985): existencia de una cota para t´erminos exponenciales generales; procedimiento inductivo, cota no expl´ıcita.

(Maignan 1998): algoritmo para el c´alculo de una cota para el casoF(x,ex), dondeF es un polinomio en dos variables.

(Barbagallo-J.-Sabia 2015): primera cota expl´ıcita para E-polinomios.

Antecedentes

Conocido como el “problema de la ´ultima ra´ız”.

(Wolter 1985): existencia de una cota para t´erminos exponenciales generales; procedimiento inductivo, cota no expl´ıcita.

(Maignan 1998): algoritmo para el c´alculo de una cota para el casoF(x,ex), dondeF es un polinomio en dos variables. (Barbagallo-J.-Sabia 2015): primera cota expl´ıcita para E-polinomios.

Una nueva cota expl´ıcita para E-polinomios

Teorema (J.-Sabia)

Seaf(x) =F(x,eh(x)) conF ∈Z[x,y] yh ∈Z[x] tales que deg_x(F)≤d1, deg(h) =d2 >0, H(F)≤H1 y H(h)≤H2.

Entonces, todoα∈_R tal quef(α) = 0 satisface

|α|<max 3H1,4H2+ 1, 8d₁ d2 ln(d1) 1/d2

Esquema de la demostraci´on.

Sif(α) = 0, entonces eh(α) _{es una ra´ız deF(α,y)∈} R[y]. Usando una cota superior para las ra´ıces de un polinomio, obtener desigualdades entre funciones exponenciales y polinomiales. Estimar d´onde puede asegurarse que estas desigualdades no valen.

Una nueva cota expl´ıcita para E-polinomios

Teorema (J.-Sabia)

Seaf(x) =F(x,eh(x)) conF ∈_Z[x,y] yh ∈_Z[x] tales que deg_x(F)≤d1, deg(h) =d2 >0, H(F)≤H1 y H(h)≤H2.

Entonces, todoα∈_R tal quef(α) = 0 satisface

|α|<max 3H1,4H2+ 1, 8d₁ d2 ln(d1) 1/d2

Esquema de la demostraci´on.

Sif(α) = 0, entonces eh(α) _{es una ra´ız deF(α,y)∈} R[y]. Usando una cota superior para las ra´ıces de un polinomio, obtener desigualdades entre funciones exponenciales y polinomiales. Estimar d´onde puede asegurarse que estas desigualdades no valen.

Una nueva cota expl´ıcita para E-polinomios

Teorema (J.-Sabia)

Seaf(x) =F(x,eh(x)) conF ∈_Z[x,y] yh ∈_Z[x] tales que deg_x(F)≤d1, deg(h) =d2 >0, H(F)≤H1 y H(h)≤H2.

Entonces, todoα∈_R tal quef(α) = 0 satisface

|α|<max 3H1,4H2+ 1, 8d₁ d2 ln(d1) 1/d2

Esquema de la demostraci´on.

Sif(α) = 0, entonces eh(α) _{es una ra´ız deF(α,y)∈} R[y]. Usando una cota superior para las ra´ıces de un polinomio, obtener desigualdades entre funciones exponenciales y polinomiales. Estimar d´onde puede asegurarse que estas desigualdades no valen.

Una nueva cota expl´ıcita para E-polinomios

Teorema (J.-Sabia)

Seaf(x) =F(x,eh(x)) conF ∈_Z[x,y] yh ∈_Z[x] tales que deg_x(F)≤d1, deg(h) =d2 >0, H(F)≤H1 y H(h)≤H2.

Entonces, todoα∈_R tal quef(α) = 0 satisface

|α|<max 3H1,4H2+ 1, 8d₁ d2 ln(d1) 1/d2

Esquema de la demostraci´on.

Sif(α) = 0, entonces eh(α) _{es una ra´ız deF(α,y)∈} R[y].

Usando una cota superior para las ra´ıces de un polinomio, obtener desigualdades entre funciones exponenciales y polinomiales. Estimar d´onde puede asegurarse que estas desigualdades no valen.

Una nueva cota expl´ıcita para E-polinomios

Teorema (J.-Sabia)

Seaf(x) =F(x,eh(x)) conF ∈_Z[x,y] yh ∈_Z[x] tales que deg_x(F)≤d1, deg(h) =d2 >0, H(F)≤H1 y H(h)≤H2.

Entonces, todoα∈_R tal quef(α) = 0 satisface

|α|<max 3H1,4H2+ 1, 8d₁ d2 ln(d1) 1/d2

Esquema de la demostraci´on.

Sif(α) = 0, entonces eh(α) _{es una ra´ız deF(α,y)∈} R[y]. Usando una cota superior para las ra´ıces de un polinomio, obtener desigualdades entre funciones exponenciales y polinomiales.

Estimar d´onde puede asegurarse que estas desigualdades no valen.

Una nueva cota expl´ıcita para E-polinomios

Teorema (J.-Sabia)

Seaf(x) =F(x,eh(x)) conF ∈_Z[x,y] yh ∈_Z[x] tales que deg_x(F)≤d1, deg(h) =d2 >0, H(F)≤H1 y H(h)≤H2.

Entonces, todoα∈_R tal quef(α) = 0 satisface

|α|<max 3H1,4H2+ 1, 8d₁ d2 ln(d1) 1/d2

Esquema de la demostraci´on.

Sif(α) = 0, entonces eh(α) _{es una ra´ız deF(α,y)∈} R[y]. Usando una cota superior para las ra´ıces de un polinomio, obtener desigualdades entre funciones exponenciales y polinomiales.

Ejemplos

1 f(x) = (x−H)ex +x−H El cero def esα=H F(x,y) = (x−H)y+x−H y h(x) =x. 2 _{f(x) =e}x−H−₁ El cero def esα=H F(x,y) =y−1 y h(x) =x−H. 3 _{f(x) =x}d_e−x−_{1con d} ≥_3. f tiene un cero α >dln(d) pues f(dln(d)) = ln(d)d−1>0 y lim x→+∞f(x) =−1<0. F(x,y) =xd_{y−1 y h(x) =−x.}

Ejemplos

1 f(x) = (x−H)ex +x−H El cero def esα=H F(x,y) = (x−H)y+x−H y h(x) =x. 2 _{f(x) =e}x−H−₁ El cero def esα=H F(x,y) =y−1 y h(x) =x−H. 3 _{f(x) =x}d_e−x−_{1con d} ≥_3. f tiene un cero α >dln(d) pues f(dln(d)) = ln(d)d−1>0 y lim x→+∞f(x) =−1<0. F(x,y) =xd_{y−1 y h(x) =−x.}

Ejemplos

1 f(x) = (x−H)ex +x−H El cero def esα=H F(x,y) = (x−H)y+x−H y h(x) =x. 2 _{f(x) =e}x−H−₁ El cero def esα=H F(x,y) =y−1 y h(x) =x−H. 3 _{f(x) =x}d_e−x−_{1con d} ≥_3. f tiene un cero α >dln(d) pues f(dln(d)) = ln(d)d−1>0 y lim x→+∞f(x) =−1<0. F(x,y) =xd_{y−1 y h(x) =−x.}

Ejemplos

1 f(x) = (x−H)ex +x−H El cero def esα=H F(x,y) = (x−H)y+x−H y h(x) =x. 2 _{f(x) =e}x−H−₁ El cero def esα=H F(x,y) =y−1 y h(x) =x−H. 3 _{f(x) =x}d_e−x−_{1con d} ≥_3. f tiene un cero α >dln(d) pues f(dln(d)) = ln(d)d−1>0 y lim x→+∞f(x) =−1<0. F(x,y) =xd_{y−1 y h(x) =−x.}

Trabajo futuro

Obtener cotas para la separaci´on m´ınimaentre dos ceros de un E-polinomio.

Aplicaci´on para la resoluci´on delproblema de decisi´onpara E-polinomios.

Analizar la aplicabilidad de los resultados en elcaso multivariado (descomposici´on cil´ındrica, Richardson 1991). Extensi´on a otras familias defunciones Pfaffianas reales.

Trabajo futuro

Obtener cotas para la separaci´on m´ınimaentre dos ceros de un E-polinomio.

Aplicaci´on para la resoluci´on delproblema de decisi´onpara E-polinomios.

Analizar la aplicabilidad de los resultados en elcaso multivariado (descomposici´on cil´ındrica, Richardson 1991). Extensi´on a otras familias defunciones Pfaffianas reales.

Trabajo futuro

Obtener cotas para la separaci´on m´ınimaentre dos ceros de un E-polinomio.

Aplicaci´on para la resoluci´on delproblema de decisi´onpara E-polinomios.

Analizar la aplicabilidad de los resultados en elcaso multivariado (descomposici´on cil´ındrica, Richardson 1991). Extensi´on a otras familias defunciones Pfaffianas reales.

Trabajo futuro

Obtener cotas para la separaci´on m´ınimaentre dos ceros de un E-polinomio.

Aplicaci´on para la resoluci´on delproblema de decisi´onpara E-polinomios.

Analizar la aplicabilidad de los resultados en elcaso multivariado (descomposici´on cil´ındrica, Richardson 1991).

Trabajo futuro

Obtener cotas para la separaci´on m´ınimaentre dos ceros de un E-polinomio.

Aplicaci´on para la resoluci´on delproblema de decisi´onpara E-polinomios.

Analizar la aplicabilidad de los resultados en elcaso multivariado (descomposici´on cil´ındrica, Richardson 1991). Extensi´on a otras familias defunciones Pfaffianas reales.