1. Movimiento. Solucionario. BLOQUE I. Las fuerzas y los movimientos. Preparación de la unidad (pág. 11) Actividades (pág. 12) Actividades (pág.

Movimiento

Solucionario

Preparación de la unidad (pág. 11)

• Longitud: metros (m) Tiempo: segundos (s)

Velocidad: metros por segundo (m/s)

Aceleración: metros por segundo al cuadrado (m/s2₎

Ángulo: radianes (rad)

• 4 h 5 4 h ? –––––––– 3 600 s 5 14 400 s 1 h 7 h 23 min 5 s 5 25 200 s 1 1 380 s 1 5 s 5 26 585 s 3 600 s 7 h 5 7 h ? –––––––– 5 25 200 s 1 h 60 s 23 min 5 23 min ? –––––– 5 1 380 s 1 min 1 000 m 1 h 120 km/h 5 120 km/h ? ––––––– ? ––––––– 5 33,3 m/s 1 km 3 600 s 1 m 1 min 23 cm/min 5 23 cm/min ? –––––––– ? ––––––– 5 100 cm 60 s 5 3,8 ? 1023 _m/s p rad 60° 5 60° ? –––––– 5 1,05 rad 180° • 38 524 g 5 3,8524 ? 104 _{g 5 3,85 ? 10}4 _g 125,03 m2_{5 1,2503 ? 10}2 _m2_{5 1,25 ? 10}2 _m2 0,000080211 m 5 8,0211 ? 1025 _{m 5 8,02 ? 10}25 _m 69 022 kg/m3_{5 6,9022 ? 10}4 _kg/m3_{5 6,90 ? 10}4 _kg/m3 12,345 m/s 5 1,2345 ? 10 m/s 5 1,23 ? 10 m/s • 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 Y X (2,3) (-1,4) (3,-2) • y 5 4 x 1 9 22 26 210 214 218 222 226 230 2 22 24 26 28 210 212 214 4 6 8 10 12 Y X 50 46 42 38 34 30 26 22 18 14 10 6 2

•Cinemática: rama de la física que estudia el movimiento.

•Cuando la calzada está mojada, la adherencia entre las ruedas del vehículo y la carretera disminuye, por lo que la distancia de frenado se dobla.

Actividades (pág. 12)

1. a) En movimiento. b) En movimiento.

2. a) El coche está en movimiento y la moto en reposo. b) La moto está en movimiento y el coche en reposo. c) Los árboles están en movimiento. El conductor del

coche ve moverse a mayor velocidad la moto.

Actividades (pág. 13)

3. 4 3 2 1 Y P P (2 m, 4 m); t 5 0 s Q (6 m, 1 m); t 5 3 s r Q s

BLOQUE I.

Las fuerzas y los movimientos

160

Solucionario unidad 1. Movimiento © grupo edebé



4. a) Movimiento rectilíneo.

b) Movimiento curvilíneo parabólico. c) Movimiento curvilíneo circular. d) Movimiento rectilíneo. e) Movimiento curvilíneo circular. f) Movimiento curvilíneo.

Actividades (pág. 15)

5. El desplazamiento es el vector que une dos puntos de la trayectoria. Su dirección es la de la recta que une los dos puntos. Por lo tanto, su módulo es la distancia más corta entre ambos puntos.

La distancia recorrida es la longitud entre dos puntos de la trayectoria, pero medida sobre la trayectoria, o sea, teniendo en cuenta los sucesivos puntos que ha ocupado el móvil para ir de uno de los puntos al otro. 6. — El desplazamiento vale 0, ya que el punto inicial

coincide con el punto final.

— La distancia recorrida sobre la trayectoria es la lon-gitud de la pista cuyo radio es de 10 m. Al ser circu-lar, la distancia valdrá:

D s 5 2 p r 5 62,8 m 7. Datos: t1 = 10 s t2 = 30 s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 x (m) — En total recorre 65 m. 8. _{t (min) 0 10 20 30 40 50} s (m) 0 200 500 900 1 400 1 800 D s 5 s₂2 s₀5 500 m 2 0 m 5 500 m D s 5 s₄2 s₂5 1 400 m 2 500 m 5 900 m Las distancias recorridas por el alumno no son iguales en ambos casos. Entre 0 y 20 min ha recorrido 500 m, y entre 20 y 40 min ha recorrido 900 m.

Actividades (pág. 17)

9. Datos:

Coche 1: x 5 5 km t 5 5 min Coche 2: x 5 8 km t 5 6 min Coche 3: x 5 2 km t 5 45 s

Calculamos la velocidad de cada coche:

Utilizamos la fórmula para hallar la velocidad: v 5 –––– D x

D t 5 km 1 000 m 1 min Coche 1: v₁5 –––––– ? –––––––– ? –––––– 5 16,7 m/s 5 min 1 km 60 s 8 km 1 000 m 1 min Coche 2: v₂5 –––––– ? –––––––– ? –––––– 5 22,2 m/s 6 min 1 km 60 s 2 km 1 000 m Coche 3: v₃5 –––––– ? –––––––– 5 44,4 m/s 45 s 1 km

El coche 3 llegará antes a la meta. 10. Instante: porción brevísima de tiempo. 11. Datos: Salida de A: t15 16:00 h Llegada a B: t₂5 17:45 h Salida de B: t₃5 18:45 h Llegada a C: t45 20:15 h Distancia AB: D s₁5 189 km Distancia BC: D s₂5 135 km a) El intervalo de tiempo es:

D t 5 1 h 45 min 5 6 300 s

Calculamos la velocidad media entre las ciudades A y B.

D s₁ 189 000 m m v_m5 –––– 5 –––––––––– 5 30 –––

D t₁ 6 300 s s b) El intervalo de tiempo es:

D t 5 1 h 30 min 5 5 400 s

Calculamos la velocidad media entre las ciudades B y C.

D s₂ 135 000 m m v_m5 –––– 5 –––––––––– 5 25 –––

D t₂ 5 400 s s

c) El intervalo de tiempo es:

D t 5 4 h 15 min 5 15 300 s

Calculamos la velocidad media en todo el recorrido.

D s 324 000 m m

v_m5 –––– 5 –––––––––– 5 21,2 ––– D t 15 300 s s

Actividades (pág. 19)

12. Respuesta sugerida:

Un ejemplo de MRU podría ser el que tiene una nave en el espacio (cuando no actúa ninguna fuerza). La característica que presenta la velocidad en este tipo de movimiento es que es constante en módulo, direc-ción y sentido. O sea, la trayectoria es una línea recta y el módulo de la velocidad es constante.

13. Datos: x 5 410 m t 5 6 min 24 s Convertimos las unidades al SI:

60 s

6 min 5 6 min ? –––––– 5 360 s

1 min t 5 360 s 1 24 s 5 384 s

Utilizamos la fórmula para hallar la velocidad: v 5 –––– D x

D t 410 m

v 5 ––––––– 5 1,1 m/s

384 s La velocidad es de 1,1 m/s.

Movimiento

14. Datos: Se encuentra en: x₁5 25 km La meta está a: x₂5 115 km v 5 60 km/h

Calculamos el tiempo que tardará.

D x x₂2 x₁ 90 km D t 5 –––– 5 –––––––– 5 ––––––– 5 v v km 60 –––– h 5 1,5 h 5 1 h 30 min Tardará 1 h y 30 min en llegar a la meta. 15. Datos:

Oso perezoso: v 5 0,2 km/h D x 5 200 m 5 0,2 km Caracol: v 5 50 m/h D x 5 200 m

Tortuga: v 5 70 m/h D x 5 200 m

Utilizamos la fórmula para hallar el tiempo: v 5 –––– D x

D t ; D x D t 5 –––– v Oso perezoso: D t 5 ––––––––– 0,2 km 5 1 h 0,2 km/h Caracol: D t 5 –––––––– 200 m 5 4 h 50 m/h Tortuga: D t 5 –––––––– 200 m 5 2,9 h 70 m/h

Por lo tanto, el oso perezoso ganaría la medalla de oro, ya que necesita menos tiempo.

16. Datos: v 5 15 m/s

a) Para hallar las posiciones del pájaro cada 5 s utiliza-mos la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme.

x 5 v ? t t (s) 0 5 10 15 20 25 30 x (m) 0 75 150 225 300 375 450 b) 400 300 200 100 0 5 10 15 20 25 30 _t(s) x(m)

Actividades (pág. 20)

17. La magnitud aceleración nos informa de la rapidez con que varía la velocidad de un móvil.

En el Sistema Internacional, la aceleración se mide en metros por segundo al cuadrado (m/s2_).

19. Datos: v 5 180 km/h t 5 8 s Convertimos las unidades al SI:

1 000 m 1 h

180 km/h 5 180 km/h ? –––––––– ? –––––––– 5 50 m/s

1 km 3 600 s Utilizamos la fórmula para hallar la aceleración:

D v a 5 –––– D t 50 m/s a 5 –––––––– 5 6,25 m/s2 8 s 20. Datos: v₀5 60 km/h v₁5 0 km/h t 5 2,3 s Convertimos las unidades al SI:

1 000 m 1 h

60 km/h 5 60 km/h ? –––––––– ? –––––––– 5 16,7 m/s

1 km 3 600 s Utilizamos la fórmula para hallar la aceleración:

D v a 5 –––– D t 216,7 m/s a 5 ––––––––––– 5 27,26 m/s2 2,3 s

Actividades (pág. 22)

21. Respuesta sugerida:

Dejamos caer una pinza de tender desde una ventana. Es un ejemplo de MRUA, si no tenemos en cuenta la fuerza de rozamiento con el aire. La velocidad inicial de la pinza es 0 (v₀5 0), ya que la dejeamos caer, no

la lanzamos. Pero a lo largo de su recorrido adquiere una cierta velocidad, que además presenta un aumen-to regular.

La aceleración que actúa sobre la pinza es la acelera-ción de la gravedad, que presenta un valor constante de 9,8 m/s2_.

22. Datos: v05 0 v15 108 km/h t05 0 s t15 10 s

Convertimos las unidades al SI.

km 1 h 1 000 m m v15 108 –––– _h ? ––––––– _{3 600 s} ? –––––––– _{1 km} 5 30 ––– _s Hallamos la aceleración. v₁2 v₀ 30 2 0 m a 5 –––––––– 5 –––––––– 5 3 ––– t1 10 s2

Deberá tener una aceleración de 3 m/s2_.

— Aplicamos la ecuación posición-tiempo del MRUA para hallar la distancia recorrida.

⋅ = x x v t a t ⋅ 3 m / s2⋅ _{( 10 s )} 1 0 0 1 12 2 1 2 1 2 = + ⋅ +

162

Solucionario unidad 1. Movimiento © grupo edebé



23. Datos: v₀5 64,8 km/h 5 18 m/s a 5 4 m/s2 t 5 8 s

Calculamos la velocidad a los 8 s sustituyendo en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA.

v 5 v₀1 a ? t 5 18 m/s 1 4 m/s2_{? 8 s 5 50 m/s}

Calculamos la distancia recorrida a los 8 s sustituyen-do en la ecuación posición-tiempo del MRUA.

1 x 5 x₀1 v₀? t 1 –– ? a ? t2₅ 2 1 5 0 1 18 m/s ? 8 s 1 –– ? 4 m/s2_{? (8 s)}2_{5 272 m} 2 24. Datos: v₀5 70,2 km/h 5 19,5 m/s t₀5 0 s x₀5 0 m a 5 23 m/s2

Calculamos el tiempo que tarda en detenerse susti-tuyendo en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA.

v v a t m s m s t t m s m s = + ⋅ ⇒ = + −   ⋅ = 0 ₂ 2 0 19 5 3 19 5 3 , , ==6 5, s

Calculamos la distancia que recorre durante los 6,5 s que necesita para detenerse sustituyendo en la ecua-ción posiecua-ción-tiempo del MRUA.

x v t a t x m s s m s = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ −        0 2 2 1 2 19 5 6 5 1 2 3 , , ⋅⋅( ,6 5 _s)2 =63 4, _m

Recorre una distancia de 63,4 m hasta detenerse. 25. a) La velocidad será positiva (v . 0) porque va hacia la

derecha, y la aceleración será positiva (a . 0) por-que el módulo de la velocidad aumenta.

b) La velocidad será negativa (v , 0) porque el móvil se mueve hacia la izquierda, y la aceleración será positiva (a . 0) porque va en sentido contrario a la velocidad (ya que la hace disminuir).

Actividades (pág. 25)

26. a) Calculamos la aceleración sustituyendo en la ecua-ción posiecua-ción-tiempo del MRUA los siguientes datos: t₀5 0 s x₀5 0 m v₀5 0 m/s t 5 5 s x 5 37,5 m x x v t a t m a s a m s = + ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ 0 0 2 2 1 2 37 5 1 2 5 2 37 5 5 , ( ) , ( ))2 = 3 2 m s x x v t a t m a s a m s = + ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ 0 0 2 2 1 2 37 5 1 2 5 2 37 5 5 , ( ) , ( ))2 = 3 2 m s La aceleración es de 3 m/s2_. b) Representamos la gráfica v-t. 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 v (m/s) 2 3 4 t (s) v (m/s) t (s) 0 1 2 3 0 3 6 9 Representamos la gráfica x-t. 1 40 30 20 10 0 x (m) 2 3 4 5 t (s) x (m/s) t (s) 0 1 2 3 4 5 0 1,5 6 13,5 24 37,5 27. Datos: v₀5 81 km/h 5 22,5 m/s v 5 0 m/s t₀5 0 s x₀5 0 m a 5 24,5 m/s2

a) Antes de calcular los metros que recorre tenemos que calcular el tiempo que tarda en detenerse. Para hacerlo sustituimos los datos en la ecuación veloci-dad-tiempo del MRUA.

v v a t m s m s t t m s = + ⋅ = + −   ⋅ = 0 2 0 22 5 4 5 22 5 4 5 , , , , mm s s 2 5 =

Calculamos los metros que recorre sustituyendo en la ecuación posición-tiempo del MRUA el tiempo de 5 s. x x v t a t x m s s m s = + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ −     0 0 2 2 1 2 22 5 5 1 2 4 5 , ,   ⋅(5s)2 =56 25, m x x v t a t x m s s m s = + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ −     0 0 2 2 1 2 22 5 5 1 2 4 5 , ,   ⋅(5 s)2 = 56 25, m x x v t a t x m s s m s = + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ −     0 0 2 2 1 2 22 5 5 1 2 4 5 , ,   ⋅(5 s)2 =56 25, m

Movimiento b) Representamos la gráfica v-t. 1 30 25 20 15 10 5 0 2 3 4 5 _{t (s)} v (m/s) v (m/s) t (s) 0 1 2 3 4 5 22,5 18,0 13,5 9,0 4,5 0 Representamos la gráfica x-t. 1 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 2 3 4 5 t (s) x (m) x (m/s) t (s) 0 1 2 3 4 5 0 20,25 36,00 47,25 54,00 56,25

28. Un objeto que se deja caer desde una ventana efec- túa un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado porque su trayectoria es una línea recta y su velocidad varía uniformemente. En tal caso, la velocidad aumen-ta con una aceleración consaumen-tante, que es la acelera-ción de la gravedad.

29. Datos, si tomamos el sentido positivo de las x hacia abajo: x 5 50 m; t 5 2 s; g 5 9,8 m/s2

Utilizamos la ecuación posición-tiempo del MRUA apli-cada a la gravedad: 1 x 5 x₀1 v₀? t 1 –– ? g ? t2 2 1 x 2 –– ? g ? t22 x₀ 2 v₀5 –––––––––––––––– t

Sustituimos los datos en la expresión matemática an-terior: 1 50 m 2 –– ? 9,8 m/s2? (2 s)2 2 v₀5 ––––––––––––––––––––––––– 5 30. Datos: t₀5 0 s v05 0 m/s t 5 2,4 s g 5 9,8 m/s2

Calculamos la altura de la torre sustituyendo en la ecuación posición-tiempo del MRUA, en que a 5 2g.

x x v t a t x m s s = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ −   ⋅ 0 0 2 0 ₂ 1 2 0 1 2 9 8, ( ,2 4 ) , 2 0 28 2 x = m La altura de la torre es de 28,2 m. 31. Datos: x₀5 1,5 m v₀5 24,5 m/s g 5 9,8 m/s2 a) t 5 0 s

En el instante inicial el objeto se encuentra en la po-sición en que es lanzado: x₀5 1,5 m, y su velocidad

es la velocidad con que se lanza: v₀5 24,5 m/s. b) t 5 1 s

Calculamos la posición sustituyendo en la ecuación de posición-tiempo del MRUA, en que a 5 2g.

x x v t a t x m m s s m s = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ − 0 0 2 2 1 2 1 5 24 5 1 1 2 9 8 , ,  ,   ⋅ = ( ) , 1 21 1 2 s x m

Calculamos la velocidad sustituyendo los datos en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA, en que a 5 2g. _{v v a t} v m s m s s m s = + ⋅ = + −   ⋅ = 0 2 24 5, 9 8, 1 14 7,

Al cabo de 1 s el objeto se encuentra a 21,1 m de altura, con una velocidad de 14,7 m/s.

c) t 5 2 s Calculamos la posición. x x v t a t x m m s s m s = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ − 0 0 2 2 1 2 1 5 24 5 2 1 2 9 8 , ,  ,       ⋅ = ( ) , 2 30 9 2 s x m Calculamos la velocidad. v v a t v m s m s s m s = + ⋅ = + −   ⋅ = 0 2 24 5, 9 8, 2 4 9,

164

Solucionario unidad 1.

Movimiento

© grupo edebé



32. a) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con una cierta velocidad inicial y aceleración positiva. Es decir, la velocidad aumenta regularmente con el tiempo.

b) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con una cierta velocidad inicial y aceleración nega-tiva. Es decir, la velocidad disminuye hasta que el móvil se detiene.

c) Movimiento rectilíneo uniforme. La velocidad es constante.

d) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con velocidad inicial cero y aceleración positiva. La velocidad aumenta regularmente con el tiempo.

Actividades (pág. 27)

33. Respuesta sugerida:

• Las agujas de un reloj.

• La rueda de un coche en movimiento.

• Un CD mientras es reproducido. 34. Datos: R₁5 5 m

R₂5 3,5 m

N.o _{vueltas 5 10 t 5 4 min}

a) No se mueven con la misma velocidad lineal por- que esta depende de la distancia al centro de giro. Carlos está a una mayor distancia del centro; por lo tanto, su velocidad lineal es también mayor. Sí se mueven con la misma velocidad angular

por-que ambos han girado el mismo ángulo en el mismo intervalo de tiempo.

b) La velocidad angular de los dos cuerpos será:

ω = 10 ⋅ ⋅ π = 4 1 60 2 1 0 26 vueltas s rad vuelta ra min min , dd s

Calculamos la velocidad lineal de cada uno.

= ⋅ = ⋅ v r rad s m m s v r rad s 1 1 2 2 0 26 5 1 30 0 26 = ⋅ = = ⋅ ω ω , , , 33 5, m 0 91, m s =

La velocidad lineal de Carlos es de 1,30 m/s y su velocidad angular, de 0,26 rad/s. La velocidad lineal de Antonio es de 0,91 m/s y su velocidad angular, de 0,26 rad/s. 35. Datos: r 5 30 cm 5 0,30 m min ) ω ω = = 25 25 vueltas a vueltaas s rad vuelta rad s 1 1 60 2 1 2 62 min min , ⋅ ⋅ π = a) min ) ω ω = = 25 25 vueltas a vueltaas s rad vuelta rad s 1 1 60 2 1 2 62 min min , ⋅ ⋅ π =

La velocidad angular es de 2,62 rad/s.

b) Calculamos la velocidad lineal multiplicando la ve-locidad angular por el radio de la rueda.

= ⋅ v r rad s m m s = ⋅ = ω 2 62, 0 30, 0 79, La velocidad lineal es de 0,79 m/s. 36. Datos: v 5 7 ? 1024 _rad/s D t 5 1 día 5 24 h 5 86 400 s

Aplicamos la ecuación del movimiento circular uniforme para calcular el número de vueltas que da en un día.

ϕ ω ϕ = ⋅ = ⋅ = t vueltas h h vueltas 0 4, rad 24 9 6, w 5 7 ? 1024 _{–––– ? 86 400 s 5 60,48 rad} s 1 vuelta 60,48 rad ? –––––––– 5 9,6 vueltas 2 p rad En un día da 9,6 vueltas.

Experiencia (pág. 28)

Cuestiones

a) Para que un movimiento sea uniformemente acelerado su trayectoria debe ser rectilínea y su aceleración debe ser constante y no nula. La caída de la bola es un movi-miento uniformemente acelerado porque su trayectoria es rectilínea y su aceleración es constante.

b) Debe obtenerse una línea recta, porque estamos repre-sentando en los ejes de coordenadas dos magnitudes, x y t2_{, que son directamente proporcionales.}

x= x0 + a t⋅ 2

1 2

Una gráfica x-t2 _{con forma de línea recta corresponde}

a un MRUA.

c) La masa de la bola no influye en el valor de la acele-ración.

d) Cuanto mayor es el ángulo de inclinación, mayor es el valor de la aceleración.

e) Los alumnos deberán comparar las pruebas realizadas con los experimentos de Galileo Galilei. La aceleración en caída libre es siempre constante, no depende de la masa del cuerpo.

Resolución de ejercicios y problemas

(pág. 29)

37. Datos: Pelota 1 v₁5 3 m/s Pelota 2 v₂528 m/s x 4,95 m x x 0 x₁ x₂ x₀₁5 0 m t₀₁5 0 s t₀₂5 0 s x₀₂5 4,95 m

Movimiento

a) Escribimos la ecuación del MRU para cada una de las pelotas, tomando como origen del sistema de re-ferencia el punto de partida de la pelota 1.

x 5 x0 1 v ? t

Pelota 1: x₁ 5 3 t

Pelota 2: x₂ 5 4,95 1 (28) ? t 5 4,95 2 8 t

Las dos pelotas se encontrarán cuando sus posi-ciones coincidan, es decir, cuando x₁ 5 x₂.

3 t 5 4,95 2 8 t; 3 t 1 8 t 5 4,95; 11 t 5 4,95

t= 4 95 = s 11 0 45 ,

,

Las dos pelotas se encuentran 0,45 s después de ser lanzadas.

Para saber qué posición ocupan en este instante, sustituimos el valor de t en una de las dos ecuacio-nes del movimiento.

x t m

s s m

1 = ⋅ =3 3 ⋅0 45, =1 35,

Las dos pelotas se encuentran a 1,35 m del punto donde fue lanzada la pelota 1.

b) 0,1 6 5 4 3 2 1 0 0,2 0,3 0,4 0,5 _{t (s)} x (m) x₁ (m) t (s) 0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,45 0 0,30 0,60 0,90 1,20 1,35 x₂ (m) 4,95 4,15 3,35 2,55 1,75 1,35 38. Datos: D s 5 5,4 km 5 5 400 m D t 5 15 min 5 900 s r 5 40 cm 5 0,40 m

a) Hallamos la velocidad lineal de un punto de la peri- feria de la rueda, que coincide con la velocidad del ciclista. v s t m s m s = ∆ = = ∆ 5400 900 6

Hallamos la velocidad angular a partir de su rela-ción con la velocidad lineal.

ω = v = =

m

s rad

6

15

b) Aplicamos la ecuación del movimiento circular uni-forme para un tiempo de 15 min.

ϕ ω= ⋅ =t rad ⋅ =

s s rad

15 900 13500

Convertimos los radianes en vueltas.

13500 1 2 2148 6 rad vuelta rad vueltas ⋅ = π ,

Las ruedas dan 2 148,6 vueltas en 15 min. 39. Datos: v5 0,125 rad/s

D t 5 1 min 5 60 s D 5 40 m

El radio es la mitad del diámetro.

r = 40m = m

2 20

a) Calculamos la velocidad lineal a partir de su rela-ción con la velocidad angular.

= ⋅ v r rad s m m s = ⋅ = ω 0 125, 20 2 5,

Calculamos la distancia que recorre un punto de la periferia a partir de la definición de velocidad lineal.

v s t s v t s m s s m = = ⋅ = ⋅ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 2 5, 60 150 v s t s v t s m s s m = = ⋅ = ⋅ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 2 5, 60 150

Un punto de la periferia recorre 150 m en 1 min. b) Aplicamos la ecuación del movimiento circular

uni-forme para un tiempo de 1 min.

ϕ ω ϕ = ⋅ = ⋅ = t rad s s rad 0 125, 60 7 5,

Convertimos los radianes en vueltas.

7 5 1 2 1 2 , rad vuelta , rad vueltas ⋅ = π

La noria da 1,2 vueltas en 1 min.

Actividades (págs. 30 y 31)

¿Qué es el movimiento?

40. Los alumnos deberán tomar las medidas de sus res-pectivas habitaciones y de los muebles que se indican en el ejercicio. En una hoja de cálculo, deberán dibujar el plano de la habitación en una escala adecuada y anotar las coordenadas tal y como se indica.

41. La diferencia entre el movimiento y el reposo radica en la posición de un objeto respecto de otro (considerado fijo) durante un intervalo de tiempo.

duran-166

Solucionario unidad 1.

Movimiento

© grupo edebé



Si, en cambio, esta posición cambia respecto del obje-to fijo durante el intervalo de tiempo, decimos que el cuerpo está en movimiento.

42. Soluciones: b y d.

43. En los movimientos rectilíneos, el desplazamiento pue-de coincidir con la trayectoria.

44. a) Datos: t₁5 10 s

t35 30 s

Calculamos la distancia recorrida entre estos ins-tantes. D s 5 s₃2 s₁ D s 5 87 m 2 27 m D s 5 60 m Ha recorrido 60 m. b) Datos: t₂5 20 s t₄5 40 s

Calculamos la distancia recorrida entre estos ins-tantes.

D s 5 s₄2 s₂

D s 5 116 m 2 58 m

D s 5 58 m Ha recorrido 58 m.

45. Respuesta sugerida: En una estación se encuentran dos trenes parados que van en sentidos contrarios. En ocasiones, los pasajeros de uno de los trenes que mi-ran hacia el otro no saben cuál de los dos se ha puesto en marcha.

46.

47. La longitud terrestre expresa la distancia angular, me-dida paralelamente al plano del ecuador terrestre, en-tre el meridiano de Greenwich y un determinado punto de la Tierra.

Se denomina latitud a la distancia angular, medida so-bre un meridiano, entre la línea ecuatorial y el paralelo de una localización terrestre (o de cualquier otro pla-neta).

Ambas se miden en grados, y no son coordenadas car-tesianas.

48. El año luz es una unidad de longitud. Datos: 1 año luz 5 9,4608 ? 1015 _m

R

R

A

A

Distancias hasta el Sol: Próxima Centauri: 4,22 años luz 4,22 ? 9,4608 ? 1015 _{m 5 4 ? 10}16 _m Tau Ceti: 11,90 años luz 11,90 ? 9,4608 ? 1015 _{m 5 1,13 ? 10}17 _m Sigma Draconis: 18,81 años luz 18,81 ? 9,4608 ? 1015 m 5 1,78 ? 1017 m

La rapidez en el cambio de posición

49. La diferencia entre velocidad media y velocidad instan-tánea radica en el intervalo de tiempo considerado. La velocidad media es la distancia recorrida por un móvil entre dos instantes de tiempo, mientras que la velocidad instantánea es la velocidad que tiene el mó-vil en cada instante de tiempo.

50. Datos: x 5 1 366 m t 5 4 s

Utilizamos la fórmula para hallar la velocidad: v 5 –––– D x D t 1 366 m v 5 –––––––– 5 341,5 m/s 4 s 1 km 3 600 s 341,5 m/s ? –––––––– ? –––––––– 5 1 229,4 km/h 1 000 m 1 h

Para calcular el tiempo que tarda en recorrer 1 km, aislamos D t: D t 5 –––– D x

v 1 000 m

D t 5 –––––––––– 5 2,93 s 341,5 m/s

51. Según lo que hemos visto en el subapartado Gráficas del MRU, cuanto mayor es la inclinación de la recta res-pecto de la horizontal, mayor es la velocidad del móvil. Por lo tanto, se mueve a una velocidad más elevada el móvil b, porque la recta representada tiene una ma-yor inclinación respecto de la horizontal.

52. Datos: v 5 25 m/s

Confeccionemos una tabla de valores de tiempos y posiciones correspondientes.

t (s) 0 1 2 3 4 5

s (m) 0 25 50 75 100 125

Representamos los valores anteriores en una gráfica.

0 1 2 3 4 5 125 100 75 50 25 0 s(m) t(s) 5 1 0 21 Primer desplazamiento Segundo desplazamiento Tercer desplazamiento Trayectoria

Movimiento

53. Las características del MRU son: — La trayectoria es una línea recta.

— El vector velocidad es constante en módulo, direc-ción y sentido.

54. Datos: v 5 109 km/h x 5 1 435 m Convertimos las unidades al SI:

1 000 m 1 h

109 km/h ? –––––––– ? –––––––– 5 30,28 m/s

1 km 3 600 s

Para calcular el tiempo, aislamos D t: D t 5 –––– D x

v 1 435 m

D t 5 ––––––––––– 5 47,4 s 30,28 m/s

55. Datos: v 5 85 km/h t 5 8 min Convertimos las unidades al SI:

1 000 m 1 h 85 km/h ? –––––––– ? –––––––– 5 23,61 m/s 1 km 3 600 s 60 s 8 min ? –––––– 5 480 s 1 min

Utilizamos la fórmula de la posición del MRU para ha-llar x: x 5 v ?D t x 5 23,61 m/s ? 480 s 5 11 332,8 m 56. Primer atleta Datos: ∆ ∆ s km m km m t s s = ⋅ = = = + 10 1000 1 10000 27min40 1620 40ss s s s = ⋅ = 1660 27 60 1 1620 min min

La velocidad del primer atleta es:

v s t m s m s 1 10000 1660 6 02 = ∆ = = ∆ , Segundo atleta Datos: D s 5 100 m D t 5 9,93 s La velocidad del segundo atleta es:

v s t m s m s 2 100 9 93 10 07 = ∆ = = ∆ , , Tercer atleta Datos: D s 5 1 500 m D t 5 3 min 32 s 5 180 s 1 32 s 5 212 s 3 60 1 180 min min ⋅ s = s

La velocidad del tercer atleta es:

v3 s m m 1500 7 08 = ∆ = = ,

R

R

R

A

57. a) Datos: t₀5 0 s s₀5 0 m t₂5 5,61 s s₂5 50 m v s t s s t t m m s s m s m = = − − = − − = ∆ ∆ 2 0 2 0 50 0 5 61, 0 8 91,

La velocidad media entre t₀ y t₂ es de 8,91 m/s. b) Datos: t₂5 5,61 s s₂5 50 m t45 9,86 s s45 100 m v s t s s t t m m s s m = = − − = − − = ∆ ∆ 4 2 4 2 100 50 9 86, 5 61, 11 7, 66 m s v s t s s t t m m s s m = = − − = − − = ∆ ∆ 4 2 4 2 100 50 9 86, 5 61, 11 7, 66 m s

La velocidad media entre t₂ y t₄ es de 11,76 m/s. 58. Datos:

Patinador 1: x₀5 20 m t₀5 0 s v 5 20 m/s Patinador 2: x₀5 0 m t₀5 2 s v 5 30 m/s Utilizamos la fórmula de la posición del MRU para igualar x y poder hallar t: x 5 x₀1 v ?D t

x_P15 20 m 1 20 m/s ? t x_P25 0 m 1 30 m/s ? (t 2 2 s)

Igualamos la x de las dos ecuaciones y hallamos t: 20 m 1 20 m/s ? t 5 0 m 1 30 m/s ? (t 2 2 s)

20 1 20 t 5 30 t 2 60 80 5 10 t

t 5 8 s

Sustituimos la t para hallar la posición donde se en-cuentran: x 5 20 m 1 20 m/s ? 8 s 5 180 m

Los dos patinadores se encuentran en el instante t 5 8 s y posición x 5 180 m.

Cambios de velocidad

59. Las características del MRUA son: — La trayectoria es una línea recta. — La aceleración es constante y no nula.

60. a) La velocidad es positiva (v . 0) porque el objeto va hacia arriba, y hemos definido el sentido posi- tivo hacia arriba. Por el contrario, la aceleración es la de la gravedad que irá hacia abajo; por lo tanto, será negativa (a , 0).

b) La velocidad es negativa (v , 0) porque el objeto es lanzado hacia abajo, y el sentido positivo es hacia arriba. La aceleración es la gravedad y también está dirigida hacia abajo; por lo tanto, la aceleración también será negativa (a , 0).

61. Datos: v₀5 90 km/h a 5 22 m/s2

El signo menos de la aceleración indica que la

veloci-A

168

Solucionario unidad 1.

Movimiento

© grupo edebé



Convertimos los datos a unidades del SI.

⋅ ⋅ v km h km h s m m s =90 1000 = 1 1 3600 25

Calculamos el tiempo que tarda en llegar a v 5 0 m/s a partir de la expresión de la aceleración.

a v t v v t t a t t v v a t a t v v a t v = = − − ⇒ − = − − = − = ∆ ∆ 0 0 0 0 0 0 ( ) −− + = − + = − − + = v a t t v v a t t m s m s m s s 0 0 0 0 2 0 25 2 0 12 5, Tardará 12,5 s en detenerse. 62. a) Gráfica posición-tiempo. 1 35 30 25 20 15 10 5 0 2 3 4 _{t (s)} x (m) x (m) t (s) 0 1 2 3 4 0 2 8 18 32 5

b) Calculemos la aceleración sustituyendo en la ecua-ción posiecua-ción-tiempo del MRUA los datos de la ta-bla para t 5 4 s. Datos: t₀5 0 s x₀5 0 m t 5 4 s x 5 32 m v₀5 0 m/s x x v t a t m a s a m s = + ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ = 0 0 2 2 2 1 2 32 1 2 4 2 32 4 4 ( ) ( ) m m s2

Para averiguar la velocidad a los 10 s, sustituimos los datos en la ecuación velocidad-tiempo.

Datos: t₀5 0 s v₀5 0 m/s t 5 10 s a 5 4 m/s2 v v a t v m s s m s = + ⋅ = ⋅ = 0 2 4 10 40

El móvil tiene una aceleración constante de 4 m/s2

y su velocidad a los 10 s es de 40 m/s.

63. La velocidad lineal corresponde a la distancia recorrida por el móvil sobre la circunferencia, mientras que la angular corresponde al ángulo que gira el móvil. 64. Datos: v5 90 vueltas/min r 5 30 cm 5 0,30 m

t 5 5 min 5 300 s

a) Expresamos la velocidad angular en rad/s.

ω = 90 ⋅ ⋅ π = 1 1 60 2 1 9 4 vueltas s rad vuelta rad min min , ss

La velocidad angular es de 9,4 rad/s.

b) Calculamos la velocidad lineal a partir de su rela-ción con la velocidad angular.

= ⋅ v r rad s m m s = ⋅ = ω 9 4, 0 30, 2 8,

La velocidad lineal para un punto situado a 30 cm del centro es de 2,8 m/s.

c) Aplicamos la ecuación del MCU para calcular el número de vueltas que da el ventilador en 5 min.

ϕ ω= ⋅ =t 90 vueltas ⋅5 = 450vueltas

min min

El ventilador dará 450 vueltas en 5 min. 65. Atendiendo a la trayectoria:

— El MRU y el MRUA tienen una trayectoria rectilínea. — El MCU tiene una trayectoria circular.

Atendiendo a la velocidad:

— La velocidad del MRU es constante en módulo, di-rección y sentido.

— En el MRUA la velocidad tiene siempre la misma dirección, cambia de módulo y puede cambiar de sentido.

— En el MCU la velocidad cambia de dirección regu-larmente, pero mantiene su módulo constante. Atendiendo a la aceleración:

— La aceleración del MRU es nula.

— En el MRUA la aceleración es constante en módulo, dirección y sentido.

— En el MCU la aceleración cambia su dirección, pero mantiene constante el módulo.

66. Datos: v₀5 59,4 km/h 5 16,5 m/s

v 5 77,4 km/h 5 21,5 m/s t₀5 0 s

t 5 4 s

a) Calculamos la aceleración aplicando la definición.

a v v t t a m s m s s s m s = − − = − − = 0 0 2 21 5 16 5 4 0 1 25 , , ,

R

R

Movimiento a v v t t a m s m s s s m s = − − = − − = 0 0 2 21 5 16 5 4 0 1 25 , , , La aceleración es de 1,25 m/s2_.

b) Calculamos la velocidad a los 9 s sustituyendo los datos en la ecuación de velocidad-tiempo del MRUA.

v v a t v m s m s s m s = + ⋅ = + ⋅ = 0 2 16 5, 1 25, 9 27 75,

A los 9 s tendrá una velocidad de 27,75 m/s. c) Calculamos la distancia recorrida a los 9 s

sustitu-yendo los datos en la ecuación posición-tiempo del MRUA. x x v t a t x m s s m s s = + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ 0 0 2 2 1 2 16 5 9 1 2 1 25 9 , , ( )22 _{=199 1, m} x x v t a t x m s s m s s = + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ 0 0 2 2 1 2 16 5 9 1 2 1 25 9 , , ( )22 _{=199 1, m}

Recorrerá una distancia de 199,1 m.

67. v 5 33 –––––––– vueltas 1 min 2 ? –––––– ? –––––––– p rad 5 3,46 rad/s min 60 s 1 vuelta

68. Datos: v5 1 vuelta/30 min v 5 0,26 m/s

Convertimos a unidades del SI: 1 vuelta 1 min 2 p rad

v 5 –––––––– ? –––––– ? –––––––– 5 0,00349 rad/s 5

30 min 60 s 1 vuelta

5 3,49 ? 1023 _rad/s

Utilizamos la fórmula v 5 v? r para hallar el radio

r 5 v/v

0,26 m/s

r 5 –––––––––––––––– 5 74,5 m 3,49 ? 1023 _rad/s

El radio de la noria London Eye es de 74,5 m.

69. Cada grupo tendrá que clasificar las señales según su forma: las de obligación son circulares con fondo azul, las de prohibición son circulares con borde rojo, igual que las de limitación de velocidad. Las de prioridad pueden tener distintas formas.

Conéctate

70. En esta actividad el alumno pondrá en práctica sus conocimientos sobre la forma en que las magnitudes aceleración, posición inicial y velocidad inicial influyen en un ejemplo concreto de movimiento.

71. La distancia de seguridad aumenta a medida que au-menta la velocidad de circulación.

72. La trayectoria del móvil es parabólica. 73. Datos: t 5 20 s a 5 3 m/s2

Utilizamos las fórmulas del MRUA y del MRU para ob-tener la distancia recorrida y la velocidad para los

pri-R

A

A

3 m/s2_{? (20 s)}2 x 5 –––––––––––––– 5 600 m 2 Hallamos v: v 5 ––––––– 600 m 5 30 m/s 20 s

En los primeros 20 s recorre 600 m e incrementa la velocidad en 30 m/s.

Deberá hacerse lo mismo hasta llegar a los 5 minutos.

1 2 3 4 5 135 000 86 400 48 600 21 600 5 400 x (m) t (min) 1 2 3 4 5 900 720 540 360 180 v (m/s) t (min) 9 000 7 200 5 400 3 600 1 800 x (m) Posición-tiempo Velocidad-tiempo Posición-velocidad

170

Solucionario unidad 1. Movimiento © grupo edebé



74. 14° 0,24435 rad; L 5 0,24435 ? 0,03 5 7,33 ? 1023 _m 23° 0,40143 rad; L 5 0,40143 ? 0,03 5 0,012 m 51° 0,89012 rad; L 5 0,89012 ? 0,03 5 0,0267 m 107° 1,8675 rad; L 5 1,8675 ? 0,03 5 0,056 m 162° 2,8274 rad; L 5 2,8274 ? 0,03 5 0,0848 m 198° 3,4558 rad; L 5 3,4558 ? 0,03 5 0,104 m 250° 4,3633 rad; L 5 4,3633 ? 0,03 5 0,131 m 343° 5,9865 rad; L 5 5,9865 ? 0,03 5 0,18 m

Trabajo de las competencias básicas (págs. 32 y 33)

El itinerario hasta el instituto

1.

Juan

Carlos

Movimiento

a) Elementos de seguridad vial: pasos de cebra, se-máforos, señales de tráfico.

b) Un elemento que esté en reposo, como un árbol. c) Está en movimiento respecto del suelo y del

obser-vador, pero está en reposo respecto de Juan. 2. a) Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme, por

lo que la velocidad es:

D x x 2 x₀ v 5 –––– 5 –––––––

D t t 2 t₀

En este caso, x₀5 0 y t₀5 0.

Calculamos la velocidad de Juan que tarda 15 min en llegar al colegio: 60 s 15 min ? –––––– 5 900 s 1 min x 2 000 m v 5 ––– 5 –––––––– 5 2,2 m/s t 900 s

Calculamos la velocidad de María que tarda 17 min en llegar al colegio: 60 s 17 min ? –––––– 5 1 020 s 1 min x 2 000 m v 5 ––– 5 –––––––– 5 2 m/s t 1 020 s

Calculamos la velocidad de Carlos que tarda 21 min en llegar al colegio: 60 s 21 min ? –––––– 5 1 260 s 1 min x 2 000 m v 5 ––– 5 –––––––– 5 1,6 m/s t 1 260 s

b) Dado que hemos supuesto que la velocidad se ha mantenido constante todo el trayecto, ninguno de los tres ha infringido la norma de velocidad máxima permitida para un ciclista en carretera de 40 km/h. c) Juan ha tardado 15 min, María 17 min y Carlos

21 min.

3. a) Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, en el que la velocidad es:

km 1 000 m 1 h 20 –––– ? –––––––– ? –––––––– 5 5,6 m/s h 1 km 3 600 s Calculamos la aceleración: D v v 2 v₀ 0 m/s 2 5,6 m/s a 5 –––– 5 ––––––– 5 –––––––––––––––– 5 D t t 2 t₀ 1 s 2 0 s 25,6 m/s2

b) El signo negativo significa que la aceleración tiene sentido contrario al sistema de referencia y a la ve-locidad. Por lo tanto, la velocidad disminuye. 4. El informe deberá recoger, entre otros, los siguientes

puntos:

por satélite (GPS). A partir de la señal que el aparato de navegación recibe de un conjunto de satélites, puede calcular su posición exacta sobre la superficie terrestre y, por tanto, sobre un mapa de carreteras almacenado en su memoria. De este modo, puede indicar al conductor en cada momento la ruta que debe seguir hasta su destino.

• Los primeros navegadores para vehículos apare-cieron en 1980. El desarrollado por Honda era un sistema analógico (no por GPS), mientras que Pio-neer presentó un navegador basado ya en el siste- ma GPS.

• Se estima que, en 2011, el 13 % de la población es-pañola disponía de un navegador para su automóvil (Informe Anual España TIC 2011).

• Una de sus aplicaciones es seguir la pista de un ve-hículo. También es útil para las compañías de envío ya que así pueden seguir el paquete continuamen- te y esta información se la pueden facilitar al cliente.

• Muchos móviles con conexión a Internet tienen GPS y la mayoría de los jóvenes tiene móvil. El GPS móvil les permite localizar el vehículo aparcado, saber lle-gar a una dirección determinada, etc.

5. Respuesta sugerida:

El uso de bicicletas en la ciudad contribuye a dismi- nuir la contaminación ambiental producida por los ve-hículos con motor y facilita el practicar ejercicio físico que es beneficioso para la salud humana. Pero uno de sus inconvenientes es que es muy inseguro circular en bicicleta por la ciudad ya que no todas las ciudades disponen de carril bici, señalización para circulación de bicicletas.

Para evitar accidentes es necesario respetar las nor-mas de seguridad vial: señalización, circular por la de-recha de la vía, no utilizar reproductores de sonido, etc.

Evaluación (pág. 35)

1. 135 km/h 5 135 km/h ? ––––––––1 000 m ? –––––––1 h 5 37,5 m/s 1 km 3 600 s 2. 70 300 000 5 7,03 ? 107 0,081 5 8,1 ? 1022 4 502 000 000 5 4,502 ? 109 0,0000098 5 9,8 ? 1026 3. Datos: x₀5 120 km x₁5 160 km t 5 30 min 5 0,5 h

Utilizamos la fórmula para hallar la velocidad media:

D x v 5 –––– D t 160 km 2 120 km v 5 ––––––––––––––––– 5 80 km/h 0,5 h

172

Solucionario unidad 1.

Movimiento

© grupo edebé



4. La inclinación depende del módulo de la velocidad. A mayor velocidad, habrá más inclinación; y al revés, a menor velocidad, menor inclinación.

5. Datos: v 5 15,4 m/s t 5 3 min 5 180 s

Utilizamos la fórmula para hallar la posición: D x 5 v ?D t

D x 5 15,4 m/s ? 180 s 5 2 772 m En 3 minutos recorre 2 772 metros.

6. A medida que aumenta el tiempo, la velocidad de un móvil en caída libre se incrementa, ya que le influye la aceleración de la gravedad.

7. Datos: v 5 104,4 km/h 5 29 m/s t 5 10 s Utilizamos la fórmula para hallar la aceleración:

D v a 5 –––– D t 29 m/s a 5 –––––––– 5 2,9 m/s2 10 s

Utilizamos la ecuación de la posición-tiempo del MRUA para hallar la distancia recorrida en 10 s:

1 x 5 x01 v0? t 1 –– ₂? a ? t2 1 x 5 –– ? 2,9 m/s2_{? (10 s)}2_{5 145 m} 2 En 10 s recorre 145 m. 8. Datos: x₀5 0 m t₀5 0 s v₀5 0 m/s a 5 2 m/s2

a) Se trata de un MRUA. Para hallar la velocidad en los 5 primeros segundos, utilizamos la ecuación de la velocidad.

v 5 v₀1 a ? t

Construimos la tabla de valores para los 5 primeros segundos.

t (s) 0 1 2 3 4 5

v (m/s) 0 2 4 6 8 10

Representamos la gráfica velocidad-tiempo

2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 v (m/s) t (s)

b) Para hallar la posición en los 5 primeros segundos, utilizamos la ecuación de la velocidad.

x= x0 +v0 ⋅ +t a t⋅ 2

1 2

Confeccionamos la tabla de valores para los 5 pri-meros segundos.

t (s) 0 1 2 3 4 5

x (m/s) 0 1 4 9 16 25

Representamos la gráfica posición-tiempo

1 2 3 4 t (s) x (m) 5 25 20 15 10 5 0 9. Datos: x₀5 0 m t₀5 0 s t₁5 1 s v₀5 20 m/s

Calculamos la velocidad al cabo de 1 s aplicando la ecuación de la velocidad. v v a t m s m s s m s = 0 + ⋅ 1 =20 −9 8, ₂ ⋅1 =10 20,

Calculamos la altura aplicando la ecuación del movi-miento. x x v t a t x m s s m s = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ −    ⋅ 0 0 2 2 1 2 0 20 1 1 2 9 8, ((1 ) 15 1, 2 s = m

Al cabo de un segundo, tendrá una velocidad de 10,2 m/s, y se encontrará a una altura de 15,1 m. 10. Datos: v 5 0,42 rad/s R 5 4 m

Calculamos la velocidad lineal multiplicando la veloci-dad angular por el radio del tiovivo.

=ω⋅ v r rad s m m s = 0 42, ⋅4 =1 68, La velocidad lineal es de 1,68 m/s.