Problemáticas escolares con el
número fraccionario como relación
parte-todo
Descripción: Analiza como algunos de los tratamientos más frecuentes de los números fraccionarios en el aula pueden llegar a dificultar su comprensión.
Autor: Mery Aurora Poveda. Asesora Fucai proyectos Fundación Promigas
La fracción como relación multiplicativa parte-todo se interpreta como un número que expresa la relación cuantitativa entre una cierta cantidad de magnitud tomada como unidad (todo) y otra cantidad de magnitud tomada como parte. En este sentido, es importante señalar que la cantidad tomada como unidad puede presentar dos características básicas: tipo de unidad (simple o compuesta) y tipo de magnitud (continua o discreta). De acuerdo con Obando (2003), el establecimiento de tal relación cuantitativa implica un proceso de medición.
Las investigaciones de varios autores (Obando, 2003; Pazos, 2009, Romero y Mora, 2004) indican que el trabajo escolar que con frecuencia se realiza en las aulas tiene algunos tratamientos que hacen más difícil la comprensión del número fraccionario.
En primer lugar, hacen énfasis en la partición y el conteo, centrándose en el número de partes que representa el numerador y el denominador, y no en la relación cuantitativa (en este caso multiplicativa) entre la cantidad de magnitud de la unidad y la cantidad de magnitud de la parte; adicionalmente, la partición no se basa en la medida de la magnitud sino en procesos visuales que privilegian la congruencia geométrica entre las partes, lo que dificulta las relaciones cuantitativas entre áreas con diferentes formas.
Además, como no se les permite a los estudiantes vivenciar experiencias de medición para establecer relaciones multiplicativas y diferenciarlas de las relaciones aditivas, los estudiantes no toman conciencia de que para establecer relaciones multiplicativas las partes en que se divide la unidad deben ser iguales en la cantidad de magnitud.
En segundo lugar, no se hace un tratamiento adecuado del tipo de unidad por cuanto se considera que trabajar cantidades continuas es similar a trabajar con cantidades discretas, desconociendo que para los niños es psicológicamente más sencillo trabajar con unidades simples debido a que desde la vida cotidiana vienen familiarizados con asumir la unidad como un todo continuo que puede dividirse en partes: un pan, una manzana, una torta… Las unidades compuestas se hacen más complejas porque el niño debe asumir unidades
múltiples, es decir, unidades compuestas por otras unidades.
En tercer lugar, se hace énfasis en la mecanización de reglas y algoritmos. Se olvida que los procesos de generalización son el resultado de vivir múltiples y variadas experiencias en diferentes contextos, pasando por diferentes sistemas de representación (de las acciones sobre lo concreto a las representaciones gráficas y, finalmente, a las simbólicas), y a lo largo de un considerable período de tiempo.
De acuerdo con los mismos autores, esto trae consecuencias como las siguientes:
1. El fraccionario se interpreta no como una relación, sino como dos cantidades separadas por una raya.
Son muy pocas las actividades en las que se propicia que el estudiante encuentre la relación entre la cantidad de magnitud del todo y las partes (Romero y Mora, 2004).
Adicionalmente, una vez establecida la relación multiplicativa parte-todo no se establece la relación contraria todo-parte: la parte sombreada es 1/3 del área de la unidad y la unidad es 3 veces mayor que 1/3.
Tampoco se establecen relaciones aditivas entre las partes y el todo y entre partes: si 1/3 del área de la figura está sombreada, faltan por sombrear 2 partes de 1/3 cada una; si reúno trozos de 1/3 de área, más otro tercio de área, completo un área de dos tercios de área de la unidad. Si con 3 pedazos de 1/3 de área formo una unidad, con cuatro trozos de 1/3 formo una unidad y me sobra 1/3 de área con relación a la unidad.
2. Las partes se juzgan más por su forma visual que por su cantidad de magnitud.
3. La equivalencia entre fracciones queda ligada a la congruencia de las partes en que se ha dividido la unidad y no a la equivalencia de la relación entre el todo y las partes.
La equivalencia entre fracciones no se da porque las magnitudes de las partes sean iguales, sino porque la relación cuantitativa entre el área de las partes sombreadas y el área de los respectivos rectángulos de los cuales hacen parte es igual.
En este mismo sentido, la simplificación de las representaciones a través de cuadrículas elaboradas en los cuadernos hace que se tomen partes de la misma cantidad de magnitud pero de unidades diferentes, y como no se hace
énfasis en la relación entre la magnitud de la parte y la unidad de la que hace parte, visualmente los estudiantes se centran solo en la cantidad de área para establecer la relación de equivalencia entre fracciones de cada parte, de manera que llegan a la conclusión de que 1/3 es lo mismo que 1/6 y que 1/10, por ejemplo.
Este tipo de actividades les impide comprender la relación entre el número de partes y el tamaño de estas para una misma unidad: cuanto mayor es el número de partes, la magnitud de cada parte es menor. Además, dado que los niños vienen de trabajar con los números naturales es frecuente que crean que 1/3 es menor que 1/4 porque 3 es menor que 4, y solo apoyándolos para que avancen en la comprensión de la fracción como representación de la relación multiplicativa entre la magnitud del todo y de las partes podrán avanzar también en las relaciones de orden aditivo (ser mayor que, menor que).
4. No se trabaja mucho la relatividad de la unidad y de las partes; las actividades privilegian la partición de la unidad pero no la reconstrucción de la unidad a partir de las partes, ni tampoco la manera en que una parte puede asumirse como una nueva unidad para establecer una nueva relación parte-todo.
5. Es difícil llegar al concepto de fracción impropia por cuanto si el numerador indica las partes que se toman de la unidad, es imposible tomar más partes de las que la constituyen.
Como ya se señaló, si se hacen composiciones aditivas y multiplicativas con las relaciones parte-todo y todo-parte que se establezcan, la idea de fracción impropia surge de manera más comprensible: si 1/5 es la quinta parte de la unidad, o sea, cinco veces menos que la unidad, la unidad es 5 veces más grande; es decir, formo una unidad con 5 partes de 1/5; si tengo 6 partes de 1/5 me sobra una parte con relación a la unidad.
En síntesis, podríamos señalar lo siguiente:
- Se hace necesario ligar el contexto de parte-todo a la medida de magnitudes y al establecimiento de relaciones multiplicativas directas e inversas entre la cantidad de magnitud de la parte y la cantidad de magnitud del todo.
- Se debe facilitar el tratamiento de la fracción n/a como la repetición n veces 1/a (2/3 es dos veces un tercio y viceversa).
- Es importante flexibilizar las actividades para que los estudiantes asimilen el concepto de unidad y parte como conceptos relativos, a través de experiencias que les permitan medir las partes para establecer la relación con el todo, tomar partes de diferente forma y con la misma magnitud para establecer la relación con el todo, dar diferentes partes para reconstruir el todo, comparar diferentes fracciones para buscar las que son equivalentes…
Referencias Bibliograficas
- Mora, O. y Romero, J. (2004): “Sobre la normalización de la escritura de las fracciones”, en Revista Científica, vol. 6, pp. 275-301, Centro de Investigaciones y Desarrollo Científico, Universidad Distrital Francisco José de Caldas
- Obando, G. (2003): “La enseñanza de los números racionales a partir de la relación parte-todo”, en Revista EMA, vol. 8, N.o 2, pp. 157-182.
- Pazos, L. (2009): “Las fracciones son un problema”, en Revista Quehacer Educativo, N.o 97, pp. 40-45. Disponible en
<http://www.uruguayeduca.edu.uy/Portal.Base/Web/verContenido.aspx?I
