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FRACCIONES Y DECIMALES. POTENCIAS Y RAÍCES. 1. A. Escribe en notación científica los siguientes números e indica su orden de magnitud:

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FRACCIONES Y DECIMALES. POTENCIAS Y RAÍCES

1. A. Escribe en notación científica los siguientes números e indica su orden de magnitud: a) 725.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 b) 0, 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 653 c) 1.250 billones d) 5,2 trillones e) La masa de un electrón 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 91g f) La masa de la Tierra: 5.980.000.000.000.000.000.000.000 kg

g) La masa del Sol: 1.980.000.000.000.000.000.000.000.000.000 kg

B. Calcula, expresando el resultado en notación científica:

a) 5,25 ·104 · 3,2 · 106 b) 1,36 · 108 - 3,15 · 107 c) (2' 72 ·103) · (3' 5 ·106) d) (3' 14 ·106): (6' 5 ·109) e) 4,2666 ·10-5 + 3,7 ·10-3 f) 9' 375 ·10-11 - 2' 5 ·10-9

2. Clasifica los números decimales (exactos, periódicos puros o mixtos) y obtén su fracción generatriz.

a) 0,222... b) 1,345 c) -5, 282828... d) 2, 2333....

3. Efectúa las operaciones y simplifica:

a) b) c)

d) e)

4. a)Ordena de menor a mayor los números:

b)Simplifica estos números:

5. a) Expresa como potencia de exponente positivo y calcula:

b) Expresa como una sola potencia de exponente negativo:

6. Expresa como potencia única:

a) (83)4: [46 · (28: 23)]

1

2

5

3

(

3

2

1

3

)

+

5 :

(

2

5

:

4

5

=

'

)

8

3

+

7

5

4

3

18

25

:

9

15

(

3

4

)

3

+

[

9

16

:

(

4

3

)

−2

1

2

]

3

1

8

+

8

9

(

4

3

)

−3

7

10

+

5

6

:

(

5

10

3

)

2

(2)

7. Realiza la siguiente operación con ayuda de la calculadora:

8.Simplifica las expresiones que puedas y en los restantes indica por qué no se puede simplificar.

9. Entre una viuda y sus dos hijos se repartió, como herencia, un terreno de labranza de 540 Ha. A la señora le correspondieron los 2/3 del total y a cada uno de los hijos, 1/2 del resto.

a) ¿Cuántas Ha de terreno le tocaron a la madre y cuántas a cada hijo? b) ¿Qué fracción de la totalidad obtuvieron cada uno de los chicos? c) ¿Y entre los dos?

10. Mi hermano pequeño ha comprado un ordenador y un amigo le ha regalado 42 juegos. De estos juegos, los 2/3 son de acción, 2/7 son juegos de estrategias y rol, y el resto de cultura general. ¿Cuántos juegos le regaló de cada tipo exactamente?

11. Realiza las siguientes operaciones con radicales:

SUCESIONES

12. a) Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones:

b) Halla el término general de cada una de estas sucesiones: b.1) 2, 654,...

13

.a) Indica si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas o geométricas y calcula su diferencia o su razón:

m) 4, 12, 36, 108, 324,… s) 2, 5, 10, 17, 26,… t) 5, 9, 13, 17, 21,…

b) Calcula el término general de las sucesiones anteriores que sean progresiones aritméticas o geométricas.

14. En una progresión aritmética, el sexto término vale 10,5; y la diferencia es 1,5. Calcula el primer término y la suma de los 9 primeros términos.

(3)

a) ¿Qué lugar ocupa en ella el término cuyo valor es 119? b) ¿Hay algún término cuyo valor sea 500?

16.El tercer término de una progresión geométrica vale 80, y la razón es 4. Calcula la suma de los cinco primeros términos.

17.La suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica es 2 343, si su razón es 5, ¿cuál es su primer término?

18.Un ciclista quiere participar en cierta competición deportiva y dispone de todo el mes de marzo para entrenarse. El primer día dedica media hora a su entrenamiento y se propone entrenar, cada día, 5 minutos más que el día anterior.

a) ¿Durante cuántas horas entrenará el último día del mes?

b) ¿Cuánto tiempo habrá dedicado el mes de marzo a preparar la competición? Exprésalo en horas y minutos.

19.Una máquina costó inicialmente 10 480 €. Al cabo de unos años se vendió a la mitad de su precio. Pasados unos años, volvió a venderse por la mitad, y así sucesivamente.

a) ¿Cuánto le costó la máquina al quinto propietario?

b) Si el total de propietarios ha sido 7, ¿cuál es la suma total pagada por esa máquina? EL LENGUAJE ALGEBRAICO

20.a) Completa la siguiente tabla:

b) Indica cuáles de las expresiones siguientes son polinomios, identidades o ecuaciones. Razona tu respuesta.

I) 3(x + 2) = 9 II) 4x2 - 3x + 1

III) 3 · (x - 1) = 3x – 3 IV) 5x3 - 6x2 - 2x - 1 = 0

21.

Traduce al lenguaje algebraico:

a) La suma de un número con el doble de otro. b) El precio de una camisa rebajado en un 20 %. c) El área de un círculo de radio x.

(4)

22. Opera y reduce:

a) -(x - 3) - (4x2 - 1) × (3x2 - 6x + 1) b) (3x2 - 6x + 1) × (2x2 + x - 3) - (2x + 3) c) 4(x2 + 2) (x - 5)2 - (x + 2)2

23.Halla el valor numérico de x (1 - 5x) (1 + 5x), cuando: a) x = 1/10 b) x = -6/5.

24.

a) Reduce la siguiente expresión:

b) Multiplica la siguiente expresión por el mínimo común múltiplo de los denominadores y simplifica el resultado:

25

. a) Expresa como cuadrado de un binomio o como producto de una suma por una diferencia:

b) Saca el máximo factor común posible: 4x4 + 5x3 - 8x2

c) Saca el máximo factor común posible: 2x (y - 1) + 3x2 (y - 1) - x (y -1)2 26.Halla el cociente y el resto de la división:

(-10x5 + 4x4 + 22x3 - 22x2 + 2x - 1): (5x2 - 2x + 4)

27.a) Utiliza la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de la división: (4x5 - x3 + x2 - 1): (x + 1)

b) Transforma en producto de factores el polinomio P(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6. 28.Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

29. Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

ECUACIONES 30.Dada la siguiente igualdad:

(5)

Responde razonadamente:

a) ¿Es cierta si sustituimos la incógnita por el valor cero?

b) ¿Qué valor obtienes en el primer miembro si sustituyes x = 1? ¿Y en el segundo miembro?

c) ¿Se cumple la igualdad para x = 2?

d) ¿Son x = 0, x = 1 y x = 2 soluciones de la igualdad propuesta? ¿Es una identidad o una ecuación?

31.Halla, por tanteo, la solución entera de la ecuación: (X + 1)3 = 729

32.Resuelve estas ecuaciones:

b) 0,25(2x ‒ 4) ‒ x = 3x ‒ 4,5(3x ‒ 1)

33. Resuelve estas ecuaciones: a) 3x2 - 48 = 0

c) 3x2 + x - 2 = 0 d) -4x2 + 12x - 9 = 0

34.Resuelve la siguiente ecuación: 3(x + 3)2 - (5x + 1)2 = (2x + 5)2 – 12

35.Resuelve la siguiente ecuación:

36.Halla dos números sabiendo que el primero es 12 unidades mayor que el segundo; pero que, si restáramos 3 unidades a cada uno de ellos, el primero sería el doble del segundo.

37.Los lados de un triángulo miden 11 cm, 14 cm y 17 cm. Si restamos una misma cantidad a cada uno de los tres lados, obtenemos un triángulo rectángulo. ¿Qué cantidad es esa?

38.Resuelve las siguientes ecuaciones:

( )

2 2 2

) 5

125 0

) 2

36 0

) 3

15 0

a x

-

=

b

x

-

=

c x

-

=

25 = 0 b)

(

2 x

)

d) 5 (x – 2)2 – 500 = 0 e) (x – 4.2) · (x – 0.5) = 0 f)

(

3x

-

2

)

2 / 4 = 16 g)

x

2 – 3.2 x = 0 h) 3

x

2 – 0.75 = 0 SISTEMAS DE ECUACIONES

39.

Encuentra tres soluciones de esta ecuación: 2

x + y = 5

(6)

b) Resuelve por igualación:

41.

a) Resuelve por igualación:

b) Resuelve por reducción:

42

. Resuelve cada uno de los siguientes sistemas:

43. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2

8

3

9

4

6

2

x

y

y

x

ì

- =

ïï

í

ï

+

=

ïî

44.El perímetro de un rectángulo es de 22 cm, y sabemos que su base es 5 cm más larga que su altura. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar las dimensiones del rectángulo. 45. La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 255 km. Un coche sale de A hacia B a una

velocidad de 90 km/h. Al mismo tiempo, sale otro coche de B hacia A a una velocidad de 80 km/h. Suponiendo su velocidad constante, calcula el tiempo que tardan en encontrarse, y la distancia que ha recorrido cada uno hasta el momento del encuentro.

46. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por le método que consideres mejor:

47.

Hemos mezclado dos tipos de líquido; el primero de 0,94 €/litro, y el segundo, de 0,86 €/litro, obteniendo 40 litros de mezcla a 0,89 €/litro. ¿Cuántos litros hemos puesto de cada clase?

48. En un test de 30 preguntas se obtienen 0.75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25 puntos por cada error. Si mi nota ha sido 10,5, ¿cuántos aciertos y cuántos errores he tenido?

49. En un edificio se dedican a garaje 2/7 del número de plantas que tiene, para oficinas se dedican 2/5 de las restantes, y para viviendas las seis últimas. ¿Cuántas plantas tiene?

(7)

50. Halla dos números pares consecutivos tal que la diferencia de sus cuadrados sea 100. 51. Un cuadrado tiene 144 m2 más de superficie que otro, y éste 4 m menos de lado que el

primero. Halla los lados de dichos cuadrados.

52.En el vallado de una parcela rectangular de 864 m2 de superficie hemos utilizado 120 m

de cerca. Calcula las dimensiones de dicha parcela.

FUNCIONES Y GRÁFICAS

53

.

La siguiente gráfica corresponde al recorrido que sigue Antonio para ir desde su casa al trabajo:

a) ¿A qué distancia de su casa se encuentra su lugar de trabajo? ¿Cuánto tarda en llegar? b) Ha hecho una parada para recoger a su compañera de trabajo. ¿Durante cuánto tiempo

ha estado esperando? ¿A qué distancia de su casa vive su compañera?

c) ¿Qué velocidad ha llevado (en km/h) durante los 5 primeros minutos de su recorrido? 54.Lanzamos una pelota hacia arriba. La altura, en metros, viene dada por la siguiente gráfica:

a) ¿Qué altura alcanza al cabo de 1 segundo?

b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada y en qué momento la alcanza? c) ¿Cuándo decrece la altura de la pelota?

d) ¿Cuál es el dominio? ¿Qué significado tiene?

55.

La siguiente tabla muestra la variación de la temperatura, en grados

centígrados, a la que el hierve el agua en función de la presión, expresada en

milímetros:

(8)

TEMPERATURA (°C)

10 55

72

84

91

96

97

99 100

a) Haz una gráfica relacionando estas dos variables.

b) ¿Qué tendencia observas en la variación de la temperatura a la que hierve el

agua en función de la presión?

c) Si en la cima del Monte Everest hay una presión de 150 mm, y en Ciudad de

México de 580 mm, ¿a qué temperatura hierve el agua en cada uno de estos

lugares?

56.

Asocia cada gráfica con su expresión analítica:

57

.

Un técnico de reparación de electrodomésticos cobra por los trabajos realizados

a domicilio una cantidad fija de 15 €, en concepto de servicio, y 35 € por cada hora

de trabajo, incluidos los impuestos correspondientes.

a) Completa la tabla dada, donde se especifica el dinero cobrado en función del

tiempo de duración de una visita:

TIEMPO DURACIÓN TRABAJO (h)

1 2

3

4

5

CANTIDAD COBRADA (€)

b) Escribe la ecuación que relaciona lo que cobra por una visita y el tiempo

dedicado en realizar el trabajo.

c) Representa gráficamente la función obtenida.

58. Los cestillos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira.

Esta es la representación gráfica de la función tiempo-distancia al suelo de uno de los cestillos:

a) ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa?

b) Observa cuál es la altura máxima y di cuál es el radio de la noria.

c) Explica cómo calcular la altura a los 130 segundos sin necesidad de continuar la gráfica.

59.

Escribe la expresión analítica de la zona sombreada de las siguientes figuras:

(9)

Rectángulo inscrito en un cuadrado. Cuadrado inscrito en un círculo.

FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

60. Representa gráficamente estas rectas:

61.Halla la ecuación de cada una de estas rectas:

a) Función de proporcionalidad que pasa por el punto (3, 2). b) Recta que pasa por los puntos P(2, 1) y Q(5, 2).

62. Halla la ecuación de cada una de estas rectas: a) Pasa por los puntos A(15, 10) y B(8, 6).

b) Paralela al eje OX y que pasa por el punto P(4, 5).

62.Indica un punto y la pendiente de cada una de las rectas y escribe su ecuación:

a) b)

63.a) Tres kilos de peras nos han costado 4,5 €; y, por siete kilos, habríamos pagado 10,5 €. Encuentra la ecuación de la recta que nos da el precio total, y, en función de los kilos que compremos, x.

b) Represéntala gráficamente. c) ¿Cuánto costarían 5 kg de peras?

64.Un vendedor recibe dos ofertas de empleo. La editorial A le ofrece 600 € de sueldo fijo al mes y 10 € por cada enciclopedia que venda. La editorial B le ofrece mensualmente 800 € independientemente del número de enciclopedias vendidas.

a) Expresa en cada caso el salario en función del número de enciclopedias que venda. b) Haz una gráfica que muestre lo que ganaría en un mes según la modalidad del contrato. c) ¿Cuántas enciclopedias ha de vender para ganar lo mismo con las dos modalidades de

(10)

65.Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, algunos puntos próximos a él y los cortes con los ejes:

a) y= -x2+ x b) y = x2+ 2x - 3

66. Representa en los mismos ejes la parábola y = x2 - 6x + 5 y la recta y = -x + 5. Observa en qué

puntos se cortan y calcula esos puntos resolviendo el sistema formado por las ecuaciones anteriores.

ESTADÍSTICA.

1.Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de 60 000 € y una desviación típica de 7 500 €. En otra empresa más pequeña B, la media es 9 000 €, y la desviación típica, 1 500 €. Calcula, mediante el coeficiente de variación, cuál de las dos tiene más variación relativa.

2. En el siguiente polígono de frecuencias se representa el número de horas de voluntariado a la semana de un grupo de 16 estudiantes.

Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación.

¿Cuál es la moda? ¿Qué porcentaje de estudiantes dedica menos de 4 horas al voluntariado? 3.Se ha realizado una encuesta a 50 personas sobre el número de veces que han ido al teatro en el pasado año.

a) Calcula el recorrido, la varianza y la desviación típica.

b) Dibuja el diagrama de caja y bigotes. ¿Es simétrica la distribución?

4.Cuarenta atletas han participado en una carrera y, después de finalizarla, los organizadores han medido sus pulsaciones por minuto obteniendo los siguientes resultados:

Imagina que eres un periodista que se encuentra en el puesto de control de llegada y debes realizar un reportaje sobre la carrera. Para ello, haz el siguiente estudio:

a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 5, desde el intervalo [70, 75) hasta el [95, 100). b) Busca las marcas de clase.

c) Organiza los datos en una tabla de frecuencias absolutas y relativas. d) Representa los datos en un histograma.

(11)

5.La distribución de los mensajes de móvil que han enviado los 60 vecinos de un edificio a lo largo de un mes se refleja en la siguiente tabla.

a) Calcula el número medio de mensajes enviados, su mediana y su moda. b) Calcula la desviación típica de la distribución.

c) Calcula los cuartiles de la distribución.

6.Determina la media, la mediana, la moda y los cuartiles de la distribución representada en el siguiente polígono de frecuencias.

7.Las edades de las personas que van en un autobús de línea en un momento determinado son: 52, 71, 17, 40, 62, 19, 67, 27, 5, 48, 8, 32, 51, 75, 9, 24, 40, 35, 56, 45.

a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 13. b) Representa los datos según un histograma.

c) Halla la media, la mediana y la moda de la distribución.

PROBABILIDAD.

1.Hemos jugado varias veces a una ruleta y hemos obtenido los siguientes resultados:

a) ¿Cuántas veces hemos jugado?: b) ¿Cuál es el resultado más probable?: c) ¿Cuál es la

frecuencia absoluta y relativa del resultado "azul"? d) ¿De que forma crees que se puede calcular la probabilidad de que el resultado sea azul?

2.En una bolsa hay 6 bolas rojas, 5 bolas azules y 9 bolas blancas. a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja?: ... b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola blanca?: ... c) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola azul?: ...… d) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola que no sea azul?: ...… 3.Se lanzan dos dados simultáneamente y se observa la suma de los valores: a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2?: ... b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3?: ... c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 12?: ... d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de 12?:...

4.El ayuntamiento de una ciudad realiza un sorteo de viviendas de protección oficial. El sorteo consta de 125 pisos de 1 habitación y 200 de 2 habitaciones. Si se presentan 1.523 solicitudes: a) ¿Cuál es la probabilidad de que nos toque un piso de 1 habitación?

(12)

5.En un urna hay 3 bolas amarillas, 2 verdes, 3 rojas y 2 azules. Sacamos, sin mirar, una bola. a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta del suceso “azul”: ...

b) ¿Cuál es la frecuencia absoluta del suceso “amarillo o azul”: ... c) Completa la siguiente tabla:

d) ¿Cuál es el suceso seguro?: ...… e) Indica un suceso imposible: ... f) Indica dos sucesos incompatibles: ... g) ¿Cuál es el suceso contrario a “rojo o verde”?: ... h) Indica dos sucesos equiprobables: ... i) Indica dos sucesos no equiprobables: ... 6.Indica si las siguientes frases son verdaderas (V) o falsas (F):  Lanzar una moneda al aire es un experimento aleatorio.

 Al lanzar una moneda, la probabilidad de que salga cara es la misma que la de que salga cruz.  Al lanzar un dado es menos probable que salga 2 a que salga un múltiplo de 3.

 La probabilidad de que salga el 45089 en una lotería es mayor que la de que salga el 00444. 7.Se lanzan una moneda y un dado cúbico. Forma el espacio muestral, construyendo

previamente el diagrama en árbol.

8.En un centro escolar hay 1000 alumnos repartidos como indica esta tabla:

Se elige al azar uno de ellos. Di cuál es la probabilidad de que: a) Sea chico. b)Sea chica.

c) Use gafas. d)No use gafas.

e) Sea una chica con gafas. f )Sabiendo que es una chica, use gafas.

9.En una empresa hay 200 empleados, de los que 100 son hombres y 100 son mujeres. Los alérgicos son 40 hombres y 35 mujeres.

a) Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea hombre y no sea alérgico. b)Si sabemos que el elegido no es alérgico, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? Haz una tabla como la del ejercicio anterior.

Referencias

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