En este capítulo extenderemos la conocida ecuación. g(b) f = f g g, g(a)

(1)

Cap´ıtulo 6

Cambio de variable

1. Particiones de la Unidad

En este cap´ıtulo extenderemos la conocida ecuaci´on (6.1) Z g(b) g(a) f = Z b a f◦g g0,

válida para funciones Riemann-integrables f y funciones diferenciablesgen un intervalo [a, b]. La extensión se tiene que hacer de manera cuidadosa por-que, en primer lugar, si g: Rn_→ Rn es una función diferenciable, entonces su derivada es una transformación lineal, por lo que la ecuación (6.1) ni si-quiera tiene sentido sobre un rectángulo. Más aún, la imagen de un rectágulo

R bajo g, g(R), podr´ıa ser un conjunto no Jordan-medible, por lo cual el lado izquierdo de (6.1) podr´ıa no estar definido.

La manera de resolver el problema es extendiendo la integral de Rie-mann a funciones definidas sobre conjuntos abiertos de manera local. Esto se puede hacer porque, en cada punto de un conjunto abierto U, existe un rectángulo abierto que lo contiene y a su vez está contenido en U. Es de-cir, de cierta manera dividimos el conjunto U en pedazos donde podemos calcular la integral, y luego ”pegamos”dichos pedazos. La mejor manera de hacerlo apropiadamente es a travéz de particiones de la unidad, las cuales definimos a continuación.

Definici´on 6.1. Sea A _⊂Rn, y sea _F una colecci´on de funcionesϕ_∈C∞ definidas sobre un conjunto abierto que contiene aA. Decimos que_F es una

partici´on de la unidad para A si satisface las siguientes condiciones. 1. Parax_∈A, ϕ_{∈ F}, 0_≤ϕ(x)_≤1.

(2)

2. Para cadax _∈A existe un abierto V que contiene ax tal que s´olo un n´umero finito de las ϕ∈ F son desiguales a 0 enV.

3. Para cadax_∈A, P_ϕ_∈Fϕ(x) = 1.

Comoϕ(x) = 0 excepto para un n´umero finito de lasϕ_{∈ F}, la suma en (3) es finita.

Sea {Uα} una cubierta para A. Decimos que la partici´on de la unidad

F est´asubordinada a _{Uα} si, para cadaϕ∈ F, existeUα tal que ϕ(x) = 0 parax /_∈Uα. Es decir, suppϕ⊂Uα.

Teorema 6.2. Sea A _⊂ Rn y _{Uα} una cubierta para A. Entonces existe

una partici´on de la unidad para A subordinada a {Uα}.

Para la demostraci´on de este teorema utilizaremos el siguiente lema. Lema 6.3. Sea U _⊂ Rn abierto y C _⊂ Rn compacto tal que C _⊂ U1. Entonces existeϕ_∈C∞ _{tal que}_ϕ_≡₁ _en_C _y _supp_ϕ_⊂_U_.

Demostraci´on. Sea f :R_→R dada por

f(x) = ( e−(x+1)21 _e− 1 (x−1)2 _x_∈₍₋₁_,₁₎ 0 x /_∈(₋1,1).

Entoncesf _⊂C∞_, _f _≥_{0 y supp}_f _{= [}₋₁_,_{1] (v´ease la figura 1). Tomaremos}

-1 1

Figura 1. La fuci´onf(x) de la demostraci´on.

F(x) ahora la funci´onF :R_→Rdefinida por

F(x) = Z x −1 f Z 1 −1 f .

Es decir, F es la integral indefinida de f, normalizada para que F(1) = 1. 1Esto se suele escribir comoC⊂⊂U

(3)

1. Particiones de la Unidad 85

-1 1

Figura 2. La funci´on de claseC∞_F₍_x_{). Nota que}_F₍_x_{) = 0 si}_{x <}₋_1,

yF(x) = 1 parax >1.

Desde luego, también es de clase C∞_{y no-negativa. Véase la figura 2.} Dadoε >0, definimos entonces la funciónFε dada por

Fε(x) =F

₂_x₋_ε ε

.

Fεes entonces una funci´on no-negativa de claseC∞tal que suppFε⊂[0, ε]. Sea ahorax0 ∈Rn yδ >0. Definimos la funci´ong(x0, δ;·) :Rn→Rpor

g(x0, δ;x) =f _x1₋_x1 0 δ fx 2₋_x2 0 δ . . . fx n₋_xn 0 δ .

Tenemos entonces que g(x0, δ;x) > 0 si x ∈ Rδ(x0), donde Rδ(x0) es el rect´angulo abierto

Rδ(x0) = (x10−δ, x10+δ)× · · · ×(xn0 −δ, xn0 +δ), yg(x0, δ, x)≡0 fuera de Rδ(x0).

Para cadax_∈C, seaδx >0 tal queB2δx(x)⊂U. EntoncesRδx(x0)⊂U

y la colleci´on _{Rδx(x)}x∈C es una cubierta para C. Como C es compacto,

existen x1, ..., xk tales que

C_⊂Rδx₁(x1)∪. . .∪Rδ_xk(xk). Definimosψ:Rn_→Rpor ψ(x) = k X i=1 g(xi, δxi;x).

Entonces ψ >0 enC, yψ_≡0 fuera de Sk_i=1Rδ_xi(xi). De hecho,

suppψ= k

[

i=1

Rδ_xi(xi)⊂U.

ComoC es compacto, m´ınCψ >0. Entonces, si tomamosε= m´ınCψ ε >0, y la funci´on buscada la obtenemos definiendo ϕ=Fε◦ψ.

(4)

En esta demostraci´on, podemos observar que C= k [ i=1 Rδ_xi(xi)⊂ k [ i=1 Rδ_xi(xi)⊂U.

Como cada Rδ_xi(xi) es un rectángulo abeirto y tenemos una unión finita, podemos conclu´ır el siguiente corolario, del cual haremos uso más adelante. Corolario 6.4. Sea C ⊂ U ⊂ Rn, tales que C compacto y U abierto. Entonces existe un compacto D tal que C_⊂D0 y D_⊂U.

Ahora ya estamos listo para la demostraci´on del teorema referente a particiones de la unidad.

Demostraci´on del teorema 6.2. Separaremos la demostraci´on del teore-ma en varios varios casos.

Caso 1. Suponemos primero queAes compacto. Entonces existenα1, ..., αk tales que A_⊂ k [ i=1 Uαi.

Vamos ahora a constru´ır compactos D1, ..., Dk tales que

A_⊂D1∪...∪Dk y Di⊂Uαi.

Escogemos primero

C1 =A\(Uα2 ∪...∪Uαk).

Tenemos entonces que, como A es compacto y cada Uαi es abierto, C es

complacto. Adem´as,C1 ⊂Uα1, porque losUαi cubren aA.

Por el corolario 6.4, existe un compactoD1tal queC1⊂D01 yD1 ⊂Uα1. Procedemos inductivamente: una vez constru´ıdos D1, D2, ..., Di, toma-mos

Ci+1=A\ D10∪D02∪. . .∪Di0∪Uαi+2∪. . .∪Uαk

.

Entonces Ci+1 es compacto y Ci+1 ⊂Uαi+1, y usamos de nuevo el corolario 6.4 para escogemos un compacto Di+1 ⊂Uαi+1 tal queCi+1 ⊂Di+10 .

Por el lema 6.3, existen funciones ψi ∈ C∞ tales que ψi > 0 en Di y suppψi ⊂Uαi. Definimos entonces ϕi: R

n_→_R_por ϕi =    ψi ψ1+. . .+ψk x∈Ski=1suppϕi 0 de otra forma.

Entonces la colecci´on _F =_{ϕi : i= 1,2, . . . , k} es una partici´on paraA de la unidad subodinada a_{Uα}.

(5)

1. Particiones de la Unidad 87

Caso 2. Suponemos ahora que es de la forma

A=C1∪C2∪. . . ,

donde los Ci son compactos y, para cada i, Ci ⊂Ci+10 . Definimos entonces, para cadai, la colecci´on

Ci={Uα∩(Ci+10 \Ci−2)}α,

ComoCi ⊂Ci+1, Ci−2⊂Ci+10 , y{Uα}α es una cubierta para A,

Ci\Ci0−1⊂

[

α

Uα∩(Ci+10 \Ci−2).

Entonces_Ci es una cubierta para el compactoCi\Ci0−1. Por el caso 1, existe una partici´on de la unidad, a la que llamaremos _Fi, para cada Ci \Ci0−1 subordinada a Ci.

Supongamos que x _∈ Ci y ψ ∈ Fj. Como Fj est´a subordinada a Cj, existe U _{∈ C}j tal que suppψ ⊂ U ⊂ Cj+10 \Cj−2. Como Ci ⊂ Ci+1, si

j ₋2 _≥ i entonces ϕ(x) = 0. As´ı que, para cada x _∈ A, sólo existe un número finito de funciones ψ en la colección S_Fj desiguales a 0 alrededor de x. Podemos definir entonces

σ(x) = X ψ∈∪Fj

ψ(x).

Esta suma está bien definida para cadaxporque sólo tiene un número finito de sumandos. Entonces, la colección

F =nψ

σ :ψ∈ [

Fj

o

es una partici´on de la unidad para Asubordinada a _{Uα}α.

Caso 3. Suponemos ahora queA es abierto. SiA =Rn, entonces podemos reducir este caso al anterior simplemente recordando que

Rn= ∞

[

n=1

Bn(0),

dondeBn(0) es la bola cerrada, y por lo tanto compacta, de radionalrededor de 0.

SiA no es todoRn, ∂A6=∅. Definimos

dist(x, ∂A) = m´ın_{|x₋y_|:y_∈∂A_}.

Entonces, escribimos A= ∞ [ i=1 {x_∈A:_|x_{| ≤}i,dist(x, ∂A)_≥1/i_}.

(6)

La igualdad la obtenemos porque, como Aes abierto, dist(x, ∂A)>0. Cada conjunto{x∈A: |x| ≤ i,dist(x, ∂A) ≥1/i} es cerrado y acotado, y por lo tanto compacto, as´ı que hemos reducido al caso anterior.

Caso 4. A general. En este caso simplemente tomamos

B=[

α

Uα.

Entonces B es abierto y contiene a A. Por el caso anterior, existe una par-tición de la unidad para B subordinada a _{Uα}α. Es claro que también es una partición de la unidad paraA, subordinada a la misma cubierta. Observación 6.5. De la demostración del teorema 6.2, podemos escoger la colecciónF de tal forma que sea contable y cada uno de los soportes suppϕ

sea compacto. Usaremos este hecho m´as adelante.

Observación 6.6. Supongamos queC _⊂Aes compacto. Para cadax_∈C, existe un abiertoVx tal que sólo un número finito de lasϕ∈ F no son cero. ComoCes compacto, existenx1, . . . , xktales queC ⊂Vx1∪. . .∪Vxk, as´ı que

sólo un número finito de las ϕ∈ F no son cero enC. 2. Extensión de la integral de Riemann

En esta sección extenderemos la integral de Riemann a conjuntos abier-tos. En el cap´ıtulo anterior lo hab´ıamos hecho a conjuntos Jordan-medibles. Sin embargo, no todos los conjuntos abiertos son Jordan-medibles, as´ı que es necesario extender la definición de la integral aún más. Esto lo haremos a través de las particiones de la unidad, constru´ıdas en la sección anterior. Definición 6.7. SeaA_⊂Rnabierto y_{Uα}una cubierta para A. Decimos que_{Uα}esadmisible si cadaUα⊂A.

Ejemplo 6.8. SiAes abierto, para cadax∈Aexiste un rect´angulo abierto

Rx tal que x ∈ Rx y Rx ⊂A. Entonces la colecci´on {Rx : x ∈ A} es una cubierta admisible paraA.

Definici´on 6.9. Decimos que f : A _→ R es localmente acotada si, para cadax∈A, existe un abierto V tal quex∈V yf es acotada en V.

Ejemplo 6.10. Las funciones continuas son localmente acotadas. Si f :

A _→ R es continua, para x _∈ A existe un abierto V tal que x _∈ V y

|f(y)₋f(x)_| <1. Entonces _|f(y)_|<_|f(x)_|+ 1 para todo y _∈V, as´ı que f

es acotada en V.

Ejemplo 6.11. La funci´onf : [0,1]_→R, dada por

f(x) =

(₁

x x >0 0 x= 0

(7)

2. Extensi´on de la integral de Riemann 89

no es localmente acotada en 0, ya que no existe un conjunto abierto V que contenga a 0 tal que f sea acotada en V.

Es posible, de hecho, encontrar una funci´on que no sea localmente aco-tada en ning´un punto.

Ejemplo 6.12. Sea f : [0,1]_→Rdada por

f(x) =

(

q x= p_q, p, q primos relativos 0 x /∈Q.

Esta funci´on no es acotada en ning´un conjunto abierto.

Sea A_⊂Rnabierto, y consideramos una funci´on f :A _→Rlocalmente acotada tal que

{x∈A:f es discontinua enx}

es de medida cero. Sea_{Uα}una cubierta admisible paraAyFuna partición de la unidad para A subordinada a _{Uα}. Por la observación 6.5, podemos escoger _F tal que sea contable y cada suppϕ sea compacto; de hecho, de la demostración del teorema 6.2, podemos suponer que los conjuntos suppϕ

son rect´angulos cerrados. Entonces, para cadaϕ_{∈ F}, la integral

Z A ϕ_|f_|= Z suppϕ ϕ_|f_|

est´a bien definida.

Decimos quef esintegrable (con respecto aF) si

X

ϕ∈F

Z

A

ϕ|f|<∞.

Es decir,f es integrable (con respecto a_F) si la serie de n´umero no-negativos

P

ϕ∈F

R

Aϕ|f| converge. Como para cadaϕ

| Z A ϕf_{| ≤} Z A ϕ_|f_|,

porque ϕ_≥0, tenemos que

X ϕ∈F | Z A ϕf_|<_∞ y entonces la serie X ϕ∈F Z A ϕf converge absolutamente.

Lo primero que haremos es garantizar que la convergencia de la serie anterior, al igual que su l´ımite, es independiente de la partici´on de la unidad

(8)

Teorema 6.13. Sea A _⊂ Rn un conjunto abierto, _{Uα} una cubierta

ad-misible para A y F una partici´on de la unidad subordinada a {Uα}. Sea

f :A→R integrable (con respecto aF). Entonces, si {Vβ}β es un cubierta

admisible para A y _G es una partici´on de la unidad subordinada a _{Vβ},

entonces f es integrable (con respecto a _G) y

X ψ∈G Z A ψf = X ϕ∈F Z A ϕf.

Demostración. Como cada suppϕes compacto, por la observación 6.6 sólo un número finito de las ϕ_{∈ G} no es cero, as´ı que la suma

X

ψ∈G

ψϕ

tiene un n´umero finito de sumandos en suppϕ. Entonces, para cada ϕ_{∈ F} Z A ϕ_|f_|= Z A X ψ ψϕ_|f_|=X ψ Z A ϕψ_|f_|,

donde hemos usado el hecho que

X ψ∈G ψ_≡1. ComoP_ϕ_∈FR_Aϕ_|f_|<_∞ y X ϕ∈F Z A ϕ|f|= X ϕ∈F X ψ∈G Z ψϕ|f|, tenemos que X ϕ∈F X ψ∈G | Z ψϕf_|<_∞.

As´ı que todas las sumas dobles involucradas onvergen absolutamente, por lo que podemos intercambiar las sumatorias. Primero,

X ϕ∈F X ψ∈G Z ψϕ|f|=X ψ∈G X ϕ∈F Z ϕψ|f|= X ψ∈G Z X ϕ∈F ϕψ|f|=X ψ∈G Z ψ|f|, y entonces X ψ Z ψ_|f_|<_∞.

As´ı que ya sabemos que f es integrable (con respecto a_G). De igual forma,

X ϕ∈F X ψ∈G Z ψϕf =X ψ∈G X ϕ∈F Z ψϕf.

(9)

2. Extensi´on de la integral de Riemann 91

La suma de la izquierda es igual a

X ϕ∈F X ψ∈G Z ψϕf = X ϕ∈F Z _X ψ∈G ψϕf =X ϕ Z ϕf,

mientras que la de la derecha es igual a

X ψ∈G X ϕ∈F Z ψϕf =X ψ∈G Z X ϕ∈F ϕψf =X ψ∈G Z ψf. Por lo tanto X ϕ∈F Z ϕf =X ψ∈G Z ψf. Este teorema entonces nos permite conclu´ır que la integrabilidad es inde-pendiente de la partici´on, por lo que no es necesario hacer referencia a ella, y simplemente diremos, sif es integrable con repsecto a alguna partici´on en particular, que esintegrable.

SiA_⊂Rn es abierto yf :A_→Res integrable, definimos la integral de

f sobre A como Z A f = X ϕ∈F Z A ϕ_F,

donde_Fes una partici´on de la unidad paraAsubordinada a alguna cubierta admisible.

Ahora demostraremos que esta definici´on extiende la integral de Rie-mann a conjuntos abiertos.

Teorema 6.14. Si A es un conjunto abierto Jordan-medible y f : A _→ R

integrable y acotada. Entonces

Z A f = Z R χAf,

donde la integral del lado derecho es la integral de Riemann sobre un cual-quier rect´angulo R_⊃A.

En el teorema simplemente hemos extendido la funci´on f a R tal que

f(x) = 0 si x _∈ R_\A. Como el conjunto de discontinuidades de f en A

tiene medida 0, su extensión a R de esa forma también tiene conjunto de discontinuidades de madida 0, ya que la única diferencia son, a lo más, los puntos en∂A, y tal conjunto tiene medida 0 porque es Jordan-medible.

N´otese que tenemos que asumir que la funci´onf es acotada para poder calcular su integral de Riemann.

(10)

Demostraci´on. Sea ε > 0 y C un conjunto compacto Jordan-medible tal que

Z

A\C 1< ε.

Tal conjunto existe por la proposici´on 5.35. Por la observaci´on 6.6, el con-junto F =_{ϕ_{∈ F} :ϕ_|C 6≡0} es finito. Entonces Z R χAf− X ϕ∈F Z A ϕf = Z R (χAf− X ϕ∈F ϕf) ≤ Z R χA− X ϕ∈F ϕ|f| ≤M Z A 1₋X ϕ∈F ϕ,

dondeM >0 es una constante tal que|f(x)| ≤M. Como

X ϕ∈F ϕ_≡1 yϕ_|C ≡0 siϕ /∈F, tenemos que Z R χAf − X ϕ∈F Z A ϕf ≤M Z A\C X ϕ /∈F ϕ_≤M Z A\C 1< M ε. Comoε >0 es arbitrario, X ϕ Z A ϕf = Z R χAf. El teorema 6.14 nos garantiza que la nueva integral, definida en conjuntos abiertos a través de particiones de la unidad, es efectivamente una extensión de la integral de Riemann. De hecho, si A es acotado, entonces cualquier función Riemann integrable sobre un rectánguloR_⊃Aes integrable en este sentido.

Proposici´on 6.15. Si A es abierto y acotado y f : A _→ R tiene disconti-nuidades de medida cero y es acotada, entonces es integrable.

Demostraci´on. Sea R un rect´angulo tal que A _⊂R. Como f es acotada, existe M > 0 tal que |f(x)| ≤ M para todo x ∈ A. Si tomamos F ⊂ F

finito, entonces X ϕ∈F Z A ϕ_|f_{| ≤}M Z A X ϕ∈F ϕ=M Z R X ϕ∈F ϕ_≤M Z R 1 =M_·v(R).

(11)

3. Cambio de Variable 93

ComoF es arbitrario, podemos conclu´ır que la serie

X ϕ∈F Z A ϕ|f| converge.

De esta proposición conclu´ımos, por ejemplo, que todas las funciones continuas acotadas sobre conjuntos abiertos acotados son integrables. A continuación presentamos un ejemplo de una función no acotada que es integrable.

Ejemplo 6.16. Consideremos la funci´onf : (0,1)_→Rdada por

f(x) = √1 x.

Sea _F una partici´on de la unidad subordinada a la cubierta admisible for-mada por los conjuntos

Un= ₁ 2n+1, 1 2n−1 , n= 1,2, . . . .

Podemos suponer que F ={ϕn : n= 1,2, . . .}, donde cada suppϕn ⊂ Un. Entonces Z (0,1) ϕnf ≤ Z Un 1 √ xdx≤ Z 1/2n₋1 1/2n+1 √ 2n+1₌ _√3 2n+1, y por lo tanto X ϕ∈F Z (0,1) ϕf _≤ ∞ X n=1 3 √ 2n+1 <∞. As´ı quef es integrable.

3. Cambio de Variable

Ahora estamos listos para establecer y demostrar la versi´on de cambio de variables enRn.

Teorema 6.17. Sea A _⊂Rn abierto, g : A_→ Rn de clase C1, inyectiva y tal quedetg0₍_x₎₆_{= 0} _{para todo} _x_∈_A_{. Entonces}

(6.2) Z g(A) f = Z A f◦g|detg0|,

para toda funci´on integrable f :g(A)_→R.

Antes de proceder a la demostración del teorema 6.17, hagamos algunas observaciones. Por el teorema de la función inversa, la imagen del conjunto abierto A, bajo la función de clase C1 _g_{, es abierto, as´ı que la integral del}

(12)

lado derecho de (6.2) tambi´en debe entenderse en el sentido extenso de la secci´on anterior.

También observamos que, mientras que en la versión unidimensional del teorema 6.17, es decir la ecuación (6.1), la composiciónf_◦gestá multiplicada por g0(x), aqu´ı está multiplicada por el determinante del Jacobianog0(x).

Demostraci´on. Para la demostraci´on del teorema 6.17, primero haremos una serie de reducciones.

Paso 1. El teorema es cierto si existe una cubierta admisible {Uα}para A tal que Z g(Uα) f = Z Uα f _◦g_|det g0_|

para todo α y toda funci´on integrable f.

Como cada g(Uα) es abierto, por el teorema de la función inversa, la colección {g(Uα)} es también una cubierta admisible parag(A). SeaF una partición de la unidad para g(A) subordinada a {g(Uα)}. Entonces, para cadaϕ∈ F, existe α tal que suppϕ⊂g(Uα). As´ı que supp(ϕ◦g)⊂Uα y

Es f´acil ver ahora que el teorema tambi´en se sigue si existe una cubierta admisible _{Vβ} es parag(A) tal que

Z Vβ f = Z g−1_(V β) f◦g|detg0|,

para todo β y toda f integrable.

Paso 2. Es suficiente con demostrar el teorema para el casof ≡1.

Si el teorema es cierto para la función constante igual a 1, la linealidad de la integral implica que también es cierto para cualquier función constante.

(13)

Ahora bien, sea V un rectángulo en g(A), y sea _P una partición de V. Entonces, si f es una función acotada enV,

An´alogamente, para U(f,_P) obtenemos

U(f,_P)_≥

Z

g−1_(V₎

f _◦g_|detg0_|.

Por lo tanto, si f es integrable en A y acotada enV,

Z V f = Z g−1_(V₎ f _◦g_|detg0_|.

Como los rect´angulos abiertos eng(A) forman una cubierta admisible para

g(A), el teorema es verdad por el Paso 1.

Paso 3. Sig(A)⊂B y el teorema es cierto parag:A→Rn yh: B→Rn, entonces es cierto para h◦g: A→Rn.

Esto se sigue de la aplicaci´on del teorema para cada una de las funciones, es decir, Z h◦g(A) f = Z h(g(A)) f = Z g(A) f_◦h_|deth0_| = Z A f ◦(h◦g)|deth0(g)||detg0|= Z A f ◦(h◦g)|det(h◦g)0|,

donde tambi´en hemos usado la regla de la cadena. Paso 4. El teorema es verdad si ges lineal.

Esto se sigue del ejercicio 3 y del Paso 2, porque

Z g(R) 1 =_|detg_|v(R) = Z R 1_◦g_|detg_|= Z R 1_◦g_|detg0_|.

Tambi´en hemos usado el hecho que, si g es lineal,Dg=g.

Ahora procedemos a la demostración del teorema, la cual se lleva a cabo por inducción en n, la dimensión del espacio.

(14)

Si n= 1, entonces simplemente tenemos la ecuaci´on (6.1). Suponemos entonces que el teorema es verdad paran−1.

Sea x0 ∈A. Por el Paso 1, es suficiente con encontrar una vecindad U de x0 tal que Z g(U) 1 = Z U| detg0|.

Adem´as, por los pasos 3 y 4, podemos suponer queg0₍_x₀_{) =}_I_n_. Definimosh:A_→Rn por

h(x) = (g1(x), g2(x), . . . , gn−1(x), xn).

Entonces h0(x0) = In. Por el teorema de la funci´on inversa, existe una ve-cindad U1 ⊂ A de x0 tal que h es 1−1 en U1 y deth0(x) 6= 0 para todo

x_∈U1.

Definimos ahorak :h(U1)→Rn por

k(y) = (y1, y2, . . . , yn−1, gn(h−1(y))).

Entonces k_◦h=g y, si y0 =h(x0),

(gn◦h−1)0(y0) = (gn)0(x0) = (0, . . . ,0,1), as´ı que k0₍_y₀_{) =}_I_n_.

Por el teorema de la funci´on inversa, existe una vecindadV _⊂h(U1) de

h(x0) = y0 tal que k es 1−1 en V y detk(y) 6= 0 para todo y ∈ V. Sea

U =h−1₍_V_{). Tenemos entonces que} _h₍_U₎_⊂_V_, _h_: _U _→_Rn_, _k _: _V _→_Rn_{, y}

g=k_◦h. Por el Paso 3, es sufiente con demostrar el teorema parah y para

k.

Procedemos primero parah. SeaW =R_×[an, bn] un rect´angulo enU, dondeR es rect´angulo apropiado enRn−1. Queremos entonces mostrar

Z h(W) 1 = Z W| deth0|.

Por el teorema de Fubini,

Z h(W) 1 = Z [an,bn] Z h(R×{xn_}₎ dx¯dxn,

donde hemos escrito, para simplificar la notaci´on, x= (¯x, xn). Si escribimos

hxn(¯x) =h(¯x, xn), nuestra hip´otesis de inducci´on implica que Z h(R×{xn_}₎ dx¯= Z hxn(R) dx¯= Z R| deth0_xn|.

(15)

La demostración para la función k es muy similar. Tomamos ahora un rectángulo W =S_×[cn, dn]⊂V. De nuevo, por el teorema de Fubini,

Z k(W) 1 = Z S Z k({x¯}×[cn,dn]) 1dxndx¯ = Z S Z [cn,dn] |detk0_¯_x|dxndx,¯

donde hemos escritokx¯(xn) =k(¯x, xn) =k(x). El teorema se sigue entonces porque detk_x0_¯(xn) = detk0(x).

Consideremos, por ejemplo, la transformaci´on

g:R₊_×(0,2π) _→R2

dada por

g(r, θ) = (rcosθ, rsenθ).

La imagen degest´a dada por el planoR2 excepto el eje xpositivo, como se ve en la figura 3.

g(A)

Figura 3. La imagen del dominoA=R+×(0,2π) bajo la

transforma-ci´ong.

Es claro queg es inyectiva. Su Jacobiano en cada punto (r, θ) est´a dado por g0(r, θ) = cosθ ₋rsenθ senθ rcosθ ,

(16)

as´ı que

detg0 =r >0

para todo (r, θ)∈R₊_×(0,2π). La transformaci´ongdescribe al planoR2 en

coordenadas polares.

Si 0< r1 < r2, 0< θ1< θ2 <2π yB es el arco de anillo

g (r1, r2)×(θ1, θ2)

,

el teorema 6.17 implica que

Z B f = Z [r1,r2]×[θ1,θ2] f _◦g_|detg0_|= Z [r1,r2]×[θ1,θ2] f(rcosθ, rsenθ)rdrdθ,

para cualquier funci´onf integrable en B.

Ejemplo 6.18. El uso de coordenadas polares nos permite calcular expl´ıci-tamente, por ejemplo, integrales que el simple uso del teorema fundamental del c´alculo no es suficiente.

Por ejemplo, consideremos la integral impropia

Z _∞ −∞ e−x2dx= l´ım N→∞ Z N −N e−x2dx.

La idea es utilizar coordenadas polares para evaluar esta integral. Lo primero que debemos hacer es relacionarla con una integral sobre alg´un conjunto en

R2. Esto se logra reescribiendo el cuadrado de la integral de la siguiente forma: Z N −N e−x2dx2= Z N −N e−x2dx Z N −N e−y2dy = Z N −N Z N −N e−x2dxe−y2dy = Z N −N Z N −N e−(x2+y2)dxdy

Por el teorema de Fubini, esta integral es igual a

Z

[−N,N]×[−N,N]

F,

donde F : R2 _→ R est´a dada por F(x, y) = e−(x2_+y2₎

. Llamamos R = [₋N, N]_×[₋N, N]. Entonces, como F es positiva,

(6.3) Z BN(0) F _≤ Z R F _≤ Z B√ 2N(0) F,

donde BN(0) y B√_2N(0) son los discos alrededor de 0 de radio N y

√

2N, respectivamente, como en la figura 4. Demostraremos que el l´ımite

(17)

N

−N N

−N 2 N

Figura 4. Los discos BN(0) yB√₂_N(0) alrededor de 0 de radio N y

√

2N, respectivamente. Se observa queBN(0)⊂R⊂B√₂N(0).

l´ım N→∞

Z

BN(0) F

existe, y lo calcularemos expl´ıcitamente. Primero, observemos que

BN(0) =g((0, N)×(0,2π))∪S

dondeS es un conjunto de contenido cero. Entonces, por el teorema 6.17,

Z BN(0) F = Z (0,N)×(0,2π) F(rcosθ, rsenθ)rdrdθ. ComoF(x, y) =e−(x2+y2), F(rcosθ, rsenθ) =e−r2, as´ı que Z BN(0) F = Z (0,N)×(0,2π) e−r2rdrdθ.

Por el teorema de Fubini,

Z BN(0) F = Z N 0 Z 2π 0 e−r2rdθdr= Z N 0 2πe−r2rdr=π(1₋e−N2). As´ı que l´ım N→∞ Z BN(0) F =π.

Por las desigualdades (6.3), podemos conclu´ır que l´ım N→∞ Z N −N e−x2dx2=π, y por lo tanto l´ım N→∞ Z N −N e−x2dx=√π.

(18)

4. El teorema de Sard

Teorema 6.19 (Sard). Sea A_⊂Rn abierto y g:A_→Rn de clase C1. Sea

B =_{x_∈A: detg0(x) = 0_}.

Entonces g(B) es de medida cero.

Demostración. SeaR⊂Aun rectángulo cerrado de lados con longitudL. La demostración se sigue de las siguientes tres observaciones:

1. ExisteM >0 tal que, para todo x, y_∈R,

|g(x)₋g(y)_{| ≤}M_|x₋y_|.

2. Para todoε >0, podemos subdividirR en Nn subrect´angulos, de lados con longitud L/N, tales que si x y y pertenecen a uno de estos subrect´angulos,

|g(x)−g(y)−Dg(x)(x−y)|< ε|x−y|.

3. A puede ser cubierto por un número contable de rectángulosR. La primer observación se sigue del hecho que g es continuamente diferen-ciable, la compacidad de R, y del lema 3.25. La segunda, de la definición de la derivada y, de nuevo, de la compacidad de R. La última, sólo que te-nemos que restringirnos a rectángulos R cuyos vértices tienes coordenadas racionales.

Demostraremos entonces queg(R∩B) tiene medida cero.

Sea ε > 0, y tomemos S uno de los rectángulos de la observación (2) tal que S∩B 6= ∅. Si x ∈ S ∩B, entonces detg0(x) = 0 y Dg(x)(x−y) pertenece a un subespacio V de dimensión menor o igual a n−1 enRn. Si

v=Dg(x)(x₋y) y y_∈S,

|g(x)−g(y)−v|< ε√nL N,

es decir, g(x)₋g(y) est´a a distancia menor que ε

√ nL N de v, es decir, g(y) est´a a distancia ε √ nL

N de v+g(x). Pero, por la observaci´on (1), |g(x)₋g(y)_{| ≤}M√nL

N,

as´ı que g(y) pertenece a un rectángulo en Rn que tiene como “base” un rectángulo de dimensiónn₋1, cuyos lados miden

2M√nL N,

(19)

Ejercicios 101

y cuya “altura” mide 2ε√n_NL. As´ı que este rect´angulo tiene volumen

2M√nL N n−1 2×ε√nL N =C ε Nn, dondeC no depende de εni de N.

Hemos demostrado entonces que, si S_∩B ₆=_∅, g(S) est´a contenido en un rect´angulo de volumen

Cε Nn.

Como a lo mas hayNn de esos subrectángulos, g(R_∩B) está contenido en una unión de rectángulos cuyos volumenes suman a lo más Cε. Como εes arbitrario,g(R_∩B) es de medida cero.

El teorema de Sard, entre otras cosas, nos permite generalizar el teorema de cambio de variables 6.17 al caso cuando detg0₍_x_{) = 0 en algunos puntos.} V´ease el ejercicio 4.

Ejercicios

1. Muestra que, si p <1, la funci´onfp : (0,1)→Rdada por

fp(x) = 1 xp es integrable, y calcula Z (0,1) fp.

2. Sea f : (a, b) _→ R continua tal que f(x) _≥ 0 para todo x _∈ (a, b). Muestra que f es integrable si y s´olo si

l´ım ε→0 Z [a+ε,b−ε] f existe.

3. SeaT :Rn_→Rn una transformaci´on lineal y R_⊂Rn un rect´angulo.

a) Muestra que si

T(ei) =

(

ei i6=j

λej i=j,

entonces el volumen deT(R) es_|λ_|·v(R), dondev(R) es el volumen de R. Aqu´ıe1, . . . , en es la base est´andar de Rn.

(20)

b) Muestra que si T(ei) =      ei i6=j, k ek i=j ej i=k, entonces v(T(R)) =v(R). c) Muestra que si T(ei) = ( ei i6=j ej +ek i=j, entonces v(T(R)) =v(R).

d) Concluye que v(T(R)) = _|detT_{| ·}v(R) para toda transformaci´on lineal T.

4. Utiliza el teorema de Sard para evitar la hip´otesis detg0₍_x₎ ₆_{= 0 en el} teorema 6.17.