DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD: BINOMIAL Y
NORMAL
Ejercicio nº 1.-
Extraemos tres cartas de una baraja y anotamos el número de ases.
Haz una tabla con las probabilidades y calcula la media y la desviación típica.
Solución:
Los posibles valores de xi son 0,1,2,3. La tabla de la distribución de probabilidad es la siguiente:
Calculamos la media y la desviación típica:
3 , 0 3 , 0 → = = =Σ μ μ pixi 52 , 0 52 , 0 27 , 0 09 , 0 36 , 0 2 2− = − = = → = = Σ μ σ σ pixi Ejercicio nº 2.-
Para cada una de las situaciones que se te proponen a continuación, di si se trata de una distribución binomial y, en caso afirmativo, identifica los valores de n y p:
a) Se calcula que el 51% de los niños que nacen son varones. En una población de 100 recién nacidos, nos preguntamos por el número de niñas que hay.
b) Un examen tipo test tiene 30 preguntas a las que hay que responder verdadero o falso. Para un alumno que conteste al azar, nos interesa saber el número de respuestas acertadas que tendrá.
Solución:
(
100; 0,49)
49 0, = 100, = con binomial ón distribuci una Es a) n p → B ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → = = 2 1 0, 3 2 1 30, con binomial ón distribuci una Es b) n p B Ejercicio nº 3.-Una urna contiene 5 bolas rojas, 3 blancas y 2 verdes. Extraemos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Si repetimos la experiencia 5 veces, calcula la probabilidad de sacar:
a) Alguna bola verde.
b) Menos de dos bolas verdes.
Halla el número medio de bolas verdes extraídas. Calcula también la desviación típica.
Solución:
Si llamamos x= "número de bolas verdes extraídas", se trata de una distribución binomial con
(
5; 0,2)
2 , 0 10 2 5, p B n= = = →[
0]
1[
0]
1 0,8 0,672[
0]
0,672 a) > = − = = − 5 = → > = x p x p x p[
2] [
0] [
1]
0,8 5 0,2 0,8 0,737[
2]
0,737 b) px < =px= +px = = 5+ ⋅ ⋅ 4 = →px< =Hallamos la media y la desviación típica:
1 medio) término por verde bola 1 2 , 0 5⋅ = ( → = = =np μ μ 89 , 0 89 , 0 8 , 0 2 , 0 5⋅ ⋅ = → = = = σ σ npq Ejercicio nº 4.-
La función de densidad de una variable continua, x, viene dada por:
( )
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x x x f x x x < ≤ ≤ = < ≤ > 0 si 0 si 0 2 4 1 si 2 3 2 0 si 3 a) Represéntala gráficamente.[
]
[
]
P x < P ≤x ≤ b) Calcula 2 y 2 4 . Solución: a) La gráfica es la siguiente:b) El area bajo la curva es 1.
[
]
• <2 es el área de un triángulo de base 2 y altura es . Por tanto:1 2 P x
[
<]
=[
≤ ≤]
= ⋅ = →[
<]
= 1 2 1 1 2 2 0 2 2 2 2 2 P x P x P x[
]
• 2≤ ≤4 es el área de un rectángulo de base 1 y altura . Por tanto: 1 2 P x
[
2≤ ≤4]
=[
2≤ ≤3]
= ⋅ =1 1 1 →[
2≤ ≤4]
= 1 2 2 2 P x P x P x Ejercicio nº 5.-Halla las siguientes probabilidades en una distribución N(0, 1):
[
1,73]
a) pz< −[
0,62 1,34]
b) p <z<[
1,2 1,2]
c) p− <z< Solución:[
1,73] [
1,73]
1[
1,73]
1 0,9582 0,0418 a) pz< − =pz> = − pz < = − =[
0,62 1,34] [
1,34] [
0,62]
0,9099 0,7324 0,1775 b) p <z< =pz< −pz< = − =[
1,2 1,2]
2(
[
1,2]
0,5) (
2 0,8849 0,5)
0,7698 c) p− <z< = pz< − = − = Ejercicio nº 6.-La edad de un determinado grupo de personas sigue una distribución N(35, 10). Calcula la probabilidad de que una persona de ese grupo, elegido al azar, tenga:
a) Más de 40 años. b) Entre 23 y 47 años. Solución:
[
]
=[
>]
= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − > − = > 0,5 10 35 40 10 35 40 a) px p x pz[
0,5]
1 0,6915 0,3085 1− ≤ = − = = pz[
]
=[
− < <]
= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − < − < − = < < = 1,2 1,2 10 35 47 10 35 10 35 23 47 23 b) p x p x p z(
0,8849 0,5)
0,7698 2 − = = Ejercicio nº 7.-En una distribución N(25, 6), halla el valor de k en cada caso:
[
]
0,8315 a) px< k =[
]
0,0062 b) px>k = Solución:[
]
0,8315 6 25 6 25 6 25 a) = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ < − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − < − = <k p x k p z k x p 76 , 30 25 6 96 , 0 96 , 0 6 25= ⇒ = ⋅ + → = − ⇒ k k k[
]
= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ > − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − > − = > 6 25 6 25 6 25 b) px k p x k p z k ⇒ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ≤ ⇒ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ≤ − = 0,9938 6 25 0062 , 0 6 25 1 p z k p z k 40 25 6 5 , 2 5 , 2 6 25 = → + ⋅ = ⇒ = − ⇒ k k k Ejercicio nº 8.-Un examen de 100 preguntas admite como respuesta en cada una de ellas dos
posibilidades, verdadero o falso. Si un alumno contesta al azar, calcula la probabilidad de que acierte más de 60 respuestas.
Solución: , p n x x 2 1 100, con binomial una es entonces , acertadas" respuestas de número " llamamos Si = = =
en la que tenemos que calcular:
[
x]
x np npq ).p >60 (Lamediade es =50.Sudesviacióntípicaes =5
La calculamos aproximando con una normal:
(
50,5)
es( )
0,1 es ' 2 1 , 100 es B x N z N x ⎟ → → ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛[
] [
]
=[
≥]
= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ≥ − = ≥ = > 2,1 5 50 5 , 60 5 , 60 ' 60 px p z pz x p[
2,1]
1 0,9821 0,0179[
60]
0,01791− < = − = → > =
= pz px
Ejercicio nº 9.-
Lanzamos tres dados y anotamos el número de cincos que obtenemos. a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad?
b) Calcula la media y la desviación típica.
Solución:
a) Los posibles valores de xi son 0, 1, 2, 3. La tabla de la distribución de probabilidad es la siguiente: 5 , 0 5 , 0 2 1 216 108 b)μ=Σpixi = = = → μ= 65 , 0 65 , 0 12 5 4 1 3 2 4 1 216 144 2 2− = − = − = = → = = Σ μ σ σ pi xi Ejercicio nº 10.-
En cada una de estas situaciones, explica si se trata de una distribución binomial. En caso afirmativo, di cuáles son los valores de n y p:
a) El 3% de las chinchetas que se hacen en una determinada fábrica salen defectuosas. Se empaquetan en cajas de 20 chinchetas. Estamos interesados en el número de chinchetas defectuosas de una caja elegida al azar.
b) En una urna hay 2 bolas rojas, 3 blancas y 2 verdes. Extraemos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Repetimos la experiencia 10 veces y estamos
interesados en saber el número de bolas de cada color que hemos obtenido.
Solución:
(
20; 003)
0,03 20, con binomial ón distribuci una Es a) n = p= → B ,b) No se trata de una binomial, ya que tenemos más de dos resultados posibles: rojo, blanco, verde.
Ejercicio nº 11.-
Lanzamos un dado siete veces y vamos anotando los resultados. Calcula la probabilidad de obtener:
a) Algún tres.
b) Más de cinco treses.
Halla el número medio de treses obtenidos y la desviación típica.
Solución:
Si hallamos x= "número de treses obtenidos", se trata de una distribución binomial con n= 7, ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → = 6 1 , 7 6 1 B p
[
]
[
]
0,721[
0]
0,721 6 5 1 0 1 0 a) 7 = > → = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = − = > px px x p[
>5] [
= =6] [
+ =7]
= b) px px px[
5]
0,000129 000129 , 0 6 1 6 36 6 1 6 5 7 6 1 7 7 6 5 6 1 6 7 5 7 7 7 7 6 = > → = = = + ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = pxHallamos la media y la desviación típica:
17 , 1 17 , 1 6 7 6 1 7⋅ = ≈ → ≈ = = μ μ np 986 , 0 986 , 0 36 35 6 5 6 1 7⋅ ⋅ = = → = = = σ σ npq Ejercicio nº 12.-
Una varible continua tiene como función de densidad:
( )
⎧⎪⎨(
)
[
]
⎪⎩ x x f x − ∈ = 4 si 0, 4 8 0 resto a) Representa gráficamente f(x).[
]
[
]
P x > P ≤x ≤ b) Calcula 2 y 1 2 . Solución: a) La gráfica es la siguiente:b) El área bajo la curva es 1.
[
]
• >2 es el área de un triángulo de base 2 y altura es 1. Por tanto: 4
[
>]
=[
≤ ≤]
= ⋅ = →[
>]
= 1 2 1 1 4 2 2 4 2 2 4 4 P x P x P x•Entre 1 y 2 tenemos un trapecio de bases 3 y 1 y altura 1. Por tanto:
8 4
[
]
[
]
⎛ + ⎞⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≤ ≤ = = = → ≤ ≤ = 3 1 5 1 5 5 8 4 8 1 2 1 2 2 2 16 16 P x P x Ejercicio nº 13.-Calcula, en una distribución N(0, 1), las siguientes probabilidades:
[
2,3]
a) pz<−[
0,12 3]
b) p <z<[
1,8 0,15]
c) p− <z< Solución:[
2,3] [
2,3]
1[
2,3]
1 0,9893 0,0107 a) pz< − =pz> = − pz = − =[
0,12 3] [
3] [
0,12]
0,9987 0,5478 0,4509 b) p <z< =pz< − pz< = − =[
−1,8< <0,15] [
= <0,15] [
− < −1,8] [
= <0,15] [
− >1,8]
= c) p z pz pz pz pz[
<0,15]
−(
1−[
≤1,8]
)
=0,5596−(
1−0,9641)
=0,5237 =pz pz Ejercicio nº 14.-Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribución N(950, 200). Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio: a) Superen los 1200 euros.
Solución:
[
>]
= ⎡⎢⎣ − > − ⎥⎦⎤=[
>1,25]
= 200 950 1200 200 950 1200 a) px p x pz[
1,25]
1 0,8944 0,1056 1− ≤ = − = = pz[
< <]
= ⎢⎣⎡ − < − < − ⎥⎦⎤= 200 950 1000 200 950 200 950 700 1000 700 b) p x p x[
− < <] [
= <] [
− <−]
= =p 1 z 0,25 pz 0,25 pz 1[
<] [
− >] [
= <]
−(
−[
≤]
)
= =pz 0,25 pz 1 pz 0,25 1 pz 1(
1 0,8413)
0,44 5987 , 0 − − = = Ejercicio nº 15.-Halla el valor de k en cada caso, sabiendo que z sigue una distribución N(0, 1):
[
]
0,9319 a) pz <k =[
]
0,8472 b) p−k <z < k = Solución:(
1,49)
0,9319 1,49 a) φ = → k =[
]
2(
[
]
0,5)
2(
φ( )
0,5)
0,847 b) p−k < z< k = pz<k − = k − =( )
=0,9236 ⇒ =1,43 ⇒ φk k Ejercicio nº 16.-El 7% de los pantalones de una determinada marca salen con algún defecto. Se empaquetan en caja de 80 para distribuirlos por diferentes tiendas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja haya más de 10 pantalones defectuosos?
Solución:
Si llamamos x= "número de pantalones defectuosos en una caja", entonces x es una
[
10]
. calcular que hay que la en , 07 , 0 ; 80 con binomial n= p= px >La calculamos aproximando con una normal:
. , npq ; , , np x es 80 007 56 sudesviacióntípicaes 2 28 de media La = = =
