CÓNICAS 1º BACHILLERATO
1) Halla La ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a P(1,2) es doble que su distancia a Q(-1,8).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 255 60 10 3 3 256 64 4 4 8 4 4 4 1 2 64 16 1 2 4 4 4 1 2 8 1 2 2 1 , 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − + + + − + + + = + − + + − → + − + + + ⋅ = + − + + − → → − + + ⋅ = − + − → ⋅ = y x y x y y x x y y x x y y x x y y x x y x y x Q R d P R d2) Encuentra la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices A(-1,8); B(-3,6); C(-1,4). Calcula el centro y el radio de dicha circunferencia.
(
)
(
)
(
2)
2 7 0 10 2 2 10 0 2 0 2 2 2 , 2 7 , 2 2 6 8 , 2 3 1 . tan . min det = + − − ≡ → = → = + ⋅ − − ⋅ − → = + − − ≡ − − = − = − − + → ≡ → → y x m C C C y x m m de normal vector es AB M AB de medio punto M m AB de Mediatriz s mediatrice tres las de dos Calculamos triángulo ese de s mediatrice las cor se donde punto el es centro El triángulo ese a ta circunscri la es buscada ncia circunfere La triángulo un an er C B A(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1)
(
6)
4 2 2 0 , tan 6 , 1 1 12 10 2 6 24 4 10 2 2 14 2 2 10 2 2 sec ) ( 0 14 2 2 14 0 5 2 2 2 0 2 2 2 , 2 5 , 2 2 4 6 , 2 3 1 2 2 2 2 1 2 = − + + ≡ = + = = − → − = → − = → = → − = − − = + → − = − = + = + − ≡ → = → = + ⋅ − − ⋅ → = + − ≡ − = − = − − + → ≡ → y x ncia Circunfere A Ce d r puntos los de cualquiera a centro del cia dis la es radio El Ce y x y y e e y x y x y x s mediatrice dos estas de ción irter la es Ce centro El y x n C C C y x n n de normal vector es BC N BC de medio punto N n BC de Mediatriz3) Comprueba que las siguientes circunferencias son concéntricas y calcula el área de la corona circular que determinan:C1 ≡ x2 +y2 +2x−4y−31=0; C2 ≡2x2+2y2+4x−8y=8
(
)
( )
1
2
31
1
4
36
6
31
2
,
1
2
;
1
;
2
4
;
2
2
0
31
4
2
2 2 2 2 2 2 1=
→
=
+
+
=
→
−
+
−
=
−
→
−
→
=
−
=
→
−
=
−
−
=
→
=
−
−
+
+
≡
r
r
r
C
b
a
b
a
y
x
y
x
C
(
)
( )
1 2 4 1 4 9 3 4 2 , 1 2 ; 1 ; 2 4 ; 2 2 0 4 4 2 8 8 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = → = + + = → − + − = − → − → = − = → − = − − = = − − + + ≡ → = − + + ≡ r r r C b a b a y x y x C y x y x CÁrea
=
π
⋅
R
2−
π
⋅
r
2=
π
⋅
(
R
2−
r
2)
=
π
⋅
(
39
−
9
)
=
27
π
u
2(
)
2(
)
2 2 x a− + y b− =r 2 2 x +y +Ax By+ +C=0 2 2 2 A 2a B 2b C a b r = − = − = + −4) Ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,2) y B(3,−6) y tiene su centro en la recta s ≡ x−y+2=0
(
)
(
)
(
)
(
6, 4)
6 ; 4 0 10 4 2 2 0 10 4 0 2 0 20 8 2 0 2 sec int 0 20 8 2 20 0 2 8 2 2 0 8 2 8 , 2 2 , 2 2 6 2 , 2 3 1 − − → − = − = → = − − − → − = → = − − = + − → = − − = + − = − − ≡ → − = → = + − ⋅ − ⋅ → = + − ≡ − = − = + − → ≡ → C x y y y y x y x y x y x y x rectas las de ción er la es centro El y x m C C C y x m m de normal vector es AB M AB de medio punto M m AB de Mediatriz AB de mediatriz la en está centro El(
6, 4) ( )
, 1,2)(
1 6)
(
2 4)
85(
6)
(
4)
85 ( − − = + 2+ + 2 = → ≡ + 2+ + 2 = =d C x y r5) Ecuación de la circunferencia que tiene su centro en C(-1,3) y es tangente a la recta 0 1 2 + = − ≡ x y s .
6) Ecuación de la circunferencia que tiene su centro en C(-5,8) y es tangente al eje de abscisas.
7) Calcula la distancia del centro de la circunferencia C ≡ x2+ y2−2y−1=0 a la recta 0
3
2 − + =
≡ x y
s . ¿Cuál es la posición de s respecto de la circunferencia
8) Los vértices de la elipse son A(11,0); A′(−11,0); B(0, 21); B′(0,− 21). Determina la ecuación de la elipse, la excentricidad y los focos.
( )
(
)
(
)
(
)
5 36 3 1 5 6 2 1 1 3 2 1 ) , ( 2 2 2 2 = − + + ≡ → = − + + ⋅ − − = = y x C s C d r(
5)
(
8)
64 ) 0 ( 8 1 0 8 ) , ( 8 2 2 2 2 = − + + ≡ = ≡ = + = = = y x C y OX eje ejeOX C d r fórmula la Mediante r que deduce se figura la de te Directamen( )
(
C s)
( )
larecta es exterior a lacircunferencia d r r r C b a b a y y x C → < = + + − ⋅ + ⋅ = = → = + = → − + = − → → = = → − = − − = → = − − + ≡ 2 5 2 1 2 3 1 1 0 2 , 2 2 1 1 1 0 1 1 , 0 1 ; 0 ; 2 2 ; 2 0 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2(
)
(
)
(
)
(
)
1
21
121
:
0
,
10
´
;
0
,
10
11
10
;
10
21
121
;
21
21
,
0
;
11
0
,
11
2 2 2 2 2 2=
+
−
′
→
=
=
→
=
→
+
=
→
+
=
=
→
=
→
y
x
Ecuación
F
F
a
c
e
c
c
c
b
a
b
B
a
A
9) Si se sabe que B(0,6) y B′(0,−6) son vértices de una elipse y que la distancia focal es 16, calcula la ecuación de la elipse y todos sus elementos.
10) Ecuación de la elipse sabiendo que pasa por el punto P(8,-3) y que su eje mayor es igual al doble del menor.
11) Ecuación de la elipse cuyo eje mayor, que está sobre el eje OY, vale 2 y la excentricidad 0,5 El eje mayor está sobre el eje OY es elipse invertida
12) Ecuación de la elipse de focos F(1,1) y F′(1,-1) y cuya constante es igual a 4.
Por la posición de los focos se deduce que la elipse está invertida y no centrada.
La distancia entre los focos es 2c y el punto medio del eje focal es el centro de la elipse
13) De una elipse cuyo centro es C (1,2) se conocen los vértices B(1,5) y A(6,2). Determina el resto de los elementos y su ecuación.
Por la posición de C, A y B se deducen los valores de a y b
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
1
36
100
:
0
,
8
´
;
0
,
8
;
0
,
10
;
0
,
10
10
8
10
64
36
8
16
2
;
6
6
,
0
2 2 2 2 2 2=
+
−
′
−
′
→
=
=
→
=
→
+
=
→
+
=
=
→
=
=
→
y
x
Ecuación
F
F
A
A
a
c
e
a
a
c
b
a
c
c
b
B
(
)
1
25
100
:
10
5
25
1
25
1
9
16
1
9
4
64
2
1
9
64
3
,
8
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2=
+
=
→
=
→
=
→
=
→
=
+
→
=
+
→
=
=
+
→
−
y
x
Ecuación
a
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
a
P
(
)
1
1
75
,
0
:
75
,
0
25
,
0
1
5
,
0
1
5
,
0
1
5
,
0
1
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2=
+
→
=
−
=
→
+
=
→
+
=
=
→
=
→
=
=
→
=
y
x
Ecuación
b
b
c
b
a
c
c
a
c
e
a
a
+ = 2 2 2 2 x y 1 b a(
)
1
4
3
1
:
3
1
4
2
4
2
)
0
,
1
(
1
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2=
+
−
=
→
+
=
→
+
=
→
=
→
=
=
→
=
y
x
Ecuación
b
b
c
b
a
a
a
C
c
c
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
1
9
2
25
1
:
1
,
1
3
2
,
1
)
2
,
4
(
2
,
5
1
2
,
3
2
,
4
1
;
2
,
5
2
,
4
1
4
16
9
25
3
;
5
2 2 2=
−
+
−
−
=
−
′
−
=
−
′
−
=
−
′
=
+
=
→
=
−
=
→
=
=
y
x
Ecuación
B
A
F
F
c
c
b
a
14) Determina la ecuación de la elipse de focos F(1,1) y F′(9,1) conociendo además que el punto B(5,-2) es uno de sus vértices.
Por la posición de los focos se deduce que la elipse no está centrada.
La distancia entre los focos es 2c y el punto medio del eje focal es el centro de la elipse.
La posición del vértice B permite calcular b como la distancia de B al centro de la elipse
15) Calcula todos los elementos de la elipse E ≡12x2+36y2 =432
16) Halla todos los elementos de la hipérbola H ≡3x2−9y2 =27
17) Los focos de la hipérbola son F(10,0) y F′(−10,0) y el semieje real mide 8, determina su ecuación y todos sus elementos.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
9
1
25
5
:
1
,
0
1
,
10
5
25
25
16
9
3
1
,
5
2
1
1
,
2
9
1
4
8
2
2 2 2 2 2 2=
−
+
−
′
→
=
→
=
→
=
+
=
+
=
→
=
=
+
+
=
→
=
y
x
Ecuación
A
A
a
a
c
b
a
b
C
c
c
(
6
,
0
)
;
(
6
,
0
)
;
(
0
,
12
) (
;
0
,
12
) (
;
24
,
0
) (
;
24
;
0
)
3
6
6
24
34
24
12
36
12
6
1
12
36
1
36
432
12
432
1
432
36
432
12
432
36
12
2 2 2 2 2 2 2 2 2−
′
−
′
−
′
=
=
→
=
→
=
−
=
→
=
=
=
+
→
=
+
→
=
+
→
=
+
≡
F
F
B
B
A
A
e
c
c
b
a
y
x
y
x
y
x
y
x
E
(
)
A
(
)
B
(
) (
B
) (
F
) (
F
)
Asíntotas
y
x
A
e
c
c
b
a
y
x
y
x
y
x
y
x
H
3
3
0
;
12
;
0
,
12
;
3
,
0
;
3
,
0
;
0
,
3
;
0
,
3
3
3
2
3
12
12
12
3
9
3
3
1
3
9
1
9
27
3
27
1
27
9
27
3
27
9
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2±
=
≡
−
′
−
′
−
′
=
=
→
=
→
=
+
=
→
=
=
=
−
→
=
−
→
=
−
→
=
−
≡
(
)
(
)
A
(
)
B
(
)
B
(
)
Asíntotas
y
x
y
x
A
y
x
Ecuación
c
b
b
a
real
semieje
c
F
75
,
0
8
6
;
6
,
0
;
6
,
0
;
0
,
8
;
0
,
8
1
36
.
64
8
10
6
36
64
100
8
;
10
0
,
10
2 2 2±
=
→
±
=
≡
−
′
−
′
=
−
→
=
→
=
→
=
−
=
→
=
=
→
18) Ecuación de la hipérbola de asíntotas y=±3x y que pasa por el punto P(2,1)
19) Ecuaciones de la hipérbola equilátera cuyos focos son F(5,0) y F′(−5,0). Escribe las dos ecuaciones: referida a los ejes y referida a sus asíntotas.
20) Calcula las ecuaciones de las parábolas y todos sus elementos, en los siguientes casos: a) Su foco es F(0,4) y su directriz es la recta de ecuación d ≡ y =−2
b) De foco F(5,0) y de directriz d ≡x =−5 c) De vértice V(1,3) y directriz d ≡ y =1 d) De vértice V(2,1) y foco F(3,1)
(
)
1
35
9
35
:
3
35
9
35
35
9
35
3
9
35
3
1
9
1
36
3
1
9
1
4
3
1
1
4
1
,
2
3
3
2 2 2 2 2 2 2 2=
−
=
=
=
⋅
=
→
=
=
→
=
−
=
→
=
−
=
→
=
−
→
=
→
±
=
y
x
Ecuación
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
a
b
b
a
P
a
b
x
y
asíntotas
(
)
4
25
4
25
2
2
25
2
25
2
25
;
5
0
,
5
2 2 2 2 2 2 2 2=
⋅
→
=
=
=
−
→
=
→
=
→
+
=
→
=
=
→
y
x
asíntotas
las
a
referida
hipérbola
la
de
Ecuación
a
K
y
x
ejes
los
a
referida
hipérbola
la
de
Ecuación
a
a
a
a
c
b
a
equilátera
ser
por
c
F
(
)
(
0
)
12
(
1
)
0
6
tan
1
,
0
2−
=
−
→
=
≡
→
=
→
→
y
x
ecuación
x
e
vértice
al
y
foco
al
contiene
que
recta
la
es
eje
El
p
directriz
la
y
foco
el
entre
cia
dis
la
es
p
V
directriz
la
y
foco
el
entre
medio
punto
el
es
vértice
El
(
)
x
y
ecuación
y
e
vértice
al
y
foco
al
contiene
que
recta
eje
El
p
directriz
la
y
foco
el
entre
cia
dis
p
V
directriz
la
y
foco
el
entre
medio
punto
vértice
El
20
0
)
(
10
)
tan
(
0
,
0
)
(
2=
→
=
≡
→
=
→
→
(
)
(
1
)
8
(
3
)
1
)
(
5
,
1
2
tan
4
2
2
2
tan
2−
=
−
→
=
≡
→
→
=
→
=
→
y
x
ecuación
x
e
vértice
al
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foco
al
contiene
que
recta
eje
El
F
p
es
foco
el
y
vértice
el
entre
cia
dis
La
p
p
p
es
directriz
la
y
vértice
el
entre
cia
dis
La
(
1
)
4
(
2
)
1
)
(
1
2
tan
2
1
2
2
tan
2−
=
−
→
=
≡
→
=
≡
→
=
→
=
→
x
y
ecuación
y
e
vértice
al
y
foco
al
contiene
que
recta
eje
El
x
d
p
es
directriz
la
y
vértice
el
entre
cia
dis
La
p
p
p
es
foco
el
y
vértice
el
entre
cia
dis
La
21) La parábola y2 −4y−6x−5=0 tiene por foco el punto (0,2). Encuentra su directriz.
22) Describe las cónicas siguientes y obtén todos sus elementos:
a)
(
)
(
)
1 9 2 25 32 2 = + + − y x b)(
)
(
)
1 25 2 9 32 2 = + + − y x c)(
)
(
)
1 4 2 16 3 2 2 = + − − y x d) xy =1(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
3 4; 2) (
7, 2)
; ´(
3 4, 2) (
1, 2)
5 , 3 3 2 , 3 ´ ; 1 , 3 3 2 , 3 2 , 2 2 , 5 3 ´ ; 2 , 8 2 , 5 3 5 4 4 16 9 25 3 ; 5 2 , 3 1 9 2 25 3 2 2 − − = − − − = − + − = − − = + − − − = − − − = − + = → = = − = → = = − = + + − F F B B A A e c b a C en centro con ELIPSE y x(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
3; 2 4) (
3, 2)
; ´(
3, 2 4) (
3, 6)
2 , 0 2 , 3 3 ´ ; 2 6 2 , 3 3 7 , 3 5 2 , 3 ´ ; 3 , 3 5 2 , 3 5 4 4 16 9 25 3 ; 5 2 , 3 1 25 2 9 3 2 2 − = − − = + − − = − − − = − + − = − − = + − = → = = − = → = = − = + + − F F B B A A e c b a C en centro con invertida ELIPSE y x(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
3)
2 0,5(
3)
4 2 2 2 , 5 2 3 ´ ; 2 ; 5 2 3 4 , 3 2 2 , 3 ´ ; 0 , 3 2 2 , 3 2 , 1 2 , 4 3 ´ ; 2 , 7 2 , 4 3 2 5 4 5 2 5 2 20 4 16 2 ; 4 2 , 3 1 4 2 16 3 2 2 − ± = + → − ± = + ≡ − − − + − = − − = + − − − = − − − = − + = = → = = + = → = = − = + − − x y x y asíntotas F F B B A A e c b a C en centro con HIPÉRBOLA y x(
) (
A) (
B) (
B)
F(
)
F(
)
asíntotas y x A b a c b a ejes los a referida ecuación y x a a a k asíntotas las a referida EQUILÁTERA HIPÉRBOLA xy ± = ≡ − − − = = + = → = = → = − = → = → = → = 0 , 2 ´ ; 0 ; 2 2 , 0 ´ ; 2 , 0 0 , 2 ´ ; 0 , 2 2 4 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2(
)
(
)
(
)
+ = − − = ≡ → − − = ≡ → = − → − = − = = = → − = + = = → − = + − = − − = − → = − − − = + + − − = + + − − → − = + − → − = − 2 3 6 2 3 2 3 2 3 2 tan 2 3 2 2 , 2 3 2 3 6 9 3 2 5 6 4 3 2 5 2 6 2 4 2 0 5 6 4 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y es parábola la de ecuación La x d x d vértice del p cia dis una a está directriz La p V h p k h p k ph k p k x y y ph k px ky y ph k px ky y ph px k ky y h x p k ye) x2 +100y2 =100 f) x2 =10y g)
(
y−1)
2 =10(
x+2)
h) y2 −4y−5x+9=0(
)
(
)
(
)
(
2)
5(
1)
2 ; 2 , 4 9 2 , 4 5 1 2 tan 4 1 4 5 1 2 tan 4 5 2 2 , 1 1 2 5 2 9 5 4 2 5 2 9 2 5 2 4 2 0 9 5 4 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − = ≡ = + → − = ≡ → − = ≡ → = → = = = → = + = = → = + − = − − = − → = + − − = + + − − = + + − − → − = + − → − = − x y es parábola la de ecuación La y eje F vértice del p cia dis una a está foco El x d x d vértice del p cia dis una a está directriz La p V h p k h p k ph k p k x y y ph k px ky y ph k px ky y ph px k ky y h x p k y23) Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la recta r ≡ x+3=0 y del punto A(3,0)
Se trata de la definición de una parábola de foco el punto A y directriz la recta r
