Al integrar cada miembro de esta ecuación se obtiene la fórmula de integración por partes:

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(1)

Integración por partes

Supón que tenemos dos funciones u x( ) y v x( ) continuamente diferenciables definidas en un intervalo abiertoI . De acuerdo con la regla de la diferencial del producto tenemos que:

( )

d uv =vdu+udv O equivalentemente:

( )

udv=d uvvdu

Al integrar cada miembro de esta ecuación se obtiene la fórmula de integración por partes:

Fórmula de integración por partes

udv=uvvdu

La fórmula anterior es útil cuando

udv no es una integral sencilla, pero las integrales

dv y

vdu si lo son. Para el caso de integrales definidas tenemos el siguiente teorema.

Teorema:

Si y=u x( ) y y=v x( ) son funciones continuamente diferenciables definidas en un intervalo abierto I , entonces para todo a b, ∈I tenemos

( )

( ) ( )

' ( ) ( ) ' b b b a a a u v x dx=u x v xv x u x dx

Ejemplos Ejemplo 1.

Usa el método de integración por partes para calcular la integral

( )

ln x x dx

Solución:

Como uno de los factores es ln

( )

x , es conveniente elegir

( )

ln u= x ; dv=xdx. Entonces 1 du dx x = ; 2 1 2 x v=

xdx= +C

(2)

Utilizando la fórmula de integración por partes, obtenemos: N N N N 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2

ln( ) ln( ) usando integral por partes,

2 2 ln( ) ln( ) ln( ) desarrollando, 2 4 ln( ) simplificando. 2 4 dv u u du v v x x dx x xdx x C C x x x x C x C x C x x x C ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = + + ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ = + − − + = − + ⌠ ⌠ ⎮ ⎮ ⌡

Observa que la constante C1 no aparece en la respuesta final porque se

elimina en el proceso. Este resultado es verdadero en general y no es necesario escribir la constante de integración al integral dv.

Ejemplo 2. Calcula la integral 2 x x e dx

Solución:

De acuerdo con la tabla 1, elegimos

2 u=x y dv=e dxx . Entonces 2 du= xdx y x x v=

e dx=e Usando la fórmula de integración por partes, obtenemos:

2 2 2 x x x x e dx=x exe dx

. La integral x xe dx

es más sencilla que la integral original, pero no es directa. Por lo que integraremos por partes una segunda vez. Ahora

u=x y x dv=e dx, entonces du=dx y x x v=

e dx=e . Tenemos que x x x x x xe dx=xee dx xe= −e

(3)

2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x e dx=x exe dx=x exee=x exe + e +C

Ejemplo 3. Calcula la integral 2 3 x x e dx

Solución:

En este ejemplo tomaremos

2 u=x & x2 dv=xe dx. Entonces 2 du= xdx & x2 v=

xe dx

Para calcular v utilizamos el método de cambio de variable. Sea 2

z=x por lo que dz=2xdx y 2 1 1 2 2 2 2 x z dz z x v= xe dx=⌠⎮e = e = e

Utilizando la fórmula de integración por partes, obtenemos:

2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x e e e e x e dx=x ⎜⎛ ⎟⎞− x dx=x ⎛⎜ ⎞⎟− +C ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⌠ ⎮ ⌡

Ejemplo 4.

Determina una expresión para

cos( ) x

e x dx

Solución:

En este ejemplo es indistinta la elección de u y dv, tomemos, por ejemplo: x

u=e y dv=cos( )x dx. Entonces

x

du=e dx y dv=

cos( )x dx=sen( )x Integrando por partes tenemos:

cos( ) sen( ) sen( )

x x x

e x dx=e xe x dx

Esta última integral la calcularemos usando nuevamente integración por partes. Sean ahora

(4)

x u=e y dv=sen( )x dx. Entonces x du=e dx y dv=

sen( )x dx= −cos( )x Finalmente, obtenemos:

sen( ) cos( ) cos( )

x x x

e x dx= −e x + e x dx

Sustituyendo en la integral original se tiene:

cos( ) sen( ) sen( ) sen( ) cos( ) cos( )

sen( ) cos( ) cos( )

x x x x x x x x x e x dx e x e x dx e x e x e x dx e x e x e x dx ⎡ ⎤ = − = − − + = + −

Despejando la integral

excos( )x dx se obtiene

(

)

1

cos( ) sen( ) cos( ) 2

x x

e x dx= e x + x +C

Ejemplo 5.

Determina una expresión para

cos(ln( ))x dx

Solución:

Utilizamos el cambio de variable z=ln( )x , luego x=ez y dx=e dzz . Sustituyendo en la integral, tenemos:

cos(ln( ))x dx= ezcos( )z dz

Usando el resultado que obtuvimos en el ejemplo 5,

[

cos( ) sen( )

]

cos( ) 2 z z e z z e z dz= + +C

Obtenemos el resultado

[

cos(ln( )) sen(ln( ))

]

cos(ln( )) 2 x x x x dx= + +C

Ejemplo 6. Calcula la integral

( )

cos x dx

Solución:

(5)

Utilizamos el cambio de variable z= x, luego 2 x=z y dx=2zdz. Sustituyendo en la integral, tenemos:

( )

cos x dx= 2 cos( )z z dz

Considera ahora el nuevo cambio de variable cos( ) sen( ) u z dv z dz du dz v z = = = =

Finalmente, usando integración por partes obtenemos:

( )

[

]

( )

( )

cos 2 cos( ) 2 sen( ) sen( ) 2 sen( ) cos( ) 2 sen cos x dx z z dz z z z dz z z z x x x C = ⎡ ⎤ = = + ⎡ ⎤ = + +

Ejemplo 7. Calcula la integral 5 x x e dx

Solución:

Para resolver la integral necesitamos usar varias veces el método de integración por partes. Elegimos primero

5 u=x ; x dv=e dx (I) 4 5 du= x ; x v=e (II)

Al aplicar el método obtenemos

5 5 4

5

x x x

x e dx=x ex e dx

La nueva integral también se resuelve por partes. Elegimos ahora

4 5 u= x ; x dv=e dx (III) 3 20 du= x ; x v=e (IV) Así obtenemos

(

)

5 5 4 3 5 20 x x x x x e dx=x ex ex e dx

Podríamos seguir con el proceso, pero antes observa que las ecuaciones (III) son las mismas que las ecuaciones (II) y que el integrando de la nueva integral

(6)

se obtiene multiplicando las ecuaciones de la línea (IV). Además las variables u se obtienen, una tras la otra, derivando y las variables v integrando una seguida de la otra. Finalmente, los términos que interesan para la solución se obtienen multiplicando la variable u de la línea (I) con la variable v de la línea (II), después la variable u de la línea (III) con la variable v de la línea (IV) intercalando el signo y así sucesivamente. En la tabla 2 se muestra el esquema completo.

Signos alternados u y sus derivadas dv y sus antiderivadas

+ 5 x ex - 4 5x ex + 3 20x ex - 2 60x ex + 120x x e - 120 x e + 0 x e

Tabla 2. El método tabular de integración por partes. Observa que derivamos u hasta que se anule.

Siguiendo este proceso se obtiene como resultado

(

)

5 5 4 3 2 5 4 3 2 5 20 60 120 120 5 20 60 120 120 x x x x x x x x x e dx x e x e x e x e xe e C e x x x x x C = − + − + − + = − + − + − +

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