Preliminares: Número real y complejo.

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GRADO EN INGENIER´IA DE LA SALUD C ´ALCULO

BOLET´IN DE PROBLEMAS CURSO 2011-12

Preliminares: N´

umero real y complejo.

1. Demostrar que si 0< a < b, entoncesa <√ab < a+b 2 < b.

2. Demostrar que sim, n∈IN entonces (m+ 2n)

2

(m+n)2 >2 si y s´olo si

m2

n2 <2.

3. a) Siaes racional ybes irracional, ¿esa+bnecesariamente irracional?

b) Siaybson ambos irracionales, ¿esa+bnecesariamente irracional? ¿Y el rec´ıproco? 4. Demostrar que six, y∈IR, entonces:

a) Sia >0, se tiene|x| ≤a⇐⇒ −a≤x≤a. b) |x+y| ≤ |x|+|y|. c) |xy|=|x||y|. d) ||x| − |y|| ≤ |x+y|. e) ||x| − |y|| ≤ |x−y|. f) x2< y2⇐⇒ |x|<|y|.

5. Justificar cu´al de las dos condiciones siguientes es necesaria y suficiente para que dadosa, b∈IR, se tenga|a+b|=|a|+|b|.

a) a≥0 yb≥0. b) ab≥0.

6. Demostrar que six, y∈IR, entonces: a) m´ax{x, y}= x+y+|x−y|

2 .

b) m´ın{x, y}=x+y− |y−x|

2 .

7. Resolver las siguientes desigualdades: a) −5≤2x+ 6<4. b) x2−x <6. c) 3x2x2>0. d) x−1 x+ 2 ≥0. e) x3−5x2+ 4x≤0. f) 1 +x+x2+x3+· · ·+x990.

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8. Decidir qu´e relaci´on es cierta entre las que se proponen, y justificar qu´e habr´ıa que hacer en cada caso para obtener una equivalencia:

a) |x+ 2| ≤1⇒,⇐,⇔x∈(−3,−1). b) |3x−2| ≥1⇒,⇐,⇔x≤2 3 ´ox≥1. c) |5− 1 x|<1⇒,⇐,⇔x∈( 1 6, 1 4). d) |x22| ≤1,,x[3,1][1,3].

9. Encontrar los n´umerosxpara los que se cumpla: a) |x−1|+|x−2|>1.

b) |x−1|+|x+ 1|<1.

10. Representar los siguientes n´umeros complejos: a) z= 2−3i

b) z=−7i c) z=−1 +i

11. Expresar en forma polar los siguientes n´umeros complejos: a) z= 6i

b) z=−5 + 2i c) z=−4 d) z= 2−7i

12. Expresar en forma bin´omica: a) eiπ

b) e1+2iπ

c) e−1+4iπ

d) e−1+iπ4

13. Calcular tres argumentos del n´umero complejo 1 +i.

14. Hallar el m´odulo y el argumento del siguiente complejo: z= −2+2i

1−i√3.

15. Obtener las dos ra´ıces complejas de la ecuaci´on x233x+ 9 = 0 y expresarlas en forma polar.

¿Como son entre s´ı? ¿Se puede generalizar el resultado? 16. Encontrar todos los valores posibles dez1=

16−30iyz2=

3 + 4i+√3−4i. 17. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) z4z3+z2z+ 1 = 0

b) z5= (1z)5

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d) ez=−2 e) ez= 1 +√ i 2 18. Calcular: a) (4 + 3i)−1+i b) (ii)i c) ln −1 2 + √ 3 2 i !

19. Hallar la parte real de 1 + 1

1 +z2 siendoz=e

.

20. Sabiendo quez1= (3,60o),z2= (2,15o) yz3= (6,30o) calcular

z1z2

z3

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1. An´

alisis y aplicaciones de las funciones reales de una variable real.

21. Estudiar el dominio de definici´on de las siguientes funciones:

a) f(x) = ln(x2−4) b) f(x) =ex2−x2x c) f(x) =√2 senx−1 d) f(x) =ln((x 33x+ 2)(1x2)) x

22. Estudiar los l´ımites laterales def(x) = 1

(x−2)(x−1)2 enx= 1 yx= 2.

23. Hallar los siguientes l´ımites de funciones reales de variable real: a) lim x→a xnan x−a b) lim x→1 xm1 xn1 c) lim x→a (xnan)nan−1(xa) (x−a)2 d) lim h→0 (x+h)13 −x13 h e) lim x→0(cosx) ctg2x f) lim x→π 4 (tgx)tg 2x g) lim x→∞x(ln(x+ 3)−lnx) h) lim x→0 cosx−cos(2x) 1−cosx i) lim x→0 sen(3x)·sen(5x) (x−x3)2

24. Seaf : (0,1)∪(1,+∞)→IR definida comof(x) = xlnx

x21. Estudiar la continuidad def enx= 1 y

a la derecha de x= 0.

25. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: a) f(x) = 1 (x+ 1)2 b) f(x) = 1 senx2 c) f(x) =esen1x d) f(x) =ex1senπ x e) f(x) = 1 1−e1x f) f(x) = x2(2 + sen1 x) six6= 0 0 six= 0

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26. Estudiar la continuidad def,g,f◦g yg◦f si: a) f(x) =x+|x| 2 y g(x) =    x six <0 x2 six≥0 b) f(x) =    1 si|x| ≤1 0 si|x|>1 y g(x) =    2−x2 si|x| ≤2 0 si|x|>2 27. Estudiar el valor dekpara que sean continuas las funciones:

a) f(x) =      x29 x−3 six6= 3 k six= 3 b) f(x) =      x+ 1 x3+ 1 six6=−1 k six=−1

28. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las siguientes curvas en los puntos de abcisas x1=−1,x2= 0 y x3= 1.

a) y=x3

b) y=√3

x2

29. Hallar los valores de las constantesa,byc, para los cuales las gr´aficas de las funcionesf(x) =x2+ax+b y g(x) = x3−c se cortan en el punto (1,2). ¿Qu´e valores deben tomara, b y c, para que adem´as posean la misma tangente en el punto (1,2)?

30. Demostrar que la recta y=−x, es tangente a la curva dada por la ecuaci´on y=x3−6x2+ 8x. Hallar los puntos de tangencia. ¿Vuelve la curva a cortar a la tangente?

31. Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones: a) y= ( x 1 +e1/x x6= 0 0 x= 0 b) y= x2 x≤0 ln(x+ 1) x >0

32. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la funci´onf(x) en todo IR siendof(x) =x3sen1

x six6= 0 yf(0) = 0. Repetir el estudio paraf0(x).

33. a) Aplicar el Teorema de Lagrange en el intervalo [0,4] a la funci´onf(x) =√x2+ 9, calculando de

manera expl´ıcita el valor del punto intermedio.

b) Aplicar el Teorema de Cauchy a las funciones f(x) = senx y g(x) = cosx, en el intervalo [π/4,3π/4]. Hallar expl´ıcitamente el valor del punto intermedio.

34. Estudiar para qu´e valores dea, b∈IR son derivables, en el puntox0, las funciones:

a) f(x) = x2 x≤x0 ax+b x > x0 b) g(x) =    1 |x| |x|> x0 a+bx2 |x| ≤x 0 35. Dada la funci´on f(x) =    1 +|x| 1− |x| |x| 6= 1 0 |x|= 1 , estudiar

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a) Derivabilidad enx= 0 y enx= 1.

b) ¿Satisfacef las hip´otesis del Teorema de Rolle en [−1/2,1/2]? ¿Y la tesis?

36. Seanf(x) =      (x2+ax+b) sen1 x six6= 0 0 six= 0 y g(x) = senx.

a) Determinaraybpara quef sea derivable enx= 0. b) Estudiar si se verifica la igualdad lim

x→0 f0(x) g0(x) = f0(0) g0(0). c) Calcular lim x→0 f(x)

g(x). ¿Se contradicen los resultados obtenidos en los apartadosbyccon la regla de L0Hˆopital? Razonar la respuesta.

37. Estudiar el dominio y los intervalos de crecimiento de las siguientes funciones: a) f(x) =ln(sen(x)) b) f(x) =ln(x) x c) f(x) = r x−1 x+ 1

38. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funci´onf(x) =x−sen(x). Hacer un esbozo de su gr´afica y a partir de ´el, hacer otro de la gr´afica def0(x).

39. Estudiar las as´ıntotas, intervalos de crecimiento, concavidad y convexidad de la funci´on f(x) =

3 √

x31.

40. Se considera la funci´onf(x) =x2e−x1. Se pide: a) Hallar sus as´ıntotas y ramas parab´olicas.

b) Obtener los intervalos de crecimiento, concavidad y convexidad.

41. Dada la funci´onf(x) = ln x+ 3

x−3

determinar el dominio de definici´on, los intervalos de crecimiento, los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexi´on.

42. Estudiar y representar gr´aficamente las siguientes funciones: a) f(x) =ex1 b) f(x) =√3 x32x2 c) f(x) = ln x x+ 1

43. Obtener la f´ormula de McLaurin de gradonde las funciones: a) ln(1 +x)

b) √1 +x c) Sh(x) d) 1

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expresando el t´ermino complementario en la forma de Lagrange.

44. Obtener el desarrollo de Taylor de orden 2 de la funci´onf(x) = lnxx en el punto x= 1, expresando el resto en forma de Lagrange.

45. Desarrollar la funci´onf(x) =x4+ 4x3+ 3x2+ 2x+ 7 en potencias dex+ 1.

46. Obtener el desarrollo de McLaurin de segundo orden de la funci´onf(x) =    senx x six∈IR− {0} 1 six= 0 47. Sea la funci´on f(x) = ln(1 +x)−senx. Se pide:

a) Desarrollarf(x) en serie de McLaurin hasta el t´ermino de tercer grado m´as el resto de Lagrange. b) Utilizar el desarrollo anterior para calcular: lim

x→0

f(x) +x22 x3 . 48. Calcular los polinomios de McLaurin de tercer grado de las funciones

f(x) =x−senx y g(x) =x−x

2

2 −ln(1 +x) y aplicarlos para calcular lim

x→0

x−senx 2x−x22 ln(1 +x).

49. Usando desarrollos de Taylor, calcular: lim x→0

x(1−x2)−sen(ln(x+ 1)) tg(2 senx)−2x . 50. Demostrar que el error que se comete al tomar 1 como valor aproximado de √3

1.03 es inferior a 0.01 utilizando el Teorema del Valor Medio. ¿Qu´e error se obtiene usando la f´ormula de Taylor de segundo grado?

51. Seaf : (0,1)∪(1,+∞)→IR la funci´on definida porf(x) = xlnx x21

a) Definirf(0) yf(1) de modo quef sea continua enx= 0 y enx= 1. b) Estudiar la derivabilidad de la funci´on obtenida en [0,+∞).

c) Obtener, si existen, los desarrollos de Taylor, de orden 2, de la funci´onf enx= 0 y enx= 1. 52. Usando desarrollos limitados, calcular los siguientes l´ımites:

a) lim x→0 senax senbx b) limx→0 ln(1 +x)−x 1−cosx c) lim x→0( 1x− 1 ex1) d) lim x→π 2 cosx x−π2 e) lim x→1 lnx x2+x−2 f) limx→1 sen(π2x) lnx (x3+ 5)(x−1) g) lim x→0 cos(senx)−cosx x4 h) limx→1x 1 1−x

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53. Utilizando desarrollos de McLaurin, indicar el n´umero de t´erminos necesarios para calcular aproxi-madamente, y con los errores m´aximos que se indican, los siguientes n´umeros:

a) √1.1, con error menor que 10−5. b) e, con error menor que 10−9.

c) sen 1◦, con error menor que 10−5.

54. Sea y = f(x) tal que f00(x) = 1

1 +x3, ∀x >−1, siendo f(1) = 1 y f

0(1) = 2. Hallar el polinomio

de Taylor de orden 2 de f(x) enx0= 1, y obtener con dicho polinomio una aproximaci´on def(3/2),

acotando el error cometido.

55. De una funci´onf : IR−→IR se sabe que:

a) posee derivadas de cualquier orden en el intervalo (−101 ,101 ), b) f(0) = 1,f0(0) = 3 yf00(0) = 0,

c) y que parax∈[−101 ,101 ] se tiene quef000(x)∈(−101 ,−1001 ). Se pide:

a) Aproximarf( 110) mediante un polinomio de grado 2, dando una cota del error cometido. b) Estudiar si enx= 0 puede haber un extremo relativo. ¿Qu´e tipo de punto esx= 0?

56. a) Calcular lim x→0

ln(1 +x2)ln2

(1 +x) ln(1 +x3)

b) Determinaraybpara que lim x→0+

xcosx−aln(1 +x)−bxln(1 +x)

xln(1 +x) = 0

57. Seaf(x) = xx2+1x+g(x), siendog(x) una funci´on tal queg(0) = 0,g0(0) = 1,g00(0) = 4,g000(0) = 6 yg(IV)(0) = 0.

a) Calcular el desarrollo de McLaurin de orden 4 de las funcionesf(x) yg(x).

b) Calcularα, β∈IR para quef(x) y α(g(x))β sean infinit´esimos equivalentes enx= 0.

c) Indicar qu´e tipo de punto presenta la funci´onf(x) enx= 0 y representarla gr´aficamente en un entorno de dicho punto.

58. Sea la funci´on

f(x) =

cos√x−e−senx, six >0 2−cos√−x−e−senx, six0 a) Estudiar el dominio, la continuidad y la derivabilidad def(x).

b) Utilizar el polinomio de MacLaurin def(x) de grado adecuado para calcular lim x→0

f(x) x . c) ¿Quiere esto decir que lim

x→0 cos√x−e−senx x = 1 2 y limx→0 2−cos√−x−e−senx x = 1 2? Dar una explicaci´on de por qu´e esta situaci´on no contradice el apartado anterior.

59. Hallar los m´aximos y m´ınimos de las funciones: a) f(x) =x−arctg(x)

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c) f(x) =x(ln(x))2

60. Un alambre de 1 m. de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se construye un rect´angulo cuyo lado mayor mide el doble del menor, y con el otro una circunferencia. Se pide calcular las dimensiones de los objetos si la suma de las ´areas que encierran ha de ser: a) M´axima. b) M´ınima. 61. Un dep´osito cil´ındrico coronado por una b´oveda semiesf´erica debe tener un vol´umen de 1 m3. Si el

coste del m2de b´oveda es doble que el coste del m2de muro, calcular las dimensiones m´as econ´omicas

del dep´osito.

62. Se necesita conectar mediante una l´ınea de alta tensi´on una central el´ectrica situada a la orilla de un caudaloso r´ıo con una isla situada 4 Km. r´ıo abajo y a 1 Km. de la orilla. Hallar el coste m´ınimo para dicha l´ınea si el precio del Km. subacu´atico es de 100000 euros y el del Km. subterr´aneo es de 60000 euros (suponer el r´ıo recto en ese tramo).

63. Obtener el punto de la curvaxy= 1 desde el que se ve bajo un ´angulo m´aximo el segmento limitado por los puntos A(−1,0) y B(1,0).

64. Se define la distancia de un punto a una recta como el valor m´ınimo de las distancias de dicho punto a un punto variable de la recta. Calcular, haciendo uso exclusivamente de la teor´ıa de m´aximos y m´ınimos, la distancia del punto (1,2) a la rectax+ 2y= 1.

65. Se trata de hacer un embudo c´onico recortando en un c´ırculo de radio R un determinado sector circular, y uniendo luego entre s´ı los lados rectos de dicho sector. ¿Cu´al ha de ser el valor del ´angulo central del sector para que el cono as´ı obtenido tenga un vol´umen m´aximo?.

66. En un rect´angulo de 4 m. de per´ımetro se sustituyen dos de los lados opuestos por semicircunferencias exteriores. ¿Cu´al debe ser el radio de ´estas para que el ´area de la figura resultante sea m´axima (m´ınima)?.

67. Se considera la par´abola y = 3−x2 y el tri´angulo del primer cuadrante formado por los semiejes

positivos y la tangente a la par´abola en un punto P(a, b) de la misma. Hallar las coordenadas de dicho punto para que el ´area del tri´angulo sea m´ınima, justificando el resultado.

68. Se considera un cono equil´atero inscrito en una esfera de 40 cm. de radio. Trazar un plano normal al eje del cono de forma que la corona que dicho plano determina al cortar a la esfera y al cono tenga ´

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2. M´

etodos num´

ericos de c´

alculo

69. Aplicar el m´etodo de bisecci´on a la ecuaci´onx317 = 0 a fin de determinar la ra´ız c´ubica de 17 con

un error menor que 00125.

70. Aproximar, utilizando el m´etodo de bisecci´on, la ra´ız def(x) = e−xln(x) con un error menor que 0015.

71. La ecuaci´on ex3x= 0 tiene por ra´ız a r= 0061906129. Comenzando en el intervalo [0,1], realizar

seis iteraciones por el m´etodo de bisecci´on para encontrar la ra´ız aproximada. ¿Cuantos decimales significativos tiene dicha aproximaci´on?¿Cuantas iteraciones son necesarias para que la ra´ız obtenida tenga un error menor que 10−4.

72. Sabiendo que existe una ra´ız de la ecuaci´on x3+x= 6 entre 1055 y 1075, ¿cuantas iteraciones son

necesarias hasta obtener, mediante el m´etodo de bisecci´on, un intervalo de amplitud menor o igual que 10−3que contenga a la ra´ız? Calcular todas las iteraciones necesarias.

73. Queremos aproximar el valor de la ra´ız s´eptima de 127 usando que es una ra´ız dex7−127 = 0. a) Demostrar que tiene una ´unica soluci´on real.

b) Determinar un intervalo de longitud uno y extremos n´umeros enteros, que contenga la soluci´on. c) Determinar un valor de ese intervalo que usado como valor inicial, garantice la convergencia del

m´etodo de Newton-Raphson.

d) Hacer tres iteraciones partiendo delx0 obtenido en el apartado anterior.

e) Acotar el error de la anterior aproximaci´on. 74. Consid´erese la ecuaci´onx ex1 = 0. Se pide:

a) Demostrar que tiene una ´unica soluci´on real en el intervalo [−3,3].

b) Determinar un intervalo de amplitud uno y extremos n´umeros enteros que contenga a dicha soluci´on.

c) Determinar un valor de ese intervalo que, usado como valor inicial, asegure la convergencia del m´etodo de Newton-Raphson.

d) Realizar dos iteraciones del m´etodo de Newton-Raphson, con el valor inicial del apartado anterior. 75. Consid´erese la ecuaci´on cos(x)−x2+ 2 = 0. Se pide:

a) Demostrar que tiene una ´unica soluci´on real en el intervalo [0, π].

b) Determinar un intervalo de amplitud uno y extremos n´umeros enteros que contenga a dicha soluci´on.

c) Determinar un valor de ese intervalo que, usado como valor inicial, asegure la convergencia del m´etodo de Newton-Raphson.

d) Realizar dos iteraciones del m´etodo de Newton-Raphson, con el valor inicial del apartado anterior. 76. Demostrar que la ecuaci´onxe−xx2+ 1 = 0 posee dos ra´ıces reales, y separarlas en sendos intervalos

de amplitud 1 y extremos enteros. Estudiar si en esos intervalos se verifican las hip´otesis de Fourier.

77. Dada la funci´onf(x) =x−1

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a) Demostrar que la ecuaci´onf(x) = 0 posee una ´unica ra´ız real, determinando razonadamente un intervalo de amplitud π

4 que contenga tal soluci´on.

b) Aplicar la Regla de Fourier para encontrar un punto inicial en el que el m´etodo de Newton-Raphson asociado a f(x) tenga garantizada la convergencia. Dar una aproximaci´on del cero de f(x) realizando dos iteraciones seg´un dicho m´etodo, estimando el error cometido.

78. Dada la ecuaci´on senx−x+a= 0, se pide:

a) Determinar para qu´e valor de la constanteala ecuaci´on posee una ra´ız triple en el intervalo [0,2] y calcular dicha ra´ız.

b) Paraa= 1, demostrar anal´ıticamente que la ecuaci´on tiene una ´unica ra´ız, que ´esta es simple y se encuentra en el intervalo [0,2].

c) Justificar que en el intervalo [0,2] no se verifican las hip´otesis de la regla de Fourier. Obtener un intervalo de amplitud 1 en el que s´ı se verifique y dar, razonadamente, un valor de x0 para

iniciar el m´etodo de Newton que garantize la convergencia de este.

d) Sabiendo que la primera iteraci´on del m´etodo de Newton ha proporcionado la aproximaci´on x1= 1.935951 (redondeando al sexto d´ıgito), realizar una iteraci´on m´as y da una cota del error

para esta iteraci´on.

79. Dada la ecuaci´on cos(x)−x= 5,x∈[−10,10], localizar un intervalo de amplitud uno que contenga a la soluci´on de dicha ecuaci´on. ¿Cu´antas iteraciones habr´a que realizar para obtener una aproximaci´on de la soluci´on con error menor que 10−2?

80. a) Tomandoz0= 10414 como aproximaci´on dez=

2 (que tiene todas sus cifras decimales exactas), dar una aproximaci´on del valor de (√2−1)5 con todas sus cifras decimales exactas y estimar el error cometido.

b) Determinar la precisi´on (m´ınima) con la que hay que tomar √2 par calcular (√2−1)5 con tres cifras decimales exactas. Dar dicha aproximaci´on de (√2−1)5 de tres cifras decimales y todas exactas.

81. Usando aritm´etica con cuatro cifras decimales y redondeo.

a) Calcular una cota de los errores relativos que se cometen al aproximar (en esta aritm´etica) x= 3 11= 0 0272727. . . ey= 8 29 = 0 0275862069. . . b) Consideremosx−y =− 1 319 = 0 0003134796. . .yx+y =175 319 = 0 05485893417. . .Obtener unas

cotas de los errores relativos al aproximar x−y y x+y por sus n´umeros redondeado en dicha aritm´etica. Comparar con los errores anteriores.

82. De cierta funci´on f : IR → IR se conocen sus siguientes datos: f(−1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 3, f(2) = 5,f(4) =−3. Hallar el polinomio interpolador def en el soporteS ={−1,0,1,2,4}.

83. Sea h(x) un polinomio de grado cuatro. El polinomio interpolador de h para el soporte S =

{0,1,2,3,4}

es siempre un polinomio de grado cinco. puede ser un polinomio de grado tres. puede coincidir, en algunas ocasiones, conh(x). coincidir´a conh(x).

84. De cierta funci´on f : IR → IR se conocen sus siguientes datos: f(−1) = 3, f(0) = 1, f(1) = 1, f(2) =−1,f(3) = 3. Calcular el polinomio interpolador def en el soporteS={−1,0,1,2,4}.

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85. Dada la funci´on f(x) = sen(2x) +x2, hallar el polinomio interpolador de f(x) con soporte S =

{0, π/2, π,3π/2,2π}.

86. Seaf(x) una funci´on tal quef(1) = 3. Se sabe que el polinomio interpolador def(x) para soporte S ={−2,−1,0}esP(x) =x2+x+ 1. Si ahora consideramos un nuevo soporteSe={−2,−1,0,1}, el polinomio interpolador def(x) en el nuevo soporteSe

tendr´a grado tres. puede coincidir conP(x). coincidir´a conP(x). ninguna de las anteriores.

87. Hallar el polinomio interpolador para el soporteS={(−2,4),(−1,−8),(0,3),(2,1)}.

88. Se sabe que el polinomio interpolador para el soporteS={(−2,−8),(−1,4),(0,2),(1,4)} esP(x) = 3x3+2x23x+2. Si ahora consideramos un nuevo soporte

e

S={(−3,1),(−2,−8),(−1,4),(0,2),(1,4)}, entonces el polinomio interpolador para este nuevo soporteSe

tendr´a grado tres. no coincidir´a conP(x). coincidir´a conP(x). tendr´a grado cinco.

89. Obtener el polinomio interpolador P(x) de Lagrange para la funci´on f(x) = log(x) con el soporte S = {1,2,4,6,8}. Determinar la funci´on del error y acotar el error cometido al usar P(x) para aproximar el valor de log(3).

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3. C´

alculo diferencial de funciones de varias variables

90. Determinar el dominio de definici´on y el recorrido de las siguientes funciones: a) f(x, y) = ln(−x−y) b) f(x, y) =x+√y c) f(x, y) = 1 x+y d) f(x, y) = 3xy y−x2 e) f(x, y) =p1−x2y2 f) f(x, y) =pln(x2+y2) g) f(x, y) =psen(x2+y2) h) f(x, y) =p(x2+y21)(4x2y2) i) f(x, y) =√1−x2+p 1−y2 j) f(x, y) = arcsen(x+y) k) f(x, y) = ln[(x 2+x2)(1y2)] x

91. Estudiar los l´ımites reiterados y direccionales de las funciones: a) f(x, y) =x2y, en el punto (2,1).

b) f(x, y) = x

2y

x4+y2, en el punto (0,0).

Obtener, en ambos casos, el l´ımite cuando los puntos (x, y) recorren la par´abolay=x

2

4 . 92. Estudiar la continuidad en IR2 de las siguientes funciones:

a) f(x, y) =x4+y4−4x2y2 b) f(x, y) = arctgy x c) f(x, y) =      x2y x2+y2 six6=y 0 six=y d) f(x, y) = 1 ycosx 2 e) f(x, y) =      x2(y−1)4 x4+ (y1)8 sixy6= 0 0 sixy= 0

93. Calcular las derivadas de primer y segundo orden de las siguientes funciones: a) z=x2sen2y

b) z=xy

(14)

94. Estudiar en cada caso la diferenciabilidad en el origen de las funcionesf : IR2−→IR definidas por: a) f(x, y) = ( xy x2+y3 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0) b) f(x, y) =    xysen 1 x2+y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)

95. Seaf : IR2−→IR la funci´on definida porf(x, y) =f(x, y) =    xy2 x2+y4 si x6= 0 0 si x= 0

a) Demostrar que existe la derivada direccional en el origen, cualesquiera que sea la direcci´onv, y calcularla en funci´on de dicha direcci´on.

b) Probar que, a pesar de lo anterior, la funci´on no es continua en el origen. c) ¿Ser´a diferenciable en (0,0)?

96. Seaf : IR2−→IR definida por

f(x, y) =    xyx 2y2 x2+y2, si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)

Demostrar que D12f(0,0)6= D21f(0,0). ¿Este resultado contradice el teorema sobre la igualdad de

las derivadas cruzadas en un punto? Raz´onese la respuesta. 97. Dada la funci´onz= 9−x2y2, determina las ecuaciones:

a) del plano tangente a la superficie en el puntoP(−1,2,4). b) de la recta normal a la superficie en el puntoP.

c) de las rectas tangentes a la superficie enP y contenidas en los planosx=−1 ey= 2.

98. Obtener la ecuaci´on del plano tangente a la superficie z = cos(2x+y) en el punto P(π24,−√1

2).

Calcular asimismo la ecuaci´on de la recta normal a la superficie en dicho punto. 99. Probar que la funci´onf : IR2−→IR definida por

f(x, y) =    (x2+y2)senp 1 x2+y2, si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)

es diferenciable en (0,0) y sin embargo las derivadas parciales no son continuas en dicho punto.

100. Sea la funci´onf(x, y) =    xa x2+y2, si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0) , dondea∈IR,a≥0. a) Valores deapara quef(x, y) sea continua en el origen.

b) ¿Es diferenciablef(x, y) en el origen paraa= 3?

c) Paraa= 3, comprobar que Duf(0,0)6=fx(0,0)u1+fy(0,0)u2, dondeues el vector de direcci´on

dado poru= (u1, u2) = (

1 2,

3

(15)

101. Calcular, en cada caso, las siguientes derivadas direccionales:

a) De la funci´onz=f(x, y) =x2y, en la direcci´on del vectorv= (1,1).

b) Dez=f(x, y) =x3−3x2y+xy2+ 1, en el puntoP(1,2) y direcci´on del vector con origen enP y extremo enQ(4,6).

c) Dez=f(x, y) = y

x+y, en el puntoP(1,1) y direcci´on dada por θ=

−π 6 .

d) Dez=f(x, y) = sen(2x−y) enP(π/2,0) y direcci´on de la rectay= 2x+ 1 y sentido creciente de las x.

102. Sean a(4,3), u = (5,12), v = (3,4) yf : IR2 −→ IR una funci´on tal quef(a) = 2, es diferenciable en a, y sus derivadas direccionales en dicho punto en las direcciones de los vectores u y v valen Duf(a) =−2/13 y Dvf(a) = 2/5 respectivamente. Justificando las expresiones que se usen, se pide:

a) Calcular∇f(a).

b) Probar que la funci´onh: IR2−→IR dada por h(t) =f(t2, t+ 1) es derivable ent= 2 y calcular

h0(2).

c) Calcular la derivada direccional de h◦f enaseg´un la direcci´on del vector (1,1).

103. Calcular los valores deayb para que el valor de la derivada direccional m´axima dez=axy2+byx2

enP(1,2) sea 60 y se alcance en la direcci´on del ejeOX.

104. La superficie de una monta˜na viene dada por la ecuaci´on h(x, y) = 4000−x2y2. Un alpinista se

encuentra en un punto de coordenadas (x, y, z) = (20,20,3200). ¿Bajo qu´e ´angulo debe moverse para ascender lo m´as r´apido posible?

105. La elevaci´on de una monta˜na sobre el nivel del mar en el punto (x, y) viene dada por f(x, y). Un monta˜nista situado en un puntoP nota que las pendientes en direcci´on este y norte coinciden en ser de−1

4. ¿En qu´e direcci´on debe moverse para el m´as r´apido descenso? ¿Y para el m´as r´apido ascenso? 106. La elevaci´on de una monta˜na sobre el nivel del mar en (x, y) es de 3000e−x2 +2100y2. El ejeOX positivo

apunta hacia el este, mientras que elOY positivo lo hace al norte. Una monta˜nista que se encuentra situada sobre (10,10) decide moverse al norte. ¿Ascender´a o descender´a, y con qu´e pendiente? 107. Partiendo del punto P(1,−1,−10) de la superficiez =−10p|xy|, determinar la direcci´on en que se

ha de mover uno para: a) subir m´as r´apidamente. b) permanecer en el mismo nivel. c) subir con pendiente 1.

108. Dada la superficie z=y exy los puntosP(0,1) yQ(1,2), se pide:

a) Calcular la derivada direccional en el puntoP seg´un la direcci´on del vector−P Q.−→ b) Direcci´on y valor de la derivada direccional m´axima en P.

c) Plano tangente a la superficie en el punto R(0,3,3).

d) ¿Cu´anto vale la diferencial y el incremento de la funci´on para ∆x= 0.1 y ∆y=−0.1 en el punto P?

(16)

109. Calcular las derivadas parciales de primer orden de la funci´onz=f(x, y) definida impl´ıcitamente en cada caso por la expresi´on:

a) y2zex+y−sen(xyz) = 0. Sol: z0x= y 2zex+yyzcos(xyz) xycos(xyz)−y2ex+y , z 0 y =

xzcos(xyz)−yz(y+ 2)ex+y y2ex+yxycos(xyz) b) xy2z3+x3y2z=x+y+z. Sol. z0x= 1−y 2z33x2y2z 3z2xy2+x3y21, z 0 y= 1−2yxz32x3yz 3xy2z2+x3y21 c) xyz= cos(x+y+z). Sol. zx0 =−yz+ sen(x+y+z) xy+ sen(x+y+z), z 0 y=− xz+ sen(x+y+z) xy+ sen(x+y+z)

110. Calcular las derivadas parciales de primer orden (zx0, zy0) y de segundo orden (zx002, zxy00 , zy002) de la funci´on

z=f(x, y) definida impl´ıcitamente en cada caso por las siguientes funciones: a) x2+ 2xy+z2= 0.

b) x+ sen(y+z) = 0.

111. Se considera la funci´onU =h(x, y, z) =x+z

y+z, dondez=f(x, y) est´a definida impl´ıcitamente por la relaci´onzezxexyey= 0. Hallar ∂U

∂x y ∂U

∂y.

112. Dada la funci´onz=f(x, y) definida impl´ıcitamente por la relaci´onxz+yz2xy1 = 0, se pide:

a) Hallar las derivadas parciales ∂f ∂x y

∂f ∂y.

b) Calcular la derivada direccional dezen el puntoP(1,2,1) y en la direcci´on definida por el sentido creciente de la rectax=y.

c) Obtener la direcci´on y el valor de la derivada direccional m´axima enP. d) Calculardz enP, para valores dedx= 0.5,dy= 0.5.

e) Obtener la ecuaci´on del plano tangente a la superficiez=f(x, y) en el puntoP.

113. Dada la transformaci´on en el plano de coordenadas cartesianas a polares:

x=ρcosα

y=ρsenα , calcular la matriz jacobiana y hallar el determinante jacobiano

∂(x, y) ∂(ρ, α) .

114. Dadas las funciones

u=g1(x, y) =y2+ cosx

v=g2(x, y) =x+ey

, hallar los jacobianos: ∂(u, v) ∂(x, y) , ∂(x, y) ∂(u, v) .

115. Dada la funci´onz=f(x, y) = 3x2+ 2xy2y2, se pide:

a) Hallar ∆z ydzen el puntoP(1,1) para ∆x=dx= 0.1, ∆y=dy= 0.1. b) Si x=g1(u, v) =u2−ln(uv) y=g2(u, v) = cos2(u−v) , calcular ∂z ∂v y el jacobiano ∂(u, v) ∂(x, y).

(17)

116. Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 de la funci´onz=f(x, y) = ln(1 +xy) en un entorno de los puntos (2,3) y (0,0).

117. Obtener el desarrollo de MacLaurin de tercer orden de la funci´onz=f(x, y) =e2x−3y.

118. Aplicando la f´ ormula de Taylor hasta las derivadas de segundo orden, calcular aproximadamente 1.03√30.98.

119. Obtener el desarrollo de Taylor de tercer orden, en torno del punto (1,-1), de la funci´onf(x, y) = √y x. Utilizar dicho polinomio para obtener una aproximaci´on de−√0.98

1.001

120. Sea la funci´onz=f(x, y) = sen

2y

ex . Se pide:

a) Calcular el polinomio de Taylor de segundo grado def en el punto (0, π/2).

b) Aproximar la funci´on en el punto (0.1,89o) mediante el polinomio calculado anteriormente.

121. Dada la funci´on z=f(x, y) =√3x+ 1 1

seny, se pide: a) Calcular su dominio.

b) Utilizando el polinomio de Taylor de grado 2, dar un valor aproximado de

3 √

1.01− 1

sen 89o

c) Obtener la direcci´on para la cual es m´axima la derivada direccional de la funci´on f(x, y) en el puntoQ(7, π/6), y el valor de dicho m´aximo.

d) Calcular la ecuaci´on del plano tangente a dicha superficie enQ. 122. Calcular lim

(x,y)→(0,0)

xseny+ysenx xy

123. Calcular el siguiente l´ımite utilizando el desarrollo de Taylor de la funci´onf(x, y) =p1−x2y21:

lim

(x,y)→(0,0)

p

1−x2y21

x2+y2

124. Desarrollar por Taylor hasta el orden 2 y en un entorno del punto (1, π/2) la funci´on f(x, y) = xy2+ senxy.

125. Desarrollar por Taylor, hasta los t´erminos de segundo orden,f(x, y) = ln(1 +xy) en un entorno de un punto adecuado para calcular aproximadamente el valor de ln 106101.

126. Sea f : IR2−→IR la funci´on definida por f(x, y) =

( 3xy

x2+xy+y2 si (x, y)6= (0,0)

0 si (x, y) = (0,0) Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (1,0).

127. Sea f : IR2−→IR la funci´on definida por f(x, y) =    x2y x2+y2 si x6=y 0 si x=y

(18)

a) Estudiar la continuidad def en IR2. b) Estudiar la diferenciabilidad def en IR2.

c) Hallar, cuando sea posible, los polinomios de Taylor de f de orden 2 en los puntos (0,0), (1,2) y (2,2). 128. Dada la funci´onf(x, y) =      4x3 x2+y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0) a) Estudiar su continuidad en IR2.

b) Obtener las funciones ∂f(x, y) ∂x y

∂f(x, y) ∂y . c) ¿Es la funci´onf(x, y) diferenciable en el origen?

d) La ecuaci´onf(x, y)−2 = 0 define impl´ıcitamente a la funci´ony=g(x) en un entorno del punto P(1,1). Calcular el polinomio de Taylor de segundo orden deg(x) en el puntoP(1,1).

129. Sea z=f(x, y) = x

2

2p+ y2

2q, conp, q∈IR. Se pide:

a) Discutir, seg´un los valores dep,q, los puntos cr´ıticos def(x, y).

b) Deducir la relaci´on que debe existir entrepyqpara que sea 1 la derivada direccional def(x, y) en el puntoP(2,2√3) y direcci´on dada por un vector que forma un ´angulo de 60ocon el ejeOX positivo.

130. Calcular los extremos relativos de la funci´onz =f(x, y) =x3y2(6−x−y) para valores positivos de x,y.

131. Sea z=f(x, y) una funci´on de dos variables tal que: ∂f(x, y)

∂x = 2x+α−αy ,

∂f(x, y)

∂y =−αx−αy+ 22α+ 2α

2+ 27

a) Calcular el valor deαpara quef tenga un m´ınimo relativo en el puntoP(0,1).

b) Para dicho valor de α, obtener la direcci´on y el valor de la derivada direccional m´axima en el puntoQ(−1,1),

132. Sea f :D⊂IR3−→IR. Determinar el valor deα∈IR sabiendo que

∇f(x, y, z) = (−x+ 2y+z−1,2x+αy−α, x+αz+ 22α+ 2α2+ 54) y que el Hessiano asegura la existencia de un m´aximo local ena= (0,1,−1).

133. Calcular los extremos, tanto absolutos como relativos, de la funci´onf(x, y) =x2+ 3y2+x−ysobre la regi´on del plano delimitada por las rectas de ecuacionesx= 1, y= 1, yx+y= 1.

134. Calcular los extremos, tanto absolutos como relativos, de la funci´on f(x, y) = xy+x+y sobre la regi´on del plano definida por 1≤x≤2 y 2≤y≤3.

135. Obtener los extremos condicionados de la funci´on z=f(x, y) =xy2, con x+y = 6, sustituyendo y por el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange.

136. Determinar tres n´umeros positivos cuya suma sea S y su producto sea m´aximo. Utilizar para ello t´ecnicas de extremos libres y de extremos condicionados.

(19)

137. Hallar el vol´umen m´aximo de un s´olido con forma de paralelep´ıpedo que tiene tres caras sobre los planos coordenados, y un v´ertice sobre el planox+y+z= 1.

138. Hallar el punto de la esferax2+y2+z2= 5R2, (x >0, y >0, z >0), en el que la funci´onf(x, y, z) = lnx+ lny+ 3 lnz es m´axima, justificando el resultado.

139. Calcular, en la regi´on planax2+y2 ≤2 los extremos, tanto absolutos como relativos, de la funci´on z=f(x, y) = (y2+x)(1 +x).

140. Hallar los extremos de la familia de funciones fp : IR2 −→ IR, con p ∈ IR, definidas mediante fp(x, y) =x2+y2+p2+pxy.

141. Se trata de fabricar una nave de 60 m3de vol´umen, de suelo, techo y paredes rectangulares. Supuesto

que los precios por m2 son un 50% m´as caros para las paredes que para el techo y el suelo, calcular

las dimensiones de la nave de costo m´ınimo, justificando los resultados obtenidos.

142. Una empresa fabrica placas para “chips” de “PCs”. La placa consta de un rect´angulo de un material A inscrito en un c´ırculo de 1 cm. de radio. El resto del c´ırculo (no perteneciente a la placa) es de un materialB. El coste por cm2 es un 25% m´as caro para el materialB que para elA. Se pide:

a) Determinar las dimensiones de la placa de coste m´ınimo (aplicando el m´etodo de los Multipli-cadores de Lagrange).

b) Justificar la condici´on de m´ınimo de la soluci´on obtenida.

c) ¿Cu´anto vale cada placa, si el cm2 del materialAcuesta 20 euros?

143. Sea f(x, y, z) =x2+y2+bxy+az, cona, bIR y tal quex2+y2+z2= 3.

a) Determinar la relaci´on que deben cumpliraybpara que pueda existir extremo condicionado de f en (1,1,1).

b) Supuesto queb=a−2, determinar ayb para que f posea en (1,1,1): (b.1) M´aximo relativo. (b.2) M´ınimo relativo. (b.3) No posea extremo.

144. Dada la superficie z=f(x, y) =ax2+bxy, se pide

a) Determinar “a” y “b” para que el plano tangente a dicha superficie en el punto P(1,1, z0) sea

paralelo al planoz=x−y+ 7. b) En caso de quea= 1 yb=−1 se pide:

b.1) Determinar en qu´e puntos el plano tangente a la superficie es paralelo al plano de ecuaci´on z= 0.

b.2) ¿Son dichos puntos extremos?

145. Sea la funci´onf(x, y, z) = ex+ e2y 2 + e

3z 3 −3.

a) Calcular los m´aximos y los m´ınimos de f situados en el planoπ≡x+y+z= 6. b) ¿Presentaf otros extremos relativos fuera del planoπ?

146. El planox+y+ 2z= 2 intersecta al paraboloidez=x2+y2en una elipse. Encontrar los puntos en

esta elipse que:

a) est´an m´as cerca y m´as lejos del origen. b) est´an m´as altos y m´as bajos.

(20)

147. Dada la funci´onf(x, y) =x4+y4−2x2−2y2+ 4axy+ 3, siendoa∈IR. Se pide: a) Seg´un los valores dea, estudiar qu´e tipo de punto es el origen para la funci´on. b) Paraa= 1, obtener los puntos cr´ıticos de la funci´on y discutirlos.

148. Dada la funci´onf(x, y) =xy+mx +ny, siendom, n∈IR, se pide:

a) Obtenerm yn, sabiendo que el puntoP(1,2) es un punto cr´ıtico de la funci´onf(x, y). b) Para estos valores demyn, clasificar todos los puntos cr´ıticos de la funci´onf(x, y).

c) Utilizando un polinomio de Taylor de segundo grado apropiado, obtener una aproximaci´on de 1001·2002 + 2

1001+ 4 2002

d) Param= 2 yn= 4, obtener los extremos absolutos de la funci´onf(x, y) en el dominioD, dado por el tri´angulo de v´erticesA(1,1),B(1,3) yC(3,3).

(21)

4. Integraci´

on de funciones de una y varias variables

149. Calcular, usando la definici´on de integral: a) Z b a 3x dx b) Z 1 0 exdx c) Z b a (v0+gt)dt d) Z 1 0 x2dx

150. Estudiar si puede aplicarse el Teorema del valor medio del c´alculo integral a las funciones y, en caso afirmativo, obtener el valor promedio:

a) f(x) =√3x2 en [1,2]

b) g(x) =xexen [1,2].

151. Hallar λpara que el valor medio de la funci´ong(x) = 2 λ+λx

2 en [0,1] seaπ.

152. Calcular la derivada de las siguientes funciones: a) F(x) = Z ln(x2+1) 1 etdt b) F(x) = Z x3−3x x2

f(t)dt, siendof(t) una funci´on continua en IR.

153. Calcular lim x→0 Rx 0 sent 3dt x4 154. Calcular Z 1 −2 (|x|+|3x−1|)dx, y Z 4 −3 |x2−4|dx.

155. Hallar el valor dextal que Z x ln 2 dt √ et1 =− π 2.

156. Comprobar que lim x→0 1 x2 Z x 0 arctgt dt= 1 2. 157. Sea f(x) = cosx−1 x2 , six6= 0. Se pide:

a) Estudiar si se puede definirf enx= 0.

b) Hallar el polinomio de McLaurin de orden 4 def(x).

c) Hallar el polinomio de McLaurin de orden 5 de la funci´onF(x) =x−

Z x 0 cost−1 t2 dt. 158. Calcular: a) Z 3 −1 E(x)dx b) Z 3 −1 E(x2)dx

159. Calcularf(π4) yf0(π4), sabiendo que f es continua y que verifica la ecuaci´on: Z x 0 f(t)dt = −1 2 +x 2+x sen 2x+1 2 cos 2x ∀x∈IR.

(22)

160. Calcular las integrales que aparecen (voluntariamente desordenadas) en la siguiente lista. Se incluyen algunas integrales inmediatas, otras resolubles por m´etodos elementales y por descomposici´on, y otras que requieren integraci´on por partes.

1.− Z (6x+ 3)3dx 2.− Z (6 + 3x3)3dx 3.− Z 1 √ 5x−2dx 4.− Z 1 tgxdx 5.− Z x √ 1 +x2dx 6.− Z 1 √ 2x−x2dx 7.− Z 1 xlogxdx 8.− Z cos9x dx 9.− Z sen3xcos5x dx 10.− Z sen2x dx 11.− Z x3 x2+ 2dx 12.− Z x2 x2+ 2dx 13.− Z x2ex3dx 14.− Z x2cosx dx 15.− Z xcos2x dx 16.− Z x3p2−x4dx 17. Z 1 sen4xdx 18.− Z x (1 +x2)2dx 19.− Z log(x3−x)dx 20.− Z xsen3x dx 21.− Z arcsenx dx 22.− Z xarcsenx dx SOLUCIONES

Tras cada integral se indica brevemente el m´etodo seguido para resolverla, a menos que sea exactamente el mismo que en la anterior.

I1= 1 12(6 + 3x) 4 inmediata. I2= 27x(8 + 3x3+ 6 7x 6+ 1 10x 9) es necesario desarrollar. I3= 2 5 √ 5x−2 inmediata. I4= log|senx| inmediata.

I5=

p

1 +x2 inmediata.

I6= arcsen(x−1) inmediata tras formar cuadrados en el radicando.

I7= log|logx| inmediata.

I8= senx− 4 3sen 3x+6 5sen 5x4 7sen 7x+1 9sen

9x usar cos9x= (1sen2x)4cosx

I9=−

1 6cos

6x+1

8cos

8x usar sen3xcos5x= (1cos2x) cos5xsenx

I10=

1

4(2x−sen 2x) usar sen

2x= 1

2(1−cos 2x) I11=

x2

2 −log(x

2+ 2) se reduce a inmediata por divisi´on.

I12=x− √ 2 arctg√x 2 I13= 1 3e x3 inmediata.

(23)

I15=

1 8(2x

2

+ 2xsen 2x+ cos 2x) por partes tras cos2x= 1 + cos 2x 2 I16=− 1 6(2−x 4)3/2 inmediata. I17=− 1 3 cos3x sen3x+ 3 cosx senx

integraci´on por partes, junto con 1 = sen2x+ cos2x

I18=−

1

2(1 +x2) inmediata.

I19=xlog|x3−x| −3x−log|x−1|+ log|x+ 1| por partes (descomponer polinomio).

I20=x −cosx+cos 3x 3 +2 3senx+ 1 9sen

3x por partes, integrando sen3x

I21=xarcsenx+ p 1−x2 por partes. I22= 1 4 (2x2−1) arcsenx+xp1−x2

161. Obtener el ´area limitada por:

a) la gr´aficay=x3 y el eje OX, en el intervalo [2,1]. (Sol: 17/4)

b) la gr´afica y= senx y el ejeOX , en el intervalo [0,2π]. (Sol: 4) c) la recta y= 2x+ 3 y la par´abola y=x2. (Sol: 32/3)

d) las gr´aficas de y= √x e y= x2. (Sol:1/3)

162. Obtener el ´area limitada por las gr´aficas de y= senx e y= cosx en el intervalo [π4, 54π] (Sol: 2√2) 163. Hallar el ´area de la regi´on limitada por las gr´aficas dey=x2 e y=x+ 4. (Sol:125/6)

164. Calcular el ´area limitada por el ejeOX y la curvaf(x) =xe−x.

165. Sea f : IR−→IR una funci´on continua y suficientemente derivable, de la cual se sabe que: f00(x) +

f(x) = 1, y adem´as que f(0) =f0(0) = 0. Se pide:

a) Determinar el polinomio de MacLaurin de orden 8 def(x).

b) Utilizando el apartado anterior, calcular el valor dea∈IR para que las funcionesaf(x)−x2 y

senx−ln(1 +x) sean infinit´esimos equivalentes cuando x→0, esto es, para que: lim

x→0

sen(x)−ln(1 +x) af(x)−x2 = 1

c) Sea Ag el ´area de la regi´on plana que la curva g(x) =

sen3(x)

1−cos(x) delimita en el intervalo I = [0,π

2], (intervalo en donde g(x)≥0). Calcular el ´area Af de la regi´on plana que la curva f(x) delimita en dicho intervaloI, sabiendo que Af+2

3Ag= π 2.

Observaci´on: Para calcularAgmediante un cambio de variable, se sugiere el cambio 1−cos(x) =t. Para aplicar otras caminos, se recuerda que: sen2(α) + cos2(α) = 1, y sen(2α) = 2 sen(α) cos(α).

(Examen Septiembre 2007)

166. Calcular la integral doble de f(x, y) =y en la regi´on D del plano OXY dada por las desigualdades y≤x , x2≤y.

(24)

167. Idem,f(x, y) =y−x2, para D:x2≤y , y≤2−x2,0≤x.

168. Hallar el ´area de la regi´on D limitada por las curvas y= 1 , y=x+ 2, y=x2.

169. Calcular,utilizando el cambio de variables x=v, y =u−v, la integral doble Z Z

D

e(x+y)2 dx dy , siendoD la regi´on del planoOXY dada por las desigualdadesx≥0 , y≥0, x+y≤1 .

170. Calcular,utilizando el cambio de variables u=xy, v= y

x2, la integral doble

Z Z

D 1

(x2+y)3 dx dy,

Figure

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