Preliminares: Número real y complejo.

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GRADO EN INGENIER´IA DE LA SALUD C ´ALCULO

BOLET´IN DE PROBLEMAS CURSO 2011-12

Preliminares: N´

umero real y complejo.

1. Demostrar que si 0< a < b, entoncesa <√ab < a+b 2 < b.

2. Demostrar que sim, n∈IN entonces (m+ 2n)

2

(m+n)2 >2 si y s´olo si

m2

n2 <2.

3. a) Siaes racional ybes irracional, ¿esa+bnecesariamente irracional?

b) Siaybson ambos irracionales, ¿esa+bnecesariamente irracional? ¿Y el rec´ıproco? 4. Demostrar que six, y∈IR, entonces:

a) Sia >0, se tiene|x| ≤a⇐⇒ −a≤x≤a. b) |x+y| ≤ |x|+|y|. c) |xy|=|x||y|. d) ||x| − |y|| ≤ |x+y|. e) ||x| − |y|| ≤ |x−y|. f) x2< y2⇐⇒ |x|<|y|.

5. Justificar cu´al de las dos condiciones siguientes es necesaria y suficiente para que dadosa, b∈IR, se tenga|a+b|=|a|+|b|.

a) a≥0 yb≥0. b) ab≥0.

6. Demostrar que six, y∈IR, entonces: a) m´ax{x, y}= x+y+|x−y|

2 .

b) m´ın{x, y}=x+y− |y−x|

2 .

7. Resolver las siguientes desigualdades: a) −5≤2x+ 6<4. b) x2−x <6. c) 3x2₋_x₋₂_>_0. d) x−1 x+ 2 ≥0. e) x3−5x2+ 4x≤0. f) 1 +x+x2₊_x3₊_{· · ·}₊_x99_≤_0.

(2)

8. Decidir qué relación es cierta entre las que se proponen, y justificar qué habr´ıa que hacer en cada caso para obtener una equivalencia:

a) |x+ 2| ≤1⇒,⇐,⇔x∈(−3,−1). b) |3x−2| ≥1⇒,⇐,⇔x≤2 3 ´ox≥1. c) |5− 1 x|<1⇒,⇐,⇔x∈( 1 6, 1 4). d) |x2₋₂_{| ≤}₁_⇒_,_⇐_,_⇔_x_∈_[₋√_3,₋_1]_∪_[1,√_3].

9. Encontrar los n´umerosxpara los que se cumpla: a) |x−1|+|x−2|>1.

b) |x−1|+|x+ 1|<1.

10. Representar los siguientes n´umeros complejos: a) z= 2−3i

b) z=−7i c) z=−1 +i

11. Expresar en forma polar los siguientes n´umeros complejos: a) z= 6i

b) z=−5 + 2i c) z=−4 d) z= 2−7i

12. Expresar en forma bin´omica: a) eiπ

b) e1+2iπ

c) e−1+4iπ

d) e−1+iπ4

13. Calcular tres argumentos del n´umero complejo 1 +i.

14. Hallar el m´odulo y el argumento del siguiente complejo: z= −2+2i

1−i√3.

15. Obtener las dos ra´ıces complejas de la ecuaci´on x2₋₃√_3x_{+ 9 = 0 y expresarlas en forma polar.}

¿Como son entre s´ı? ¿Se puede generalizar el resultado? 16. Encontrar todos los valores posibles dez1=

√

16−30iyz2=

√

3 + 4i+√3−4i. 17. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) z4₋_z3₊_z2₋_z_{+ 1 = 0}

b) z5_{= (1}₋_z)5

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d) ez=−2 e) ez= 1 +√ i 2 18. Calcular: a) (4 + 3i)−1+i b) (ii)i c) ln −1 2 + √ 3 2 i !

19. Hallar la parte real de 1 + 1

1 +z2 siendoz=e

iα_.

20. Sabiendo quez1= (3,60o),z2= (2,15o) yz3= (6,30o) calcular

z1z2

z3

(4)

1. An´

alisis y aplicaciones de las funciones reales de una variable real.

21. Estudiar el dominio de definici´on de las siguientes funciones:

a) f(x) = ln(x2−4) b) f(x) =ex2−x2x c) f(x) =√2 senx−1 d) f(x) =ln((x 3₋_3x_{+ 2)(1}₋_x2₎₎ x

22. Estudiar los l´ımites laterales def(x) = 1

(x−2)(x−1)2 enx= 1 yx= 2.

23. Hallar los siguientes l´ımites de funciones reales de variable real: a) lim x→a xn₋_an x−a b) lim x→1 xm₋₁ xn₋₁ c) lim x→a (xn₋_an₎₋_nan−1_(x₋_a) (x−a)2 d) lim h→0 (x+h)13 −x13 h e) lim x→0(cosx) ctg2_x f) lim x→π 4 (tgx)tg 2x g) lim x→∞x(ln(x+ 3)−lnx) h) lim x→0 cosx−cos(2x) 1−cosx i) lim x→0 sen(3x)·sen(5x) (x−x3₎2

24. Seaf : (0,1)∪(1,+∞)→IR definida comof(x) = xlnx

x2₋₁. Estudiar la continuidad def enx= 1 y

a la derecha de x= 0.

25. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: a) f(x) = 1 (x+ 1)2 b) f(x) = 1 senx2 c) f(x) =esen1x d) f(x) =ex1_senπ x e) f(x) = 1 1−e1x f) f(x) = x2_{(2 + sen}1 x) six6= 0 0 six= 0

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26. Estudiar la continuidad def,g,f◦g yg◦f si: a) f(x) =x+|x| 2 y g(x) =    x six <0 x2 six≥0 b) f(x) =    1 si|x| ≤1 0 si|x|>1 y g(x) =    2−x2 _si_|_x_{| ≤}₂ 0 si|x|>2 27. Estudiar el valor dekpara que sean continuas las funciones:

a) f(x) =      x2₋₉ x−3 six6= 3 k six= 3 b) f(x) =      x+ 1 x3_{+ 1} six6=−1 k six=−1

28. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las siguientes curvas en los puntos de abcisas x1=−1,x2= 0 y x3= 1.

a) y=x3

b) y=√3

x2

29. Hallar los valores de las constantesa,byc, para los cuales las gráficas de las funcionesf(x) =x2+ax+b y g(x) = x3−c se cortan en el punto (1,2). ¿Qué valores deben tomara, b y c, para que además posean la misma tangente en el punto (1,2)?

30. Demostrar que la recta y=−x, es tangente a la curva dada por la ecuaci´on y=x3−6x2+ 8x. Hallar los puntos de tangencia. ¿Vuelve la curva a cortar a la tangente?

31. Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones: a) y= ( x 1 +e1/x x6= 0 0 x= 0 b) y= x2 x≤0 ln(x+ 1) x >0

32. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la funci´onf(x) en todo IR siendof(x) =x3sen1

x six6= 0 yf(0) = 0. Repetir el estudio paraf0(x).

33. a) Aplicar el Teorema de Lagrange en el intervalo [0,4] a la funci´onf(x) =√x2_{+ 9, calculando de}

manera expl´ıcita el valor del punto intermedio.

b) Aplicar el Teorema de Cauchy a las funciones f(x) = senx y g(x) = cosx, en el intervalo [π/4,3π/4]. Hallar expl´ıcitamente el valor del punto intermedio.

34. Estudiar para qu´e valores dea, b∈IR son derivables, en el puntox0, las funciones:

a) f(x) = x2 x≤x0 ax+b x > x0 b) g(x) =    1 |x| |x|> x0 a+bx2 _|_x_{| ≤}_x 0 35. Dada la funci´on f(x) =    1 +|x| 1− |x| |x| 6= 1 0 |x|= 1 , estudiar

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a) Derivabilidad enx= 0 y enx= 1.

b) ¿Satisfacef las hip´otesis del Teorema de Rolle en [−1/2,1/2]? ¿Y la tesis?

36. Seanf(x) =      (x2₊_ax₊_{b) sen}1 x six6= 0 0 six= 0 y g(x) = senx.

a) Determinaraybpara quef sea derivable enx= 0. b) Estudiar si se verifica la igualdad lim

x→0 f0(x) g0_(x) = f0(0) g0₍₀₎. c) Calcular lim x→0 f(x)

g(x). ¿Se contradicen los resultados obtenidos en los apartadosbyccon la regla de L0Hˆopital? Razonar la respuesta.

37. Estudiar el dominio y los intervalos de crecimiento de las siguientes funciones: a) f(x) =ln(sen(x)) b) f(x) =ln(x) x c) f(x) = r x−1 x+ 1

38. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funciónf(x) =x−sen(x). Hacer un esbozo de su gráfica y a partir de él, hacer otro de la gráfica def0(x).

39. Estudiar las as´ıntotas, intervalos de crecimiento, concavidad y convexidad de la funci´on f(x) =

3 √

x3₋_1.

40. Se considera la funci´onf(x) =x2e−x1_{. Se pide:} a) Hallar sus as´ıntotas y ramas parab´olicas.

b) Obtener los intervalos de crecimiento, concavidad y convexidad.

41. Dada la funci´onf(x) = ln _x_{+ 3}

x−3

determinar el dominio de definici´on, los intervalos de crecimiento, los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexi´on.

42. Estudiar y representar gr´aficamente las siguientes funciones: a) f(x) =ex1 b) f(x) =√3 x3₋_2x2 c) f(x) = ln _x x+ 1

43. Obtener la f´ormula de McLaurin de gradonde las funciones: a) ln(1 +x)

b) √1 +x c) Sh(x) d) 1

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expresando el t´ermino complementario en la forma de Lagrange.

44. Obtener el desarrollo de Taylor de orden 2 de la funci´onf(x) = ln_xx en el punto x= 1, expresando el resto en forma de Lagrange.

45. Desarrollar la funci´onf(x) =x4+ 4x3+ 3x2+ 2x+ 7 en potencias dex+ 1.

46. Obtener el desarrollo de McLaurin de segundo orden de la funci´onf(x) =    senx x six∈IR− {0} 1 six= 0 47. Sea la funci´on f(x) = ln(1 +x)−senx. Se pide:

a) Desarrollarf(x) en serie de McLaurin hasta el t´ermino de tercer grado m´as el resto de Lagrange. b) Utilizar el desarrollo anterior para calcular: lim

x→0

f(x) +x₂2 x3 . 48. Calcular los polinomios de McLaurin de tercer grado de las funciones

f(x) =x−senx y g(x) =x−x

2

2 −ln(1 +x) y aplicarlos para calcular lim

x→0

x−senx 2x−x2₋_{2 ln(1 +}_x).

49. Usando desarrollos de Taylor, calcular: lim x→0

x(1−x₂)−sen(ln(x+ 1)) tg(2 senx)−2x . 50. Demostrar que el error que se comete al tomar 1 como valor aproximado de √3

1.03 es inferior a 0.01 utilizando el Teorema del Valor Medio. ¿Qu´e error se obtiene usando la f´ormula de Taylor de segundo grado?

51. Seaf : (0,1)∪(1,+∞)→IR la funci´on definida porf(x) = xlnx x2₋₁

a) Definirf(0) yf(1) de modo quef sea continua enx= 0 y enx= 1. b) Estudiar la derivabilidad de la funci´on obtenida en [0,+∞).

c) Obtener, si existen, los desarrollos de Taylor, de orden 2, de la funci´onf enx= 0 y enx= 1. 52. Usando desarrollos limitados, calcular los siguientes l´ımites:

a) lim x→0 senax senbx b) limx→0 ln(1 +x)−x 1−cosx c) lim x→0( 1x− 1 ex₋₁) d) lim x→π 2 cosx x−π₂ e) lim x→1 lnx x2+x−2 f) limx→1 sen(π₂x) lnx (x3+ 5)(x−1) g) lim x→0 cos(senx)−cosx x4 h) limx→1x 1 1−x

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53. Utilizando desarrollos de McLaurin, indicar el número de términos necesarios para calcular aproxi-madamente, y con los errores máximos que se indican, los siguientes números:

a) √1.1, con error menor que 10−5. b) e, con error menor que 10−9_.

c) sen 1◦, con error menor que 10−5_.

54. Sea y = f(x) tal que f00(x) = 1

1 +x3, ∀x >−1, siendo f(1) = 1 y f

0_{(1) = 2. Hallar el polinomio}

de Taylor de orden 2 de f(x) enx0= 1, y obtener con dicho polinomio una aproximaci´on def(3/2),

acotando el error cometido.

55. De una funci´onf : IR−→IR se sabe que:

a) posee derivadas de cualquier orden en el intervalo (−₁₀1 ,₁₀1 ), b) f(0) = 1,f0(0) = 3 yf00(0) = 0,

c) y que parax∈[−₁₀1 ,₁₀1 ] se tiene quef000(x)∈(−₁₀1 ,−₁₀₀1 ). Se pide:

a) Aproximarf( 1₁₀) mediante un polinomio de grado 2, dando una cota del error cometido. b) Estudiar si enx= 0 puede haber un extremo relativo. ¿Qu´e tipo de punto esx= 0?

56. a) Calcular lim x→0

ln(1 +x2₎₋_ln2

(1 +x) ln(1 +x3)

b) Determinaraybpara que lim x→0+

xcosx−aln(1 +x)−bxln(1 +x)

xln(1 +x) = 0

57. Seaf(x) = x_x2₋+₁x+g(x), siendog(x) una funci´on tal queg(0) = 0,g0(0) = 1,g00(0) = 4,g000(0) = 6 yg(IV)_{(0) = 0.}

a) Calcular el desarrollo de McLaurin de orden 4 de las funcionesf(x) yg(x).

b) Calcularα, β∈IR para quef(x) y α(g(x))β sean infinit´esimos equivalentes enx= 0.

c) Indicar qué tipo de punto presenta la funciónf(x) enx= 0 y representarla gráficamente en un entorno de dicho punto.

58. Sea la funci´on

f(x) =

cos√x−e−senx_, _si_{x >}₀ 2−cos√−x−e−senx_, _si_x_≤₀ a) Estudiar el dominio, la continuidad y la derivabilidad def(x).

b) Utilizar el polinomio de MacLaurin def(x) de grado adecuado para calcular lim x→0

f(x) x . c) ¿Quiere esto decir que lim

x→0 cos√x−e−senx x = 1 2 y limx→0 2−cos√−x−e−senx x = 1 2? Dar una explicación de por qué esta situación no contradice el apartado anterior.

59. Hallar los m´aximos y m´ınimos de las funciones: a) f(x) =x−arctg(x)

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c) f(x) =x(ln(x))2

60. Un alambre de 1 m. de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se construye un rectángulo cuyo lado mayor mide el doble del menor, y con el otro una circunferencia. Se pide calcular las dimensiones de los objetos si la suma de las áreas que encierran ha de ser: a) Máxima. b) M´ınima. 61. Un depósito cil´ındrico coronado por una bóveda semiesférica debe tener un volúmen de 1 m3_{. Si el}

coste del m2_{de b´}_{oveda es doble que el coste del m}2_{de muro, calcular las dimensiones m´}_{as econ´}_omicas

del dep´osito.

62. Se necesita conectar mediante una l´ınea de alta tensión una central eléctrica situada a la orilla de un caudaloso r´ıo con una isla situada 4 Km. r´ıo abajo y a 1 Km. de la orilla. Hallar el coste m´ınimo para dicha l´ınea si el precio del Km. subacuático es de 100000 euros y el del Km. subterráneo es de 60000 euros (suponer el r´ıo recto en ese tramo).

63. Obtener el punto de la curvaxy= 1 desde el que se ve bajo un ´angulo m´aximo el segmento limitado por los puntos A(−1,0) y B(1,0).

64. Se define la distancia de un punto a una recta como el valor m´ınimo de las distancias de dicho punto a un punto variable de la recta. Calcular, haciendo uso exclusivamente de la teor´ıa de m´aximos y m´ınimos, la distancia del punto (1,2) a la rectax+ 2y= 1.

65. Se trata de hacer un embudo cónico recortando en un c´ırculo de radio R un determinado sector circular, y uniendo luego entre s´ı los lados rectos de dicho sector. ¿Cuál ha de ser el valor del ángulo central del sector para que el cono as´ı obtenido tenga un volúmen máximo?.

66. En un rectángulo de 4 m. de per´ımetro se sustituyen dos de los lados opuestos por semicircunferencias exteriores. ¿Cuál debe ser el radio de éstas para que el área de la figura resultante sea máxima (m´ınima)?.

67. Se considera la par´abola y = 3−x2 _{y el tri´}_{angulo del primer cuadrante formado por los semiejes}

positivos y la tangente a la parábola en un punto P(a, b) de la misma. Hallar las coordenadas de dicho punto para que el área del triángulo sea m´ınima, justificando el resultado.

68. Se considera un cono equil´atero inscrito en una esfera de 40 cm. de radio. Trazar un plano normal al eje del cono de forma que la corona que dicho plano determina al cortar a la esfera y al cono tenga ´

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2. M´

etodos num´

ericos de c´

alculo

69. Aplicar el método de bisección a la ecuaciónx3₋_{17 = 0 a fin de determinar la ra´ız c´}_{ubica de 17 con}

un error menor que 00_125.

70. Aproximar, utilizando el m´etodo de bisecci´on, la ra´ız def(x) = e−x₋_{ln(x) con un error menor que} 0015.

71. La ecuaci´on ex₋_3x_{= 0 tiene por ra´ız a} _r_{= 0}0_{61906129. Comenzando en el intervalo [0,}_{1], realizar}

seis iteraciones por el método de bisección para encontrar la ra´ız aproximada. ¿Cuantos decimales significativos tiene dicha aproximación?¿Cuantas iteraciones son necesarias para que la ra´ız obtenida tenga un error menor que 10−4_.

72. Sabiendo que existe una ra´ız de la ecuaci´on x3₊_x_{= 6 entre 1}0_{55 y 1}0_{75, ¿cuantas iteraciones son}

necesarias hasta obtener, mediante el m´etodo de bisecci´on, un intervalo de amplitud menor o igual que 10−3_{que contenga a la ra´ız? Calcular todas las iteraciones necesarias.}

73. Queremos aproximar el valor de la ra´ız séptima de 127 usando que es una ra´ız dex7−127 = 0. a) Demostrar que tiene una única solución real.

b) Determinar un intervalo de longitud uno y extremos n´umeros enteros, que contenga la soluci´on. c) Determinar un valor de ese intervalo que usado como valor inicial, garantice la convergencia del

m´etodo de Newton-Raphson.

d) Hacer tres iteraciones partiendo delx0 obtenido en el apartado anterior.

e) Acotar el error de la anterior aproximación. 74. Considérese la ecuaciónx ex₋_{1 = 0. Se pide:}

a) Demostrar que tiene una ´unica soluci´on real en el intervalo [−3,3].

b) Determinar un intervalo de amplitud uno y extremos n´umeros enteros que contenga a dicha soluci´on.

c) Determinar un valor de ese intervalo que, usado como valor inicial, asegure la convergencia del m´etodo de Newton-Raphson.

d) Realizar dos iteraciones del método de Newton-Raphson, con el valor inicial del apartado anterior. 75. Considérese la ecuación cos(x)−x2_{+ 2 = 0. Se pide:}

a) Demostrar que tiene una ´unica soluci´on real en el intervalo [0, π].

b) Determinar un intervalo de amplitud uno y extremos n´umeros enteros que contenga a dicha soluci´on.

c) Determinar un valor de ese intervalo que, usado como valor inicial, asegure la convergencia del m´etodo de Newton-Raphson.

d) Realizar dos iteraciones del m´etodo de Newton-Raphson, con el valor inicial del apartado anterior. 76. Demostrar que la ecuaci´onxe−x₋_x2_{+ 1 = 0 posee dos ra´ıces reales, y separarlas en sendos intervalos}

de amplitud 1 y extremos enteros. Estudiar si en esos intervalos se verifican las hip´otesis de Fourier.

77. Dada la funci´onf(x) =x−1

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a) Demostrar que la ecuaci´onf(x) = 0 posee una ´unica ra´ız real, determinando razonadamente un intervalo de amplitud π

4 que contenga tal soluci´on.

b) Aplicar la Regla de Fourier para encontrar un punto inicial en el que el método de Newton-Raphson asociado a f(x) tenga garantizada la convergencia. Dar una aproximación del cero de f(x) realizando dos iteraciones según dicho método, estimando el error cometido.

78. Dada la ecuaci´on senx−x+a= 0, se pide:

a) Determinar para qu´e valor de la constanteala ecuaci´on posee una ra´ız triple en el intervalo [0,2] y calcular dicha ra´ız.

b) Paraa= 1, demostrar anal´ıticamente que la ecuación tiene una única ra´ız, que ésta es simple y se encuentra en el intervalo [0,2].

c) Justificar que en el intervalo [0,2] no se verifican las hip´otesis de la regla de Fourier. Obtener un intervalo de amplitud 1 en el que s´ı se verifique y dar, razonadamente, un valor de x0 para

iniciar el m´etodo de Newton que garantize la convergencia de este.

d) Sabiendo que la primera iteración del método de Newton ha proporcionado la aproximación x1= 1.935951 (redondeando al sexto d´ıgito), realizar una iteración más y da una cota del error

para esta iteraci´on.

79. Dada la ecuación cos(x)−x= 5,x∈[−10,10], localizar un intervalo de amplitud uno que contenga a la solución de dicha ecuación. ¿Cuántas iteraciones habrá que realizar para obtener una aproximación de la solución con error menor que 10−2?

80. a) Tomandoz0= 10414 como aproximaci´on dez=

√

2 (que tiene todas sus cifras decimales exactas), dar una aproximaci´on del valor de (√2−1)5 con todas sus cifras decimales exactas y estimar el error cometido.

b) Determinar la precisi´on (m´ınima) con la que hay que tomar √2 par calcular (√2−1)5 con tres cifras decimales exactas. Dar dicha aproximaci´on de (√2−1)5 de tres cifras decimales y todas exactas.

81. Usando aritm´etica con cuatro cifras decimales y redondeo.

a) Calcular una cota de los errores relativos que se cometen al aproximar (en esta aritm´etica) x= 3 11= 0 0₂₇₂₇₂₇_{. . .} _e_y₌ 8 29 = 0 0_275862069_{. . .} b) Consideremosx−y =− 1 319 = 0 0_003134796_{. . .}_y_x₊_y ₌175 319 = 0 0_5485893417_{. . .}_{Obtener unas}

cotas de los errores relativos al aproximar x−y y x+y por sus n´umeros redondeado en dicha aritm´etica. Comparar con los errores anteriores.

82. De cierta funci´on f : IR → IR se conocen sus siguientes datos: f(−1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 3, f(2) = 5,f(4) =−3. Hallar el polinomio interpolador def en el soporteS ={−1,0,1,2,4}.

83. Sea h(x) un polinomio de grado cuatro. El polinomio interpolador de h para el soporte S =

{0,1,2,3,4}

es siempre un polinomio de grado cinco. puede ser un polinomio de grado tres. puede coincidir, en algunas ocasiones, conh(x). coincidir´a conh(x).

84. De cierta funci´on f : IR → IR se conocen sus siguientes datos: f(−1) = 3, f(0) = 1, f(1) = 1, f(2) =−1,f(3) = 3. Calcular el polinomio interpolador def en el soporteS={−1,0,1,2,4}.

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85. Dada la funci´on f(x) = sen(2x) +x2, hallar el polinomio interpolador de f(x) con soporte S =

{0, π/2, π,3π/2,2π}.

86. Seaf(x) una funci´on tal quef(1) = 3. Se sabe que el polinomio interpolador def(x) para soporte S ={−2,−1,0}esP(x) =x2+x+ 1. Si ahora consideramos un nuevo soporteSe={−2,−1,0,1}, el polinomio interpolador def(x) en el nuevo soporteSe

tendr´a grado tres. puede coincidir conP(x). coincidir´a conP(x). ninguna de las anteriores.

87. Hallar el polinomio interpolador para el soporteS={(−2,4),(−1,−8),(0,3),(2,1)}.

88. Se sabe que el polinomio interpolador para el soporteS={(−2,−8),(−1,4),(0,2),(1,4)} esP(x) = 3x3_+2x2₋_{3x+2. Si ahora consideramos un nuevo soporte}

e

S={(−3,1),(−2,−8),(−1,4),(0,2),(1,4)}, entonces el polinomio interpolador para este nuevo soporteSe

tendrá grado tres. no coincidirá conP(x). coincidirá conP(x). tendrá grado cinco.

89. Obtener el polinomio interpolador P(x) de Lagrange para la funci´on f(x) = log(x) con el soporte S = {1,2,4,6,8}. Determinar la funci´on del error y acotar el error cometido al usar P(x) para aproximar el valor de log(3).

(13)

3. C´

alculo diferencial de funciones de varias variables

90. Determinar el dominio de definici´on y el recorrido de las siguientes funciones: a) f(x, y) = ln(−x−y) b) f(x, y) =x+√y c) f(x, y) = 1 x+y d) f(x, y) = 3xy y−x2 e) f(x, y) =p1−x2₋_y2 f) f(x, y) =pln(x2₊_y2₎ g) f(x, y) =psen(x2₊_y2₎ h) f(x, y) =p(x2₊_y2₋₁₎₍₄₋_x2₋_y2₎ i) f(x, y) =√1−x2₊p 1−y2 j) f(x, y) = arcsen(x+y) k) f(x, y) = ln[(x 2₊_x₋₂₎₍₁₋_y2_)] x

91. Estudiar los l´ımites reiterados y direccionales de las funciones: a) f(x, y) =x2y, en el punto (2,1).

b) f(x, y) = x

2_y

x4₊_y2, en el punto (0,0).

Obtener, en ambos casos, el l´ımite cuando los puntos (x, y) recorren la par´abolay=x

2

4 . 92. Estudiar la continuidad en IR2 de las siguientes funciones:

a) f(x, y) =x4+y4−4x2y2 b) f(x, y) = arctgy x c) f(x, y) =      x2_y x2₊_y2 six6=y 0 six=y d) f(x, y) = 1 ycosx 2 e) f(x, y) =      x2(y−1)4 x4_{+ (y}₋₁₎8 sixy6= 0 0 sixy= 0

93. Calcular las derivadas de primer y segundo orden de las siguientes funciones: a) z=x2_sen2_y

b) z=xy

(14)

94. Estudiar en cada caso la diferenciabilidad en el origen de las funcionesf : IR2−→IR definidas por: a) f(x, y) = ( xy x2₊_y3 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0) b) f(x, y) =    xysen 1 x2₊_y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)

95. Seaf : IR2−→IR la funci´on definida porf(x, y) =f(x, y) =    xy2 x2₊_y4 si x6= 0 0 si x= 0

a) Demostrar que existe la derivada direccional en el origen, cualesquiera que sea la direcciónv, y calcularla en función de dicha dirección.

b) Probar que, a pesar de lo anterior, la funci´on no es continua en el origen. c) ¿Ser´a diferenciable en (0,0)?

96. Seaf : IR2−→IR definida por

f(x, y) =    xyx 2₋_y2 x2₊_y2, si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)

Demostrar que D12f(0,0)6= D21f(0,0). ¿Este resultado contradice el teorema sobre la igualdad de

las derivadas cruzadas en un punto? Raz´onese la respuesta. 97. Dada la funci´onz= 9−x2₋_y2_{, determina las ecuaciones:}

a) del plano tangente a la superficie en el puntoP(−1,2,4). b) de la recta normal a la superficie en el puntoP.

c) de las rectas tangentes a la superficie enP y contenidas en los planosx=−1 ey= 2.

98. Obtener la ecuaci´on del plano tangente a la superficie z = cos(2x+y) en el punto P(π₂,π₄,−√1

2).

Calcular asimismo la ecuaci´on de la recta normal a la superficie en dicho punto. 99. Probar que la funci´onf : IR2−→IR definida por

f(x, y) =    (x2+y2)sen_p 1 x2₊_y2, si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)

es diferenciable en (0,0) y sin embargo las derivadas parciales no son continuas en dicho punto.

100. Sea la funci´onf(x, y) =    xa x2₊_y2, si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0) , dondea∈IR,a≥0. a) Valores deapara quef(x, y) sea continua en el origen.

b) ¿Es diferenciablef(x, y) en el origen paraa= 3?

c) Paraa= 3, comprobar que Duf(0,0)6=fx(0,0)u1+fy(0,0)u2, dondeues el vector de direcci´on

dado poru= (u1, u2) = (

1 2,

√

3

(15)

101. Calcular, en cada caso, las siguientes derivadas direccionales:

a) De la funci´onz=f(x, y) =x2y, en la direcci´on del vectorv= (1,1).

b) Dez=f(x, y) =x3−3x2y+xy2+ 1, en el puntoP(1,2) y direcci´on del vector con origen enP y extremo enQ(4,6).

c) Dez=f(x, y) = y

x+y, en el puntoP(1,1) y direcci´on dada por θ=

−π 6 .

d) Dez=f(x, y) = sen(2x−y) enP(π/2,0) y direcci´on de la rectay= 2x+ 1 y sentido creciente de las x.

102. Sean a(4,3), u = (5,12), v = (3,4) yf : IR2 −→ IR una funci´on tal quef(a) = 2, es diferenciable en a, y sus derivadas direccionales en dicho punto en las direcciones de los vectores u y v valen Duf(a) =−2/13 y Dvf(a) = 2/5 respectivamente. Justificando las expresiones que se usen, se pide:

a) Calcular∇f(a).

b) Probar que la funci´onh: IR2−→IR dada por h(t) =f(t2_{, t}_{+ 1) es derivable en}_t_{= 2 y calcular}

h0(2).

c) Calcular la derivada direccional de h◦f enaseg´un la direcci´on del vector (1,1).

103. Calcular los valores deayb para que el valor de la derivada direccional m´axima dez=axy2₊_byx2

enP(1,2) sea 60 y se alcance en la direcci´on del ejeOX.

104. La superficie de una monta˜na viene dada por la ecuaci´on h(x, y) = 4000−x2₋_y2_{. Un alpinista se}

encuentra en un punto de coordenadas (x, y, z) = (20,20,3200). ¿Bajo qué ángulo debe moverse para ascender lo más rápido posible?

105. La elevación de una montaña sobre el nivel del mar en el punto (x, y) viene dada por f(x, y). Un montañista situado en un puntoP nota que las pendientes en dirección este y norte coinciden en ser de−1

4. ¿En qué dirección debe moverse para el más rápido descenso? ¿Y para el más rápido ascenso? 106. La elevación de una montaña sobre el nivel del mar en (x, y) es de 3000e−x2 +2₁₀₀y2_{. El eje}_OX _positivo

apunta hacia el este, mientras que elOY positivo lo hace al norte. Una montañista que se encuentra situada sobre (10,10) decide moverse al norte. ¿Ascenderá o descenderá, y con qué pendiente? 107. Partiendo del punto P(1,−1,−10) de la superficiez =−10p|xy|, determinar la dirección en que se

ha de mover uno para: a) subir m´as r´apidamente. b) permanecer en el mismo nivel. c) subir con pendiente 1.

108. Dada la superficie z=y ex_{y los puntos}_P_(0,_{1) y}_Q(1,_{2), se pide:}

a) Calcular la derivada direccional en el puntoP según la dirección del vector−P Q.−→ b) Dirección y valor de la derivada direccional máxima en P.

c) Plano tangente a la superficie en el punto R(0,3,3).

d) ¿Cu´anto vale la diferencial y el incremento de la funci´on para ∆x= 0.1 y ∆y=−0.1 en el punto P?

(16)

109. Calcular las derivadas parciales de primer orden de la funci´onz=f(x, y) definida impl´ıcitamente en cada caso por la expresi´on:

a) y2zex+y−sen(xyz) = 0. Sol: z0_x= y 2_zex+y₋_yz_cos(xyz) xycos(xyz)−y2_ex+y , z 0 y =

xzcos(xyz)−yz(y+ 2)ex+y y2_ex+y₋_xy_cos(xyz) b) xy2z3+x3y2z=x+y+z. Sol. z0_x= 1−y 2_z3₋_3x2_y2_z 3z2_xy2₊_x3_y2₋₁, z 0 y= 1−2yxz3₋_2x3_yz 3xy2_z2₊_x3_y2₋₁ c) xyz= cos(x+y+z). Sol. z_x0 =−yz+ sen(x+y+z) xy+ sen(x+y+z), z 0 y=− xz+ sen(x+y+z) xy+ sen(x+y+z)

110. Calcular las derivadas parciales de primer orden (z_x0, z_y0) y de segundo orden (z_x002, zxy00 , zy002) de la funci´on

z=f(x, y) definida impl´ıcitamente en cada caso por las siguientes funciones: a) x2+ 2xy+z2= 0.

b) x+ sen(y+z) = 0.

111. Se considera la funci´onU =h(x, y, z) =x+z

y+z, dondez=f(x, y) est´a definida impl´ıcitamente por la relaci´onzez₋_xex₋_yey_{= 0. Hallar} ∂U

∂x y ∂U

∂y.

112. Dada la funci´onz=f(x, y) definida impl´ıcitamente por la relaci´onxz+yz2₋_xy₋_{1 = 0, se pide:}

a) Hallar las derivadas parciales ∂f ∂x y

∂f ∂y.

b) Calcular la derivada direccional dezen el puntoP(1,2,1) y en la direcci´on definida por el sentido creciente de la rectax=y.

c) Obtener la direcci´on y el valor de la derivada direccional m´axima enP. d) Calculardz enP, para valores dedx= 0.5,dy= 0.5.

e) Obtener la ecuaci´on del plano tangente a la superficiez=f(x, y) en el puntoP.

113. Dada la transformaci´on en el plano de coordenadas cartesianas a polares:

x=ρcosα

y=ρsenα , calcular la matriz jacobiana y hallar el determinante jacobiano

∂(x, y) ∂(ρ, α) .

114. Dadas las funciones

u=g1(x, y) =y2+ cosx

v=g2(x, y) =x+ey

, hallar los jacobianos: ∂(u, v) ∂(x, y) , ∂(x, y) ∂(u, v) .

115. Dada la funci´onz=f(x, y) = 3x2_{+ 2xy}₋_2y2_{, se pide:}

a) Hallar ∆z ydzen el puntoP(1,1) para ∆x=dx= 0.1, ∆y=dy= 0.1. b) Si x=g1(u, v) =u2−ln(uv) y=g2(u, v) = cos2(u−v) , calcular ∂z ∂v y el jacobiano ∂(u, v) ∂(x, y).

(17)

116. Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 de la funci´onz=f(x, y) = ln(1 +xy) en un entorno de los puntos (2,3) y (0,0).

117. Obtener el desarrollo de MacLaurin de tercer orden de la funci´onz=f(x, y) =e2x−3y_.

118. Aplicando la f´_√ ormula de Taylor hasta las derivadas de segundo orden, calcular aproximadamente 1.03√3_0.98.

119. Obtener el desarrollo de Taylor de tercer orden, en torno del punto (1,-1), de la funci´onf(x, y) = √y x. Utilizar dicho polinomio para obtener una aproximaci´on de−√0.98

1.001

120. Sea la funci´onz=f(x, y) = sen

2_y

ex . Se pide:

a) Calcular el polinomio de Taylor de segundo grado def en el punto (0, π/2).

b) Aproximar la funci´on en el punto (0.1,89o_{) mediante el polinomio calculado anteriormente.}

121. Dada la funci´on z=f(x, y) =√3_x_{+ 1}₋ 1

seny, se pide: a) Calcular su dominio.

b) Utilizando el polinomio de Taylor de grado 2, dar un valor aproximado de

3 √

1.01− 1

sen 89o

c) Obtener la dirección para la cual es máxima la derivada direccional de la función f(x, y) en el puntoQ(7, π/6), y el valor de dicho máximo.

d) Calcular la ecuaci´on del plano tangente a dicha superficie enQ. 122. Calcular lim

(x,y)→(0,0)

xseny+ysenx xy

123. Calcular el siguiente l´ımite utilizando el desarrollo de Taylor de la funci´onf(x, y) =p1−x2₋_y2₋_1:

lim

(x,y)→(0,0)

p

1−x2₋_y2₋₁

x2+y2

124. Desarrollar por Taylor hasta el orden 2 y en un entorno del punto (1, π/2) la funci´on f(x, y) = xy2+ senxy.

125. Desarrollar por Taylor, hasta los t´erminos de segundo orden,f(x, y) = ln(1 +x_y) en un entorno de un punto adecuado para calcular aproximadamente el valor de ln 106₁₀₁.

126. Sea f : IR2−→IR la funci´on definida por f(x, y) =

( _3xy

x2₊_xy₊_y2 si (x, y)6= (0,0)

0 si (x, y) = (0,0) Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (1,0).

127. Sea f : IR2−→IR la funci´on definida por f(x, y) =    x2y x2+y2 si x6=y 0 si x=y

(18)

a) Estudiar la continuidad def en IR2. b) Estudiar la diferenciabilidad def en IR2.

c) Hallar, cuando sea posible, los polinomios de Taylor de f de orden 2 en los puntos (0,0), (1,2) y (2,2). 128. Dada la funci´onf(x, y) =      4x3 x2₊_y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0) a) Estudiar su continuidad en IR2.

b) Obtener las funciones ∂f(x, y) ∂x y

∂f(x, y) ∂y . c) ¿Es la funci´onf(x, y) diferenciable en el origen?

d) La ecuaci´onf(x, y)−2 = 0 define impl´ıcitamente a la funci´ony=g(x) en un entorno del punto P(1,1). Calcular el polinomio de Taylor de segundo orden deg(x) en el puntoP(1,1).

129. Sea z=f(x, y) = x

2

2p+ y2

2q, conp, q∈IR. Se pide:

a) Discutir, seg´un los valores dep,q, los puntos cr´ıticos def(x, y).

b) Deducir la relación que debe existir entrepyqpara que sea 1 la derivada direccional def(x, y) en el puntoP(2,2√3) y dirección dada por un vector que forma un ángulo de 60ocon el ejeOX positivo.

130. Calcular los extremos relativos de la funci´onz =f(x, y) =x3y2(6−x−y) para valores positivos de x,y.

131. Sea z=f(x, y) una funci´on de dos variables tal que: ∂f(x, y)

∂x = 2x+α−αy ,

∂f(x, y)

∂y =−αx−αy+ 22α+ 2α

2_{+ 27}

a) Calcular el valor deαpara quef tenga un m´ınimo relativo en el puntoP(0,1).

b) Para dicho valor de α, obtener la direcci´on y el valor de la derivada direccional m´axima en el puntoQ(−1,1),

132. Sea f :D⊂IR3−→IR. Determinar el valor deα∈IR sabiendo que

∇f(x, y, z) = (−x+ 2y+z−1,2x+αy−α, x+αz+ 22α+ 2α2+ 54) y que el Hessiano asegura la existencia de un m´aximo local ena= (0,1,−1).

133. Calcular los extremos, tanto absolutos como relativos, de la funci´onf(x, y) =x2+ 3y2+x−ysobre la regi´on del plano delimitada por las rectas de ecuacionesx= 1, y= 1, yx+y= 1.

134. Calcular los extremos, tanto absolutos como relativos, de la funci´on f(x, y) = xy+x+y sobre la regi´on del plano definida por 1≤x≤2 y 2≤y≤3.

135. Obtener los extremos condicionados de la funci´on z=f(x, y) =xy2, con x+y = 6, sustituyendo y por el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange.

136. Determinar tres números positivos cuya suma sea S y su producto sea máximo. Utilizar para ello técnicas de extremos libres y de extremos condicionados.

(19)

137. Hallar el volúmen máximo de un sólido con forma de paralelep´ıpedo que tiene tres caras sobre los planos coordenados, y un vértice sobre el planox+y+z= 1.

138. Hallar el punto de la esferax2+y2+z2= 5R2, (x >0, y >0, z >0), en el que la funci´onf(x, y, z) = lnx+ lny+ 3 lnz es m´axima, justificando el resultado.

139. Calcular, en la regi´on planax2+y2 ≤2 los extremos, tanto absolutos como relativos, de la funci´on z=f(x, y) = (y2+x)(1 +x).

140. Hallar los extremos de la familia de funciones fp : IR2 −→ IR, con p ∈ IR, definidas mediante fp(x, y) =x2+y2+p2+pxy.

141. Se trata de fabricar una nave de 60 m3_{de vol´}_{umen, de suelo, techo y paredes rectangulares. Supuesto}

que los precios por m2 _{son un 50% m´}_{as caros para las paredes que para el techo y el suelo, calcular}

las dimensiones de la nave de costo m´ınimo, justificando los resultados obtenidos.

142. Una empresa fabrica placas para “chips” de “PCs”. La placa consta de un rect´angulo de un material A inscrito en un c´ırculo de 1 cm. de radio. El resto del c´ırculo (no perteneciente a la placa) es de un materialB. El coste por cm2 _{es un 25% m´}_{as caro para el material}_B _{que para el}_{A. Se pide:}

a) Determinar las dimensiones de la placa de coste m´ınimo (aplicando el m´etodo de los Multipli-cadores de Lagrange).

b) Justificar la condici´on de m´ınimo de la soluci´on obtenida.

c) ¿Cu´anto vale cada placa, si el cm2 _{del material}_A_{cuesta 20 euros?}

143. Sea f(x, y, z) =x2₊_y2₊_bxy₊_{az, con}_{a, b}_∈_{IR y tal que}_x2₊_y2₊_z2_{= 3.}

a) Determinar la relaci´on que deben cumpliraybpara que pueda existir extremo condicionado de f en (1,1,1).

b) Supuesto queb=a−2, determinar ayb para que f posea en (1,1,1): (b.1) M´aximo relativo. (b.2) M´ınimo relativo. (b.3) No posea extremo.

144. Dada la superficie z=f(x, y) =ax2₊_{bxy, se pide}

a) Determinar “a” y “b” para que el plano tangente a dicha superficie en el punto P(1,1, z0) sea

paralelo al planoz=x−y+ 7. b) En caso de quea= 1 yb=−1 se pide:

b.1) Determinar en qu´e puntos el plano tangente a la superficie es paralelo al plano de ecuaci´on z= 0.

b.2) ¿Son dichos puntos extremos?

145. Sea la funci´onf(x, y, z) = ex_{+ e}2y 2 + e

3z 3 −3.

a) Calcular los m´aximos y los m´ınimos de f situados en el planoπ≡x+y+z= 6. b) ¿Presentaf otros extremos relativos fuera del planoπ?

146. El planox+y+ 2z= 2 intersecta al paraboloidez=x2₊_y2_{en una elipse. Encontrar los puntos en}

esta elipse que:

a) están más cerca y más lejos del origen. b) están más altos y más bajos.

(20)

147. Dada la funciónf(x, y) =x4+y4−2x2−2y2+ 4axy+ 3, siendoa∈IR. Se pide: a) Según los valores dea, estudiar qué tipo de punto es el origen para la función. b) Paraa= 1, obtener los puntos cr´ıticos de la función y discutirlos.

148. Dada la funci´onf(x, y) =xy+m_x +n_y, siendom, n∈IR, se pide:

a) Obtenerm yn, sabiendo que el puntoP(1,2) es un punto cr´ıtico de la funci´onf(x, y). b) Para estos valores demyn, clasificar todos los puntos cr´ıticos de la funci´onf(x, y).

c) Utilizando un polinomio de Taylor de segundo grado apropiado, obtener una aproximaci´on de 1001·2002 + 2

1001+ 4 2002

d) Param= 2 yn= 4, obtener los extremos absolutos de la funciónf(x, y) en el dominioD, dado por el triángulo de vérticesA(1,1),B(1,3) yC(3,3).

(21)

4. Integraci´

on de funciones de una y varias variables

149. Calcular, usando la definici´on de integral: a) Z b a 3x dx b) Z 1 0 exdx c) Z b a (v0+gt)dt d) Z 1 0 x2dx

150. Estudiar si puede aplicarse el Teorema del valor medio del c´alculo integral a las funciones y, en caso afirmativo, obtener el valor promedio:

a) f(x) =√3x2 _{en [}₋_1,_2]

b) g(x) =xexen [1,2].

151. Hallar λpara que el valor medio de la funci´ong(x) = 2 λ+λx

2 _{en [0,}_{1] sea}_π.

152. Calcular la derivada de las siguientes funciones: a) F(x) = Z ln(x2+1) 1 etdt b) F(x) = Z x3−3x x2

f(t)dt, siendof(t) una funci´on continua en IR.

153. Calcular lim x→0 Rx 0 sent 3_dt x4 154. Calcular Z 1 −2 (|x|+|3x−1|)dx, y Z 4 −3 |x2−4|dx.

155. Hallar el valor dextal que Z x ln 2 dt √ et₋₁ =− π 2.

156. Comprobar que lim x→0 1 x2 Z x 0 arctgt dt= 1 2. 157. Sea f(x) = cosx−1 x2 , six6= 0. Se pide:

a) Estudiar si se puede definirf enx= 0.

b) Hallar el polinomio de McLaurin de orden 4 def(x).

c) Hallar el polinomio de McLaurin de orden 5 de la funci´onF(x) =x−

Z x 0 cost−1 t2 dt. 158. Calcular: a) Z 3 −1 E(x)dx b) Z 3 −1 E(x2)dx

159. Calcularf(π₄) yf0(π₄), sabiendo que f es continua y que verifica la ecuaci´on: Z x 0 f(t)dt = −1 2 +x 2₊_x _{sen 2x}₊1 2 cos 2x ∀x∈IR.

(22)

160. Calcular las integrales que aparecen (voluntariamente desordenadas) en la siguiente lista. Se incluyen algunas integrales inmediatas, otras resolubles por métodos elementales y por descomposición, y otras que requieren integración por partes.

1.− Z (6x+ 3)3dx 2.− Z (6 + 3x3)3dx 3.− Z ₁ √ 5x−2dx 4.− Z ₁ tgxdx 5.− Z _x √ 1 +x2dx 6.− Z ₁ √ 2x−x2dx 7.− Z ₁ xlogxdx 8.− Z cos9x dx 9.− Z sen3xcos5x dx 10.− Z sen2x dx 11.− Z _x3 x2_{+ 2}dx 12.− Z _x2 x2_{+ 2}dx 13.− Z x2ex3dx 14.− Z x2cosx dx 15.− Z xcos2x dx 16.− Z x3p2−x4_dx _17.₋ Z ₁ sen4_xdx 18.− Z _x (1 +x2₎2dx 19.− Z log(x3−x)dx 20.− Z xsen3x dx 21.− Z arcsenx dx 22.− Z xarcsenx dx SOLUCIONES

Tras cada integral se indica brevemente el m´etodo seguido para resolverla, a menos que sea exactamente el mismo que en la anterior.

I1= 1 12(6 + 3x) 4 inmediata. I2= 27x(8 + 3x3+ 6 7x 6₊ 1 10x 9₎ _{es necesario desarrollar.} I3= 2 5 √ 5x−2 inmediata. I4= log|senx| inmediata.

I5=

p

1 +x2 _inmediata.

I6= arcsen(x−1) inmediata tras formar cuadrados en el radicando.

I7= log|logx| inmediata.

I8= senx− 4 3sen 3_x₊6 5sen 5_x₋4 7sen 7_x₊1 9sen

9_x _usar _cos9_x_{= (1}₋_sen2_x)4_cos_x

I9=−

1 6cos

6_x₊1

8cos

8_x _usar _sen3_x_cos5_x_{= (1}₋_cos2_{x) cos}5_x_sen_x

I10=

1

4(2x−sen 2x) usar sen

2_x₌ 1

2(1−cos 2x) I11=

x2

2 −log(x

2_{+ 2)} _{se reduce a inmediata por divisi´}_on.

I12=x− √ 2 arctg√x 2 I13= 1 3e x3 inmediata.

(23)

I15=

1 8(2x

2

+ 2xsen 2x+ cos 2x) por partes tras cos2x= 1 + cos 2x 2 I16=− 1 6(2−x 4₎3/2 _inmediata. I17=− 1 3 _cos3_x sen3_x+ 3 cosx senx

integraci´on por partes, junto con 1 = sen2_x_{+ cos}2_x

I18=−

1

2(1 +x2₎ inmediata.

I19=xlog|x3−x| −3x−log|x−1|+ log|x+ 1| por partes (descomponer polinomio).

I20=x −cosx+cos 3_x 3 +2 3senx+ 1 9sen

3_x _{por partes, integrando} _sen3_x

I21=xarcsenx+ p 1−x2 _{por partes.} I22= 1 4 (2x2−1) arcsenx+xp1−x2

161. Obtener el ´area limitada por:

a) la gr´aficay=x3 _{y el eje} _{OX, en el intervalo [}₋_2,_1]. _{(Sol: 17/4)}

b) la gr´afica y= senx y el ejeOX , en el intervalo [0,2π]. (Sol: 4) c) la recta y= 2x+ 3 y la par´abola y=x2_. _{(Sol: 32/3)}

d) las gr´aficas de y= √x e y= x2. (Sol:1/3)

162. Obtener el área limitada por las gráficas de y= senx e y= cosx en el intervalo [π₄, 5₄π] (Sol: 2√2) 163. Hallar el área de la región limitada por las gráficas dey=x2 _e _y₌₋_x_{+ 4.} _(Sol:125/6)

164. Calcular el ´area limitada por el ejeOX y la curvaf(x) =xe−x_.

165. Sea f : IR−→IR una funci´on continua y suficientemente derivable, de la cual se sabe que: f00_{(x) +}

f(x) = 1, y adem´as que f(0) =f0_{(0) = 0. Se pide:}

a) Determinar el polinomio de MacLaurin de orden 8 def(x).

b) Utilizando el apartado anterior, calcular el valor dea∈IR para que las funcionesaf(x)−x2 _y

senx−ln(1 +x) sean infinit´esimos equivalentes cuando x→0, esto es, para que: lim

x→0

sen(x)−ln(1 +x) af(x)−x2 = 1

c) Sea Ag el ´area de la regi´on plana que la curva g(x) =

sen3_(x)

1−cos(x) delimita en el intervalo I = [0,π

2], (intervalo en donde g(x)≥0). Calcular el ´area Af de la regi´on plana que la curva f(x) delimita en dicho intervaloI, sabiendo que Af+2

3Ag= π 2.

Observaci´on: Para calcularAgmediante un cambio de variable, se sugiere el cambio 1−cos(x) =t. Para aplicar otras caminos, se recuerda que: sen2(α) + cos2(α) = 1, y sen(2α) = 2 sen(α) cos(α).

(Examen Septiembre 2007)

166. Calcular la integral doble de f(x, y) =y en la regi´on D del plano OXY dada por las desigualdades y≤x , x2≤y.

(24)

167. Idem,f(x, y) =y−x2, para D:x2≤y , y≤2−x2,0≤x.

168. Hallar el ´area de la regi´on D limitada por las curvas y= 1 , y=x+ 2, y=x2_.

169. Calcular,utilizando el cambio de variables x=v, y =u−v, la integral doble Z Z

D

e(x+y)2 dx dy , siendoD la regi´on del planoOXY dada por las desigualdadesx≥0 , y≥0, x+y≤1 .

170. Calcular,utilizando el cambio de variables u=xy, v= y

x2, la integral doble

Z Z

D 1