Az Egri Tanárképző Főiskola tudományos közleményei (Új sorozat 19/8. köt.). Tanulmányok a földrajzudományok [sic!] köréből = Acta Academiae Paedagogicae Agriensis

ACTA-ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS NOVA SERIES TOM X I X . / V I I I .

1053—1056

AZ EGRI TANÁRKÉPZŐ FŐISKOLA TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI

TANULMÁNYOK A FÖLDRAJZTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL

EGER 1989

Szerkesz t ö b i z o t t s á g :

Bodnár L á s z l ó , F r a n c z i a Tamás, Orbán Sándor, Rákos I: to lka

Szerkosz t ó : KISS Pl' 11 k F ő s z e r k e s z t ő : VA30II IMRE Hü ISSN Ü239-1422 ISDN 963 7752 13 7 l e l e l ó s k i a d ó : Szűcs L á s z l ó f ő i s k o l a i f ő i g a z g a t ó

f

3

-UALHüll V I Kf ÓH J A

A ZSEÖS^AttlLÓGÓ' ALKALMAZÁSA AZ ÁLTALÁNOS ISKOLAI MAII MA LIKAOKI A lASIJAM

ABSTRAKTü: (La a p l i k a d o de p o s k a l k u l i l o j en l a kadro de l a no Unna t.Lka i n s t r u a d o . ) La r o l o de l a a p l i k a d o de p o s k a l k u l m a s i n o j p l i a l t i g o s estorvte en kadro de l a matematika i n s t r u a d o .

La k a l k u l m a s i n o j n o n i povas d i s p o n i g i a l l a servo de la e v o u l i g n de l a k a l k u l k a p a b i o de l a g e l c r n a r r t u j , üar i l i l a al.oiidul)lajn r.n 1 -v o j n de l a t a s k o j aritautaksas k a j n i c e r t i g a s a l t i o s u f i c a n tem-pón por cerbe k a i k u l i . La g e l e r n a n t o j t i e l povas e l ("ormi metodnjn por s i m p l i g i l a k a i k u l adón. Üum l a a p l i k a d o de Sa masinoj i l i ob-servas l a sangadon de l a grandeco de la nombrej k a j sekve e v u u l a s i l i a koneepto p r i numeroj k a j i l i povas bnne o r i e n ü g i en !n ama-s o j de l a numeroj. Ln l a t a ama-s k o ama-s o l v a d o j i l i a t i n g u ama-s la k n n ama-s e i a n , r a p i d a n k a j p r e c i z a n s o l v o j n . l i o cesigas l a s t r e c i teenn kun la solvadu de la t a s k o j k a j t i el l n seionou agadu I rnu:; lok i g ; r ; al In planado de l a solvometodo, k a j a l l a t r a r i g a r d u de La t ' i n J n r u de l a tasko - de l a komenco g i s l a l a s t a momento.

La ekkono de l a i n t e r n a j e c o j de k a l k u l m a s i n o j , - l a ekzameriado de uni.kaj k a p a b l o j de masinoj lielpas l a konseian a p l i k a d o n de k a l k u -l i -l o j k a j i -l i a n u t i -l i g b n per r'naksiina-la p-lenumka|)nb-lo.

La k a l k u l m a s i n o j povas e s t i p o z i b i v a j m o t i v a n t a j i l o j de sukcese ma téma t i k o - i n s t r u a d o , se i l i n ne nur n e k a n i k e , - per ln enbatado de l a k l o v e t o j l a ö s i g n o j n i donas en l a manojn de la g e l e r n a n -t o j .

I .

Az ember s e g í t ő e s z k ö z ö k e t , gépeket h o z o t t l é t r e a Munkájának megküny-n y í t é s é r e , p l : az irodákbamegküny-n í r ó g é p e k e t - egyre több t e l j e s í t m é megküny-n y r e képe-s e k e t h á z t a r t á képe-s i gépeket éképe-s e képe-s z k ö z ö k e t , a k á v é ő r l ő t ő l a programhozha-t ó Mosógépekig.

Nan meglepő az sem, hogy évszázadok ó t a k í s é r l e t e z n e k a számul ár; t megkönnyítő e s z k ö z ö k k e l !

t á b l á z a t o k a t k é s z í t e t t e k h a t v á n y , g y ö k t á b l á z a t o k á t , szögfiiggvény t á b l á z a t o k a t s t b . és ezek a l k a l m a z á s á t , mindenki e l f o g a d j a , s ő t t a n t e r v e k -ben k i e m e l t az alkalmazásuk!

A számológépek őse az abakusz, amelynél a p á l c i k á k fmsszával t u d t a k ö s z -szeadni és k i v o n n i , t ö b b s z ö r ö z n i , f e l o s z t a n i , majd újabbak j e l e n t e k meg: ~ 3 golyós számológépek, a s c s o t i s o k á i g e l f o g a d o t t eszközök az o k t a -t á s b a n , kereskedelemben,

- a f o g a s k e r e k e k k e l működő Mechanikus gépek a 17. században j e l e n n e k Meg: Pascal (1641-ban) majd L e i b n i z (1673-ban) m u t a t t a be számológépét.

Ezek a gépek a 19. században egyre e l t e r j e d t e b b é v á l n a k , - tömeggyártásuk 1930-as évekre a l a k u l t .

- az elektromos a s z t a l i számológépek az 1950-es években f e j l ő d t e k és már p a p í r s z a l a g o k r a i s k i í r n a k a d a t o k a t , - ü z l e t e k b e n , h i v a t a l o k b a n t e r j e d n e k e l .

- az e l e k t r o n i k u s , t r a n z i s z t o r o k k a l m ű k ö d t e t e t t számológépek az 1962-es években robbanásszerűen h ó d í t a n a k !

- a zsebszámológépek p á l y a f u t á s a az 1970-71-es években k e z d ő d i k , - egyre t ö k é l e t e s e b b e k , s egyre k i s e b b m é r e t ü k k e l , működési é l e t t a r t a m u k k a l , e n e r g i a f o r r á s u k k a l válnak népszerűbbé. Ma már f é n y h a t á s á r a működő vagy k a r ó r a méretű számológépek i s mindennapi eszközök!

Mégis, az i s k o l a i o k t a t á s b a n sokáig v i t a t o t t kérdés a zsebszámológépek alkalmazása, - f é l t v e a t a n u l ó k számolási készségének v i s s z a f e j l ő d é s é t ! A mai iskolásgyermek a j ö v ő embere léptennyomon t a l á l k o z n i f o g s z á -mológépekkel a h i v a t a l o k b a n , a kereskedelemben, különböző munkahelyeken, i l l e t v e gyakran f o g t a l á l k o z n i pontos és gyors számolást i g é n y l ő f e l a d a t t a l , h e l y z e t e k k e l , legyen akár háziasszony vagy b o l t i k i s z o l g á l ó , k i s i -paros vagy t e r m e l ő v a l a m i l y e n munkahelyen! - A t e r v e z é s t e r ü l e t é t nem i s

5

-említem, h i s z e n o t t már a kompjuterek v i l á g a a l a k u l !

Mindezek m i a t t az i s k o l á n a k f e l a d a t a tudomásul venni a számológépek l é t é t és u e g i s m e r t e t n i a t a n u l ó k a t a gépek k e z e l é s é v e l , m a x i m á l i s t e l j e s í tőképességeiknek f e l i s m e r t e t é s é v e l és a legegyszerűbb számolási e l j á r á -sokkal !

A folyamatban l é v ő t a n t e r v i r e f o r m dokumentumai már k i e m e l i k : Mégis sokan aggódva szólnak vagy v i t a t k o z n a k azon, Iragy a gyermekek e l f e l e j t e n e k f e j -ben vagy í r á s b a n s z á m o l n i !

V á l a s z : Ez nem k ö v e t k e z h e t tie, tia a tanár m e g f e l e l ő e n á t g o n d o l v a , - éppen a számolási készség f e j l e s z t é s e s z o l g á l a t á b a n , m e g f e l e l ő m e t o d i k á v a l a l -kalmazza oktatásában a számológépet!

I I .

Az á l t a l á n o s i s k o l a i t a g o z a t o s matematikai o s z t á l y o k b a n 1901.es é v t ő l k í -s é r l e t e t végeztünk a -szeb-számológépek a l k a l m a z á -s á r a . A legegyszerűbb s z á -mológépek i s alkalmasak a négy a l a p m ű v e l e t , a V s z á i n í t á s , a h a t v á n y o z á s , e s e t l e g a gyökvonás e l v é g z é s é r e .

Meghatároztuk a z t a t a n a n y a g o t , amelynek k e r e t é b e n o s z t á l y o n k é n t m e g t e r -vezhető a zsebszámológép megismertetése és h a s z n á l a t a . Ö n á l l ó óraszámokat nem j e l ö l t ü n k a zsebszámológépekkel v a l ó munkához. A/ a d o t t témák k e r e t é -ben k e r ü l t f e l d o l g o z á s r a az ú j e l j á r á s és a gépek alkalmazása az e l ő í r t követelmények e l é r é s é r e .

5. o s z t á l y

Egyszerű számológépek alkalmazása a műveletek ( + ; ; x ; f ; és h a t v á n y o -zás) e l v é g z é s é r e , számítások e l l e n ő r z é s é r e összeadás, k i v o n á s és o s z t á s , k o n s t a n s s a l v a l ó s z o r z á s és c s z t á s e s e t é n .

Számok v a l a h á n y a d i k hatványának k i s z á m í t á s a : a más számrendszerek h e l y i -é r t -é k e i n e k meghatározása. (Számolás t e r m -é s z e t e s számok -és t i z e d e s t ö r t e k k ö r é b e n . ) K o r r e k t ú r a h i b á s a n beadott adatuk e s e t é n , számok pontossága -n y o l c j e g y ű számok - s z á m k ö r b ő v í t é s .

Követelmény

Tudják a számológépet k e z e l n i , a l k a l m a z n i egyszerű műveletek és m ű v e l e t -sorok e l v é g z é s é r e . Alkalmazzák számítások e l l e n ő r z é s é r e a természetes és t i z e d e s ^ t ö r t e k körében.

6. o s z t á l y

Számológéppel n e g a t í v szám szorzása, o s z t á s a , Egész számuk. S z á z a l é k é r -t é k , s z á z a l é k l á b , alap k i s z á m í -t á s a számológéppel.

Számok r e c i p r o k é r t é k é n e k t i z e d e s t ö r t a l a k j a . Számológép pontossága k e -r e k í t e t t é -r t é k e k k e l v a l ó szánolás.

Képletek átrendezése - s z o r z a t o k összege e s e t é n .

Köve telmény

Tudják a számológépet a l k a l m a z n i a s z á z a l é k é r t é k , száza l é k l á b és a l a p k i s z á m í t á s á r a ; n e g a t í v számok szorzása és osztása. Tudják a r e c i p r o k é r t é -k e t meghatározni.

7. o s z t á l y

Hatványok hatványa számológéppel. S z á z a l é k k a l n ö v e l t és c s ö k k e n t e t t összeg k i s z á m í t á s a , tísszeg szorzása és o s z t á s a ; különbség szorzása és osztása.

Egyéb azonosságok a számológéppel; l á n c m ű v e l e t e k , hatványozás ö s s z e t e t t műveletekben. K o n s t a n s t á r o l á s ! Sorqzatok e l ő á l l í t á s a . Számtani és m é r t a n i sorozatok Összege. Reciprokképzés k é t f é l e m ó d s z e r r e l ! Lnko és l k k t megha-tározása számológéppel.

Követelmény

Alkalmazása a számológépnek a h a t v á n y o z á s n á l , s z á z a l é k k a l n ö v e l t és csök-k e n t e t t összeg csök-k i s z á m í t á s á r a , az összeg és csök-különbség s z o r z á s a , osztása e l v é g z é s é r e , egyéb azonosságok a l k a l m a z á s á r a .

7

Nagy számokkal v é g z e t t összeadás és szorzás esetén t u d j a l e o l v a s n i a k i -í r t k e r e k -í t e t t é r t é k n a g y s á g r e n d j é t .

ü. o s z t á l y

Számológép alkalmazása g e o m e t r i a i számításokban. Azonosságoknál a gép l e hetőségének e l l e n ő r z é s e p l : egy szám o s z t á s a , szorzása ö s s z e g g e l , k ü l ö n b -s é g g e l .

K é p l e t á t r e n d e z é s e k , k o n s t a n s t á r o l á s .

Követelmény

Tudja a l k a l m a z n i a számológépet a g e o m e t r i a i számításokban, az azonosságok megoldását m e g f e l e l ő e l l e n ő r z é s s e l a l a k í t s a k i , p l : ö s s z e g g e l , k ü -lönbséggel v a l ó o s z t á s , szorzás e s e t é n .

111.

A zsebszámológépből, ha maximálisan a z t s z e r e t n é n k " k i h o z n i " , amire képes a gép, ahhoz meg k e l l t a n u l n i a k e z e l é s é t , az "én" gépem t u l a j d o n s á g a i t meg k e l l i s m e r n i , s a s z e r i n t k e l l a m ű v e l e t e k e t , m ű v e l e t s o r o k a t e l -végezni v e l ü k ! Nem elegendő kézbe a d n i a g é p e t , és a b i l l e n y t y ú k é t nyom-k o d n i , - mert e z t b á r nyom-k i e l t u d j a végezni meggondolással a b i l l e n t y ű z e t j e l r e n d s z e r e a l a p j á n , - lianem é r t e n i k e l l , i s m e r n i k e l l b e l s ő r e n d s z e r é t és annak m e g f e l e l ő e n t u d a t o s a n , f i g y e l m e s e n k e l l d o l g o z n i a g é p p e l !

1. Zsebszámológép h a s z n á l a t a közben e l ő f o r d u l h a t n a k személyi e r e d e t ű h i bák, p l : r o s s z a d a t o t b i l l e n t y ű z t ü n k vagy h e l y t e l e n m ű v e l e t i j e l e t . A h i bák egy r é s z é t észrevesszük, másik r é s z é t nem. A végeredmény s z e m p o n t j á -ból közömbös m i t h i b á z t u n k , - a számítás eredménye h i b á s l e s z ! Felméré-s e k k e l e l l e n ő r i z t é k a b i l l e n t y ű k " t é v e Felméré-s " h a Felméré-s z n á l a t á t , Felméré-s ezek a l a p j á n megá l l a p í t o t t u k : 20150 b i l l e n t y ű b e n y o m megá s a k ö z ö t t megá t l a g o s a n egy, nem é s z r e -v e t t h i b á -v a l dolgozhatnak az á t l a g o s egyének! A h i b á k száma függ az egyén i a d o t t s á g t ó l i s , a p i l l a egyén a t egyén y i l e l k i á l l a p o t t ó l , a számológép k e z e l é s é

ö

-nek m ó d j á t ó l , a gép é r z é k e n y s é g é t ű i , a munkavégzés g y o r s a s á g á t ó l s t b . Nagyon f o n t o s t e h á t a számitások e l l e n ő r z é s e , i l l e t v e a v á r h a t ó é r t é k e k e l ő r e b e c s l é s e ! Természetesen a tanár e l ő z e t e s számítása a l a p j á n a munka e l l e n ő r z é s e mindig b i z t o s í t o t t !

A h i b á s adatokat k o r r i g á l h a t j u k ! A legegyszerűbb gépek i s rendelkeznek i l y e n t u l a j d o n s á g o k k a l :

a) A QTJ b i l l e n t y ű v e l a k i j e l z ő r e n d s z e r b e n l á t h a t ó adatok t ö r ö l h e -t ő k , - a gépe-t ű j m ű v e l e -t r e k é s z í -t i e l ő , C - Clear szó k e z d ő b e -t ű j e min-dent t ö r ö l !

b) A [ü] v a l i s l e h e t t ö r ö l n i , de csak a műveletek eredményét t ö r -l i , a b e í r t adatokat nem, - az [ = ] j e -l r e az e -l s ő a d a t o t v i s s z a a d j a ! Ez e l l e n ő r z e n d ő t u l a j d o n s á g a a gépnek, mert géptípusonként v á l t o z ó , -és hiba f o r r á s a l e h e t a számolásnak!

c ) A [CE^ b i l l e n t y ű i s t ö r ö l , de alkalmas egy hibás adat t ö r l é s é r e , azaz a műveletsor f o l y t a t h a t ó az adat j a v í t á s a u t á n , p l : a 170 + 346 összeget szeretnénk s z á m í t a n i , de v é l e t l e n ü l 3 5 6 - o t ü t ö t t ü n k a gépbe. A CE b i l l e n t y ű benyomásával a h i b á s adat j a v í t h a t ó ! Az • j e l l e l e l -l e n ő r i z n i k e -l -l az e -l ő z e t e s e n b e í r t a d a t o t , mert a gép a [Jü-lj - b i -l -l e n t y ű benyomása után 0 - á t j e l e z !

Gépenként v á l t o z ó t u l a j d o n s á g az i s , hogy m ű v e l e t i j e l b e í r á r á v a l vagy a n é l k ü l f o l y t a t h a t ó a művelet!

Programja: 170 [TJ 356 [CEj Q Q 346 Q 534

b i l l e n t y ű szerepe, ha hosszabb CE

Különösen c é l s z e r ű n e k l á t s z i k a

adatsor beírása közben h i b á z u n k , s így nem k e l l az egész a d a t s o r t ú j r a b e í r n i egy e l h i b á z o t t adat beütése m i a t t , hasonlóan j a v í t h a t ó a hibásan b e í r t m ű v e l e t i j e l i s !

2. A zsebszámológépekkel v a l ó munka f e l t é t e l e z i a v á r h a t ó eredmények á l -landó e l ő r e b e c s l é s é t és az u t ó l a g o s e l l e n ő r z é s t . A k í s é r l e t e z ő t a g o z a t o s o s z t á l y o k n e v e l ő i a r r ó l számoltak be, hiogy a v á r h a t ó eredmény " b e c s l é s e " ugrásszerűen f e j l e s z t i a tanulók f e j s z ú m o l ó képességét!

9

f e j l ő d i k a m ű v e l e t i t u l a j d o n s á g o k n a k , műveletsoroknak, a művelet s o r -r e n d j é n e k , sőt á t -r e n d e z é s i t e c h n i k á j á n a k ÓE sze-repüknek f e l i s m e -r é s e ; - f e j l ő d i k a m ű v e l e t i azonosságok alkalmazásának, f e l i s m e r é s é n e k

képessé-ge és a m ű v e l e t i azonosságok á t í r á s á n a k képesséképessé-ge.

Mindezek v i z s g á l a t á r a és a gondolkodásra a gép j e l e n l é t e m o t i v á l j a a t a -n u l ó k a t ! A t a -n á r i s t u d a t o s a -n adhat ö t l e t e k e t a k o -n k r é t f e l a d a t o k kapcsá-n a k e r e k í t é s e k r e , a f e j s z á m o l á s e l j á r á s á r a .

Maguk a tanárok e m l í t i k , tragy a " b e c s l é s " , " k e r e k í t é s " , " f e j s z á m o l á s " , "azonosságok a l a k u l á s a " e n n y i r e i n t e n z í v alkalmazása k i m a r a d t a k o r á b b i g y a k o r l a t u k b ó l - t a l á n i d ő k í m é l é s az í r á s b e l i számolás hosszas végzése mia t t !

3. I s m e r n i k e l l a számológépek s a j á t o s t u l a j d o n s á g a i t , hogy mely t e r ü -l e t e k e n j e -l e n t k e z h e t n e k e -l t é r é s e k ? P -l :

t i z e d e s t ö r t a d a t o k k a l másként és másként bánnak a gépek, a gép t í p u s á t ó l függően! Vannak gépek, amelyek a v é g t e l e n t i z e r í e s t ö r l e k u t o l s ó h e l y i -é r t -é k -é n k e r e k í t i k a számokat, más g-épek nem! Vannak " l e b e g ő p o n t o s " számológépek, amelyek mindig csak k é t t i z e d e s j e g y r e k e r e k í t e t t é r t é k k e l d o l -goznak! Vannak gépek, amelyek G h e l y i é r t é k e t í r n a k k i , de vannak t í z hel y i é r t é k ű e k ! Vaunak gépek, amehelyek a 0.3333333 szánnak a 0 egészéi k i j e hel -z i , más gépek e-z .33333333 alakban í r j á k k i . A-z elő-ző 7 t i -z e d e s j e g g y e l , az u t ó b b i ü t i z e d e s j e g g y e l , pedig m i n d k e t t ő n y o l c - s z á m j e g y e s gép!

a gépek "befogadóképessége" más és más! A l e g á l t a l á n o s a b b gépekbe b e í r -ható legnagyobb é r t é k ű szám: 99 999 999 és a l e g k i s e b b é r t é k ű szám: 0.000 0001 (1 m i l l i o m o d ) . Ha ezekhez a szarokhoz hozzáadunk vagy t i z e d e s s e l megszorozzuk, akkor " t ú l c s o r d u l á s " , i l l e l t v e " a l u l c s o r d u l á s " k ö v e t k e -z i k be.

Az " a l u l c s o r d u l á s t " f i g y e l m e z t e t é s n é l k ü l 0 - v a l j e l z i a gép. Ez á l t a l á b a n azonosan j e l e n i k meg különböző g é p e k n é l !

A " f e l ü l c s o r d u l á s t " a gép j e l z i [" vagy E j e l l e l . ( E r r o r = h i b a ) és t i z e despont j e l e n t i k meg az adatban. E z z e l az a d a t t a l nem l e h e t tovább d o l -g o z n i , mert a -gép a b i l l e n t y ű k h a s z n á l a t á r a nem r e a -g á l , p l :

A gépek á t t é r n e k a számok normál a l a k j á v a l v a l é k i j e l z é s r e , - egyes gépek e z t j e l z i k i s de l i e l y i é r t é k hiánya m i a t t csak néhány t i z e d e s j e g g y e l j e -l ö -l i k ! M i l y e n v a l ó d i nagyságrendű a f e n t i s z o r z a t é r t é k e ? n 1214.8148 • 10° 121 481 480 OGÜ, azaz "Százhuszonegyezer-négyszáznyolcvanegy m i l l i ó . . . " _• 10 hatvány a gép 8 h e l y i é r t é k é n e k l i a t v á n y a l a k j a .

(A tudományos c é l é számológépek rendelkeznek a számok n o r m á l a l a k j á v a l v a l ó számolás l e h e t ő s é g é v e l ! A gépen lEXfj = exponens, azaz k i t e v ő t j e l ö -l ő b i -l -l e n t y ű v a n ! )

A l e g e g y s z e r ű t b gépek nem rendelkeznek a "magasabb rangé" műveletek á t -rendező-képességével, p l : s z o r z a t o k összegét h i b á s a n v é g z i , ha a gép h a s z n á l ó j a e r r e nincs f i g y e l e m m e l ! A r n ű v e l e t l á r i c o t á t k e l l rendezni vagy a részeredményeket p a p í r r a l e j e g y e z n i és a gépet tudatosan k e l l h a s z n á l n i ! ( E z é r t j a v a s o l j u k , hogy b a l k é z z e l k e z e l j ü k a g é p e t , mert a s z á m í t á -sok részeredményeinek, vagy eredményeinek b e j e g y z é s é t kezünkben t a r t o t t í r ó e s z k ö z z e l azonnal j e g y e z n i t u d j u k ! ) P l : 120 ' 5 + 4 3 ' 7 = s z o r z a t o k összege a) 120 0 5 43 [ x ] 7 Q ] 4501 eredmény h i b á s , mert a 120 és szorzatához a d o t t 4 3 - a t szorozza 7 - t e l ! A • D + C • 0 = ( A ' B + C ) ' D b) E l ő r e tervezve a t a n u l ó e g y s z e r ű s í t h e t i a f e l a d a t o t : 4 3 0 7 0 6 0 0 0 eredmény l i e l y e s ; mert a 120 ' 5 = 600 s z o r -z a t o t f e j b e n elvége-zve e g y s -z e r ű s í t e t t ü k a f e l a d a t k i s -z á m í t á s á t . c ) A memóriával r e n d e l k e z ő gépek e s e t é n az e l s ő s z o r z a t o t az [MJ b i l -l e n t y ű v e -l e i t i e -l y e z z ü k , majd a második s z o r a t u t á n J T R ] vagy [RMJ b i l l e n t y ű v e l v i s s z a h í v j u k és fwzzáadjuk a k i j e l z ő n k i í r t s z o r z a t h o z . Tekintsük most más a d a t o k k a l a f e l a d a t o t :

- 1 I

12 • 15,4 + 16 ' 23,6 =

12 0 15.4 [ J [M] 16 0 23,6 0 0 [rm] 0 362.4

d) Ue e l ő f o r d u l , liogy a memóriát már rnás sdat t á r o l á s á r a i g é n y b e v e t t ü k , akkor a " k é p l e t á t r e n d e z é s é t " k e l l a l k a l m a z n i úgy, hogy az A'B + C'D művelet a r i t m c t i k a i l a g egyező l e g y e n :

( —--x--- + 0 ) x C m ű v e l e t s o r r a l , azaz C

A |~x~] B 0 C 0 D f x ] C 0 le s z 3 számolás " p r o g r a m j a " . Mostinár a legegyszerűbb g é p p e l , memória n é l k ü l i s összegezhetők s z o r z a t o k , p l :

12 0 15.4 0 16 0 23,6 0 16 0 562.4 az eredmény megegyezik az előző módszerrel k i s z á m í t o t t eredménnyel!

A gépek rendelkezhetnek konstans t á r o l ó - k é p e s s é g g e l . Erinek s e g í t s é g é v e l tudunk a gépekkel növekvő vagy csökkenő s o r o z a t o k a t k é p e z n i ! üe ez a t u -l a j d o n s á g nem egységesen / j e -l e n i k meg minden g é p t í p u s n á -l , - ez r u t a gép használójának k e l l m e g v i z s g á l n i a k o n s t a n s t á r o l ó k é p e s s é g e t !

a) Próbaként végezzük e l a következő m ű v e l e t e t : l / a . 13 Q 8 Q • Q

0, 21, 3 4 , . . .

v a9 V 13 0 0 0 0

13, 26, 39, 5 2 , . . . ;

Ha az 0 b e ü t é s é r e n i n c s v á l t o z á s a k i j e l z ő r e g i s z t o r é n , akkor a gép nem r e n d e l k e z i k a sorozatképzés ezen t u l a j d o n s á g á v a l . ( I t t az e l s ő t a g a k o n s t a n s ! )

2 / a . 200 0 25 0 0 0 200, 175, 150, 1 2 5 , . . .

Á l t a l á b a n az egyszerű g é p t í p u s o k n á l n i n c s k o n s t a n s t á r o l á s összeadásra és k i v o n á s r a nézve. (A kivonandó a k o n s t a n s ! )

12

-b) De még a s z o r z á s r a és o s z t á s r a nézve l e h e t konstans t á r o l ó képessége. A legegyszerűbb g é p t í p u s o k i s rendelkeznek ezzel a t u l a j d o n s á g g a l ! ! / " • 2 [x] 3 Q Q Q •

6, 12, 24, 4 0 . . .

Az elsőnek t x ; : í r t tényezőt t e k i n t i konstansnak.

2 / b . 24 n 2 • • • n 12, 6, 3 , . . .

Osztásnál az o s z t ó a k o n s t a n s .

A k o n s t a n s t á r o l ó képesség g é p t í p u s t ó l f ü g g , e z é r t e z t a k í s é r l e t e t mindig végezzük e l . P l :

SHARP EL-00169S t í p u s ú gép csak a s z o r z á s r a és o s z t á s r a nézve, a FACITgép p e d i g az összeadás, szorzás, o s z t á s r a nézve r e n d e l k e z i k e z -z e l a t u l a j d o n s á g g a l . Több géptípus mind a négy a l a p m ű v e l e t r e né-zve k o n s t a n s t á r o l ó .

c ) Ezt a képességet alkalmazzuk h a t v á n y o z á s n á l , f i i : Mennyi 3' é r t é k e ?

5 B Q Q 0 0 Q Q M

(De ö s s z e t e t t e b b gépek [ y ^ j f ü g g v é n y é r t é k k e l s z á m o l j á k k i a h a t v á n y é r t é k e k e t ! )

A hatványazonosságok g y a k o r l á s é r a - hatványok s z o r z a t a , hányadosa és hatványa számításokhoz - v á l t o z a t o s f e l a d a t o k j e l ö l h e t ő k .

d) Más j e l l e g ű konstans t á r o l ó képessége i s l e h e t a zsebszámológépeknek, p l :

1 / d . Azonos t a g o t adunk különböző szánokhoz, p l : 1526; 17; 3 . 4 ; és a 83-hoz szeretnénk 1985-öt hozzáadni.

Ha a gép r e n d e l k e z i k e z z e l a képességgel, akkor 0 [_»J 1905 b e í r á s a u t á n a k i j e l z ő n m e g j e l e n i k 1905.

1905 13 1905 -t e l nagyobb é r -t é k e k e -t ! l é h á t : 0 JTj 1905

•

•

•

•

•

Hasonlóan e l l e n ő r i z h e t ő k i v o n á s r a i s ez a képessége a gépnek: Egy a d o t t számból különböző é r t é k e k k i v o n á s a !

2 / d - A szorzó k o n s t a n s t á r o l á s a , - á l t a l á b a n a legegyszerűbb gépeknel i s képessége. Nagyon hasznos a k k o r , ha több szánnia 1 ugyané/1: a sznr zást k e l l e l v é g e z n i , p l : t á b l á z a t o t k e l l k é s z í t e n i .

Mennyi a kör k e r ü l e t e 1; 1 . 5 ; 2; 2 . 7 ; 3 s t b . c e n t i m é t e r sugár ese tén? A k ö r k e r ü l e t k é p l e t e : 2 " O l , * r k o n s t a n s ; v á l t o z ó é r t é k A gép p r o g r a m j a : 2 0 3.14 [ x ] 1 \ J \ 6.20 " 1.5 ra 2 0 2.7 Q r 1 1.5 2 2.7 3 3.6 4.7 2rX 6.20 9.42 12.56 16.906 10.04

Hasaonlőan f e l b o n t h a t ó k a g e o m e t r i a i számítások k é p l e t e i konstans é v á l t o z ó é r t é k e k r e . E z z e l a v i z s g á l ó d á s s a l t a r t a l m i l a g i s m é l y ü l f e l s z í n és t é r f o g a t s z á m í t á s , s ő t az i n v e r z f e l a d a t o k r a i s — f e l s z í n vagy t é r f o g a t b ó l adatok meghatározása — k e l t ő i d ő marad.

14

-l á s s á -l !

Mennyi az 5-üd része: 795; 15340; 202.125 szánoknak?

5 f t l 5 [ 3 1 e z z e l h í v j u k e l ő a k o n s t a n s t 795 Q

, 15 340 [ 3 202.125 •

Más gép az e l s ő osztás u t á n megőrzi az o s z t ó t k o n s t a n s k é n t !

Ma tenia l i k a i l e h e t e t l e n s é g j e l z é s e i s másképpen j e l e n i k nng gépenként, p l . 0 - v a l ó o s z t á s r a programozzuk a gépet!

M e g j e l e n i k az E vagy j e l , de g é p t í p u s t ó l függően egyéb j e l z é s t i s l á t -hatunk :

- v i l l o g ó 0 - j e l

- 0.[

- több t i z e d e s p o n t

- a k i j e l z ő n csupa 0-számjegy - vagy minden fény e l t ű n i k .

Amíg a készüléken a hiba j e l z é s e van, addig t o v á b b i m ű v e l e t e t végezni nem l e h e t . A h i b a j e l z é s é t csak a [ ü j - b i l l e n t y ű v e l s z ü n t e t h e t j ü k meg!

Még s o r o l h a t ó k lennének a gépek s a j á t o s k é p e s s é g e i , a gépek b e l s ő t u l a j -donságai, - de ezeket t u d a t o s h a s z n á l a t közben i s m e r h e t j ü k meg! A gépek k e z e l ő i u t a s í t á s a i nagyon szűkszavúak vagy sokszor n i n c s u n u e k , nem magyar szövegűek! így a t a n u l ó k a t c é l s z e r ű ezekre f e l k é s z í t e n i .

I V . A zsebszámológépek a l k a l m a z á s á v a l a m a t e m a t i k a i i s m e r e t e k i s m é l y ü l n e k ! S e g í t i az összefüggések mélyebb m e g é r t é s é t , p l : a t ö r t r é s z s z á z a l é k é r ték számítás; az egész és a l a p k i s z á m í t á s a ; az arány s z á z a l é k l á b s z á -mítása k ö z ö t t ! A s z á z a l é k k a l n ö v e l t és c s ö k k e n t e t t é r t é k e k meghatározása l e e g y s z e r ű s ö d i k , - a hosszas k ö v e t k e z t e t é s i e l j á r á s t f e l v á l t j a a gépre alkalmasabb számításmód!

_ JL J ~

Az arányossági f e l a d a t o k n á l s e g í t i a " v á l t o z á s arányával való s z o r z á s , i l l e t v e o s z t á s " m ű v e l e t i e l j á r á s m e g é r t é s é t ! A r a c i o n á l i s számok v i z s g á -l a t á r a s o k f é -l e a-lka-lom k í n á -l k o z i k ! A gépek s e g í t é s é v e -l több f e -l a d a t meg-oldása t e r v e z h e t ő és az egész f e l a d a t k i m e n e t e l é t k e l l t e r v e z n i , hogy ne apró, s z é t h u l l ó s z á m í t á s o k k a l jussunk a megoldáshoz! P l :

126 tanulónak t á b o r o z á s i k ö l t s é g e 56700 T t . U t ó l a g j e l e n t k e z e t t még 10 p a j t á s . Mennyit f i z e t t e k be a t á b o r o z á s é r t ?

a) Hagyományos számítások j e l e n n e k neg a f ü z e t e k b e n , s z é t h u l l ó művelő l u k !

5670Ü : 126 - 450 F t / f ő 450 ' 136

630 1350 00 2700

61200 F t

b) Az egész f e l a d a t átgondolására u t a l ó t e r v e z é s lenne szükséges még az í r á s b e l i számolásnál i s ! E g y s z e r ű s í t é s i l e h e t ő s é g e t k í n á l ! 60 900 56 700 • = jS-jQTÍ • 60 = 60 ' 900 ••= 61 700 (I t ) 63 1 c ) Géppel e l l e n ő r i z z é k a számítást - l e g a l á b b néhányan! 56700 [£] 126 0 136 = 61 200 ( F t )

Az í r á s b e l i számolásnál i s c é l s z e r ű az egész f e l a d a t megoldási a l g o r i t m u sának a megtervezése! Ezt a gondolkodásmódot i s a zsebszámológép j e l e n l é -t e s e g í -t i ! Egy m ű v e l e -t s o r r a l , — e s e -t l e g memória h a s z n á l a -t meg-tervezésé- megtervezésé-v e l — c é l s z e r ű a f e l a d a t o t e l ő k é s z í t e n i a géppel megtervezésé-v a l ó k i s z á m í t á s r a ! Ma már az o s z t á l y o k t a n u l ó i n a k 80-90 \-a r e n d e l k e z i k s a j á t t u l a j d o n i ) zsebszámológéppel - így j e l e z t é k a k í s é r l e t e z ő n e v e l ő k !

Az i s k o l á k s z e r t á r á b a i s b e k e r ü l t e k már zsebszámológépek! Annál é r d e k e -sebb a f e l a d a t o k megoldása, minél t ö b b f é l e géppel szári*)Inak a g y e r e k e k ,

így van l e h e t ő s é g a g é p i t u l a j d o n s á g o k v i z s g á l a t á r a ( k e r e k í t é s , számok a l a k j a s t b . ) !

V. i

Matematika o k t a t á s u n k a l a p v e t ő c é l k i t ű z é s e a t a n t á r g y m e g s z e r e t t e t é s e . Zsebszámológépekkel érdekes f e l a d a t o k , j á t é k o k i s v é g r e h a j t h a t ó k ! Szakkör i k e Szakkör e t b e n , i s k o l á n k í v ü l i f o g l a l k o z á s o n bemutathatok és közösen j á t s z -hatók a zsebszámológéppel, p l :

1. Polindrom e l ő á l l í t á s a

Az o l y a n számok, amelyek v i s s z a f e l é o l v a s v a i s ugyanazt a számok a d j á k , p l : 121; 323, 89196 s t b .

F e l a d a t : Keressük meg az összes háromjegyű n é g y z e t s z á m - p o l i n d r o m o t ! Hányat t a l á l t u n k ? (Ezekhez a számokhoz könnyen e l j u t h a t u n k , ha 10 és 31 k ö -zé eső egész számokat n é g y z e t r e e m e l j ü k ! )

2. Szerencsés számok

A d o t t képzési s z a b á l l y a l számsorozatot í r u n k f e l , s ez e l v e z e t h e t az 1 -es számhoz. A s o r o z a t k i i n d u l ó eleme "szerencsés szám".

a) Legyen a s o r o z a t kezdőeleme t e t s z é s s z e r i n t i p o z i t í v egész szám, éü minden t o v á b b i elemét ügy képezzük, hogy nz el ó t hí á l hi elem számje-g y e i t nészámje-gyzetreemeljük és ezek ö s s z e számje-g é t vesszük, p l :

7, ^49, 97, 139, 10, 1 16+81= 97

Ha a z t t a p a s z t a l j u k , hogy a s o r o z a t néhány lépés u t á n e l é r i az 1 e t -a kezdő szárr-at p l : -a 7 - e s t "szerencsés szánn-ak" nevezzük.

b) I n d u l j u n k k i a 9-es számból! Az e l ő b b i képzési móddal á l l í t s u k e l ő a s o r o z a t o t !

( M e g f i g y e l h e t ő , hogy 0 elemű c i k l u s k e l e t k e z i k , melynek e l e m e i : 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4 , 16 és megismétlődöen!) így a 9es nem s z e r e n -csés!

17

-c ) Válasszuk k i i n d u l ó elemnek a következő számokat: 6, 0, 13, 19, 21, 2 3 , 30.

Melyek szerencsés számok? A nem szerencsés számok 0 elemű c i k l u s a i b a n s z e r e p l ő elemeket h a s o n l í t s u k össze a 9 - n e l k e z d ő d ö t t sorozni H elemű c i k l u s á v a l ! (Ugyanezek a számok, csak más és más a c i k l u s e l s ő e l e m e ! )

d) Válasszuk k i az 5 0 < x = 100 számok k ö z ü l a szerencsés számukat! (Ha pontos a s o r o z a t k é p z é s , 9 i l y e n szám v a n ! ) További, v i z s g á l a t o k a t é r d e -mes végezni a szerencsés számokról, p l : v é g t e l e n sok szerencsés szám van s t b .

3. Háromjegyű számok p ó l u s a : 495

T e t s z é s s z e r i n t i háromjegyű számból i n d u l u n k k i , melynek minden számjegye különböző. Legyen ez p l : 326. Ebből a l e g k i s e b b és legnagyobb háromjegyű számot á l l í t s u k e l ő és számítsuk k i a k ü l ö n b s é g ü k e t !

632 - 236 = 396 A k a p o t t különbségből i s képezzük a legnagyobb és 963 - 369 - 594 l e g k i s e b b számok k ü l ö n b s é g é t és f o l y t a s s u k tovább! 954 - 459 = [495]

A 495-ből már ú j a b b legnagyobb és l e g k i s e b b szám különbsége nem képezhe-t ő , i képezhe-t képezhe-t m e g á l l képezhe-t a számíképezhe-tás!

f e l a d a t : Több háromjegyű szám hasonló v i z s g á l a t a után i n d o k o l j u k , m i é r t vezet e l m i n d i g a k é p z e t t legnagyobb és l e g k i s e b b számok különbsége a 495-ös számhoz - v a g y i s m i é r t 495 a " p ó l u s a " a háromjegyű számoknak? ( F i g y e l j ü k meg: az e l s ő k a p o t t különbségben a középső szám 9 - e s ; az e l s ő és u t o l s ó számjegyek összege 9 ! )

4. 13-mal, 1 1 - g y e l és 7 - t e l o s z t h a t ó számok

Bármelyik abcabc a l a k ú háromjegyű szám o s z t h a t ó 13-mal, 1 1 - g y e l és 7 - t e l ! M i é r t ? í r j u n k a gépbe t e t s z ő l e g e s háromjegyű számot és ugyanazt a három-számot í r j u k m e l l é . Az így n y e r t 6 - j e g y ű három-számot osszuk e l egymás u t á n 13-mal, 1 1 - g y e l és 7 - t e l !

462

-p l : 422422 [T] 13 0 11 (T) 7 [=] 422 A z é r t mert 13 [ x ] 11 [ x ] 7 g 1001

és 422 [ x ] 1001 • 422422

5. Játék számokkal

a) Háromjegyű, azonos számjegyű számok négyzetét m i é r t s z á m í t h a t j u k k i az a l á b b i mórion? ( P r ó b á l j u k k i más számokra i s ! ) 2 777 = 7 777 77777 06247 • 7 = 603729 b) V i z s g á l j u k és i g a z o l j u k , hogy a szorzás t é n y e z ő i b e n és a s z o r z a t b a n az 1, 2, 3 . . . , 9 számjegyek vannak! 1730 ' 4 = 6952 190 * 27 = 5346 403 ' 12 = 5769 Keressünk t o v á b b i - hasonló t u l a j d o n s á g é s z o r z a t o k a t . c ) I g a z o l j u k , hogy a ( 1 0 ' a + b ) ( 1 0 * c + d ) s z o r z a t á n á l érvényes az a l á b b i egyenlsöség! 12 ' ' 42 = = 21 • 24 A tényezőkben a számjegyeket f e l c s e -13 : r 62 = = 31 • 26 r é l t ü k a s z o r z a t mégis e g y e n l ő ! 24 ' ' 63 = = 42 • 36 6. Kedvenc szám

Ha v a l a k i n e k van "kedvenc" számjegye, annak tömeges e l ő á l l í t á s á r a töhb módszer l e h e t s é g e s , - és megkaphatja a "kedvenc" számjegyét a számológép k i j e l z ő j é n e k minden h e l y i é r t é k é n !

1 9

-a) 12345679-et szorozzunk meg a kedvenc szám 9 - s z e r e s é v e l !

12345679 [7] 5 [ x ] 9 [=] 55555555

" i

( kedvenc

A szorzandóból csak a 0 és 8-as h i á n y z i k ! A szorzás s o r r e n d j e fon l o s !

b) 15873 [T] 7 K [ g KKKKKK

K = Kevenc szám

Á l l í tsunk e l ő más módszerekkel i s kedvenc számot. I n d o k o l j u k az e l ő á l -l í t á s módját!

7. Szavak í r á s a számológéppel

A számológép számjegyei b e t ű k e t képeznek, fin gépet " l e j j e l l e f e l é " t a r t -j u k .

1 = 1 2 = Z 3 = E 4 = h 5 = S

6 = g 7 = L 8 = 0 9 = b 0 = o - h e t ű n e k o l v a s h a t ó !

A szöveget mindig az u t o l s ó b e t ű v e l k e z d j ü k b e í r n i , p l : ZOLI > 1702 SZELI ^ 17325

Mi v o l t a v i l á g gazdasági válságának oka? 71077345 számról l e o l v a s h a t ó !

l o v á b b i j á t é k o s f e l a d a t o k o l d h a t ó k meg a zsebszámológéppel (Csákány An-t a l : M i An-t An-tud a zsebszámológép? Műszaki Kiadó 1901)

"Megoltla t i an p r o b l éma" egy a d o t t s z a b á l l y a l k é p z e t t s o r o z a t v a l a h á -nyadik e l e m é t ő l 4, 2, 1 elemek i s m é t l ő d é s e k ü v e t k z o i k .

- "Számok generál ása" v é l e t l e n s z e r ű e n számológéppel, pJ: kockadobás lír:-l y e t t e s í t é s é r e . (De akár 4 - j e g y ű szánok i s g e n e r á lír:-l h a t ó k ! )

"Nap lárszámf t á s " A d o t t dátoin m i l y e n napra e s i k p l : 1700 mám ins 1. -2000. f e b r u á r 28. k ö z ö t t .

- Vetélkedő j á t é k o k : ügyességi j á t é k o k p l : "A zérus a c é l " , "Vagy-vagy" s t b .

iL

-KRYSTYNA D I A L E K AND A L E X A N D E R G R Y T C Z U K

SOME REMARKS ON C E R T A I N D I O P H A N T I N E E Q U A T I O N S

ABSTRACT: The paper gives resutte on ihe nolutionn of ihe

equation& a xn+ aJxn~1y + . . . + a yn= m , xp+ yP i= z2 , O i 4 . 1 + 1 + 1 a n d 5 = 1 + 1 + 1 n x y z n x y z ' w h e r e mfn a r t ? i n i e g e r s a n d p C > 3 ) i s a p r i m e . 1 . I n t r o d u c i i o n I n t h i s p a p e r we g i v e Rome r e m a r k s c o n c e r n i n g t h e f o l l o w i n g ' p r o b l e m e n e : 1 ° L e t i >n< x , y ) d e n o t e s t h e f o r m o f d e g r e e n £ 3 a n d l e t m € Z t h e n t h e e q u a t i o n C i . l ) . x , y)*=m h a s s o c a l l e d r e g u l a r s o l u t i o n s i n < x , y > « Z2. 2 ° I f C x , y )1 1! a n d p > 3 i s a p r i m e a n d t h e p i j i m l . j o i i C I . 2 ) xp + yp » z2 h a s a s o l u t i o n i n i n t e g e r s x , y , z t h e n p j z o r p j <pC z ) , w h e r e >p d e n o t e s t h e E u l e r f u n c t i o n . 3 ° L e t < 1 . 3 ) 4 = 1 + 1 + 1 _{n x y z} a n d C I . 4 ) 5 - 1 + 1 + 1 _{n x y z} E r d ő s a n d S t r a u s c o n j e c t u r e d , , t h a t t h e e q u a t i o n < i . 3 ) h a s a p o s i t i v e s o l u t i o n i n i n t e g e r s x . y , z f o r e v e r y n a t u r a l n u m b e r n £ 2 C s e e [ 4 1 , O p e n p r o b l e m s , p . 5 0 ; No I B ) . S i m i l a r c o n j e c t u r e w a s p o s e d b y S i e r p i n s k i C s e e Í 4 J , O p e n

p r o b l e m s , p . 5 8 , No 1 9 ) f o r t h e e q u a t i o n ( 1 . 4 } . We g i v e e x p l i c i t f o r m o f s o l u t i o n i s o f ( 1 . 3 ) f o r n = d k , 4 k + 2 , d k + 3 , B k + 5 j k = i , 2 ,. . . a n d f o r n ^ d k , d k * 2 „ d k + 3 ; k = l , 2 , . . . o f t h e e q u a t i o n ( l . d ) . 2 . R e g u l a x ' s o l u t i o n s o f t h e a q u a t i o n <f> C x , y ) —m. J . H . E v e r t s e t 2 J p r o v e d t h a t i f C 2 . 1 } N « c a r d ^ < x , y > « Z2 j * > _ ( x , y ) ~ m ^ , w h e r e n ä 3 , ^ ( x , ! ) i s a p o l y n o m i a l , w h i c h h a s t h r e e d i s t r i c t r o o t s a n d t=o>( | m | ) , w h e r e o ( | m | ) d e n o t e s t h e n u m b e r o f d i s t i n c t p r i m e d i v i s o r s o f | m | , t h e n 2

(2. 2}

(3)

n,

23

d=|ja

,a

,

an

J

K - V I

K >

24

y;

_A

_{- 1 [ [}

_y

_k

_x

_{i ~}

_x

_k

_y

_J

25

26 -PROOF. F i r s t , we p r o v e t h a t i f C x , y ) = i , n < m a n d C 3 . 3 ) xn + yn j xw - yw, t h r * n C 3 . d > n I m . S i n c e m > n t h u s m =• n q + r , w h e r e 0 ^ r < n . V e c o n s i d e r t w o c a s e s : C i ) q i s a n o d d n u m b e r , C i i ) q i s a n e v e n n u m b e r . I n t h e c a s e C i ) , w e h a v e C 3 . 5 > xm- yr = xr [ xn+ yn] [ xn c q-i í- xn t <í -2 ,y + . . . - y "c q~1 D] - yn q [ xr+ yr] . S i n c e C 3 . 6 ) j •= 1 t h u s f r o m C 3 . 3 ) a n d C 3 . 5 ) we g e t xn + yn xr + yr , w h i c h i s i m p o s s i b l e i f r > 0 . T h u s r « 0 a n d t h e r e f o r e n J m . I n c a s e C i i > we h a v e q » 2a q * , w h e r e C 2 , q,) o < l , «->-! a n d t h e r e f o r e f o r m =» n 2n q * + r , O S r < n we g e t C 3 . 7 ) S i n c e xM- ym= xr r , . - , 2 ° r 0 2 a

[ (

x

' ) - [

y n q

} J

I

- 27 -a n d t h e r e f o r e f r o m E u l e r ' s t h e o r e m we h -a v e < 3 . 9 ) a n d C 3 . 1 0 ) A * + y ^ s i [ m o d [ xn+ yn] ] y ^ ~ 'y ^ s i [ m o d j xn+ yn] ] . F r o m C 3 . 9 ) a n d C 3 . 1 0 ) we g e t * > ( x " + yn] _ <f [ xn+ ynJ .ri . I C 3 . l l ) x + y B y C 3 . 3 ) , C 3 . 1 4 ) i t f o l l o w s t h a t C 3 . 1 2 ) n j <p ( xn+ ynJ . I f t h e e q u a t i o n C 3 . 1 ) h a s a s o l u t i o n i n i n t e g e r s x,y>x s u c h t h a t C x , y ) = i , t h e n C 3 . Í 3 ) v [ xp+ ypJ v [ x j -F r o m C 3 . 1 3 ) a n d C 3 . 1 2 ) we g e t C 3 . 1 4 ) p j p I t i s e a s y t o s e e t h a t <p f z2J *= z - p C z ) f o r a r b i t r a r y f i x e d i n t e g e r z , t i i e r e f o r e w e g e t p I z o r p j ' / ' C z ) a n d t h e p r o o f i s f i n i s h e d . & . On a c o n j e c t u r e o f E r d ő s — S t r a u s a n d S l e r p l n s k i I n t h i s p a r t we p r o v e t w o t h e o r e m s . THEOREM 3 . T h e e q u a t i o n

( 4 . 1 ) i a i + 1 + L I! x y z h a s a s o l u t i o n I n p o s i t i v e i n t e g e r s xfy , z f o r e v e r y n=>4k, 4 k + 2 , 4 k + 3 , B k > 5 , w h e r e k = i , 2 , . . . T h e p r o o f f o l l o w s f r o m t h e f o l l o w i n g i d e n t i t i e s : d l s + k x r h y + c k + t > n r r 2 T 4 _ 1 4 k + 2 ~ n r + T T T ^ F f T T ~ C T ? + i k + 1 =2 C k Í i y + n t + I > « B k + 5 3 + 2 THEOREM 4 . T h e e q u a t i o n C d . 2 ) 5. o L + t + L n x y z h a s a s o l u t i o n i n p o s i t i v e i n t e g e r s x , y , z f o r e v e r y n * = 4 k , d k + 2 , a k + 3 , w h e r e k - 1 , 2 , . . » T h e p r o o f f o l l o w s f r o m t h e f o l l o w i n g i d e n t i t i e s : 5 1 . 1 . 1 51? JT+T + ZTE" + í c T k + T T " k r r + Tohvrs + r k + n r s r a r S E T S D k ^ T + S E i S + C T c + i > a k + 3 > •

R E F E R E N C E S t i l E . B o m b i e r i a n d V . H . S c h m i d t , On T i m e ' s ? e q u a t i o n , I n v e n t . H a t h . C 1 9 8 7 ) , 6 9 - 8 1 . C23 J . H . E v e r t s e , U p p e r b o u n d « f o r t h e n u m b e r s o f s o l u t i o n s o f d i o p h a n t i n e e q u a t i o n s , M a t h . C e n t r e T r a c t s , C 1 9 8 3 ) , N o 1 6 8 , 1 2 0 [ 3 3 A. G r y t c z u k , S u r u n e m e t h o d e d e d e m o n f * t r n t i o n d u L h e o r e m e d e L a g r a n g e s u r d e e r a c i n e s c o n g r u e n c e f ( x ) ^ O C m o d p ) , D i s c u s s . M a t h . I C 1 9 7 3 ) , 1 3 - 1 6 . £ 1 3 V . N a r k i e w i c z , C l a s s i c a l p r o b l e m s i n N u m b e r T h e o r y , PVN W a r s z a w a , 1 9 8 6 . [ 5 3 A . R o t k i e w i c z , On F o r m a t ' s e q u a t i o n w i t h e x p o n e n t 2 p , C o l l . M a t h . € 1 9 8 1 ) , 1 0 1 - 1 0 2 . Í 6 1 A . R o t k i e w i c z , On t h e e q u a t i o n xp+ yp« z2 , B u l l , d e l ' A c a d . P o l o n . S e i . V o l . X X X , N o 3 - 6 , C 1 9 8 2 ) , 2 1 1 - 2 1 4 . í 7 3 A . R o t k i e w i c z a n d Á . S c h i n z s l , O n t h e d i o p h a n t i s i e e q u a t i o n xp+ y2 p= z2 , C o l l . M a t h . C 1 9 8 7 ) , 1 4 7 - 1 3 2 . [ 8 3 G. T e r j a n i a n , S u r 1 ' e q u a t i o n x2 p+ y2 p« = z2 p , C . R . A c a d . S e i . P a r i s , 2 8 3 C 1 9 7 7 ) , 9 7 3 - 9 7 3 .

- J L

-CSERVENYÄK JÁNOS

EGY KÖZÉPISKOLAI GEtWElRiAI KÍSÉRLET ÜSSZEI UGLALÄSA. I I . RÉSZ.

A IIASONLÚSAGI TRANSZFORMÁCIÓK. A VEKIOROK FELÜONIAGA. A TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK.

ABSTRACT: (A g e o m e t r i c e x p e r i m e n t made i n secondary s e l i o o l , 2nti p a r t . S i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n s . B r e a k i n g up o f v e c t o r s . T r i g o n o m e t r i c a l f u n c t i o n s ) T h i s a r t i c l e i s t h e second p a r t o f a summary w r i t t e n on a secondary s c h o o l e x p e r i m e n t . As no summary was w r i t t e n on the f i r s t p a r t i t i s n e c e s s a r y t o say some words about i t . We d e a l t w i t h the a x i a l r e f l e c t i n g and w i t h i t s c o n s t i t u e n t s the o t h e r c o n g r u e n t i t y t r a n s f o r m a t i o n s . Then w i t h the h e l p o f t h e s e v/e examined the f e a t u r e s o f g e o m e t r i c f o r m a t i o n s . F i n a l l y we e x p l a i n e d t h e v e c t o r as t h e sum t o t a l o f the d e r i v a t i o n a l a r r o w s o f s h i f t i n g , and the p o s s i b l e o p e r a t i o n s as w e l l . We examine t h e m a t e r i a l o f the second year i n t h i s a r t i c l e . We e x p l a i n e d Ute c e n t r a l e l o n g a t i o n , t h e s i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n as the p r o d u c t of mul t i p l i c a t i u n o f t h e c o n g r u e n t i t y and c e n t r a l e l o n g a t i o n , and we examined the c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r e s o f t h e f o r m a t i o n s as w e l l . We g e n e r a l l y examinded the c i r c u l a r f u n c t i o n s by the h e l p o f t h e c o o r d i n a t e s of t h e v e c t o r s .

We t h o u g h t i t was i m p o r t a n t to g i v e the c i r c u l a r f u n c t i o n s o f the n e g a t i v e , the ct± 1 8 0 ° , t h e 100° and the 9 0 ° - n a n g l e s as

e a s i l y as p o s s i b l e by the h e l p o f t h e c o n g r u e n t i t y t r a n s f o r m a t i o n s .

A k ö z é p i s k o l a i g e o m e t r i a I I . o s z t á l y o s tananyagának t á r g y a l á s á t a címben fel. nem t ü n t e t e t t P y t h a g o r a s t é t e l l e l k e z d t ü k . F e l h í v t u k a ü g y e i met a r r a , hogy a tanév során a d e r é k s z ö g ű háromszögek v i z s g á l a t a k ö z é p -p o n t i k é r d é s l e s z .

A P y t h a g o r a s t é t e l b i z o n y í t á s á t k é t egybevágó négyzet különböző d a r a -htilásávnI. b i z o n y í t o t t u k . A t é l o l m e g f o r d í t á s á t i s k i m o n d t u k , s o három-szögek egybevágóságát f e l h a s z n á l a b i z o n y í t o t t u k i s . Részben g y a k o r l á s c é l j á b ó l , részben p e d i g , iiogy ne k e l l j e n örökké t á b l á z a t u t á n n y ú l n i a négyzet ipldala és á t l ó j a , v a l a m i n t a szabályos háromszög o l d a l a és magas-sága k ö z ö t t i k a p c s o l a t o t r ö g z í t e t t ü k . Később ez igen sok haszonnal j á r t . Nem k ö t e l e z ő t a n a n y a g k é n t , inkább csak g y a k o r l á s k é n t meghatároztuk a há-romszög o l d a l a i b ó l a háhá-romszög magasságait és a i e r ü a ü l e t é t i s .

A h a s o n l ó s á g i t r a n s z f o r m á c i ó k

A s í k önmagára t ö r t é n ő újabb leképezésének e l ő k é s z í t é s e c é l j á b ó l az a l á b b i t é t e l e k e t i g a z o l t u k :

1. Egy szög s z á r a i t metsző g^ és g^ párhuzamos egyenesek és azok e l -t o l á s s a l n y e r -t g -t g1, és g ' o képei a szög ugyanazon s z á r a i b ó l egyenlő szakaszokat metszenek k i . Az á l l í t á s igazolása az e l t o l á s t u l a j d o n s á g a i n a k f e l h a s z n á l á s á v a l t ö r t é n t . Na p l : a g , e t a szög c s ú c s á r a i l l e s z t e t t ü k és o l y a n e l t o l á s t a l k a l m a z t u n k , amely g ^ e t g ^ -be v i t t e — s e z t véges sokszor a l k a l m a z t u k — akkor szakasz egyenlő és arányos r é s z e k r e t ö r t é n ő o s z t á s á r a n y e r t ü n k e l j á r á s t .

2. Ha egy szög s z á r a i t párhuzamos egyenespárokkal metsszük, akkor az

e g y i k száron k e l e t k e z e t t szakaszok aránya egyenlő a másik száron k e -l e t k e z ő m e g f e -l e -l ő szakaszok a r á n y á v a -l . (Párhuzams sze-lők t é t e -l e ) . A b i z o n y í t á s n á l l e s z ö g e z t ü k , hogy elegendő az á l l í t á s t k é t párhuzamos egyenespárra e l v é g e z n i . A b i z o n y í t á s t egyébként a minden szakember á l -t a l j ó l i s m e r -t módon v é g e z -t ü k . Csak a b i z o n y í -t á s u -t o l s ó g o n d o l a -t á n á l k e l l e t t e l f o g a d h a t ó i n d o k l á s t t a l á l n i . Természetesen néhány lépés u t á n e l k é s z í t e t t ü k k é t - k é t szakasz aránya különbségének a b s z o l u t é r t é k é t , a m i r ő l k i d e r ü l t , hogy — - n é l k i s e b b . I t t azt mondtuk, hogy n minden h a t á r o n t ú l v a l ó n ö v e l é s é v e l a k á r m i l y e n k i c s i n y számok jönnek l é t -r e , amelyeknél k i s e b b nem n e g a t í v szám csak a n u l l a l e h e t .

33

-így adódott a k é t - k é t m e g f e l e l ő szakasz arányának egyenlősége, i l l e t v e a t é t e l b e n kimondott á l l í t á s .

A t é t e l egyszerűbb alakban t ö r t é n ő kimondását s e g í t e t t e az, bogy r á -j ö t t ü n k , ha az e g y i k egyenest a szög csúcsára i l l e s z t -j ü k és a k é t p á r b ó l e g y e t - e g y e t egybeesőnek v á l a s z t u n k , akkor a b i z o n y í t á s b a n s z e r e p l ő k é t párhuzamos egyenespár h e l y e t t k é t párhuzamos egyenest i s mondhatunk. Vagyis, ha egy szög s z á r a i t k é t párhuzamos egyenessel metsszük, akkor az egyik száron k e l e t k e z e t t szakaszok aránya a másik száron k e l e t k e z e t t megf e l e l ő szakaszok arányával egyenlő. Ekkor az í g y kimondott, t é t e l m e g r n r -d í t á s á t könnyű v o l t megfogalmazni ( 3 . t é t e l ) . A b i z o n y í t á s t i n -d i r e k t módszerrel a legegyszerűbb esetben e l i s v é g e z t ü k , a t ö b b i e s e t e t szorgalmi f e l a d a t n a k m e g j e l ö l v e b e s z é l t ü k meg az é r d e k l ő d ő k k e l ó r á n k í v ü l .

A témakör 4. á l l í t á s a a következő v o l t . Ha egy szög s z á r a i t p á r h u z a mos egyenesekkel metsszük, akkor a párhuzamosokból a szárak közé eső s z a kaszok aránya egyenlő a párhuzamos egyeneseknek a szög s z á r a i b ó l k i m e t -s z e t t m e g f e l e l ő -szaka-szainak a r á n y á v a l .

G y a k o r l á s u l és ö s s z e f o g l a l á s u l egy szög s z á r a i t k é t párhuzamos egyenessel m e t s z e t t ü n k és tanulmányoztuk a f e l í r h a t ó a r á n y o k a t . I t t f o g l a l k o z t u n k a z z a l a t é t e l l e l , hogy a háromszög b e l s ő s z ö g f e l e l ő j e a szemközti o l d a l t a szöget bezáró k é t o l d a l á n a k arányában o s z t j a k e t t é .

Az i t t f e l v á z o l t anyag u t á n é r t e l m e z t ü k a c e n t r á l i s n y ú j t á s t , m i n t a síknak a z t az önmagára t ö r t é n ő l e k é p e z é s é t , amelynél egy 0 pont f i x p o n t , és a s í k t e t s z ő l e g e s 0 - t ó l különböző P p o n t j á h o z azt a P' p o n t j á t r e n d e l i az 0P f é l e g y e n e s e n , amelyre OP' = m ' 0P, ahol m > 0 v a l ó s szám. S z ó l tunk i t t a k i c s i n y í t é s r ő l , a n a g y í t á s r ó l , és alkalom n y í l t a t r a n s z f o r m á c i ó , az azonos leképezés, v a l a m i n t az i n v a r i á n s egyenes fogalmának m é l y í t é s é r e . B e l á t t u k , hogy e g y e n e s t a r t ó és hogy ha egy egyenes nem i l l e s z k e -d i k az 0 p o n t r a , akkor a képével párhuzamos az egyenes.

Megmutattuk, hogy a c e n t r á l i s n y ú j t á s t a centruma és egy m e g f e l e l ő p o n t j á r a egyértelműen meghatározta. (Abban az esetben i s , amelyben a t e t s z ő l e g e s pont i l l e s z k e d i k a centrum és a m e g f e l e l ő pontpár egyenesé-r e . ) K i m u t a t t u k a c e n t egyenesé-r á l i s n y ú j t á s s z ö g t a egyenesé-r t ó ós a egyenesé-r á n y t a egyenesé-r t ó t u l a j d o n s á g á t s megmutattuk a z t i s , hogy ha az AB szakasz párhuzamos és e g y i r á n y ú az A ' B ' s z a k a s s z a l , akkor l é t e z i k o l y a n c e n t r á l i s n y ú j t á s , amely e g y i k s z a

-kaszt a másikba v i s z i , továbbá ha AB = A ' B ' i s f e n n á l l , akkor e l t o l á s v i s z i á t e g y i k szakaszt a másikba. F o g l a l k o z t u n k kör c e n t r á l i s n y ú j t á s s a l n y e r t képével ( k ö r ) , s c e n t r á -l i s n y ú j t á s o k s z o r z a t á v a -l i s ( c e n t r á -l i s n y ú j t á s vagy e -l t o -l á s ) . Az elmondott á l l í t á s o k a t a c e n t r á l i s n y ú j t á s t regelőző t é t e l e k s e g í t -ségével mind b i z o n y í t o t t u k . A következő f e j e z e t b e n é r t e l m e z t ü k a h a s o n l ó s á g i t r a n s z f o r m á c i ó t . A s í k minden o l y a n önmagára t ö r t é n ő l e k é p e z é s é t , amely egybevágóságuk és c e n t r á l i s n y ú j t á s o k ö s s z e t é t e l é b ő l á l ] hasonlósági leképezésnek vagy ha-sonlóságnak n e v e z t ü k .

Ez az értelmezés a z é r t i s b i z o n y u l t szerencsésnek, mert a t a n u l ó k az egybevágóság és a c e n t r á l i s n y ú j t á s közös t u l a j d o n s á g a i t f e l i d é z t é k és e l ő á l l t a k a hasonlóság t u l a j d o n s á g a i .

Ezek: 1. A hasonlóság t r a n s z f o r m á c i ó , van i n v e r z e és az i s h a s o n l ó s á g . 2. Egyenes képe egyenes, f é l e g y e n e s képe f é l e g y e n e s , szakasz képe

szakasz. 3. A r á n y t a r t ó . 4. S z ö g t a r t ó .

5. Párhuzamos egyenesek képei párhuzamosak. 6. Hasonlóságok ö s s z e t é t e l e i s hasonlóság.

Nem v o l t nehéz b e l á t n i , hogy az egybevágóságok, a c e n t r á l i s n y ú j t á s o k mind hasonlóságok, s a hasonlóságok halmaza t a r t a l m a z z a az nznnns l e k é p e -zést (ha az egybevágóság és a c e n t r á l i s n y ú j t á s i s azonosság). Ha az egy-bevágóság c e n t r á l i s t ü k r ö z é s , s a c e n t r á l i s n y ú j t á s s z o r z a t á t n e g a t í v t é n y e z ő j ű f i x p o n t t a l rendelkező ( f i x p o n t a centrum) hasonlósági l e k é p e -zésnek nevezzük.

Gondot f o r d í t o t t u n k a hasonlóság és az a l a k z a t o k hasonlósága ( r e l á c i -ó i f e l t ű n ő megkülönböztetésére. Két g e o m e t r i a i a l a k z a t o t akkor neveztünk hasonlónak, ha l é t e z i k o l y a n h a s o n l ó s á g i leképezés, amely e g y i k e t a má-sikba v i s z i .

Ezek u t á n hasonló a l a k z a t o k t u l a j d o n s á g a i v a l f o g l a l k o z t u n k , majd kö-r ö k , négyzetek, t é g l a l a p o k , hákö-romszögek hasonlóságát v i z s g á l t u k . Megmut a Megmut Megmut u k , hogy az a d o Megmut Megmut f e l Megmut é Megmut e l e k m e l l e Megmut Megmut l é Megmut e z i k o l y a n hasonlósági l e k é pezés, amely egyik a l a k z a t o t a másikba á t v i s z i . A háromszögek e s e t é t k ü -lönös gonddal k e z e l t ü k , akár az egybevágóságnál. Ügy é r z é k e l t ü k , hogy a

35

-háromszögek egybevágósága, i l l e t v e hasonlósága k o n k r é t t a r t a l m a t n y e r t minden k o r á b b i t á r g y a l á s m ó d d a l szemben. Csak p é l d a k é n t mutatunk be egy b i z o n y í t á s t a háromszögek hasonlóságának négy a l a p e s e t é b ő l e g y e t .

l é t e i : Két háromszög I t a s o n l ó , ha k é t - k é t o l d a l u k aránya és az ezek á l t a l b e z á r t egy-egy szögük e g y e n l ő .

B i z o n y í t á s : Legyen c0: c , = b0: b . és ,, = . Az A, c e n t

-i \ -i Í -i j -i

rumé m = C2: C] ( = l ^ t b ^ ) t é n y e z ő j ű c e n t r á l i s n y ú j t á s az A J B J C J

háromszöget o l y a n A.B-jC-j háromszögekre v i s z i , amelynek o l d a l a i

C3=^C2C1= C2 ' = bl ~b2; e " í '

Az A^B-JC-J háromszög egybevágó az háromszöggel, t e h á t van o l y a n egybevágóság, amely az A^B^C^. háromszöget az

háromszögbe v i s z i . A c e n t r á l i s n y ú j t á s és egybevágóság ö s s z e t é t e l é b ő l á l -l ó h a s o n -l ó s á g i -leképezés az A ^ C , háromszöget az A?B7C9

há-romszögbe v i s z i , t e h á t h a s o n l ó k .

Minden t o v á b b i esetben m e g a l k o t t u k a h a s o n l ó s á g i l e k é p e z é s e k e t , ame-l y e k e t a t a n u ame-l ó k küame-lönösebb probame-léma n é ame-l k ü ame-l magukévá t e t t e k .

A t r a n s z f o r m á c i ó s s z e m l é l e t e l ő n y e i t t i s fényesen m e g m u t a t k o z o t t . A háromszögek hasonlóságának f e l h a s z n á l á s á v a l b i z o n y í t o t t u k a derékszögű háromszögekre a magasság-; és b e f o g ó t é t e l t és P y t h a g o r a s t é t e l é t , majd ö s s z e h a s o n l í t o t t u k a számtani és m é r t a n i k ö z e p e t , a magasság; és b e f o g ó t é t e l l e h e t ő s é g e t a d o t t i r r a c i o n á l i s szám liosszúságú szakasz s z e r k e s z t é -s é r e . " A h a s o n l ó s á g o t f e l h a s z n á l t u k a háromszög s ú l y v o n a l a i r a v o n a t k o z ó t é -V j . / t e l b i z o n y í t á s á r a , majd h a s o n l ó sokszögek k e r ü l e t é n e k és t e r ü l e t é n e k a r á n y á t i s m e g v i z s g á l t u k . A t é r s z e m l é l e t f e j l e s z t é s e érdekében a t é r b e l i egybevágósági t r a n s z f o r m á c i ó k s o r á t b ő v í t e t t ü k a t é r b e l i f o r g á s s a l és p o n t r a vonatkozó t ü k r ö -z é s s e l , majd é r t e l m e -z t ü k a t é r b e l i c e n t r á l i s n y ú j t á s t . A t é r minden o l y a n önmagára t ö r t é n ő l e k é p e z é s é t , amely t é r b e l i egybevágóságok és t é r b e l i c e n t r á l i s n y ú j t á s o k ö s s z e t é t e l é b ő l á l l e l ő , t é r b e l i h a s o n l ó s á g i l e k é p e -zésnek n e v e z t ü k .

56

Értelmeztük a t é r b e l i a l a k z a t o k hasonlóságát i s ( h a s o n l ó a n a s í k b e l i -hez) és v i z s g á l t o k a t e s t e k f e l s z í n é n e k , t é r f o g a t á n a k a r á n y á t , végül beb i z o n y í t o t t u k , hogy a g ú l a a l a p l a p j á v a l párhuzamos s í k m e t s z e t e i n e k t e r ü -l e t e i úgy a r á n y -l a n a k egymáshoz, mint c s ú c s t ó -l mért t á v o -l s á g a i k négyeze-t e i .

i

B i z o n y í t o t t u k , hogy minden kocka, minden gömb hasonló és minden o l y a n t é g l a t e s t hasonló, amelyek m e g f e l e l ő é l p á r j a i n a k aránya e g y e n l ő .

Vektorok f e l b o n t á s a

A továbbiakban i s a r r a t ö r e k e d t ü n k , hogy az ú j ismeretek k ö z l é s é t t é -t e l e k formájában végezzük e l és l e h e -t ő l e g b i z o n y í -t s u n k . Ekkor már j e l e n t k e z e t t i s a b i z o n y í t á s i i g é n y , igaz inkább a j o b b t a n u l ó k esetében. Ez azonban a t o v á b b t a n u l n i szándékozók szempontjából ó r i á s i p o z i t í v u m .

B e b i z o n y í t o t t u k , hogy ha az £ és tj v e k t o r o k nem k o l l i n e á r i s a k , akkor bármely az £ és tj v e k t o r o k k a l nem k o m p l a n á r i s v^ v e k t o r egyértelműen á l -l í t h a t ó e -l ő az £ és b_ v e k t o r s e g í t s é g é v e -l v^ = a + / ' b a -l a k b a n , ahn-l

c! és fi valós számok. Ezt úgy i s k i f e j e z t ü k , houy v_ e l ő á l l í t h a t ó az £ és b l i n e á r i s k o m b i n á c i ó j a k é n t . B e l á t t u k a z t i s , hogy ha az a ^ b és c v e k -t o r o k r a az « £ + fi b_ + } c = Ü á l l f e n n , ahol , fi és &g-t; nem mind n u l l á k , síikor az b ^ £ vektorok k o m p l a n á r i s a k .

I g a z o l t u k még, hogy a t é r bármely v e k t o r a egyél- te hunén á l l í t h a t ó e l ő a rtem komplanáris a, b , c v e k t o r o k l i n e á r i s k o m i n á c i ó j a k é n t . B e s z é l t ü n k az egymástól l i n e á r i s a n függő és f ü g g e t l e n v e k t o r o k r ó l . A t é r k é t £ és Ii v e k t o r á t l i n e á r i s a n függőnek nevezzük, ha n £ + / i b = 0, 1 i n e á r i s a n f ü g g e t l e n , ha « £ + / í b = Persze ebből az i s k ö v e t k e z i k , hogy a t é r bármely k é t k o l l i n e á r i s v e k t o r a egymástól l i n e á r i s a n függő, s k é t nem k o l l i n e á r i s v e k t o r a egymástól l i n e á r i s a n f ü g g e t l e n .

A t é r £j_ c vektorhármasát l i n e á r i s a n függőnek nevezzük, ha r x £ + i] b + i c = l i n e á r i s a n f ü g g e t l e n n e k , ha £ + b + } c = 0 . Ebből k ö v e t k e z i k , hogy a t é r bármely k o m p l a n á r i s vektorhármasa egymástól l i n e á r i s a n függő, nem k o m p l a n á r i s vektorhármasa l i n e á r i s a n f ü g g e t l e n , s bármely vektornégyese egymástól l i n e á r i s a n függő.