Introducción a las varidades de Hilbert / Introduction to Hilbert Manifolds

Introducción a las Varidades de Hilbert

Pablo Asdrúbal Díaz Sepúlveda

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas

Bogotá, D.C.

Pablo Asdrúbal Díaz Sepúlveda

Director

Gabriel Ignacio Padilla León, Ph.D.

Profesor Asociado Universidad Nacional de Colombia

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas

Bogotá, D.C.

Título en español

Introducción a las Variedades de Hilbert Title in English

Introduction to Hilbert Manifolds

Resumen: En este trabajo se realiza una introducción a las variedades de Hilbert. Se comienza con algunos preliminares relacionados con espacios de Hilbert, derivadas en es-pacios de Banach y fibrados tangentes sobre eses-pacios de Banach. En seguida se dan unas breves nociones de variedad topológica, cartas, atlas y algunos resultados que conducirán a la definición de una variedad de Hilbert, además se realiza un estudio de las aplicaciones entre variedades. A continuaci ón se estudia el espacio tangente y fibrados vectoriales asoci-ados a una variedad de Hilbert y la definición de tangencial de una aplicación entre este tipo de variedades. Se presentan además las nociones de inmsersión, submersión, embebimiento y subvariedad, que son casos particulares de aplicaciones entre variedades asociadas a su tangencial. Por último se exponen las definiciones de campos vectoriales y derivaciones sobre una variedad, y además se exhibe una relación entre ellas.

Abstract: In this work we make an introduction to Hilbert manifolds. We start giving a brief review in Hilbert spaces, derivatives in Banach spaces and tangent bundles in Banach spaces. Next, we give a summary on main results concerning topological manifolds, charts, and atlas in order to give a definition of Hilbert manifold. Later we study the tangent space and vector bundle associated with a Hilbert manifold, and also the definition of tangential of an application between Hilbert manifolds. We present some notions o immersion, sub-mersion, embedding and submanifold, which are particular cases of applications between manifolds associated with their tangentials. Finally we expose the definitions of vector fields and derivatives on a manifold, and also the relation between them.

Palabras clave: Variedad de Hilbert - Espacio Tangente - Fibrado Vectorial - Campo Vectorial.

Agradecimientos

En primer lugar quiero agradecer a la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá, en especial al Departamento de Matemáticas, por darme la oportunidad de realizar mis es-tudios de Maestría. Gracias por la ayuda económica al darme la beca de Auxiliar Docente, como estudiante de Maestría durante dos años, fue de gran ayuda para poder seguir mis estudios de postgrado.

Mis más sinceros agradecimientos a los profesoresDr. Leonardo Rendón Arbeláez

y Dr. Gabriel Padilla León. Gracias a ellos mi espíritu nunca decayó y aún en los

momentos más complicados, siempre tuve una voz de ánimo por parte de ellos. Al profesor

Dr. Leonardo Rendón Arbeláez_{, le doy mil gracias por todos los conocimientos que}

me aportó, por las tantas preguntas contestadas de forma respetuosa y atenta, por el apoyo para seguir mis estudios de Doctorado en Matemáticas en el extranjero, mil y mil gracias. Al profesor Dr. Gabriel Padilla León_{, por aceptar ser mi Director de Tesis apesar de}

tantas ocupaciones, por las tardes de estudio acompañadas de un buen café, por el apoyo para seguir mi Doctorado, por ser un amigo y un buen consejero.

Un especial agradecimiento a mi familia: Mi Madre Margarita Sepúlveda, mi Padre Asdrúbal Díaz y mis hermanos Edwin Díaz (Q.E.P.D) y Diego Fernando Díaz, quienes siempre han sido el núcleo de apoyo durante todos los años de estudio de mi carrera en Matemáticas, desde pregrado hasta posgrado. A mis amigos: Alejandro Guarnizo, Wilmar Gómez, Oswaldo Chaparro, quienes han sufrido a mi lado por lo momentos duros tanto académicos como personales, gracias por su gran apoyo.

Se quedan muchas personas sin nombrar, personas fundamentales en mi carrera como matemático, en mi vida, personas que me ayudaron en éste largo proceso, a todas ellas mi más sincero agradecimiento.

Índice general I

Introducción II

1. Preliminares 1

1.1. Espacios de Hilbert, Propiedades Elementales. . . 2

1.2. Familias y Bases Ortogonales. . . 3

1.3. Isomorfismos entre Espacios de Hilbert. . . 4

1.4. Derivadas entre Espacios de Banach . . . 5

1.5. Espacio Tangente y Fibrado Tangente . . . 8

2. Variedades de Hilbert 11 2.1. Variedad Topológica . . . 11

2.2. Varidades Suaves . . . 15

2.3. Funciones entre Variedades . . . 18

3. Fibrados 22 3.1. Fibrado Tangente . . . 22

3.2. Fibrados Vectoriales . . . 33

4. Inmersiones, Submersiones y Campos Vectoriales. 39 4.1. Inmersiones, Submersiones y Subvariedades . . . 39

4.2. Campos Vectoriales . . . 44

Bibliografía 49

Introducción

El trabajo INTRODUCCIÓN A LAS VARIEDADES DE HILBERT nace de una serie de preguntas que se presentaron en los cursos de Geometría Diferencial y Variedades Difer-enciables realizados durante mi maestría. El saber cuánto podemos hacer sobre variedades modeladas en espacios de dimensión infinita, preguntarnos si todas las definiciones y re-sultados que se tienen en dimensión finita son válidos en este tipo de variedades y de qué manera podrían interactuar el análisis funcional y vectorial con la geometría diferencial, son tan sólo algunas de éstas inquietudes. El objetivo principal de nuestro trabajo es proveer los conocimientos básicos de variedades modeladas sobre espacios de Hilbert separables de dimensión infinita. Vale la pena resaltar que algunas definiciones y resultados aquí dados, son una extensión de lo ya visto en modelos finitos, aunque debe decirse que las pruebas de los resultados y las definiciones no están ligadas a algún texto de geometría de variedades finitas.

El trabajo realizado es una exposición particular de la teoría de variedades de Banach de dimensión arbitraria, la cuál es estudiada en textos como [4] y [6], con un lenguaje algo categórico. La teoría en variedades de Hilbert presenta unas características que no poseen las de Banach por las particularidades que presentan los espacios de Hilbert separables. A diferencia de los libros citados, desarrollaremos la teoría de una forma más geométrica y analítica, basados en conocimientos previos de geometría diferencial y análisis. Para un mejor entendimiento de la teoría desarrollada en cada capítulo es conveniente tener un conocimiento previo de análisis y geometría, el lenguaje utilizado es acorde a estas áreas. Los preliminares serán una breve introducción a los espacios de Hilbert, derivadas entre espacios de Banach de dimensión arbitraria y fibrados tangentes en espacios de Banach. Se mostrarán algunos resultados que en su mayoría serán un punto de apoyo para probar algu-nas proposiciones de capítulos posteriores. El capítulo será un resumen y no una exposición exhaustiva. En el capítulo 2 daremos algunas definiciones preliminares para poder llegar a la noción de una variedad de Hilbert, hablaremos de algunas características y daremos algunos ejemplos de estas vaierdades. En la segunda parte estudiaremos las aplicaciones entre variedades de Hilbert, además un caso especial que se presenta cuando la variedad de llegada de una aplicación es R. El capítulo 3 será una sección dedicada a los fibrados sobre una veriedad. Empezaremos por el espacio tangente a una variedad M y que denotaremos por TM, cuya definición se realizará bajo unas construcciones locales, además la definición de TM dará paso a la noción de la tangencial de una aplicación entre variedades. Por úl-timo se hará un estudio de los fibrados vectoriales asociados a una variedad, y un ejemplo será mostrar que TM es un caso particular de un fibrado vectorial sobre M. En el último

capítulo se estudian algunos casos particulares de las aplicaciones entre variedades en tér-minos de su tangencial, éstas nociones son las de inmersión, submersión y embebimientos. A partir de éstas se dará la definición de una subvariedad así como algunos resultados y ejemplos. En la parte final daremos una pequeña introducción a los campos vectoriales y derivaciones sobre una variedad de Hilbert M.

CAPÍTULO

1

Preliminares

La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Decartes.

LosEspacios de Hilbert _{son una herramienta fundamental en muchas ramas de las}

matemáticas, y la geometría diferencial no es la excepción.No sólo es fundamental en la geometría de dimensión finita, también es indispensable en la geometría de dimensión in-finita. Las nociones de ortogonalidad, convergencia de sucesiones, coeficientes de Fourier, ángulos entre vectores, familia ortonormal, base ortonormal y proyección ortogonal, son tan sólo algunas de las definiciones y conceptos que nacen de estos espacios tan particulares. La primera parte de este capítulo será una breve introducción de los espacios de Hilbert, se darán algunas definiciones y algunos teoremas clásicos del análisis funcional sobre nuestros espacios en cuestión.

Por otra parte, la definición de Derivada es fundamental en la geométria diferencial,

sin importar la dimensión en que se esté trabajando, daremos una definición de la derivada entre espacios de Banach de dimensión arbitraria, también hablaremos del espacio tan-gente y del fibrado tantan-gente asociados a un espacio de Banach. Daremos algunos teoremas fundamentales para el desarrollo de este trabajo, como por ejemplo el teorema de la fun-ción inversa §1.4.9, los corolarios §1.4.11 y §1.4.12, además de otros teoremas del análisis vectorial y propiedades de la derivada entre espacios de Banach.

Hablar de isomorfismos entre espacios de Hilbert es realmente importante, pues no es sólo definir una aplicación lineal entre estos espacios, es definir una aplicación lineal que conserve las estructuras, en espacios topológicos tenemos el concepto de homeomorfismo y en álgebra en concepto de isomorfismo que conservan las estruturas, de igual manera se hace en los espacios de Hilbert con estos isomorfismos.

1.1. Espacios de Hilbert, Propiedades Elementales.

Definición 1.1.1. SeaXun espacio vectorial sobreR, unproducto semi-internosobre Xes una función

ϑ:X_×X_−→R_,

que satisface las siguientes propiedades

ϑ(αu+βv, w) =ϑ(αu, w) +ϑ(βv, w),

ϑ(u, βv+αw) =ϑ(u, βv) +ϑ(u, αw),

ϑ(u, u)≥0,

ϑ(u, v) =ϑ(u, v).

ϑ(u,0) = ϑ(0, v) para todo u,v enX_.

Un producto interno sobre X es un producto semi-interno que también satisface

lo sigueinte

Siϑ(u,0) = 0, entoncesu =0.

Observación 1.1.2. Denotaremos un producto semi-interno comoϑ(u, v) =hu , vi. Definición 1.1.3. Dados un espacio vectorial realXcon un producto semi-interno_{hv , wi}

y v, w en X_{, decimos que v es} ortogonal _{a w si hv, wi = 0. Sea S un subespacio de}X_,

definamos el conjunto S⊥ = {v ∈ X _{: hv, wi = 0,∀w ∈ S}}, entonces _S

0 también es un subespacio de X_{. Sea} X

0 ={v∈X:hv, wi= 0,∀w∈X}. Claramente X0 es un subespacio

de Xy es llamado el espacio nulo deX.

Teorema 1.1.4. SeaX _{con un producto semi-interno h,i y kvk = hv , vi}

1 2

, entonces 1. Dados v,w∈X_{, tenemos}

|hv, wi|6kvkkwk,

2. Dado w∈X_{tal que hw, wi = 0, entonces w∈}X

0, 3. ∀v∈X_,kvk>0, y kvk= 0 si y sólo siv∈X

0,

4. Para todo λ real y para todo v∈X _{se tiene quekλvk=|λ|kvk,}

5. Dados v, w ∈X _{tenemoskv+wk ≤ kvk+kwk}

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 3

Observación 1.1.5. Sea w ∈X _{tal que kwk >0. Dado v ∈}X_{, entonces existe un único}

real τ tal que v−τ w es ortogonal a w.

Suponiendo que v−τ w es ortogonal a w tenemos que hv−τ w, wi = 0, luego hv, wi − hτ w, wi= 0 y asíhv, wi =hτ w, wi. Por lo tanto

τ = _hh_w,wv,wi_i.

Recíprocamente, si tomamos a τ de esta forma, tenemos que v−τ w es ortogonal a w. Llamaremos aτ elcoeficiente de Fourierde v con respecto aw.

Sean v₁, v₂, . . . vn elementos de X que no están en X0 y hvi, vji = 0 si i 6= j, para

i, j = 1,2, . . . , n. Sean v en X y _τ

i el coeficiente de Fourier v con respecto a cada vi.

Entonces

v−τ₁v₁ − · · · −τnvn

es ortogonal av₁, v₂, . . . yvn.

Definición 1.1.6. Un espacio deHilbert real es un espacio vectorial realH_{junto con un}

producto interno h,i tal que es un espacio vectorial normado completo con la norma kvk =hv , vi inducida por el producto interno.

Teorema 1.1.7. SeaH _{un espacio de Hilbert.}

1. Si v, w∈H_{son ortogonales entonces}

kv+wk2 =kvk2 +kwk2 , 2. Sean v, w∈H_entonces kv+wk2 +kv−wk2 = 2kvk2 + 2kwk2 DEMOSTRACIÓN: ver [1].

1.2. Familias y Bases Ortogonales.

Definición 1.2.1. Sea{vi}i∈I una familia de elementos deHtales quekvik 6= 0para todo

i. Para cada subfamilia finita {vi

subfamilia, es decir, las combinaciones lineales

α₁vi₁ +· · ·+αnv_in.

donde cada αi es un número real. La unión de todos estos espacios es llamado el espacio generado por la familia {vi}i∈I. Denotamos a este espacio como F. Decimos que esta

fa-milia {vi}i∈I escompleta en Hsi F =H.Decimos que la familia {vi}i∈I es una familia

ortogonal si hvi, vji = 0 cuando i6=j ykvik 6= 0para todo i. Decimos que la familia es

ortonormal si es ortogonal y kvik = 1 para todo i. Una familia ortonormal completa es

llamada una base de Hilbert o también unabase ortonormal. Corolario 1.2.2. sea H _{un espacio de Hilbert.}

1. Si H_{6= 0 entonces existe una base ortogonal completa para} H_,

2. Sea F un subespacio cerrado de H_entonces H_=F+F⊥_.

DEMOSTRACIÓN: ver [1].

Definición 1.2.3. Un espacio topológicoX es llamadoseparablesi contiene un conjunto denso y numerable.

Teorema 1.2.4. Dado un espacio de HilbertH_{entonces dos bases cualesquiera de}H_tienen

la misma cardinalidad.

DEMOSTRACIÓN: ver [2].

Definición 1.2.5. Dado un espacio de HilbertH, definimos ladimensión deHcomo la

cardinalidad de una base deH _{y es notada como Dim(}H_).

Proposición 1.2.6. Si H _{es un espacio de Hilbert de dimesión infinita, entonces} H _es

separable si y sólo si Dim(H_)=ℵ.

DEMOSTRACIÓN: ver [2].

1.3. Isomorfismos entre Espacios de Hilbert.

Definición 1.3.1. Sean Hy Kdos espacios de Hilbert, decimos que HyK son

isomor-fismos si existe una aplicación lineal y sobreyectiva

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 5

tal que

hξ(x), ξ(y)i=hx, yi

para todo xyy en H_.

Proposición 1.3.2. Veamos unas propiedades importantes de los espacios de Hilbert. 1. Si ξ :H_−→K_{, es una aplicación lineal entre espacios de Hilbert, entonces ξ es una}

isometría si y sólo sihξ(x), ξ(y)i=hx, yi para todo x, y en H_.

2. Dos espacios de Hilbert son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión. 3. Cualquier par de espacios de Hilbert separables de dimesión infinita son isomorfos.

DEMOSTRACIÓN: ver [2] y [7].

1.4. Derivadas entre Espacios de Banach

Definición 1.4.1. Una función de variable real a valor real, definida sobre sobre una vecindad de 0es llamada o(t)si

l´ım

t→0

o(t)

t = 0.

Definición 1.4.2. Dados dos espacios espacios vectoriales topológicos E_,F _yϕuna

apli-cación de una vecindad de 0 ∈ E en F. Decimos que _ϕ es tangente a 0 si, dada una

vecindad W de 0∈F, existe una vecindad _V de_0∈E tal que

ϕ(tV)⊂o(t)W

para alguna función o(t). Si los espacios E_,F son normados, entonces esto equivale a las

condiciones habituales |ϕ(x)|6|x|ψ(x) con l´ım |x|→0 ψ(x) = 0.

Definición 1.4.3. DadosE_yF_{dos espacios de Banach yU un abierto de}E_{, decimos que}

una aplicación continua

f :U −→F_,

esdiferenciable en a∈U si existen una apliación lineal λ∈L_[E_,F_]tal que, si

f(a+h) =f(a) +λ(h) +ϕ(h)

parah pequeño entonces ϕes una aplicación tangente a 0.

Notamos que λes única, es llamada la derivada de f en a y la denotamos por Df(a) o

f′(a). Decimos quef es diferenciable enU si es diferenciable en cada punto deU y en este casof′ es una aplicación

f′:U −→L_[E_,F_].

Definición 1.4.4. Sean E_yF _{dos espacios de Banach yU un abierto en}E_{. Decimos que}

una aplicación diferenciable f :U −→F_{, esde clase C}1_{, sif}′ _{es una aplicación continua.}

Análogamente definimos una aplicación declase Cp (p>1). La p-ésima derivadaDpf es definida como D(Dp−1f) y es una aplicación lineal de U sobre L₍E_,L₍F_{, . . . ,}L₍E_,F_{))). f}

es llamada de claseCp si Dkf existe y es continua para16k6p,

Proposición 1.4.5. SeanU yV dos abiertos de dos espacios de BanachE_yF

respectiva-mente. Si f :U −→V yg:V −→W _{son de claseC}p_{, donde} W_{es un espacio de Banach,}

entonces g◦f también es de clase Cp, para todo p>1.

DEMOSTRACIÓN: ver [4].

Ejemplos 1.4.6. Veamos algunos ejemplos.

Sea η : E _−→ F_{, una aplicación lineal continua entre dos espacios de Banach,}

en-tonces η es diferenciable en todoE _{y para cada x∈}E _{se tiene que η}′_{(x) =η.}

Sean f :U −→ F_{, una aplicación diferenciable y η :}F_−→W_{, una aplicación lineal}

continua. Entonces

(η◦f)′(x) =η◦f′(x).

Y para cadav∈U tenemos

(η◦f)′(x)v=η◦(f′(x)v)

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 7

Proposición 1.4.7. Sean E _y F _{dos espacios de Banach y U un abierto en} E_.

Supong-amos que las aplicaciones f, g : U −→ F _{son diferenciables en a ∈U, entonces f +g es}

diferenciable en a y

(f +g)′(a) =f′(a) +g′(a).

Además si α es un número real cualquiera entonces la aplicación αf es diferenciable en a

y

(αf)′(a) =αf′(a).

DEMOSTRACIÓN: ver [4].

Definición 1.4.8. Sean E_,F dos espacios de Hilbert y _{U ⊂}E abierto, decimos que una

aplicación

f :U −→F_,

es un difeomorfismo de claseCp sif yf−1 son de clase Cp. Además decimos que f es undifeomorfismosi f yf−1 son de clase C∞ (suaves).

Ahora veremos un teorema fundamental en el análisis vectorial y que nos será muy útil en el desarrollo de este trabajo. Este teorema es conocido como el teorema de la función inversa.

Teorema 1.4.9. (Teorema de la Función Inversa.) Sean E_,F_{espacios de Banach, U ⊂}E

abierto y f :U −→F,una aplicación de clase Cp con p>1. Supongamos que exite a∈U

tal quef′(a) :E_−→F_{,es un isomorfismo lineal. Entonces f es un C}p_{-difeomorfismo local}

ena.

DEMOSTRACIÓN: ver [3].

Proposición 1.4.10. Sean E_,F _{espacios de Banach, U ⊂} E _{y V ⊂} F _abiertos.

Supong-amos que

f :U −→V,

es una aplicación de claseCpy además es un homeomorfismo. Sif es unC1-difeomorfismo, entonces f es unCp-difeomorfismo.

DEMOSTRACIÓN: ver [3].

Corolario 1.4.11. Sean E_,F _{espacios de Banach, U ⊂} E _{abierto y f : U −→} F_{, una}

aplicación tal que f(0) = 0. Si f cumple que f′(0) : E_−→ F_{, es un isomorfismo con un}

subespacio cerrado F

1 de F. Escribimos F = F1 ×F2. Entonces existe un difeomorfismo local

g:F_:−→F

1 ×F2;g(0) = 0 y una vecindad abierta U₁ ⊂U de 0∈E _{tal que}

g◦(f|U₁) :U1 −→U1 × {0} ⊂E× {0}≅ F1× {0},

es la inyección lineal canónica.

DEMOSTRACIÓN: ver [3].

Corolario 1.4.12. Sean E_,F _{espacios de Banach, U ⊂} E _{abierto y f : U −→} F _una

aplicación tal que f(0) = 0. Si f cumple que f′_{(0) :E −→ F, es sobreyectiva, escribimos}

E₌E_{1 ×}E_{2 con f}′_(0)|

E₂ :E2 −→F biyectiva, es decir, E2 ≅ F. Entonces existe un difeo-morfismo local

h: (U1 ×U2,0)⊂(E1 ×E2,0) −→(E,0),

con Ui una vecindad abierta de 0∈E1 tal que

f◦h:U₁ ×U₂ −→U₂ ⊂E

2 ≅ F, es la proyección π2.

DEMOSTRACIÓN: ver [3].

1.5. Espacio Tangente y Fibrado Tangente

Definición 1.5.1. Sean E un espacio de Banach y _U un abierto en E. Para cada_a∈U,

definimos el Espacio Tangente TaU de U en a como el conjunto {(a, v) : v ∈ E}, que

tiene estructura de espacio vectorial dada por la aplicación canónica

π2 :TaU −→E,

definida como π₂(a, v) =v. Así, definimos a T U :=S

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 9

Observación 1.5.2. Dado el isomorfismo canónicoT U ≅_U×E_{, podemos ver aT U como}

un abierto deE_×E.

Definición 1.5.3. La proyección π₁ : U ×E _{−→ U,} también puede ser notada como

τ ≡τ_U :T U −→ U,dada por τ_U(a, v) =a. Definimos (τ_U, T U, U) como el fibrado tan-gente de U. T U es llamado el espacio total tangente de U y τ es llamada la proyección del fibrado tangente.

Definición 1.5.4. Dada una aplicación diferenciable f :U ⊂E_{:−→V ⊂}F, definimos la

tangencialde f como

T f :T U −→T V,

dada porT f(a, v) = (f(a), f′_(a)(v)).

Observación 1.5.5. Dado a ∈ U, la restricción Taf = T f|_{Ta U}, es una aplicación lineal

determinada porf′_(a).

Proposición 1.5.6. Sean F1 : U1 ⊂E1 −→ U2 ⊂ E2 y F2 : U2 ⊂E2 −→ U3 ⊂ E3, dos aplicaciones difereciables, entonces las aplicacionesT(F₂◦F₁) :T U₁ −→T U₃ yT F₂◦T F₁ :

T U₁ −→ T U₃ son la misma aplicación. Además el tangencial de la aplicación identidad

idU :U −→U, es la aplicación identidadidT U :T U −→T U.

CAPÍTULO

2

Variedades de Hilbert

Las proposiciones matemáticas, en cuanto tienen que ver con la realidad, no son ciertas; y en cuanto que son ciertas, no tienen nada que ver con la realidad. Albert Einstein.

En este capítulo daremos la definición de una variedad suave modelada sobre un espacio de Hilbert separable real de dimensión infinita, teniendo en cuenta que la definición sigue siendo válida en dimensión finita como se conoce en geometría diferencial clásica. Además los teoremas, proposiciones y otras definiciones dadas en este capítulo son igualmente vál-idas en dimensión finita. En principio para llegar nuestra definición principal, se darán las definiciones de espacio topológico localmente Hilbert, variedad topológica, cartas, atlas, compatibilidad de cartas y de atlas y otras definiciones fundamentales. Se darán algunos ejemplos sencillos pero que serán trabajados minuciosamente.

En la segunda parte de este capítulo hablaremos sobre aplicaciones continuas y aplica-ciones de claseCp entre variedades de Hilbert. Es fundamental hablar de estas apliaciones, pues ellas dan origen a otras definiciones posteriores de gran importancia en nuestro traba-jo. Para entender este tipo de aplicaciones, se hará de ellas en términos de su representación local dadas por la cartas sobre las variedades. Veremos algunos teoremas, y para sus prue-bas serán fundamentales algunos teoremas nombrados en el capítulo anterior.

2.1. Variedad Topológica

Definición 2.1.1. SeaMun espacio topológico. Decimos queMunalocalmente Hilbert, si para cada puntop deM existe un abierto U en la topología de M tal que p∈U yU es homeomorfo a algún abierto de un espacio de Hilbert separable real H_{. Dado este abierto}

U que contiene apyφel homeomorfismo entreU y un abierto deHdecimos que la pareja

(U, ϕ) es una carta de pen M de p.

Definición 2.1.2. SeaM un espacio topológico dos contable y Hausdorff, decimos queM

es una variedad topológicasiM es localmente Hilbert.

Definición 2.1.3. Sea M un espacio topológico dos contable y Hausdorff. Un Cp- atlas sobreM con(p>0), es una familia de parejasA={(Ui, ϕi)}i∈I, que satisface las siguientes

condiciones

1. Cada Ui es un subconjunto abierto deM y

S

i∈I Ui =M.

2. Cada ϕi es un homeomorfismo de Ui en ϕi(Ui), donde ϕi(Ui) es un abierto

de algún espacio de Hilbert separable H

i y para cada pareja (i, j) ∈I ×I

se tiene que ϕ_i(U_i∩U_j) es un abierto de H i.

3. Cada aplicación (ϕi ◦ϕ

−1

j ) : ϕj(Ui ∩Uj) −→ϕi(Ui∩Uj), es difeomorfismo de

clase Cp.

Observación 2.1.4. La tercera propiedad en la definición anterior se conoce como com-patibilidad entre (Uj, ϕj) y(Ui, ϕi).

Definición 2.1.5. DadoA={(Ui, ϕi)}i∈I unC p

-atlas sobre M, decimos que cada pareja

(U_i, ϕ_i)es unacarta del atlasA. Seap∈M tal quep∈U_i, entonces decimos que(U_i, ϕ_i)

esuna carta para p del atlas A.

Definición 2.1.6. Dados un atlasAsobreM y una carta(U, ϕ)enM, decimos que(U, ϕ)

escompatible con el atlasA si(U, ϕ) es compatible con cada carta del atlas A

Proposición 2.1.7. Dados A = {(Ui, ϕi)}i∈I un C p

-atlas sobre M y (W, ψ),(V, φ) dos cartas compatibles con A, entonces (U, ϕ) y (V, φ) son compatibles entre sí.

DEMOSTRACIÓN: Sea aen V ∩W, queremos ver que(ψ◦φ−1) es un difeomor-fismo de clase Cp en φ(a). Ahora, como A es unCp-atlas sobre M entonces existe α ∈I

tal que a∈Uα, por lo tanto a∈Uα ∩V ∩W.

Así,(ψ◦φ−1) = (ψ◦ϕ−_α1)◦(ϕα ◦φ

−1

) es de clase Cp sobre φ(Uα ∩V ∩W), por lo tanto

sobreφ(a). Comoaes cualquier punto enV ∩W entonces hemos probado que(ψ◦φ−1)es de clase Cp en φ(V ∩W). De la misma manera podemos probar que(φ◦ψ−1)es de clase

Cp enψ(V ∩W).

Proposición 2.1.8. Sea A = {(Ui, ϕi)}i∈I un C

p

-atlas sobre M. Si p > 1 y si Ui y Uj

son tales que U_i ∩U_j es no vacío, entonces H

i y Hj son linealmente isomorfos (como

CAPÍTULO 2. VARIEDADES DE HILBERT 13

DEMOSTRACIÓN: Para ver la demostración de una forma más clara, tomaremos las siguientes definiciones

(Ui, ϕi):=(U, ψ) y(Uj, ϕj):= (V, φ).

Dadoa∈U∩V, definimosψ(a):=p y φ(a):= q.

ψ(U ∩V):= W1 ⊂Hi :=H1 yφ(U∩V):= W2 ⊂Hj :=H2.

Por lo tanto tenemos que la aplicación

(φ◦ψ−1) :W₁ −→W₂, (2.1)

es una biyección y también las aplicaciones

T(φ◦ψ−1) :T W₁ −→T W₂, T(ψ◦φ−1) :T W₂ −→T W₁. (2.2)

Veamos queT(φ◦ψ−1) yT(ψ◦φ−1) son aplicaciones inversas la una de la otra. Esto es claro, pues por la proposición §1.5.6 tenemos que

T(φ◦ψ−1)◦T(ψ◦φ−1) =T[(φ◦ψ−1)◦(ψ◦φ−1)]

y

T(ψ◦φ−1)◦T(φ◦ψ−1) =T[(ψ◦φ−1)◦(φ◦ψ−1)].

Entonces hemos mostrado que T W₁ yT W₂ son linealmente isomorfos y también TpW1 y

TqW2 lo son, por lo tanto H1 yH2 son linealmente isomorfos.

Proposición 2.1.9. Sea A = {(Ui, ϕi)}i∈I un C p

-atlas sobre M, con p > 1. Para cada componente conexa C deM, existe un espacio de Hilbert H_{, tal que para cada carta(U, ϕ)}

que esté en C, si ϕ(U)⊂H′ _y H′ _{es un espacio de Hilbert, entonces} H′ _yH _{son isomorfos}

(como espacios vectoriales).

DEMOSTRACIÓN: Sea C una componente conexa de M, como M es localmente arcoconexa entoncesC es arcoconexa. Seanx un punto fijo enC yy cualquier punto en C. Por la arcoconexidad de C sabemos que existe una función continua

f : [0,1]−→ C,

donde cadaUa es una carta deadel atlasA, entonces esta familia es un cubrimiento abierto

deW, por la compacidad deW podemos reducir este cubrimiento a un cubrimiento finito, supongamos que tal cubrimiento finito está dado por{Ui}1≤i≤k y sin pérdida de generalidad

supongamos quex∈U1 yy∈Uk. Por la conexidad deW se tiene queUi∩Ui+1 6=φpara

i= 1, ..., k−1, y por la proposición §2.1.8 tenemos queH

1 es linealmente isomorfo aH2,H2 es linealmente isomorfo a H

3 y así sucesivamente Hk−1 es linealmente isomorfo a Hk, por

lo tantoH

1 yHk son linealmente isomorfos (como espacios vectoriales). Entonces podemos

tomar H₌H

1 y así encontramos el espacio de Hilbert deseado.

Proposición 2.1.10. Sean A = {(Ui, ϕi)}i∈I un C p

-atlas sobre M con p > 1 y H _un

espacio de Hilbert separable. Definamos A_H:={x ∈ M: existe una carta (U, ϕ) de x con

ϕ(U)⊆H′ _y H′ _{linealmente isomorfo a} H_{}, entonces A}

H es abierto y cerrado en M.

DEMOSTRACIÓN:

Veamos que A_H es abierto. Supongamos que A_H no es abierto, entonces existep en

A_H tal que p no es punto interior de A_H, luego para todo abierto V que contiene a

p, existen puntos en V que no están en A_H, en particular siV =Ui, donde (Ui, ϕi)

es una carta de p. Sea entonces x ∈Ui tal quex no está AH, si (Uj, ϕj) es un carta

de x con ϕ_j(U_j) ⊆ H

j, entonces Hi es linealmente isomorfo a Hj, por lo tanto Hj

es linealmente isomorfo a H, y así _x está en _A

H, lo cual es una contradición. Por lo tanto A_H es abierto.

Ahora veamos queA_H es cerrado. Sea q ∈A_H, luego para todo abierto U en M que contiene aq se tiene queU∩A_H es no vacío, en particular si U =Ui, donde (Ui, ϕi)

es una carta de q. Sea y en M tal que y∈U_i ∩A_H, luego existe (U_j, ϕ_j) carta de y

tal queH

j es linealmente isomorfo aH, pero también tenemos queHj es linealmente

isomorfo aH

i, por lo tanto q está enAH entonces AH es cerrado.

Observación 2.1.11. Como una consecuencia de la proposición §2.1.10 tenemos que cada componente conexa de M es abierta y cerrada en la topología de M.

Definición 2.1.12. Dado un espacio topológico M con la propiedad de ser Hausdorf y dos contable, decimos que M es una Cp-Hvariedad topológica _{si existe un C}p_-atlas

A={(Ui, ϕi)}i∈I sobreM, donde cadaϕα(Uα)⊂HyHes un espacio de Hilbert separable.

Ejemplos 2.1.13. Veamos algunos ejemplos de variedades topológicas.

Sea un espacio de Hilbert separable H, tenemos queH con el atlas_{(H_{, id)}} es una

CAPÍTULO 2. VARIEDADES DE HILBERT 15

Dado un abierto U de un espacio de Hilbert separable H_{, entonces U con el atlas}

{(U, id|U)}es una C

∞

-Hvariedad topológica.

Definición 2.1.14. DadosA={(U_i, ϕ_i)}_i∈I yB={(V_j, φ_j)}_j∈J dosCp-atlas sobre unaCp

-Hvariedad topológica_M, decimos que soncompatiblessi y sólo si la unión deAyBes

unCp-atlas sobreM.

Observación 2.1.15. La relación de compatibilidad entre atlas es unarelación de equiv-alencia.

2.2. Varidades Suaves

Definición 2.2.1. Definimos unaCp-Hvariedado tambiénvariedad suavea una_Cp-H

variedad topológica M con unCp-atlas maximal A.

Observación 2.2.2. Sean(U, ϕ)una carta enM yp∈U, entoncesϕ(p)está enϕ(U)⊂H_,

tomando unabase ortogonal de Hilbert {ei} enHtenemos que ϕ i

, la proyección deϕ

sobre la i-ésima componente, es llamada i-ésima función coordenada.

Teorema 2.2.3. CadaCp-atlasAsobre unaCp-H_{variedadM está contenido en un único}

Cp-atlas maximal.

DEMOSTRACIÓN: Tomemos todas las cartas compatibles con A, entonces ellas

son compatibles entre sí, definamos M el atlas formado por la unión de A con todas

estas cartas, si tomamos todas las cartas compatibles con M entonces estas cartas son

compatibles conA y así ellas deben estar enM, por lo tantoM es maximal.

Veamos que es único. Sea Notro atlas maximal que contiene a A, por lo tanto todas las

cartas de N son compatibles con A, entonces N⊂ M. Como N es maximal, entonces se

tiene queN=M. Con lo cual se prueba que M es único.

Observación 2.2.4. Dado el teorema §2.2.3, podemos saber cuando un espacio topológico

M es una Cp-H _{variedad, y es cuando podemos encontrar unC}p_{-atlas sobre M.}

Ejemplos 2.2.5. Veamos algunos ejemplos teniendo en cuenta el teorema §2.2.3 . 1. Sea Hun espacio de Hilbert separable y definamos el conjunto

Sean p+ y p− puntos en S

H

con x = 1 y x = −1 respectivamente y definamos las siguientes aplicaciones φ+ :S H \{p+} −→H, (2.3) dada por φ+[(x, v)] = v 1−x, y φ−:S H \{p−} −→H, (2.4) dada por φ₋[(x, v)] = v 1 +x.

En este caso,Hes el subespacio_{{x= 0}}de _SH de codimesión 1.

Ahora kφ₊[(x, v)]k2 = kvk 2 (1−x)2 = 1−x2 (1−x)2 = 1 +x 1−x 6= 0, y kφ−[(x, v)]k 2 = kvk 2 (1 +x)2 = 1−x2 (1 +x)2 = 1−x 1 +x 6= 0.

Así tenemos que

φ−₊1 :H_{\{0} −→S}H_\{p

+}, (2.5)

que está dada por

φ−₊1(v) = kvk 2 −1 kvk2 + 1, 2v kvk2 + 1 ! , y φ−₋1 :H_{\{0} −→S}H_\{p −}, (2.6)

que está dada por

φ−₋1(v) = 1− kvk 2 kvk2 + 1, 2v kvk2_{+ 1} ! .

CAPÍTULO 2. VARIEDADES DE HILBERT 17

Ahora

(φ₋◦φ−₊1) :H_{\{0} −→}H_\{0}, (2.7)

está dada por

(φ₋◦φ−₊1)(v) =φ₋ kvk 2 −1 kvk2 + 1, 2v kvk2 + 1 ! . Por lo tanto (φ−◦φ −1 + )(v) = 2v kvk2+1 1 +kvk2−1 kvk2+1 = 2v kvk2+1 ₂ kvk2 kvk2+1 = v kvk2. (2.8) De igual manera obtenemos que

(φ₊ ◦φ−₋1)(v) = v

kvk2. (2.9)

Entonces las aplicaciones(φ+ ◦φ

−1 − ) y(φ−◦φ −1 + ) son de claseC ∞ .

Así tenemos que{(SH\{p_±}, φ_±)}es unC∞-atlas sobreSH. Entonces por el teorema §2.2.3 se tiene queSH es una C∞-H variedad.

2. Dado un espacio de Hilbert separable H, entonces _{(H_{, id)}} es un_C∞-atlas sobre H,

por lo tantoH_{es una C}∞_-H_variedad.

3. Dado un abierto U de un espacio de Hilbert separable H_{, entonces {(U, id|} U)} es

C∞-atlas sobre U, asíU es una C∞-H variedad.

4. Sean M una Cp-H

1 variedad y N una C

p

-H

2 variedad. Entonces M ×N es una

Cp-H

1 ×H2 variedad. En efecto, supongamos que A={(Uα, ϕα)}α∈I es un C p

-atlas de M y A={(Vα, φβ)}β∈J es un C

p

-atlas de N. Entonces si definimos D= {(Uα ×

Vβ, ϕα ×φβ)}(α,β)∈I×J, tenemos que Des unC p

-atlas deM×N. Así por el teorema §2.2.3 tenemos lo deseado.

Observación 2.2.6. De ahora en adelante hablaremos simplemente de unaH-variedad o

variedad, haciendo referecia a unaC∞-Hvariedad sobre cierto espacio de Hilbert separable H_{. En caso contrario daremos la notación correpondiente.}

2.3. Funciones entre Variedades

Definición 2.3.1. Dadas dos variedadesM yN y una aplicación continua F :M −→N, decimos queF es una aplicación de clase Cp, si existen un par de atlas {(Uα, ϕα)}α∈I de

M y{(Vβ, φβ)}β∈J de N tales que las aplicaciones

φβ ◦F◦ϕ

−1

α :ϕα(Uα∩F

−1

(Vβ))−→φβ(Vβ), (2.10)

son de clase Cp para toda pareja (α, β)∈I×J.

Definición 2.3.2. SiF :M −→N es un homeomorfismo entre variedades y tantoF como

F−1 son de clase Cp, entonces decimos queF es undifeomorfismo de claseCp entreM

yN.

Proposición 2.3.3. Las definiciones anteriores son independientes de los atlas seleciona-dos.

Además si las aplicaciones continuas F : M −→ N y G : N −→ X son de clase Cp, entonces G◦F es una aplicación de clase Cp.

DEMOSTRACIÓN:

Sean{(U_α′, ϕα′)}α′ ∈I′ y{(Vβ′, φβ′)}β′∈J′ otro par de atlas deM yN respectivamente.

Teniendo en cuenta los dominios de restricción de la definición, tenemos que la apli-cación (φ_β′ ◦F◦ϕ −1 α′) = [φβ′ ◦φ −1 β ]◦[φβ ◦F◦ϕ −1 α ]◦[ϕα′ ◦ϕ −1 α ] −1 , (2.11)

es de clase Cp para cada pareja(α, β)∈I′×J′.

Para la demostración de la composición G◦F de F yG, es suficiente demostar que es verdad para las representaciones locales, así la aplicación

(ϕ_X ◦G◦F ◦φ−1 M ) = [ϕX ◦G◦ψ −1 N ]◦[ψN ◦F◦φ −1 M ,] (2.12) es de clase Cp. Proposición 2.3.4. Sean M una H_{-variedad y F :M −→}H _{una aplicación suave (C}∞_).

Si U es un abierto deM tal que la aplicación

F|_U :U −→F(U),

CAPÍTULO 2. VARIEDADES DE HILBERT 19

DEMOSTRACIÓN: Sea A ={(Uα, ϕα)}α∈I el atlas maximal sobre M, para cada

α∈I se tiene que las aplicaciones(F|_U◦ϕα

−1

)y(ϕα◦F|U)son suaves. Entonces(U, F|U)

es compatible con el atlasA, comoA es maximal entoncesϕα ◦F|U es una carta deA.

Definición 2.3.5. Dada M una variedad de Hilbert, definimos

FM :={f :M −→R _{:f es suave(C}∞_)}

Proposición 2.3.6. Dada M una variedad de Hilbert, tenemos que el conjunto FM es una R_{-álgebra bajo la composiciones naturales.}

1. (f +g)(p) = f(p) +g(p), 2. (αf)(p) = αf(p),

3. (f g)(p) = f(p)g(p).

∀f, g∈ FM, ∀α∈R_.

DEMOSTRACIÓN: Es claro por definición.

Proposición 2.3.7. SeanM yN dos variedades de Hilbert yF :M −→N una aplicación suave, entonces la aplicación

F∗ :FM −→FN, (2.13)

definida como

F∗(f) =f◦F. (2.14)

Es un morfismo de álgebras.

DEMOSTRACIÓN: Se tiene por definición.

Proposición 2.3.8. Sean M un H_{-variedad y(U, ϕ) una carta tal que ϕ(U) = V es una}

vecindad de0∈H_{yR >0tal queB}

R(0)⊂V. Si f :BR(0)−→R,es una función de clase

C∞ y r, t son tales que 0 < r < t < R, entonces existe una función suave g :M −→R_,

tal que

1. (g◦ϕ−1)(v) = f(v), para todov ∈Br(0),

2. g(q) = 0, para todoq /∈Bt(0).

1. φ(x) =1, para|x| ≤r, 2. φ(x) =1, para|x| ≥t.

Definamosg◦ϕ−1 porφ(|v|)f(v) yg(q) = 0paraq ∈M, no enϕ−1(Bt(0)).

Probemos la existencia de la función φen los siguientes pasos 1. λ(x) =    exp 1 (x+r)(x+t) ,si−t < x < r 0 ,en otro caso. ; 2. µ(x) = R−x −t λ(y)dy R−r −t λ(y)dy ; 3. φ(x) = ( µ(x) ,si x >0 µ(−x) ,si x≤0.

CAPÍTULO 2. VARIEDADES DE HILBERT 21

Fibrados

3.1. Fibrado Tangente

Nuestras teorías sobre la naturaleza pueden parecer abstractas y temibles a quienes no las han estudiado, pero no hay que olvidar que son otros locos quienes las han hecho. Richard Feynman.

En las secciones precedentes hemos visto algunas propiedades geométricas de las var-iedades de Hilbert, así como la definición de los espacios tangentes locales a través del operador diferencial dado por la derivada tipo Fréchet inducida por la norma local. A continuación, en la primera sección de este capítulo, procederemos a construir el fibrado tangenteT M de una variedad de HilbertM siguiendo el procedimiento clásico de Steenrod [N.S99].

Se empezará por dar una construcción local de los vectores tangentes aM enp∈M, que dan origen a Tp(M) como veremos en nuestra primera definición. SiM es una H-variedad

tendremos que Tp(M) es un espacio vectorial isomorfo aH. Despues de ver la contrucción

del fibrado tangente asociado aM definiremos la aplicaciónτ_M de manera análoga a como se definió en §1.5.3. En §3.1.4 probaremos T M tiene estructura de variedad de Hilbert y queτM es suave.

Dada F : M −→ N, entre variedades, daremos la definición de la tangencial de F, la cual está relacionada con las aplicaciones τM y τN, es decir(τN ◦F) = (F ◦τM)y lo

pro-baremos en §3.1.7.

Por último hablaremos de un fibrado vectorial π :P −→ M sobre M con fibra π−1({p})

modelada sobre un espacio de Banach E. Se probará que _{(T M, τ}

M, M,H) es un fibrado

tangente sobreM son fibra modelada sobreH_.

CAPÍTULO 3. FIBRADOS 23

Definición 3.1.1. Sea M una H_-variedad.

1. Dado p ∈ M, (U, ϕ) una carta de p, y ϕ(U) = V ⊂ H. Definimos a _T

ϕ(p)V como el representante del espacio tangente de M en p, dado por la carta (U, ϕ). Los elementos deT_ϕ(p)V son denotados por(ϕ(p), X_ϕ(p)), donde X_ϕ(p) está en Hy es

llamado laparte principal del vector (ϕ(p), X_ϕ(p)).

2. Dadas dos cartas (U₁, ϕ) y(U₂, φ) de p ∈M y tomando ϕ(U₁) =V₁ y φ(U₂) =V₂, tenemos que la función de transición

(φ◦ϕ−1) :ϕ(U₁ ∩U₂)−→φ(U₁∩U₂) (3.1)

determina un isomorfismo lineal

T_ϕ(p)(φ◦ϕ−1) :T_ϕ(p)V₁ −→T_φ(p)V₂. (3.2)

Definido como:

T_ϕ(p)(φ◦ϕ−1)[(ϕ(p), X_ϕ(p))] = (φ(p), D(φ◦ϕ−1)(ϕ(p))[X_ϕ(p)]).

Decimos que (ϕ(p), X_ϕ(p)) y(φ(p), X_φ(p)) están relacionados o representan el mismo vector tangente a M enp, si se tiene lo siguiente

D(φ◦ϕ−1)(ϕ(p))[X_ϕ(p)] =X_φ(p). (3.3)

Esta relación entre vectores es una relación de equivalencia. En efecto, dadas (U, ϕ),(V, φ) y(W, ψ) tres cartas de p, tales que

D(φ◦ϕ−1)(ϕ(p))[X_ϕ(p)] =X_φ(p) (3.4) y

D(ψ◦φ−1)(φ(p))[X_φ(p)] =X_ψ(p). (3.5)

Queremos ver que

D(ψ◦ϕ−1)(ϕ(p))[X_ϕ(p)] =X_ψ(p).

Tenemos que

por la proposición §1.4.5 tenemos

D(ψ◦ϕ−1)(ϕ(p))[X_ϕ(p)] =D(ψ◦φ−1)[(φ◦ϕ−1)(ϕ(p))][D(φ◦ϕ−1)(ϕ(p))[X_ϕ(p)]]

(3.7)

=D(ψ◦φ−1)(φ(p))[D(φ◦ϕ−1)(ϕ(p))[X_ϕ(p)]]. (3.8)

Por la ecuación §3.4 se tiene que

D(ψ◦ϕ−1)(ϕ(p))[X_ϕ(p)] =D(ψ◦φ−1)(φ(p))[X_φ(p)], (3.9)

y por la ecuación §3.5 tenemos

D(ψ◦ϕ−1)(ϕ(p))[X_ϕ(p)] =X_ψ(p). (3.10)

Luego queda demostrado es que esta relación entre vectores es una relación de equiv-alencia.

Entonces un vector tangente a M en p es definido por la familia de estos represen-tantes, dados por las cartas dep.

3. Dado p ∈ M, definimos el espacio tangente TpM como el conjunto de vectores

tangentes aM en p.

Cada carta(U, ϕ)depconϕ(U) =V, determina un isomorfismo entreTpM yTϕ(p)V dada por la siguienteaplicación representante:

Tpϕ:TpM −→Tϕ(p)V, (3.11)

definida por:

Tpϕ([ϕ(p), Xϕ(p)]) = (ϕ(p), Xϕ(p)).

Donde [ϕ(p), X_ϕ(p)] es la clase de equivalencia de la cuál (ϕ(p), Xϕ(p)) es

represen-tante. Además con esta aplicación tenemosTpM tiene estructura de espacio vectorial

isomorfo aH.

4. Usando la aplicación (isomorfismo)

π₂ :T_ϕ(p)V ={ϕ(p)} ×H_−→H_, (3.12)

definimos la aplicación

Dϕ(p) :=π₂ ◦Tpϕ, (3.13)

CAPÍTULO 3. FIBRADOS 25

Teorema 3.1.2. La estructura de espacio vectorial de TpM es independiente de la

apli-cación representante selecionada.

DEMOSTRACIÓN: Sean (U₁, ϕ) y (U₂, φ) dos cartas de p, con V₁ = ϕ(U₁) y

V2 =φ(U2). Entonces Tpφ◦Tpϕ −1 :T_ϕ(p)V₁ −→T_φ(p)V₂ (3.14) es un isomorfismo lineal. Donde Tpφ◦Tpϕ −1 =T_ϕ(p)(φ◦ϕ−1), y T_ϕ(p)(φ◦ϕ−1)[(ϕ(p), X_ϕ(p))] = (φ(p), D(φ◦ϕ−1)(ϕ(p))[X_ϕ(p)]). (3.15)

Hay que notar que

D(φ◦ϕ−1)(ϕ(p)) =Dφ(p)◦(Dϕ(p))−1. (3.16)

Definición 3.1.3. Sea M una H-variedad. Definimos a

T M = [

p∈M

TpM,

como el Espacio Tangente de M. También definimos la aplicación

τ ≡τ_M :T M −→M,

que asocia a cadaX ∈TpM el puntop∈M. La aplicación τM es llamada la proyección de

T M sobreM.

Proposición 3.1.4. SeaM una H_{-variedad. Entonces T M es una}H_×H_{-variedad y τ es}

una aplicación suave.

Más precisamente, cada atlas {(Uα, ϕα)}α∈I suave deM, define un atlas{(T Uα, T ϕα)}α∈I

suave de T M, como sigue:

Definimos Vα :=ϕα(Uα), para todo α∈I

Definimos T Uα :=

S

La aplicación

T ϕα :T Uα −→T Vα =Vα×H, (3.17)

definida como

T ϕα(X) :=Tτ[X]ϕα(X) = (ϕα(τ[X]), X_ϕα(τ[X])).

DEMOSTRACIÓN:

. Lo primero que queremos ver es que cadaT ϕα es una biyección y que las aplicaciones

(T ϕ_β ◦T ϕ−_α1) :T Vα ∩T Vβ −→T Vα∩T Vβ, (3.18)

son suaves para cada par(α, β ∈)I×I.

Tenemos que

T ϕα(X) =Tτ[X]ϕα(X) = (ϕα(τ[X]), X_ϕα(τ[X])) (3.19)

y cada ϕα es una biyección, luego cadaT ϕα es una biyección entre subconjuntos de

T M y abiertos deH_×H_.

La suavidad de las aplicaciónes

(T ϕβ ◦T ϕ

−1

α ) :T Vα ∩T Vβ −→T Vα∩T Vβ,

se tienen porque(T ϕ_β ◦T ϕ−_α1) =T(ϕ_β ◦ϕ−_α1)y por la suavidadd de las aplicaciónes

(ϕβ ◦ϕ

−1

α ), para todo par (α, β)∈I×I

Ahora veamos que la aplicación

τ :T M −→M (3.20)

es suave.

Para demostrar esto, veamos que podemos encontrar un par de atlas paraT M yM, que cumplan con la definición §2.3.1.

Tomemos (T Uα, T ϕα) una carta en T M y(Uα, ϕα)la correspondiente carta en M.

Entonces para la aplicación

(ϕα ◦τ◦(T ϕα) −1 ) :T Vα −→ϕα(Uα) =Vα, (3.21) definida por (ϕα◦τ◦(T ϕα) −1 )((ϕα, X_ϕα)) = (ϕα ◦τ)(X).

CAPÍTULO 3. FIBRADOS 27

Donde(ϕα, X_ϕα) está enT Vα yX está enT Uα,

se tiene que

(ϕα◦τ ◦(T ϕα)

−1

)((ϕα, X_ϕα)) =ϕα. (3.22)

Por lo tantoτ es suave.

Definición 3.1.5. Dada una H-variedad _M, definimos el fibrado tangente de _M con

la tripleta (τM, T M, M). Donde τM es definida como en la definición §3.1.3, T M es una H_×H-variedad y además decimos que_{T M} es elespacio tangente total de _M.

Definición 3.1.6. Dadas dos variedades M yN y una aplicación suave

F :M −→N, (3.23)

definimos el tangencial deF como la aplicación

T F :T M −→T N, (3.24)

dada como sigue.

Para cada p∈M, definimos

TpF :TpM −→TF(p)N; (3.25)

como la tangencial deF en p, tomando la representación local

T_ϕ(p)(φ◦F ◦ϕ−1) :T_ϕ(p)W₁ −→T_φ(F(P))W₂. (3.26) Definida como

T_ϕ(p)(φ◦F◦ϕ−1)[(ϕ(p), X_ϕ(p))] = (φ(F(p)), D(φ◦F ◦ϕ−1)(ϕ(p))[X_ϕ(p)]) (3.27) Donde (φ◦F ◦ϕ−1) es una representación local de F, con (U, ϕ) y(V, φ) dos cartas de p

yF(p) respectivamente, además considerando W₁=ϕ(U) yW₂=φ(V).

Proposición 3.1.7. Veamos algunos resultados importantes.

1. La definición anterior es independiente de la representación local de F, 2. T F es suave y el siguiente diagrama es conmutativo.

T M T N M N -T F ? τ_M ? τ_N -F 3. Sean M1,M2 y M3 variedades de Hilbert y

F₁ :M₁ −→M₂ , F₂ :M₂ −→M₃ (3.28)

dos aplicaciones suaves. Entonces tenemos que T F₁ ◦T F₂ = T(F₁◦F₂).

DEMOSTRACIÓN:

1. Veamos la independencia de la representación de F para la definición deTpF.

Sean (U, ϕ),(U′, ϕ′) y (V, φ) , (V, φ′) cartas de p y F(p) respectivamente, tales que

(φ′_◦F◦ϕ′−1_{) y(φ◦F◦ϕ}−1

) son representaciones locales de F. Entonces tenemos que la igualdad

T(φ′◦F◦ϕ′−1) =T(φ′◦φ−1)◦T(φ◦F◦ϕ−1)◦T(ϕ′◦ϕ−1)−1, (3.29)

es válida es una pequeña vecindad de ϕ′(p) en ϕ′(U′). Por lo tanto se ha mostrado la independencia de la representación local deF para la definición deT P.

2. Veamos la suavidad de la aplicación T M.

Para ver esto necesitamos encontrar un par de atlas deT M yT N, de tal manera que se cumpla lo indicado en la definición §2.3.1. DadoF es una aplicación suave, existen un par de atlasA={(Uα, ϕα)}α∈I yB={(Vβ, φβ)}β∈J deM yN respectivamente tales

que las aplicaciones

(φ_β ◦F◦ϕ₋₁) :ϕ(Uα ∩F−1(Vβ))−→φβ(Vβ),

son suaves para cada pareja(α, β) ∈I×J.

Ahora, por la proposición §3.1.4 tenemos que los atlas A y B determinan un par

de atlas{(T Uα, T ϕα)}α∈I y{(T Vβ, T φβ)}β∈J sobreT M yT N respectivamente, para

demostrar lo que queremos, basta con ver que las aplicaciones

(T φ_β ◦T F ◦T ϕα

−1

)

CAPÍTULO 3. FIBRADOS 29

siguiente igual

(T φ_β ◦T F ◦T ϕα

−1

) =T(φ_β ◦F◦ϕ₋₁).

Para cada pareja (α, β)∈I×J.

Luego queda demostrada la suavidad de la aplicación T M. 3. Veamos que el diagrama conmuta.

DadoX en TpM tenemos que

(F◦τ_M)(X) =F(p) (3.30)

y

(τ_N◦TpF)(X) =τN(XF(p)) =F(p). (3.31)

Entonces tenemos que efectivamente el diagrama conmuta. 4. Veamos que T(F2 ◦F1) =T F2 ◦T F1

Tenemos la siguiente igualdad

(ψ◦F2◦F1◦ϕ −1 ) = (ψ◦F2 ◦φ −1 )◦(φ◦F1◦ϕ −1 ), (3.32)

donde esté bien definida esta composición, con(ψ◦F₂◦φ−1)una representación local de F2 y (φ◦F1 ◦ϕ

−1

) una representación local de F1. Además por el proposición §1.5.6 tenemos que T(ψ◦F2◦F1◦ϕ −1 ) =T(ψ◦F2 ◦φ −1 )◦T(φ◦F1◦ϕ −1 ). (3.33)

Luego tenemos la demostración.

Definición 3.1.8. Sean M una H-variedad,_N un espacio de Hilbert H′ y_{F :M −→N},

una aplicación suave. Definimos la Diferencial de F en p, como la siguiente aplicación lineal

DF(p) :TpM −→H

′_{, (3.34)}

dada por la composición de la aplicación

TpF :TpM −→TF(p)H

con la proyección

π2 :{F(p)} ×H

′ _−→H′_{. (3.36)}

En otras palabras,

DF(p)(X) := (π2 ◦TpF)(X). (3.37)

Proposición 3.1.9. Sea M una variedad de Hilbert, entonces

1. D(αf +βg)(p) = αDf(p) +βDg(p), 2. D(f g)(p) = Df(p)g(p) +f(p)Dg(p)

∀f, g∈FM, ∀α, β∈R _{y ∀p∈M}

Observación 3.1.10. Notaremos en ocasiones X y no X_ϕ(p) para simplificar un poco la escritura de la prueba.

DEMOSTRACIÓN:

1. Sean p∈M,(U, ϕ) una carta de p,f yg∈FM yα, β∈R_.

Tenemos que

(αf +βg)◦ϕ−1 :ϕ(U)−→R, (3.38)

es suave.

Definamosh=αf +βg y así

Tph:TpM −→Th(p), (3.39)

y tiene la representación local

T_ϕ(p)(h◦ϕ−1) :T_ϕ(p)ϕ(U)−→T_(h(p))R_,

definida como:

CAPÍTULO 3. FIBRADOS 31 Ahora D(h◦ϕ−1)(ϕ(p)) =D((αf+βg)◦ϕ−1)(ϕ(p)) =D(αf◦ϕ−1+βg◦ϕ−1)(ϕ(p)), (3.40) así D(h◦ϕ−1)(ϕ(p)) = (D(αf ◦ϕ−1) +D(βg◦ϕ−1))(ϕ(p)) (3.41) =α(D(f ◦ϕ−1)(ϕ(p))) +β(D(g◦ϕ−1)(ϕ(p))). (3.42) Luego D(h◦ϕ−1)(ϕ(p))[X] =α(D(f ◦ϕ−1)(ϕ(p))[X]) +β(D(g◦ϕ−1)(ϕ(p))[X]), (3.43) por lo tanto T_ϕ(p)(h◦ϕ−1)[ϕ(p), X] = [h(p), α(D(f ◦ϕ−1)(ϕ(p))[X]) +β(D(g◦ϕ−1)(ϕ(p))[X])]. Sabemos que a) Dh(p)[X] = (π₂ ◦Tph)[X], b) Df(p)[X] = (π2◦Tpf)[X], c) Dg(p)[X] = (π₂ ◦Tpg)[X]. Entonces Dh(p)[X] =αDf(p)[X] +Dg(p)[X], (3.44)

así tenemos que

D(αf +βg)(p) =αDf(p) +βDg(p). (3.45)

∀f, g∈FM y∀α, β∈R

2. Sean p∈M,(U, ϕ) una carta de pyf, g∈FM. Tenemos que la aplicación

es suave.

Definamosh =f g y así tenemos que

Tph:TpM −→Th(p), (3.47)

y tiene la representación local

T_ϕ(p)(h◦ϕ−1) :T_ϕ(p)ϕ(U)−→T_(h(p))R_, (3.48) definida como T_ϕ(p)(h◦ϕ−1)[ϕ(p), X_ϕ(p)] = [h(p), D(h◦ϕ−1)(ϕ(p))(X_ϕ(p))]. Ahora, D(h◦ϕ−1)(ϕ(p)) =D((f g)◦ϕ−1)(ϕ(p)) =D((f◦ϕ−1)(g◦ϕ−1))(ϕ(p)). (3.49) Sabemos que D(h◦ϕ−1)(ϕ(p)) =D(f◦ϕ−1)(ϕ(p))g(p) +f(p)D(g◦ϕ−1)(ϕ(p)). (3.50) Por lo tanto D(h◦ϕ−1)(ϕ(p))[X] =D(f◦ϕ−1)(ϕ(p))[X]g(p) +f(p)D(g◦ϕ−1)(ϕ(p))[X]. (3.51) Sabemos lo siguiente a) Dh(p)[X] = (π2 ◦Tph)[X], b) Df(p)[X] = (π₂◦Tpf)[X], c) Dg(p)[X] = (π2 ◦Tpg)[X]. Entonces Dh(p)[X] =Df(p)[X]g(p) +f(p)Dg(p)[X], (3.52) así D(f g)(p) =Df(p)g(p) +f(p)Dg(p). (3.53) ∀f, g∈FM.

CAPÍTULO 3. FIBRADOS 33

Por lo tanto hemos demostrado la proposición.

3.2. Fibrados Vectoriales

Definición 3.2.1. Sea M una H_-variedad.

1. Sean E_{un espacio de Banach, P un conjunto y una aplicación sobreyectiva}

π:P −→M, (3.54)

tal que para cada p∈M se tiene que π−1({p}) es un espacio de Banach isomorfo a

E. Denotamos a_π−1_({p}) como E

p y llamamos aEp lafibrade π sobre p.

Adicionalmente. Si Aes un atlas sobreM tal que cada carta(U, ϕ) deA define una carta fibrada(P ϕ, U, ϕ), que consiste del siguiente diagrama conmutativo.

P U ≡π−1(U) U ×E U ϕ(U) -P ϕ ? π|_{P U} ? π₁ -F Definido como Paraξ ∈π−1(U),P ϕ(ξ) = (ϕ(p), ξϕ), π|P U(ξ) =p, parap∈U,ϕ(p), π₁(ϕ(p), ξϕ)=ϕ(p).

Con las siguientes propiedades

a) La aplicación P ϕ es sobreyectiva y

Ppϕ=P ϕ|Ep : E

es un isomorfismo lineal. Donde la estructura de espacio de Banach so-bre el producto {ϕ(p)} × E, está definida por la identificación canónica

π2 :{ϕ(p)} ×E−→E.

b) Si (P ϕ₁, U₁, ϕ₁) y(P ϕ₂, U₂, ϕ₂) son dos cartas fibradas, entonces

P ϕ1 ◦(P ϕ2|P(U₁∩U_{2 )})

−1

:ϕ1(U1 ∩U2)×E−→ϕ2(U1 ∩U2)×E, (3.56)

es un difeomorfismo, denotado porP ϕ₁◦P ϕ₂−1.

Entonces el objeto así definido por el atlasAes llamado un fibrado vectorial sobre M con atlas fibrado{(P ϕ, U, ϕ)}A .

2. Dados dos atlas fibrados {(P ϕα, Uα, ϕα)}α∈I y {(P φβ, Vβ, φβ)}β∈J de (P, π, M,E),

asociados a dos atlas equivalentes A={(Uα, ϕα)}α∈I y B={(Vβ, φβ)}β∈J sobre M

respectivamente, son equivalentes si la unión de ellos es una atlas fibrado sobre

(P, π, M,E₎ asociado a las unión de AyB.

Una clase de equivalencia de vectores fibrados sobreM es llamado un fibrado vec-torial sobre M con fibra sobreE_.

Observación 3.2.2. Veamos un par de observaciones de la definición anterior. 1. E

p es isomorfismo a E, pero no es un isomorfismo canónico. Para cada carta fibrada

(P ϕ, U, ϕ) que cubre aE

p, tenemos el ismorfismo lineal

P ϕ(p) = (π2 ◦Ppϕ) :Ep −→E, (3.57)

donde

Ppϕ:Ep −→ {ϕ(p)} ×E, (3.58)

es un isomorfismo lineal.

2. Dadas dos cartas fibradas (P U, U, ϕ) y (P V, V, φ), entonces tenemos la aplicación de transición (P φ◦P ϕ−1), descrita en la definición anterior. Definimos para cada

p∈U ∩V el siguiente isomorfismo

P(φ◦ϕ−1)(ϕ(p)) = (P φ(p)◦P ϕ(p)−1) :E_−→E_{, (3.59)}

donde la aplicación (P φ◦P ϕ−1) se puede escribir de la siguiente manera

(P φ◦P ϕ−1)((q, ξϕ)) = ((φ◦ϕ

−1

CAPÍTULO 3. FIBRADOS 35

Dado que la aplicación de transición(P φ◦P ϕ−1)es suave, tenemos que la aplicación

Φ :ϕ(U∩V)−→GL₍E_{), (3.61)}

definida como:

Φ(a) =P(φ◦ϕ−1)(a),

También es suave.

Ejemplo 3.2.3. Dada unaH-variedad_M, tenemos que_{(T U, τ}

M, M,H)es un fibrado

vec-torial sobreM. El atlas A={(T Uα, Uα, ϕα)}α∈I de T M derivado del atlas {(Uα, ϕα)}α∈I

de M, es un atlas fibrado y lo denotaremos por {(T ϕα, Uα, ϕϕ)}α∈I.

En efecto:

1. Sabemos que la aplicaciónτ_M está definida de la siguiente manera

∀X∈TpM, τM(X) =p. (3.62)

Entonces para cadap∈M tenemosτ_M−1({p})=TpM y sabemos queTpM es isomorfo

aH_{para todo p enM.}

2. Sean p∈M y(U, ϕ) una carta de p enA, entonces tenemos el siguiente diagrama.

TpM ϕ(U)×H U ϕ(U) -T ϕ ? τ_M ? π₁ -ϕ

Veamos que el diagrama conmuta. DadoX inTpM tenemos

τ_M(X) =p y (ϕ◦τ_M)(X) =ϕ(p), T ϕ(X) = (ϕ(p), X_ϕ(p)),

(π₁◦T ϕ)(X) =ϕ(p). (3.63)

Luego el diagrama es conmutativo.

Tenemos que la aplicaciónT ϕes sobreyectiva y la aplicación

es un isomorfismo lineal por definición de Tpϕ

3. Dada otra carta (V, φ)de p en A, veamos que la aplicación

(T ϕ◦T φ−1) :φ(U ∩V)×H_{−→ϕ(U ∩V)×}H_{. (3.65)}

es suave.

Pero esto se tiene facilmente pues

(T ϕ◦T φ−1)[(a, X)] := (ϕ◦φ−1(a), D(ϕ◦φ−1)(a)[X]). (3.66)

Luego queda probado nuestro ejemplo.

Teorema 3.2.4. Sean M una H_{-variedad y (P, π, M,}E_{) un vector fibrado sobre M.}

En-tonces el atlas fibrado {(P ϕα, Uα, ϕα)}α∈I asociado al atlas{(Uα, ϕα)}α∈I deM determina

un atlas {(P Uα, P ϕα)}α∈I sobre P, haciendo deP unaH×E-variedad.

Observación 3.2.5. SiE_{no es un espacio de Hilbert, entonces hablamos deP como una} H_×E-variedad de Banach.

DEMOSTRACIÓN: Demostremos ahora el teorema. 1. Definimos P Uα =π

−1

(Uα). Sabemos que la aplicación π es sobreyectiva, entonces

P =π−1(M) =π−1([ α∈I Uα) = [ α∈I π−1(Uα) = [ α∈I P Uα. Luego{P Uα}α∈I es un cubrimiento deP.

2. Veamos que la aplicación

P ϕα :P Uα −→ϕ(Uα)×E, (3.67)

dada porP ϕα(ξ) =(ϕ(p), ξϕ), es un homeomorfismo.

Sabemos que la aplicación es una una biyección por definición §3.2.1(a) y además la aplicación

Ppϕα :Ep −→ {ϕα(p)} ×E, (3.68)

CAPÍTULO 3. FIBRADOS 37

3. Veamos que la aplicación

(P ϕα ◦P ϕ

−1

β ) :P ϕβ(P Uα ∩P Uβ)×E−→P ϕα(P Uα∩P Uβ)×E, (3.69)

es suave.

Esto se tiene por la definición §3.2.1(b).

CAPÍTULO

4

Inmersiones, Submersiones y Campos Vectoriales.

El universo es una esfera infinita cuyo centro está en todas partes, y la circunferencia en ninguna. Blaise Pascal.

En la pimera parte de este capítulo hablaremos de dos definiciones en la geometría y son las nociones de inmersión y submersión, definiciones que vienen dadas a partir de apli-caciónes entre variedades de Hilbert. Las inmersiones se caracterizan por la inyectividad tangencial local en un punto; las submersiones, respectivamente, por la sobreyectividad. Un caso particular de inmersiones son los embebimientos, que proporcionan una idea in-tuitiva de la noción de subvariedades, cuya caracterización mostraremos en §4.1.7 y §4.1.13. En la segunda parte del capítulo hablaremos de campos vectoriales, que se pueden ver como secciones de fibrados. Un ejemplo de campos vectoriales será §4.2.5, que trataremos en detalle, pues lo utilizaremos en el ejemplo §4.2.7. Se dará la definición de derivaciones sobre una variedad de Hilbert M y las conexiones que existen entre ellas y los campos vectoriales sobreM, y justamente esas relaciones serán vistas en §4.2.8.

4.1. Inmersiones, Submersiones y Subvariedades

Teorema 4.1.1. Sean M y N dos variedades de Hilbert y F :M −→ N, una aplicación suave. Si para p ∈M tenemos que TpF es una biyección lineal de Tp(M) sobre TF(p)(N), entonces F es localmente un difeomorfismo.

DEMOSTRACIÓN: Como la aplicación

TpF :Tp(M)−→TF(p)(N), (4.1)

está representada localmente por

T_ϕ(p)(φ◦F◦ϕ−1) :T_ϕ(p)ϕ(U)−→T_φ(F(p))φ(V), (4.2)