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Aproximaciones al valor de la integral definida utilizando una calculadora graficadora

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Academic year: 2021

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ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

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APROXIMACIONESALVALORDELAINTEGRALDEFINIDAUTILIZANDOUNA CALCULADORAGRAFICADORA

EstherAnsolaHazday,EugenioCarlosRodríguez,NelsonHernándezReyes,PabloGómezFuentes,Débora

OlivaAlfonso,DaneliaSánchezCamaraza

InstitutoSuperiorPolitécnicoJoséAntonioEcheverría Cuba

e_hazday@yahoo.com,ecarlos48@yahoo.com,nelsonh@ind.cujae.edu.cu,pablog@ind.cujae.edu.cu

Campodeinvestigación: Tecnologíaavanzada Nivel: Superior

Resumen.Estetrabajomuestraunaexperienciallevadaacaboconungrupodeestudiantes

deprimerañodeingenieríaatravésdeuncursofacultativoenelqueseretomóelcálculode

integralesdefinidas,utilizandolatecnología,conelpropósitode:

x Consolidarel concepto deintegral definida a través desu definición yde su

interpretacióngeométrica.

x Mostrarotrasformasdecalcularunaintegraldefinidamedianteaproximaciones

numéricasysuinterpretacióngeométrica.

ElrecursotecnológicoutilizadoenestecasofueunacalculadoragraficadoraCASIOClassPad

300,aprovechandolasposibilidadesqueofrecelamismadesdeelpuntodevistageométrico

ydeprogramación,quefacilitanelautoaprendizajedelosestudiantes.

Palabrasclave:integraldefinida,calculadoragraficadora,métodosaproximados

Introducción

Estetrabajomuestraunaexperienciallevadaacaboconungrupodeestudiantesde primerañodeingenieríaatravésdeuncursofacultativoenelqueseretomóelcálculode integralesdefinidas,utilizandolatecnología,conelpropósitodeconsolidarelconceptode integraldefinidaatravésdesudefiniciónydesuinterpretacióngeométricaydemostrar otrasformasdecalcularunaintegraldefinidamedianteaproximacionesnuméricasysu interpretacióngeométrica.

ElrecursotecnológicoutilizadoenestecasofueunacalculadoragraficadoraCASIO ClassPad300,aprovechandolasposibilidadesqueofrecelamismadesdeelpuntodevista geométricoydeprogramación,quefacilitanelautoaprendizajedelosestudiantes.La calculadoraseutilizócomounmediodeenseñanzaoseacomouninstrumentooequipo queapoyalaactividaddedocentesyalumnosenfuncióndelcumplimientodelobjetivo.

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1100 Enelcurso se calculó una integral definidautilizando la definiciónpara diferentes

particionesyseanalizólaconvergenciadelamismahaciasuvalorexacto,elmismo procesoserepitióutilizandoelcálculonuméricomediantelosmétodosdeTrapeciosy Simpsonparadistintosnúmerosdesubintervalos,ysecompararonlosmismosentresí, analizandoventajasydesventajas.

Acercadeladefinicióndeintegraldefinida

Comencemosconunanálisisdeladefinicióndelaintegraldefinida,primeroconuna definiciónrigurosa.

DEFINICIÓN(Fikhtengol´ts,1965).

Sealafunciónf(x)definidasobreelintervalo[a,b].Formemosunaparticióndelintervalo [a,b]subdividiendoarbitrariamenteesteintervaloalintroducirentreayblospuntosx0,

x1,x2,…,xn

Lamayordelasdiferencias ' xi xi1xi (i 0,1, 2,...,n1)

serádenotadaporO.

Tomemosalgúnpuntoarbitrario[iencadasubintervalo[xi,xi+1]

xid d[i xi1 (i 0,1, 2,...,n1) yformemoslasuma 1 0 ( ) n i i i f x V

¦

[ '

Ahoraprocedamosaestablecerlaexistenciadeunlímitefinitodeestasuma

0

lim

I

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1101 Supongamosqueelintervalo[a,b]esdivididosucesivamenteenpartes,primerodeuna

forma,luegodeotraformayasísucesivamente.Estasucesióndeparticionesdelintervalo serállamada“fundamental”silacorrespondientedevalores O O O O1, 2, 3,...tiendea

cero.

Entoncesellímite

0

lim

I

Oo Vseentiendeenelsentidodequelasucesióndevaloresdelas sumasVcorrespondientesaunasucesiónfundamentalarbitrariadeparticionesdeel intervalo,siempretiendeaunlímiteIparatodoslosposiblesvaloresde[i

EllímitefinitoIdelasumaVcuandoOo0esllamadolaintegraldefinidadelafunción

f(x)enelintervalo[a,b],ysedenotaporelsímbolo b ( )

a

I

³

f x dx

ylafunciónf(x)sedicequeesintegrablesobreelintervalo[a,b].

PorlogeneralenlostextosdeCálculoestadefiniciónse“simplifica”alobtener“ellímite” delassumasdeRiemann.UnadefinicióndeintegraldefinidaenunlibrodeCálculose tratadelasiguientemanera:

Unavezobtenidalasuma 1 0 ( ) n i i i f [ x '

¦

,siparacualquierparticióndelintervalo[a,b], existe 1 0 0 lim ( ) n i i i f x I O [

o

¦

' independientementedelosvaloresde[i,entoncesestelímite sedenominaintegraldefinidadef(x)desdex=ahastax=b.Enestadefiniciónellímite significaque,paraunaparticióncualquieradelintervalo,silanormadelaparticiónOestá suficientementecercadecero,ysiendoarbitrarioslosnúmeros[ienlossubintervalos[xi

,xi+1]delapartición,entoncescualquiersumadeRiemannestácercadeI.

Enestadefinición,aunquesetrateconrigorladefinicióndelímitedeunafunción,nose apreciaelsentidodel“límitedelasucesiónfundamentaldeparticiones”yse“diluye”el

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1102 concepto,sesimplifica.Lainterpretacióngeométrica,enelmejordeloscasosutilizandola

tecnología,reafirmaelconcepto.

Otrosmétodosutilizados

Enestecursoseexplicóademáslautilizaciónenelcálculodeintegralesdefinidasde métodosaproximados:MétodosdelosTrapeciosyMétododeSimpson.

ElMétododelosTrapeciossebasaendividirelintervalodeintegraciónennsubintervalos deigualamplitudydescomponerlaintegralennintegrales.Cadaintegralseobtienea partirdesustituirelintegrandoporunpolinomiointerpoladordeprimergrado,elcual cuandoseintegra,elresultadoobtenidocoincideconlafórmulaparaeláreadeun trapecio.Portantolasumadetodoslosresultadosnosdaráunaaproximacióndelvalor delaintegralbuscado.ElMétododeSimpsonsebasaenelmismoanálisisanterior,pero elintegrandoessustituidoporunpolinomiodesegundogrado.

Laexperienciametodológica

El presente trabajo muestra una experiencia metodológica en la cual se utiliza la calculadoragraficadora.Lacalculadoranoseutilizacomoherramientaparahacercálculos sinocomounrecursodidáctico,contribuyendoacrearunambienteadecuadoenel aprendizaje(CarlosyFernández,2005).

EnlaexperienciasepusoenprácticaelPrincipioDidácticoapartirdelenfoqueHistórico Cultural(Vigostky,1966),relativoalCarácterAudiovisualdelaEnseñanzaylaUnidaddelo ConcretoyloAbstracto(Zilberstein,2003).,queseñalaaquellasaccionesespecíficasque sonnecesariaspararevelarelcontenidodelconceptoaformarypararepresentareste contenidoprimarioenformademodelosconocidosdetipomaterial,gráficooverbaly además,proponersequelosestudiantesintervenganactivayconscientementeconlos mediosdeenseñanzaqueestánasu.

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1103 Paraestecursosedesarrollaronvariosprogramasquepermitieronanalizarelconceptode

integraldefinidaparadiferentesparticiones,apartirdesuinterpretacióngeométrica, ademásdelaconvergenciadelamismahaciasuvalorexacto.

AcontinuaciónsemuestranalgunaspantallasdelacalculadoraCASIOClasspad300, tomandocomoejemplolafunciónf(x)=x2Ͳ3enelintervalo(1;4),enlasquesepuede apreciarelconceptodeintegralapartirdediferentesparticiones.Primeramentese realizóelcálculotomando20subintervalos.

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Comoseobservanosóloselograobtenerelresultadodela integral sino que se puede visualizar gráficamente las particionesrealizadasparaelcálculodelamisma.

Posteriormenteserealizaronloscálculostomandoeldobledelossubintervalos.Este análisissemuestraenlassiguientespantallasdelacalculadora.

Deestaformaelestudiantepuedeobservaryanalizarqueenlamedidaqueaumentala cantidaddesubintervalos(lasparticionestiendenacero)enquesedivideelintervalo original,mejoreslaaproximacióndelaintegral.

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1105 Acontinuaciónsemuestraelprogramautilizadoparaobtenerlosresultadosmostrados

anteriormente.

Deigualforma,serealizóunprogramaquecalcularalassumasinferiores,lassuperioresy ladiferenciadeellasasícomoelgráficodeambas.Permiteasuvez,volverarealizarlos cálculosdisminuyendolacantidaddesubintervalos,demostrándosequeenlamedidaque ladiferenciaentrelassumassuperioreseinferiorestiendaacerolaaproximaciónalvalor realdelaintegralesmayor.

ParamostrarlosresultadosporelMétododelosTrapeciosyelMétododeSimpsonse utilizólaprogramación.

EnelcasodelMétododelosTrapeciossemuestranosóloelresultadodelaintegralsino elgráficocorrespondiente.Veamosalgunaspantallasdelmismo.

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ParaelMétododeSimpsonseincluyólaobtencióndelerrorporelmétododedoble cálculo.Esteerrornoesmásqueelcálculoaproximadodelmismoapartirdelresultado delaintegralcondiferentes valoresdelaamplitud de lossubintervalos, es decir, utilizandolafórmula 1 2 I I R p h 2 h h | .

Unodelosrecursosqueseutilizóparaelestudiodelosalgoritmosfueelesquemade cálculo,conelcualsepodíamostraralestudiante,mediantelarealizacióndevariospasos, laconvergenciadeunmétodo(CarlosyAnsola,2003).

Conclusiones

Losresultadosdeexperienciasanterioresconelusodeestatecnologíamuestranquelos estudiantesconsideranquelacalculadoraesunaherramientaútilenelprocesode enseñanzaaprendizaje,especialmentecomoapoyoaltrabajoindependienteylespermite desarrollarhabilidadesdeformaindependienteycreativa(AnsolayCarlos,2006).Enla experienciapresentadaenestetrabajosereafirmóestecriterio.

Elusodelatecnologíanosólopermitióvisualizarresultadosquesinsuusohubierasido muyengorrosomostrarenelpizarrón,sinoquepermitióhaceranálisiscomparativosdela

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1107 convergenciadeladefiniciónalvalordelaintegralcondistintasparticiones,asícomo

compararresultadosobtenidoscondistintosmétodosaproximados,todolocualredunda enelmejoramientodelaprendizajedelconcepto.Lacalculadoraseutilizócomounmedio deenseñanzaoseacomouninstrumentooequipoqueapoyalaactividaddedocentesy alumnosenfuncióndelcumplimientodelobjetivo.

Referenciasbibliográficas

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Ansola,E.,Carlos,E.(2006)“Experienciasenelusodelacalculadoragraficadoraenun cursosemipresencialdeMatemáticaNumérica”.ActaLatinoamericanadeMatemática

Educativa.Volumen19.pp.930Ͳ935

Carlos,E.,Ansola,E.(2003).LasnuevastecnologíasenlaenseñanzadelaMatemática Numérica.Experiencias didácticas. Resúmenes de la Séptima Escuela de Inviernoy SeminarioNacional deInvestigaciónen Didáctica delas Matemáticas. Chilpancingo, Guerrero,México.Diciembrede2003.

Carlos,E.,Fernández,L.(2005).Lacalculadoragráficacomorecursodidácticoenel aprendizaje del cálculo de integrales dobles. Acta Latinoamericana de Matemática

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ClassPad300GuíadelUsuario.(s.f.).Recuperadodehttp://world.casio.com/edu_e/

Fikhtengol´ts,G.M.(1965).TheFundamentalsofMathematicalAnalysis.Volume1.USA: PergamonPress.

Martín,A.(2000).CÁLCULO2000.Matemáticaconcalculadoragráfica.Barcelona, España.DivisiónDidácticaCalculadorasCientíficasCASIO.

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1108 Preiss,R,Arancibia,S,Riera,G.,Moscoso,E.(2003).Optimizacióndelaprogramación

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StewartJ.(2002).Cálculo.TrascendentesTempranas.CuartaEdición.México:Thomson Learning.

Vigostky,L.S.(1966).PensamientoyLenguaje.LaHabana,Cuba:EdiciónRevolucionaria. Zilberstein,J.(2003).PrincipiosDidácticosenunProcesodeEnseñanzaͲAprendizajeque InstruyayEduque.EnPreparaciónPedagógicaIntegralparaProfesoresUniversitarios(pp. 19Ͳ31).LaHabana,Cuba:EditorialFélixVarela.

Referencias

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