Introducción al Control Borroso

Introducción al

Control Borroso

Carlos Bordóns Alba

Dpto. Ingeniería de Sistemas y Automática Escuela Superior de Ingenieros.

Índice

„ Introducción

„ Reseña histórica „ Estado actual

„ Fundamentos de lógica borrosa „ Control borroso

„ Aplicación sencilla

„ Controlador borroso multivariable

Introducción

„ Tratamos de abordar el razonamiento impreciso „ Manejamos información cualitativa

„ Todo es cuestión de grado. Se contrapone a la lógica clásica

„ Para analizar fenómenos y sistemas complejos, que las personas somos incapaces de describir con precisión, pero aun así es posible el estudio

„ La vaguedad es sustancial en el pensamiento humano „ La lógica borrosa permite usar el lenguaje ordinario

Introducción (II)

„ No por borroso es menos útil

„ Una información borrosa puede tener mayor interés que una

concreta

Un móvil de 1.500 kg se acerca a tí con una

Introducción (III)

„ Estamos acostumbrados a resolver problemas sin tener una descripción concreta. Por ejemplo: manejar un

automóvil

„ Lógica clásica: bievaluada (si/no, 0/1, on/off)

„ Lógica borrosa: afirmaciones con cierto grado de

vaguedad. “La temperatura está un poco alta”, “apretar un poco el acelerador”, etc.

„ Teoría matemática muy completa „ Actitudes:

– Despreciada por algunos por poco rigurosa

Lógica borrosa

„ Representación imprecisa del conocimiento

„ Hasta ahora los modelos matemáticos trabajaban con valores concretos. Por ejemplo: “Temperatura es baja si < 25 y alta en otro caso”

„ Pero el operador humano usa expresiones vagas: “es moderadamente alta”

Temperatura

1

0

baja buena alta

0.7 0.1 10 ₄₀ 10 es BAJA en grado 0.7 10 es BUENA en grado 0.1 10 es ALTA en grado 0

Puede ser BAJA y BUENA a la vez con distinto grado

Breve reseña histórica

„ Lógica borrosa propuesta por Lofti Zadeh en los años sesenta (Teoría de conjuntos borrosos, 1965)

„ Aplicaciones al control, años setenta: Mamdani y Tong „ Actualidad: extendido en electrodomésticos y

electrónica de consumo: lavadoras, aire acondicionado, cámaras de fotos y vídeo, etc.

„ Mucho campo abierto pues son sistemas no-lineales

– Análisis de estabilidad – Sintonización

Hitos importantes

– 1973. Mamdani: Control de máquina de vapor

– 1977. Ostergaard: Intercambiado de calor y molino de cemento

– 1980. Tong: Tratamiento de aguas residuales

– 1983. Hirota, Predrycz: Conjuntos borrosos probabilísticos

– 1983. Takagi y Sugeno. Derivación de reglas

– 1984. Sugeno y Murakami. Aparcamiento de un trailer

– 1985. Kiszka y Gupta: Estabilidad de sistemas borrosos

– 1985. Togai y Watanabe: Chip borroso

– 1986. Yamakawa: Hardware de un controlador borroso

Lógica borrosa

„ La esencia de la lógica borrosa „ Conjuntos borrosos

„ Operaciones y relaciones

„ Representación del conocimiento „ Reglas

La esencia de la lógica borrosa

„ La lógica borrosa soporta modos de razonamiento

aproximado

„ La mayoría del razonamiento humano (en particular el sentido común) es así.

„ La imprecisión no hace referencia a errores en medidas ni a variables aleatorias. No son incertidumbres ni

Lógica borrosa vs. tradicional

„ Verdad: en clásica, verdadero o falso (bievaluada). En borroso: verdadero, bastante verdadero, no muy falso, etc.

„ Predicados: en clásica son nítidos: par, mayor que. Ahora pueden ser: barato, joven, alto

„ Modificadores: en clásica: “no”. Diversos

modificadores para definir una variable lingüística: muy, bastante, más o menos

„ Cuantificadores. En clásica sólo el universal (para todo) y el existencial (existe). En borrosa: muchos, pocos,

Conjuntos borrosos

„ Decimos que un subconjunto A de un conjunto

convencional X es borroso cuando un elemento x pertenece al subconjunto A en cierto grado.

„ La función que proporciona el grado de pertenencia del elemento x se llama función de pertenencia

„ Universo de discurso: conjunto convencional X que contiene a todos los elementos de A

„ Eb general el conjunto está normalizado: su función de pertenencia está entre 0 y 1

„ Existe una correspondencia unívoca entre la función de pertenencia y el conjunto borroso

Funciones de pertenencia

Ejemplo: Ser viejo.

Universo de discurso: R Función de pertenencia normalizada entre 0 y 1 Edad oficial Conjunto nítido 1 0 _{20 65 80}

Formas típicas de F. pertenencia

„ Triangular „ Trapezoidal „ Gaussiana „ Sigmoidal

Operaciones y relaciones

„ La lógica borrosa es una teoría matemática muy

completa con sus operaciones (lógicas y algebraicas), relaciones y propiedades

„ Tres operaciones básicas:

– unión – intersección – complemento „ Relaciones: – inclusión – doble negación – Leyes de De Morgan

Operaciones de la lógica borrosa

„ Unión: unión de las funciones de pertenencia „ Intersección: idem „ Complemento: función de pertenencia = 1 - original A B ~A

Relaciones

„ Relación de inclusión: el conjunto A está incluido en B si: A(x) <=

B(x) para todo x perteneciente a X

A(x) es la función de pertenencia del conjunto A

„ Ley de la doble negación: el complemento del complemento de A

es A

„ Leyes de De Morgan:

– Complemento de la unión es la intersección de los complementos ~(A+B) = ~A * ~B

– Complemento de la intersección es la unión de los complementos ~(A*B) = ~A + ~B

„ ¡Cuidado! no es igual que la lógica clásica: la unión de un conjunto

Representación del conocimiento

„ Las proposiciones borrosas son afirmaciones sobre un objeto que

incluyen predicados borrosos

„ Se pueden hacer varias afirmaciones sobre un objeto: “x es un número

pequeño”, “la lógica borrosa es sencilla y muy útil”

„ En general: “x es A & x es B ...”

– A y B son predicados borrosos (también variables borrosas o lingüísticas)

– & representa cualquier ligadura, conjunción, disyunción o implicación „ Las relaciones borrosas ligan proposiciones borrosas sobre sujetos

diferentes: “x es A & y es B”

„ En general se puede decir que el conocimiento es un conjunto de

Reglas de modificación

„ Reglas de modificación: el predicado puede modificarse, ejemplo: de “pequeño” a “muy pequeño”. Palabras como muy, bastante, etc son modificadores. „ Usuales: – muy A: A^2 – más o menos A: 1/sqrt(A) A más o menos A muy A

Reglas de composición

„ Reglas para asignar funciones de pertenencia a predicados compuestos

„ Disyunción: (x es A) ó (x es B) „ Conjunción: (x es A) y (x es B)

„ Implicación: Si (x es A) entonces (y es B)

Ya tenemos una forma de representar el conocimiento mediante las reglas borrosas. Ahora habrá que ver

Control borroso

„ Introducción

„ Ejemplo ilustrativo (péndulo) „ Reglas de control borroso

„ Métodos de inferencia

„ Diseño de controladores borrosos „ Características del control borroso „ Aplicaciones del control borroso

Introducción al control borroso

Llevar la salida del proceso a un valor deseado con las acciones de control calculadas tomando la decisión en base a una descripción borrosa del proceso

Salida Proceso Controlador Borroso Acciones de control _Medida Comportamiento deseado

Control borroso

„ El control es el mayor campo de aplicación de la lógica borrosa „ Utilidad en el caso de problemas de control complejos donde no

existe un modelo preciso del proceso y la información disponible es de carácter cualitativo. Ejemplo: “si la cantidad de oxígeno es

baja, abrir ligeramente la válvula de combustible”

„ Procesos de elevada complejidad que el operador humano resuelve

satisfactoriamente. Ejemplo: automóvil

„ Idea: usar la experiencia de operación del control manual para el

Reglas

„ Los sistemas de control borroso permiten describir el

conjunto de reglas que usaría un ser humano y generar a partir de ellas las acciones de control

„ Posee la misma imprecisión de los lenguajes naturales (por eso se llaman también controladores lingüísticos) „ El algoritmo de control se establece como un conjunto

de relaciones borrosas entre las variables que condicionan el proceso y la actuación

„ El algoritmo es un conjunto de expresiones como:

Reglas

Ejemplo:

SI temperatura es baja ENTONCES válvula es pequeña

Las variables de condición serán las variables del proceso

(temperatura, posición, etc.) o valores relacionados (error, incremento del error, tendencia, etc.).

La variable de salida es la acción de control (o su incremento). Por ejemplo: incrementar ligeramente el caudal de combustible

Funcionamiento del controlador

„ Funcionamiento: se le proporciona el valor de las variables de entrada y se obtiene el valor de las de salida, calculado mediante un método de inferencia borrosa

„ Los métodos de inferencia deben ser sencillos y rápidos (diferente a sistemas expertos)

„ Al final se debe sacar un valor concreto

Emborronado Base conocimientos_{Motor de inferencia} Desemborronado

MV PV

Variable lingüísticas en control

„ Las variables borrosas (o lingüísticas) pueden aparecer en antecedentes y consecuentes

„ Normalmente toman valores como:

– NG: Negativo grande – NM: Negativo mediano – NP: Negativo pequeño – CE: Cero – PP: Positivo pequeño – PM: Positivo mediano – PG: Positivo grande

„ El general una variable borrosa no toma más de siete términos lingüísticos

Valores lingüísticos

„ Cada valor que puede tomar la variable se representa por un conjunto borroso con función de pertenencia

– triangular – trapezoidal

– campana de Gauss – definida por el usuario

„ La elección depende del conocimiento que se tenga del proceso

„ La más común es la trapezoidal (sencillez):

Tramos 0 + tramos 1 + rectas.

Fácil de calcular el valor borroso dada la variable y viceversa

Ejemplos de reglas de control

„ Antecedentes y consecuentes expresados como reglas borrosas

– Ejemplo: variables de entrada el error y su derivada, variable de salida la acción de control

R1: SI error PG Y der_error PP ENTONCES control PG R2: SI error CE Y der_error NP ENTONCES control PP – Variables de entrada: temperatura actual, temperatura

anterior y oxígeno en un secadero; salidas: velocidad de giro, caudal de fuel y velocidad de los ventiladores

SI temp_act BAJA Y oxi ESCASO Y temp_ant BAJA

ENTONCES

Ejemplo reglas de control (II)

„ Aunque los antecedentes se expresen como relaciones borrosas, los consecuentes se pueden expresar mediante

funciones analíticas

„ Ejemplo:

SI x PG

Y z PM

Proceso de inferencia

„ De todas las reglas, en cada instante se puede activar una, varias o ninguna

„ Además, la(s) que se active lo hará(n) en distinto grado según el valor de activación de los antecedentes

„ Proceso de inferencia

– 1: Calcular valor que toma la función de pertenencia de cada antecedente

– 2: Encontrar los resultados de la inferencia de cada regla

– 3: Encontrar el resultado de la inferencia completa en función de las de cada regla

Inferencia

„ Para calcular el resultado de cada regla, al operador Y se le asigna el valor mínimo y al O el máximo

„ Ejemplo:

SI x1 es A11 Y x2 es A21 ENTONCES y es B1

SI x1 es A12 Y x2 es A22 ENTONCES y es B2

....

....

Inferencia de cada regla

....

....

....

B2 en cierto grado (min)

A11

....

x2 x1

Método de inferencia

„ El resultado de cada regla es una nueva función de

pertenencia modificada según el grado de certeza de los antecedentes

„ Por ejemplo: la salida y de las reglas anteriores depende de si se trunca B1 ó B2 (quedarían trapecios de altura el mínimo de los antecedentes) o se escalan (quedarían

triángulos cuyo vértice superior estaría definido por dicho valor)

B1 ó B2

y grado de cumplimiento

Resultante de cada regla

„ La inferencia de cada regla depende de

» El operador: si es Y se toma el mínimo, si O el máximo

» La elección de la forma del consecuente (saturar

o escalar)

» El método de inferencia: centroide u otros „ El resultado de cada regla es un área, no un valor

Resultante de todas las reglas

„ El resultado de cada regla es un área, no un valor concreto

„ Hay que desemborronar: conseguir un valor concreto en función de todas las áreas

„ El del centroide es el método más usado: el resultado final es el centro de gravedad de las áreas

B1 B2

Diseño de controladores borrosos

„ Diseñar equivale a escribir las reglas, determinando antecedentes y consecuentes

„ Antecedentes:

– Seleccionar la información de entrada que se va a incluir – Fijar las particiones borrosas

– Fijar la forma y parámetros de las funciones de pertenencia

„ Consecuentes: fijar los parámetros de las funciones de pertenencia. (Normalmente la salida del controlador borroso es ya el propio actuador)

„ Problema: determinar antecedentes. Recurrir a

expertos. Intentar que concreten el conocimiento con reglas SI ... ENTONCES

Características del control borroso

„ Es un control lógico. Usa expresiones SI ... ENTONCES con relaciones lógicas (Y/O)

„ Es un control disperso. A diferencia de los

controladores normales basados en una sola ecuación, permite la coexistencia de controladores con lógicas distintas y la ejecución en paralelo

„ Es un control lingüístico. Usa un lenguaje cualitativo, fácil de entender que permite aprovechar el

Control Borroso. Aplicaciones

–

Intercambiadores de calor

–

Hornos de cemento

–

Secaderos de pulpa

–

Pulp drum drying

–

Evaporadores

–

Tratamiento de aguas

–

Reactores nucleares

–

Procesos biotecnológicos

–

Control de tráfico

–

Manipuladores

–

Robots móviles

–

Frementadores

–

Electrónica de

consumo

–

Operación de trenes

–

Grúas de

contenedores

–

Control de vuelo

Problemas de implementación

„ Desarrollar un entorno de programación adecuado. ¿Cómo manejar términos lingüísticos?

„ Definición de los conjunto borrosos (funciones de pertenencia)

„ Construcción de la base de conocimientos ¿Cómo

aprovechar la experiencia del operador? ES LO MÁS DIFICIL. No hay a priori unas normas claras de

sintonía. A veces prueba y error.

„ Interface hombre-máquina. Debe ser suficientemente flexible

Introducción al

Control Borroso

Carlos Bordóns Alba

Dpto. Ingeniería de Sistemas y Automática Escuela Superior de Ingenieros.