INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS

SUPERIORES DE MONTERREY

CAMPUS MONTERREY.

DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA

ANÁLISIS TÉRMICO DE LA PELÍCULA DE

LUBRICANTE EN CONTACTOS UNEA

T E S I S

PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE

MAESTRO EN CIENCIAS CON

ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA

CARLOS HANNOVER GALINDO LÓPEZ

Dedicatoria

Es difícil saber lo que pensaré dentro de los siguientes 20 o 30 años, pero confío en que si en ese tiempo leo nuevamente esta página, sentiré de igual manera lo que ahora siento.

Si cada uno de los términos de las ecuaciones escritas en este tesis fueran flores, con gusto se las ofrecería a mis abuelitos: Inés Castillejos, Natalia Mendoza. Bernardino López y Julio Galindo, que en paz descansen. Sea esta tesis dedicada a mis antepasados.

Es bien poco lo que se puede ofrecer como homenaje a quienes desde el primer dia de mi vida me dieron todo lo que han podido, inclusive la Vida, a ellos debo lo que soy y lo que seré; espero que lo que este trabajo representa, los dignifique. Con mucho amor, agradecimiento por cada dia de mi vida y con esperanza dedico este esfuerzo a mi mamá y papá: Profa. Rosalba López Castillejos y Prof. Avelino Galindo Mendoza. Los amo.

Recuerdo una vez que sentados en una hamaca mi hermana mayor nos dijo que sabía artes marciales, nos enseñó algunos movimientos y nos dio algunos golpecitos... cuando le pregunté a papá dónde había ella aprendido tal cosa, un signo de interrogación apareció en su rostro... mi hermana nos había jugado una broma. Gracias por todos esos momentos felices inolvidables Idalia Rosalba, gracias por tus cuidados.

De niños, incontables veces jugamos a los carritos juntos, varias veces le confesé que de grande quería ser chofer de autobuses... lo seguí hasta la preparatoria, ahí me separé de él; a mi hermano seguramente debo los últimos ajustes de mi molde familiar. Gracias Julio Avelino, por ayudarme a construir mis sueños. Los quiero mucho hermanos, así como también a sus familias, quisiera compartir este paso con ustedes.

Agradecimientos

Agradezco mi formación y disciplina académica a los maestros y maestros que hasta ahora he tenido, en especial a mi profesor de sexto grado de primaria, mi padre, y a mi maestra particular de toda mi primaria, mi madre.

Agradezco a mi querida Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica U. P. Ticomán (D. F., México), del Instituto Politécnico Nacional, el haberme ofrecido la oportunidad profe-sional.

Agradezco al Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Monte-rrey, por haberme dado la oportunidad de obtener este nivel académico.

De igual manera agradezco al Dr. Guillermo E. Morales Espejel el haber confiado en mí para este proyecto de tesis, también agradezco su paciencia y enseñanza.

Gracias también, al M.C. Isaías Hernández Ramírez, a quien esta tesis debe parte del último esfuerzo.

Agradezco a mis compañeros de posgrado el haberme hecho la vida más llevadera y alegre, en especial a los ingenieros Juan I. Villarruel D. y Ramón Sánchez P.

Mi admiración a los doctores Manrique Valadez, Sergio Gallegos, Guillermo Morales y Fe-derico Viramontes.

índice General

Introducción

1

1.1 Contacto entre superficies con movimiento relativo 2 1.2 Lubricación Elastohidrodinámica, LEH 4

1.3 Rugosidad superficial en LEH 6

1.4 Antecedentes 7 1.5 Problema 10 1.6 Objetivo 10 1.7 Hipótesis 10 1.8 Justificación . 10 1.9 Actividades 10 1.10 Metodología 11 1.11 Alcance 11 1.12 Validación 11

Teoría de lubricación termoelastohidrodinámica

12

2.1 Ecuación de Reynolds 12

2.1.1 Términos relevantes en la ecuación de Reynolds 16 2.1.2 Ecuaciones de viscosidad y densidad del lubricante 17 2.2 Ecuación del espesor de película 18 2.2.1 Geometría del espesor de película entre los contactos 18 2.2.2 Deformación elástica de las superficies 18

2.3 Ecuación de la energía 20

2.3.1 Términos relevantes en la ecuación de la energía 22 2.3.2 Condiciones de frontera de la ecuación de la energía 23 2.4 Ecuación de equilibrio de carga 24

Solución numérica

26

3.1 Modelo matemático 26

3.1.1 Adimensionalización de las ecuaciones 28

3.2 Procedimiento de solución 31

3.2.1 Discretización de las ecuaciones 32

3.2.2 Aproximación de segundo orden 39

Validación y ejemplos resueltos

40

1.1 Validación de la solución isotérmica 40 4.2 Resultados del algoritmo completo 42 4.2.1 Validación de la solución completa y ejemplos 44

Fluido no newtoniano

78

5.1 Procedimiento de solución 82

5.2 Validación y resultados 84

5.2.1 Validación 86

5.2.2 Comparación con Greenwood y Morales-Espejel 91

índice de Tablas

4.1 Datos de validación del código isotérmico 42

4.2 Datos del lubricante, ejemplos 1 al 10, [12] 44

4.3 Datos de las superficies sólidas, ejemplos 1 al 10, [12] 44

4.4 Datos del lubricante, ejemplo 11, [33] 44

4.5 Datos de las superficies sólidas, ejemplo 11. [33] 45

4.6 Datos y condiciones de operación de los ejemplos resueltos con los algoritmos del

Capítulo 3 45

4.7 Datos y resultados de los ejemplos resueltos con los algoritmos del Capítulo 3. . . 47 5.1 Datos del ejemplo 1 del Cap. 4. usados en la validación 86 5.2 Datos suministrados en la validación de la solución 88 5.3 Datos de ingreso y .salida suministrados al programa de Greenwood y

Morales-Espejel, [35] '. 95

índice de Figuras

1.1 Rodamiento de bolas desarmado y armado 1

1.2 Contacto conformante entre superficies, [14] 3

1.3 Contacto no conformante entre superficies. [14] 3

1.4 Rugosidad superficial de superficies en contacto, [21] 6 ,.2 2.1 Geometría equivalente de rodillos en contacto para el análisis de LEH (h = /&o+fs

y plano equivalente y = 0) 19

2.2 Curva típica de presiones y espesor de película, comparadas con el perfil de Hertz

y la geometría sin deformar 20

2.3 Ubicación del sistema de ejes coordenados 23

3.1 Diagrama de flujo usado en la solución completa 38

4.1 Distribución de presiones y espesor de película adimensionales obtenidas por

Morales-Espejel para los datos de la Tabla 4.1, [27] 41

4.2 Distribución de presiones y espesor de película adimensionales para el caso referido

por la Tabla 4.1 41

4.3 Distribución de temperaturas para el caso referido por la tabla 4.1 42 4.4 Numeración de las superficies en contacto y condiciones de frontera para

tempe-ratura adimensional 43

4.5 Tabla 3 de la referencia [12] 46

4.6 Distribución de presiones para el ejemplo 1, se presentan las soluciones isotérmica

y térmica 46

4.7 Distribución de presiones para el ejemplo 1. detalle de la diferencia que ocurre en

el pico de presión cuando se usa el modelo térmico 48

4.8 Espesores de película para el ejemplo 1 48

4.9 Espesores de película, detalle de la diferencia entre espesores mínimos en el

ejem-plo 1 49

4.10 Distribución de temperaturas para el ejemplo 1, el campo de temperaturas se muestra sobre el espesor de película subdividido en 12 intervalos 49

4.11 Máxima temperatura en el contacto, ejemplo 1 50

4.12 Contornos isotermos para el ejemplo l,-.la mayor producción térmica es en la

entrada. La superficie dos es la vertical derecha 50

4.13 Distribución de velocidades en el ejemplo 1 51

4.14 Gradientes de velocidad adimensional, ejemplo 1 51

4.15 Esfuerzos de corte adimensionales, ejemplo 1 52

4.16 Distribución de temperaturas adimensionales para ejemplo 2, en este ejemplo es resuelto el ejemplo 1 con la aproximación de 2o orden 53

4.17 Contornos de temperatura para ejemplo 2 53 4.18 Comparación de resultados para el ejemplo 1 usando aproximaciones de primer y

segundo orden en F en la direción A' 54

4.19 Distribución de velocidades para el ejemplo 2 54

4.20 Gradientes de velocidad adimensional, ejemplo 2 55

4.21 Distribución de temperatura adimensional, ejemplo 3 55

4.22 Contornos de temperatura, ejemplo 3 56

4.23 Distribución de velocidades, ejemplo 3 57

4.24 Gradientes de velocidad adimensional, ejemplo 3 5'i 4.25 Esfuerzos de corte en la película, calculados en el ejemplo 3 58 4.26 Distribución de temperatura adimensional, ejemplo 4 58

4.27 Contornos de temperatura, ejemplo 4 59

4.28 Comparación entre curvas de temperatura para un mismo conjunto de parámetros de operación, despreciando la dilatación térmica del lubricante (ejemplo 4). . . . 59 4.29 Comparación entre curvas de velocidad para un mismo conjunto de parámetros

de operación, despreciando la dilatación térmica del lubricante (ejemplo 4) . . . . 60 4.30 Distribución de temperatura adimensional, ejemplo 5 60

4.31 Contornos de temperatura, ejemplo 5 61

4.32 Distribución de velocidades, ejemplo 5 62

4.33 Distribución de esfuerzos de corte, ejemplo 5 62

4.34 Distribución de temperatura adimensional obtenida con los datos del ejemplo 5,

despreciando la dilatación térmica (ejemplo 6) 63

4.35 Contornos de temperatura obtenidos con los datos del ejemplo 5, despreciando la

dilatación térmica del lubricante (ejemplo 6) 63

4.36 Distribución de temperatura adimensional obtenida con los datos del ejemplo 5,

usando una aproximación de 2o orden en F 64

4.37 Contornos de temperatura obtenidos para el ejemplo 5,usando una aproximación

de 2o orden en F, ejemplo 7 64

4.38 Comparación entre curvas de temperatura para un mismo conjunto de parámetros de operación (ejemplo 5), despreciando la dilatación térmica (ejemplo 6), y usando

la aproximación de 2o orden en F, (ejemplo 7) 65

4.39 Detalle de la diferencia de la distribución de presiones para el ejemplo 8 65 4.40 Distribución de temperatura adimensional, ejemplo 8 66

4.41 Máxima temperatura en la película, ejemplo 8 67

4.42 Distribución de temperatura en la superficie 2 del contacto, ejemplo 8 67 4.43 Contornos de temperatura obtenidos para el ejemplo 8 68

4.44 Distribución de velocidades, ejemplo 8 68

4.45 Gradiente de velocidades, ejemplo 8 69

4.46 Distribución de temperatura adimensional, ejemplo 9 69

4.47 Contornos de temperatura, ejemplo 9 70

4.48 Distribución de velocidades, ejemplo 9. . -.- 71

4.49 Efecto de la relación de rodado-deslizamiento en la temperatura máxima de película, manteniendo constantes los parámetros de operación 72 4.50 Efecto de la relación de rodado-deslizamiento en la temperatura máxima de

película, manteniendo constantes los parámetros de operación, (observe la curva

S = 0.5) 72

4.52 Temperatura máxima en el contacto, ejemplo 10 73

4.53 Contornos de temperatura, ejemplo 10 74

4.54 Distribución de velocidades en el contacto, ejemplo 10 74 4.55 Distribución de temperaturas obtenidas por Hamrock y Hsiao (1994) para el caso

11, [33] 75

4.56 Distribución de temperaturas, validación con Hamrock y Hsiao (1994), [33]. . . . 75 4.57 Distribución de temperaturas, validación con Hamrock y Hsiao (1994), [33]. . . . 76

4.58 Temperatura máxima, ejemplo 11 76

4.59 Distribución de presiones, ambos modelos, ejemplo 11 77

4.60 Espesor de película, ambos modelos, ejemplo 11 77

5.1 Geometría del canal y ubicación del sistema de coordenadas, Capítulo 5 80 5.2 Diagrama de flujo del método de la secante y Runge-Kutta 4o orden, aplicados a

la técnica de solución de Greenwood y Morales-Espejel, [35] 85 5.3 Temperatura adimensional máxima en la película, ejemplo 1 del Cap. 4 87 5.4 Esfuerzo de corte adimensional correspondiente a la ubicación de la línea de Tmax,

ejemplo 1 del Cap. 4 87

5.5 Distribución de temperatura adimensional, validación del ejemplo 1, Cap. 4. . . . 88 5.6 Distribución de velocidades, validación del ejemplo 1. Cap. 4 89 5.7 Distribución de esfuerzos de corte, validación del ejemplo 1, Cap. 4 89 5.8 Efecto de variar el factor de relajación y el error de convergencia en el programa

de solución 90

5.9 Efecto de C'3 en la solución, validación del ejemplo 1. Cap. 4 90 5.10 Comparación con la solución obtenida en el Cap. 4. para el mismo ejemplo y

misma localidad de .Y 91

5.11 Intento fallido de validación del ejemplo 11 del Cap. 4, con el programa

desarro-llado en este Capítulo. 92

5.12 Distribución de temperaturas, ejemplo 2 92

5.13 Velocidad de deslizamiento, Us, ejemplo 2 93

5.14 Distribución de temperaturas, ejemplo 3 93

5.15 Velocidad de deslizamiento, t/s, ejemplo 3 94

5.16 Distribución de temperaturas, ejemplo 4 94

Nomenclatura

a Límite inferior en el dominio de análisis, capítulo 5

A Constante en la ecuación de Dowson-Higginson 0.6 1092

^-A' Constante en la ecuación de energía discreta

A Constante de integración

b Semiancho de un contacto hertziano, [m]

b Límite superior en el dominio de análisis, capítulo 5

B Constante en la ecuación de Dowson-Higginson 1.7 Í O9^

B Constante de integración c Constante de integración

cp Calor específico a presión constante, U~£

C Constante en la ecuación de energía discreta

C Constante de integración

C\ Constante

C'i Constante C3 Constante

d.j Matriz de coeficientes en la expresión discreta de espesor de película

D Constante de integración D Parte simétrica del tensor

gradiente de velocidad

D Operador derivada total

t Error en el proceso de convergencia de P

E' Módulo equivalente de Young, [Pa]

E(t) Función error

/ Vector de fuerzas de cuerpo /,. Factor de relajación

/(/; Función integrable, capítulo 5

/i Función del sistema Newton Raphson

f-2 Función del sistema Newton Raphson F Vector de residuos

G' Módulo cortante, [Pa]

G Parámetro del material G = a E1

G\hr Integral numérica en la condición de frontera térmica

G'2i^r Integral numérica en la condición de frontera térmica

h Espesor de película, [m] /?e Entalpia específica,

M-ho Espesor de película sin considerar deformación elástica

h* Valor de h en fe = 0

H Variable adimensional

i índice de malla unidimensional

i,j índice de malla bidimensional J Matriz jacobiana

k Iteración (si aparece como super-subíndice o en la norma infinita)

k Conductividad térmica, - ^ LmK J

k¡ Conductividad térmica del lubricante

ks Conductividad térmica del sólido

k' Razón entre conductividades del lubricante

al sólido k' =

-é-Ks

A'o Función modificada de Bessel de segunda clase de orden cero

m Número de intervalos en que se divide el espesor de película m Vector de solución en el sistema Newton-Raphson

M Parámetro adimensional M = 112^fij

N Número de nodos en la dirección X Ar Conjunto de enteros positivos

p Presión generada en el lubricante. [Pa]

Ph Máxima presión hertziana

P Variable adimensional P = ^

Pe Parámetro adimensional Pe =• ^

q Presión reducida de Grubin

q Fuente o sumidero de calor

q' Flujo de calor por unidad de longitud

qr Vector de calor radiante

Q Variable adimensional

R Radio equivalente de las superficies, [m] R = R '+R,

R\/2 Radio de las superficies 1/2, [m]

Rl¿,j Variable discreta

R'2-ij Variable discreta

R'ii.j Variable discreta

RRlitj Variable discreta

•s Entropía específica. hp¿

S Relación de rodado deslizamiento S — "2¿U l

S'o Parámetro de Roelands

t Tiempo, [s]

t Valor de la pendiente de tiro en el método del disparo no lineal

T Temperatura absoluta, [k]

TQ Temperatura de referencia o de entrada al contacto, [k]

u Velocidad del lubricante en la dirección x

us Velocidad de deslizamiento del lubricante en la dirección x u\/2 Velocidad de las superficies 1/2 en la dirección x

ü Velocidad media de las superficies en la dirección x

Us Velocidad adimensional de deslizamiento en la dirección x

U* Parámetro adimensional de velocidad

Velocidad del lubricant e en la direccion y

Velocidad de las superficies 1/2 en la direccion y

v Velocidad media de las superficies en la direccion y t'(.r) Deformacion elastica de las superficies en la direccion z

vf Volumen especifico, ^r—

vj Volumen de activacion

\' Vector velocidad

w Velocidad del lubricante en la direccion z

w Carga por unidad de longitud

u'i/2 Velocidad de las superficies 1/2 en la direccion z

W Parametro adimensional de carga ,r Coordenada espacial X Variable adimensional X = f y Coordenada espacial y' Primera derivada de y : Coordenada espacial c Parametro de Roelands Z Variable adimensional Z =

Q Coeficiente de presion-viscosidad del lubricante, [Pa J]

Q Contradominio para a

CLR a de Roelands

Qt Coeficiente de presion-viscosidad en el modelo de Vogel

Q Parametro adimensional, a = aph

3 Contradominio para b

3 Parametro, /? = f#

Coeficiente de viscosidad-temperatura, [k ] -'• Gradiente de deformacion cortante

F Variable adimensional F = j

-6 Coeficiente de expansion termica del lubricante, [A'"1]

A A Longitud del paso en X

AZ Longitud del paso en Z

e Error en el proceso de convergencia

C Constante de Boltzman

7] Viscosidad absoluta, [Pa s]

t]B Viscosidad segun la ecuacion de Barus i]ft Viscosidad segun la ecuacion de Roelands ?7o Viscosidad de referenda

T~i Variable adimensional fj = ^L

0 Temperatura absoluta en la definicion de r0

0 Grupo dimensional, [k] v — —^

6>i Parametro adimensional 8\ = ^

02 Parametro adimensional 6?. Parametro adimensional #3 =

-r-[

// Coeficiente viscoso en las ecuaciones de Navier-Stokes

v Relacion de Poisson

£ Coeficiente viscoso en las ecuaciones de Navier-Stokes

- 3.1415...

p Densidad del lubricante, ^

ps Densidad del solido, ^ p" Valor de p en ^ = 0

r Esfuerzo de corte en el lubricante, [Pa]

T" Esfuerzo de corte no lineal en el lubricante, [Pa]

TQ Esfuerzo de corte de referenda (Re-Eyring), [Pa]

rm Esfuerzo de corte evaluado en el centro de la pelfcula, [Pa]

f Variable adimensional f = 7 7 ^

f Variable adimensional, capiitulo 5 f = •—

T

T~ Variable adimensional, capitulo 5 T T

o Variable adimensional

Capftulo 1

Introduction

Durante el diseno de mecanismos de maquinaria se requiere que las superficies moviles en con-tacto se desplacen produciendo un mfnimo de dano mecanico. Muchas veces el diseno incorrecto de superficies lubricadas puede llevar a situaciones desastrosas, como la perdida total de la maquina.

En la operation normal de las maquinas, las superficies con movimiento relativo y sujetas a carga mecanica, tales como baleros (Figura 1.1), engranes, cojinetes, leva-seguidor y mecanismos de traction o propulsion, se encuentran separadas por una capa delgada de lubricante que sirve como un miembro transmisor de carga [1].

Figura 1.1: Rodamiento de bolas desarmado y armado.

La experiencia ha ensenado que el problema que conduce a la falla de esta clase de mecanismos es realmente complejo debido a la presencia de fenomenos mecanicos y termodinamicos que ocurren y que dependen de diversos factores relacionados con las superficies y el movimiento entre ellas, tales como fenomenos de contacto, transmision de calor, fatiga mecanica, degradation del material (corrosion), etc.

El problema de las superficies en contacto cargadas en movimiento involucra la generation y transferencia de calor entre ellas a traves del lubricante, ademas de distorsion termoelastica de los materiales. El fenomeno de transferencia de calor entre dos superficies en contacto, sean estas lubricadas o no, es un caso interesante de analisis. Blok (1937) [2], desarrollo el modelo clasico de temperatura instantanea (flash temperature), considerando el problema de un medio semi-infinito sujeto a una fuente de calor concentrada. Blok supone que la temperatura media sobre el area nominal de contacto es relativamente baja debido a la presencia del lubricante, de tal manera que el maximo incremento de temperatura de la superficie puede ser aproximado

como el valor instantaneo de temperatura; Rosenthal, 1946 [3] desarrollo un modelo para fuentes concentradas de calor moviles obteniendo soluciones del tipo diferencial; Jaeger, 1943 [4] extendio el modelo de Blok a contactos banda para un rango limitado de numeros de Peclet, asumiendo que todo el calor entra en solo una de las superficies, despues el concepto se extendio mas y se establecio la particion de calor, Allen, 1962 [5], Cameron et al, 1965 [6].

Recientemente, Tian et al, 1993, 1994 [7, 8], Bos et al, 1995 [9] desarrollaron modelos ma-tematicos para estimar la temperatura de superficies en contactos secos y lubricados; el modelo considera contribuciones a la temperatura mediante el incremento nominal en la superficie y el incremento local, [7], asi como para un amplio rango de numero de Peclet, [8]. El modelo para contactos elfpticos o circulares [9], tambien contempla un amplio rango del numero de Peclet.

Normalmente en superficies de contacto seco altamente cargadas, el area de contacto es muy pequena comparada con las dimensiones del elemento y produce una distribucion de presion parabolica de acuerdo a la teorfa de Hertz, [28]; sin embargo, el fenomeno no se reduce a consi-derar solo dos superficies lisas en contacto, en realidad las asperezas microscopicas (rugosidad) de los contactos que interactuan con la pelfcula de lubricante juegan un papel importante en el analisis, [11] por lo que el contacto ya no es continuo entre las dos superficies, existiendo separa-cion entre ellas; la distribusepara-cion de presiones ya no es uniforme y en cuanto al aspecto termico la separation entre las superficies actiia como una resistencia termica entre las superficies. Por lo tanto. el analisis no excluye los fenomenos microscopicos ni tampoco las condiciones del fluido lubricante ya que flujos laminar y turbulento producen diferentes comportamientos (el fenomeno de flujo turbulento es importante cuando se toman en cuenta efectos de inercia del lubricante a la entrada del contacto o bien cuando el gradiente de presion del lubricante a la entrada es mayor que cero).

El patron de velocidad del lubricante a traves del contacto es importante ya que de el depende el que exista o no un calentamiento del lubricante a la entrada generado por la recirculacion del mismo. El incremento de temperatura del lubricante en la entrada se da mayormente en condiciones de baja velocidad, en estas situaciones existe circulation del lubricante en esa zena, esto disminuye en gran medida cuando las condiciones de carga y velocidad aumentan, o cuando existe deslizamiento entre las superficies y el lubricante, en ese caso se localiza un calentamiento mayor en la segunda mitad del contacto. En la salida del contacto, algunas veces se observa un siibito enfriamiento, producto de la descompresion inmediatamente despues del segundo pico de presion, [12].

Se puede inferir, por tanto, que el interes de los aspectos termo-tribologicos esta fuertemente relacionado con el desempeno de la maquina de la cual forma parte el mecanismo. Es importante entonces, la localization y magnitud de presion y temperatura maximas. asi como el efecto de los gradientes termicos en la pelfcula de lubricante y en las superficies, [13].

1.1 Contacto entre superficies con movimiento relativo

El contacto entre dos superficies lubricadas puede ser conformante o no conformante. Se di-ce que un contacto es conformante (Figura 1.2), cuando las dos superficies tienen contacto completamente o en la mayor parte de su superficie. La carga de trabajo se aplica entonces sobre la mayor parte del area; el ejemplo mas sencillo es aquel que se lleva a cabo entre dos pianos paralelos con movimiento relativo, otro ejemplo puede ser el cojinete de buje usado en los motores automotrices, en este tipo de contactos el area de soporte de carga permanece esen-cialmente constante, independiente de la carga, y el espacio entre las superficies es tipicamente

una milesima del diametro del eje.

*ml«-Figura 1.2: Contacto conformante entre superficies, [14].

Los elementos de contacto no conformante (Figuras 1.1 y 1.3), son usados ampliamente en diversas maquinas, la caracterfstica particular de este tipo de contactos consiste en que la carga de trabajo sea soportada por una pequena area lubricada, esta es comunmente tres ordenes de magnitud menor que la existente en un contacto conformante lubricado. Es fisicamente crefble que el area de un contacto no conformante se incremente a medida que la carga se incrementa, debido a la deformacion elastica del material, pero aun asi el area resultante es mucho menor que la de un contacto conformante. La concentracion de esfuerzos en el area de contacto en superficies no conformantes es grande y de alguna forma independiente de la forma de los cuerpos (teorfa de Hertz). Algunos ejemplos de este clase de contactos son dientes de engrane, conjunto leva-seguidor y baleros de rodamientos. [14].

Figura 1.3: Contacto no conformante entre superficies, [14].

El contacto entre superficies no conformante puede ser clasificado en dos grupos, cuando la zona de contacto se concentra en un punto sin extenderse sobre una linea, se dice que es un

contacto punto; cuando el contacto entre las superificies se da a lo largo de una h'nea solamente,

entonces se trata de un contacto linea entre superficies no conformantes, dicho de otra manera: el contacto de tipo h'nea es no conformante en el piano de la section transversal pero si es

conformante a lo largo del eje del contacto. Puede citarse a los baleros de bolas como un ejemplo de los primeros, en tanto baleros de rodillos o contacto entre dientes de engranes pueden ser contactos del tipo lfnea. Cuando se someten a cargas de trabajo, el area de contacto en aquellos del tipo punto produce una forma circular o elfptica en tanto que los del tipo lfnea se deforman para producir un rectangulo alargado, en este caso la distribution de presiones en el piano transversal es parabolica y constante a lo largo del eje de contacto.

1.2 Lubricacion Elastohidrodinamica, LEH

El lubricante existente entre dos superficies tiene como funcion reducir la friction y el desgaste em re ellas, asi como tambien proveer un suave funcionamiento a los mecanismos y un tiempo de vida satisfactorio. La mayon'a de los lubricantes son liquidos, pero tambien existen solidos, grasos y gaseosos. Asimismo, es importante tomar en cuenta la interaction quimica y fisica entre el lubricante y las superficies lubricadas.

Pueden considerarse cuatro tipos de lubricacion, que son: lubricacion hidrodinamica, lubrica-cion de frontera. lubricalubrica-cion elastohidrodinamica y lubricalubrica-cion mixta. Las dos mas ampliamente conocidas son la primera y la segunda, en tanto que lubricacion elastohidrodinamica se encuen-tra actualmente en un perfodo de madurez, [14]. La lubricacion mixta tiene lugar como una combination entre la lubricacion de pelicula fiuida y el contacto entre las superficies.

La lubricacion hidrodinamica generalmente ocurre en contactos conformantes y el inicio de su estudio tuvo lugar con el tan conocido y clasico experimento de Tower (1885), en el cual la existencia de una pelicula de lubricante fue detectada a traves de medir su presion. Los resultados del experimento fueron explicados analiticamente en un documento que al respecto elaboro Reynolds. (1886); aunque si bien. en 1883 Petrov habia llegado a la misma conclusion a traves de experimentation. En este tipo de lubricacion la viscosidad dinamica es una caraterfstica importante.

El conocimiento de la lubricacion de frontera se atribuye a Hardy y Doubleday (1922), esta ocurre en superficies con pelfculas de lubricante extremadamente delgadas que se adhieren a la superficie, en este caso las propiedades fi'sicas y quimicas de la pelicula determinan el comportamiento del contacto.

La lubricacion elastohidrodinamica es una forma de lubricacion hidrodinamica en superficies no conformantes donde la deformacion elastica de las superficies lubricadas se torna importante y las presiones de trabajo son altas. Al igual que en la lubricacion hidrodinamica, el canal convergente es caracterfstico de esta variante de lubricacion y la viscosidad juega un papel importante en la formation de la pelicula de lubricante ya que aumenta considerablemente, esta forma de lubricacion puede situarse entre la lubricacion hidrodinamica y la lubricacion de frontera.

Cuando los espesores de pelicula en contactos conformante y no conformantes se toman muy delgados, los esquemas de lubricacion hidrodinamica y elastohidrodinamica se transforman en lubricacion mixta.

Existen dos clases de LEH, aquella que se da entre superficies con alto modulo de elasticidad como son los met ales y la que ocurre entre superficies suaves como el hule, articulaciones hu-manas y sellos. En la primera de ellas los efectos de la deformacion elastica y la viscosidad son importantes, las presiones de trabajo oscilan entre 0.5 y 3 GPa, el espesor minimo de pelicula es comunmente mayor que 0.1 micrometros. La deformacion elastica de la superficie es varios ordenes de magnitud mayor que el espesor de pelicula; ademas, el incremento en la viscosidad

es de hasta 10 ordenes de magnitud. En LEH en materiales con bajo modulo de elasticidad las presiones de trabajo no exceden 1 MPa, esta presion no tiene efecto significativo en la variacion de viscosidad a traves del contacto, el espesor de peh'cula minimo no se ve influenciado por el coeficiente de presion-viscosidad a, pero si por el modulo de elasticidad efectivo E'.

Al igual que la lubricacion hidrodinamica, el espesor de peh'cula depende de la carga aplicada, velocidad de las superficies, viscosidad del lubricante y geometria del contacto, pero ademas de los parametros modulo de elasticidad efectivo E' y el coeficiente de presion-viscosidad del lubricante a.

El problema de LEH involucra un conjunto de ecuaciones que deben ser resueltas simul-taneamente, aunque existen soluciones analiticas, estas son muy limitadas, es por eso que el problema de LEH ha encontrado un mejor modo de solucion en esquemas numericos, ademas con el desempeno actual de las computadoras, el problema es factible de ser resuelto por cualquier computadora personal.

El problema de LEH se modela con tres ecuaciones basicas que se veran en detalle posterior-mente:

1. La ecuacion diferencial hidrodinamica de Reynolds.

2. La ecuacion integral de espesor de pelicula (ecuacion de elasticidad). 3. La ecuacion integral de balance de carga.

Ademas se cuentan con dos relaciones auxiliares de estado:

1. La ecuacion de Barus o Roelands isotermica para variaciones de viscosidad. 2. La ecuacion de Dowson-Higginson isotermica para variaciones de densidad.

En total son cinco las expresiones matematicas que deben interaccionar simultaneamente para encontrar un resultado adecuado a un caso particular de trabajo.

Finalmente, el fenomeno de LEH hasido estudiado ampliamente por investigadores, mediante diversos metodos de solucion, por ejemplo Dowson y Higginson (1961), Sternlicht et al. (1961), Cheng (1965), Ghosh y Hamrock (1985), Houpert y Hamrock (1986), Lubrecht et al. (1986), [16]. Ademas, desde hace cuatro decadas aproximadamente, se cuentan con formulas obtenidas con a juste de curvas de soluciones numericas que obtienen el espesor de pelicula minimo: Dowson y Higginson (1959), Hamrock y Dowson (1976,1977), y Hamrock y Jacobson (1983), [17].

Es pertinente hacer un comentario sobre el pico de presion que ocurre en contactos lubricados elastohidrodinamicamente, este ocurre en la salida del contacto seguido de un rapido descenso en la presion asi como un encuellamiento del espesor de pelicula en la salida; cuando el analisis torn a en cuenta la compresibilidad del lubricante. el pico reduce su altura pero continua, Dowson et al. (1962). El pico en la presion de salida es caracteristico de la teon'a elastohidrodinamica, siempre y cuando se tomen en cuenta los cambios en la viscosidad conforme a la presion, cuando estos son despreciados (fluido isoviscoso), el pico en la salida del contacto desaparece, al igual que el encuellamiento en el espesor de la pelicula. El encuellamiento que ocurre en la peh'cula de lubricante en esa zona es debido a que el gradiente de presion en la cai'da del pico es grande y negative, lo que ocasiona un incremento en el flujo de Poiseuille que conducina a problemas de continuidad en el flujo de no ser por la disminucion del espesor. Este fenomeno fue investigado inicialmente por Grubin (1949) y posteriormente por Greenwood (1972), una mayor referenda se puede encontrar en [14] y [28]..

Como comentario adicional. en los casos en los cuales el lubricante es gas, la teoria cambia bastante; por ejemplo, los cambios en la viscosidad del gas con la presion a la que esta. sujeto son despreciables, sin embargo los cambios con la temperatura son importantes. En lubrication de peh'cula de aceite, los cambios de viscosidad con temperatura son tambien importantes.

1.3 Rugosidad superficial en LEH

La suposicion de una superficie lisa es una mera idealization, en realidad las superficies apa-rentemente lisas de los contactos lubricados contienen asperezas microscopicas que reducen o deforman el espesor de la peh'cula de lubricante complicando el proceso de solucion del problema, ya que es necesario realizar un analisis transitorio y con una densidad de malla mas grande para captar la rugosidad. En LEH el espesor de peh'cula es usualmente del orden de la amplitud de la rugosidad superficial.

Figura 1.4: Rugosidad superficial de superficies en contacto. [21].

El problema de LEH con rugosidad superficial ha sido estudiado por varios investigadores: Jakcson y Cameron (1974) y Kaneta y Cameron (1980) llevaron a cabo experimentos y estudiaron la influencia de los efectos superficiales usando interferometria optica. Patir y Cheng (1978) desarrollaron un modelo de flujo promedio en el cual la ecuacion de Reynolds es modificada por factores de presion y corte de flujo, de esta manera se obtuvieron espesores de peh'cula promedio para LEH considerando rugosidad. De la misma forma Elrod (1979) y Tripp (1983) desarrollaron modelos de flujo promedio. Lubrecht et al. (1988), investigaron el fenomeno de LEH en contactos circulares con perfiles de rugosidad senoidales longitudinales y transversales, para estado estacionario. Sadeghi (1990) estudio LEH en contactos h'nea con rugosidad medida. Tambien Chang y Webster (1991) y Greenwood y Morales-Espejel (1994) resolvieron el caso de LEH en contactos h'nea para perfiles de rugosidad senoidales y estado transitorio. Ai y Cheng (1994) analizaron efectos transitorios en LEH isotermica para perfiles de rugosidad medidos.

La medicion de la rugosidad se hace con un dispositivo llamado rugosfmetro, mediante di-ferentes tecnicas, algunas de ellas miden el perfil de la superficie entrando en contacto directo con ella, otras lo hacen a traves de metodos opticos mas sofisticados: existe toda una teoria de la representation matematica de la rugosidad en contactos lubricados, normalmente la forma azarosa es simplificada de forma probabih'stica [15].

1.4 Antecedentes

Ya se ha mencionado que las superficies en contacto con movimiento relativo trabajan en dife-rentes situaciones, se ha enfatizado tambien el papel del lubricante y la pelfcula que este forma entre las superficies, sin embargo, poco se ha dicho sobre el aspecto termico, que ocurre en el lubricante como producto del movimiento de las superficies y las cargas a las que estas se encuentran sometidas y porque es importante su estudio.

El fenomeno termo-tribologico puede convertirse en un aspecto importante dentro del analisis de LEH cuando existen condiciones de carga y velocidades moderadas o altas y deslizamiento entre las superficies; cuando se consideran cargas muy bajas, el efecto de la temperatura en los result ados exist e. pero es pequerio.

La viscosidad de lubricante en realidad no solo es funcion de la presion a la que se encuentre sometido, de igual manera experimenta cambios conforme varia la temperatura; dicho de otra forma, en LEH el comportamiento reologico del lubricante es importante. Roelands (1966), [14], observo que a presion constante el cambio en la viscosidad es aproximadamente exponencial al reciproco de la temperatura absoluta, analogamente a temperatura constante, el incremento de viscosidad es exponencial con la presion. Es prudente comentar que las relaciones exponenciales constituyen primeras aproximaciones y deben ser manejadas con cuidado. Existen otras expre-siones que relacionan el comportamiento viscoso del lubricante con la variation de la presion y temperatura: ademas de las ya mencionadas, es justo mencionar la ecuacion de Walter con dependencia en la temperatura, y la ecuacion WLF, (Williams ,1955) con exclusiva dependencia termica, la cual fue modificada por Yasutomi et al. (1984), para incorporar la dependencia en la presion. Esta formula ha sido investigada tambien por Wu et al. (1989). Esta ultima version ajusta bien a la experimentation y cubre un rango mayor de presion y temperatura; adicionalmente sus coeficientes tienen un significado fisico.

Ademas de Roelands otro investigador que ha profundizado sobre el estudio de la reologia del lubricante es L. Houpert [18]. En su investigation, basada principalmente en el trabajo de Roelands (1966). Johnson et al. (1977), Tevaarwerk et al. (1979) Berthe et al. (1978), entre oiros. Houpert enfatiza que el comportamiento reologico del lubricante puede ser descrito por tres parametros:

1. La viscosidad, 77

"2. El modulo de corte, G y.

3. El esfuerzo de corte de Ree-Eyring, r0

Los valores de G y TQ son normalmente obtenidos mediante regresion sobre los datos experi-mentales de curvas de traction, en este proceso comunmente se usa la expresion de Barus para viscosidad:

(1.1) y los efectos termicos pueden considerarse mediante el uso del coeficiente de viscosidad-temperatura

Sin embargo, la ecuacion (1.2) no es confiable para ciertos lubricantes, especialmente aceites minerales sujetos a altas presiones. En este caso es conveniente usar la ecuacion de Roelands, propuesta por el mismo como resultado de un analisis fisico-qufmico:

.So'

(1.3)

r/Ft = rjoexp < [ln(r)o) -)- 9.67]

I

Los parametros z y So de la ecuacion (1.3), son los parametros de Roelands y estan definidos para cada lubricante, durante el analisis se consideran constantes para cualquier valor de p y T. Estos parametros estan relacionados con los de Barus mediante las siguientes formulas:

5.1 10-9(/n(77o) + 9.67) ^

_ 7(2b-138)

130 ~ [/n(%) + 9.67] ( }

Los valores de G y r0 obtenidos mediante ajuste de curvas experimentales de traccion y

usando la ecuacion (1.3) son mayores que los obtenidos con (1.2), ya que la viscosidad es me-nor. Cuando se considera el calentamiento a la entrada del contacto, producido por corte el comportamiento elastico se pierde.

Si se observa la ecuacion (1.3), es posible determinar una a alterna de Roelands, esta estara en funcion de la temperatura y presion del lubricante:

l[ln{

) + 9.67] [-1 + (1 + 5.1 l

-'p)' (?&§) *] }

a

= I

-

-

i-ii

(1.6)

Cuando la presion p aumenta, an disminuye y, cuando la temperatura aumenta OR crece. El analisis de la lubricacion termoelastohidrodinamica ha pasado por varias etapas desde sus inicios. Entre las primeras investigaciones de lubricacion termoelastohidrodinamica se pueden mencionar el estudio de los efectos termicos en el lubricante hecho por Crook (1961), cita en [19]: y Sternlicht et al. (1961). Cheng y Sternlicht (1965) obtuvieron una solucion numerica a traves de un modelo de lubricacion termoelastohidrodinamica en el cual la viscosidad se consideraba constante a traves de la pelfcula de lubricante. Posteriormente, Cheng (1965), presento una solucion mas exacta en la que la viscosidad variaba a traves de la pelfcula, en ambos reportes las cargas de trabajo fueron extremadamente bajas y por lo tanto la influencia termica en la forma y el espesor de pelfcula fueron insignificantes, cita en [l6].Tambien Dwoson y Whitaker (1965) efectuaron estudios sobre lubricacion termoelastohidrodinamica.

Greenwood y Kauzlarich (1973) [19], estan dentro de los investigadores que trabajaron analfticamente el problema; si bien no de una manera ostentosa, si practica, confirmaron que el fenomeno de calentamiento en la entrada es solo importante en condiciones de rodadura pura y baja velocidad, con condiciones de deslizamiento y velocidades moderadas a altas, el calen-tamiento a la entrada no desaparece pero contribuye en los efectos principales que ocurren en el centro del contacto, esto a pesar que el calentamiento en la entrada resulta ser del orden de medio grado o un grado. Greenwood y Kauzlarich basaron su analisis en la conclusion de Crook (1961): los principales mecanismos de transferencia de calor se dan por conduccion hacia las superficies en la entrada, mientras que conveccion es solo importante en donde la temperatura es baja; con esto dedujeron que la distribucion de temperaturas en cualquier seccion de la en-trada es independiente de las restantes. Dentro de su analisis Greenwood y Kauzlarich usaron

el modelo de viscosidad no exponencial de Slotte, basado solo en la dependencia termica, que simplifico el trabajo matematico. Sin embargo, la desventaja principal del trabajo de Greenwood y Kauzlarich fue el considerar solo pequenos cambios en la temperatura del lubricante. De igual manera, Murch y Wilson (1975), analizaron el flujo en la entrada y mostraron que habia una influencia significativa de los efectos termicos en el espesor mfnimo de pelfcula, [16].

Posteriormente siguieron Goksem y Hargreaves (1978) y, Wilson y Sheu (1983). Los trabajos de Murch et al. (1975) y Goksem et al. (1978) se basaron en la ecuacion de Reynolds termica derivada por Wilson y Wong (1974), cita en [17].

Recientemente el trabajo en lubricacion termoelastohidrodinamica ha sido continuado por Ghosh y Hamrock (1985), Sadeghi y Dow (1987), Dow y Johnson (1987), Sadeghi y Sui (1990), Wolff, Nonaka, Kubo y Matsuo (1992), Wolff y Kubo (1994), Hsu y Lee (1994), todos ellos han resuelto el problema numericamente y han encontrado significativas reducciones en el es-pesor de pelfcula debido al calentamiento por corte en el lubricante, sin embargo los resultados presentados fueron para cargas y velocidades bajas y moderadas.

El caso de fluido no newtoniano ha sido revisado de igual manera en lubricacion termoe-lastohidrodinamica por diversos investigadores, entre ellos: Wang y Zhang (1987), Wang et al. i 1991), Salehizadeh y Saka (1991), Khonsari y Hue (1994), y Hsiao y Hamrock (1994), sin embar-go el efecto no-newtoniano es poco significante a velocidades moderadas con o sin deslizamiento, cita en [17]. Recientemente el estudio del lubricante en la zona de entrada ha sido retomado por Ghosh y Pandey [17].

Todos los estudios mencionados hasta ahora han sido en contactos del tipo h'nea exclusi-vamente, poco en realidad se ha hecho en contacto punto. El caso de lubricacion termoelas-tohidrodinamica en contacto punto ha sido investigado menos rigurosamente, esto debido a la complejidad de las ecuaciones. Briiggemann y Kollmann (1982) fueron los primeros en resol-ver el problema en contactos del tipo punto, aunque el analisis solo considero los terminos de conduccion y disipacion viscosa de calor, es decir, despreciaron los terminos convectivo, y de compresion/clilatacion (compressive heating/cooling) de la ecuacion de energia. Sin embargo, se ha demostrado (Sadeghi y Sui, 1990), que ambos terminos juegan un papel importante en el analisis. ya que debido a que el numero de Peclet es normalmente grande a traves del contacto, el termino convectivo es importante; en tanto que el tan mencionado pico de presion que ocu-rre en la segunda mitad de los contactos lubricados elastohidrodinamicamente, puede ocasionar un descenso brusco en la temperatura del lubricante por debajo de la temperatura de entrada. Dong y Shi-Zhu (1984). tambien presentaron una solucion a este caso, sin embargo las cargas de trabajo analizadas fueron extremadamente pequenas. Blahey y Schneider (1986) tambien clesarrollaron una solucion para este problema en contactos elipticos usando la aproximacion de volumen de control, pero tambien despreciaron el termino convectivo. Recientemente, Faghri (1984) desarrollo una metodologfa para problemas de difusion y conveccion en dominios irregu-lares usando diferencias finitas y transformaciones de coordenadas no-ortogonales, cita en [20]. Kim et al. [20] aplicaron tecnicas multigrid en la solucion de este problema, las ecuaciones de Reynolds, elasticidad y de energia fueron discretizadas usando la tecnica de volumen de control finito y resueltas con un esquema complete de multigrid, usando el esquema de tranformacion de coordenadas de Faghri (1984).

Al igual que el caso de contacto punto, el problema de lubricacion termoelastohidrodinamica con rugosidad superficial (ver Figura 1.4), ha sido poco explorado. Sadeghi y Xu solucionaron esta variante usanco tecnicas multigrid con un esquema de Gauss-Seidel-Newton relajado, [21]. Los procedimientos de solucion del modelo de lubricacion termoelastohidrodinamica han sido diversos, pero preferentemente numericos. De los investigadores mencionados anteriormente

Greenwood y Kauzlarich, han sido los unicos en trabajar anah'ticamente el problema, los demas investigadores han optado por tecnicas numericas en sus soluciones. Las tecnicas mas utilizadas han sido diferencias finitas y volumen de control finito en la discretizacion de las ecuaciones y metodos relajados de Gauss-Seidel, Newton-Raphson, Multigrid. Algunos autores han optado por tomar funciones de forma de alto grado para aproximar el campo de temperatura, otros han optado por el metodo de elemento finito en la solucion.

1.5 Problema

El incremento en la temperatura del lubricante ocasionado por los esfuerzos de corte dentro de la region de contacto puede ser importante cuando se toma en cuenta el deslizamiento entre las superficies y el lubricante. Las caracterfsticas de espesor de peh'cula y contorno de presiones del lubricante pueden cambiar.

1.6 Objetivo

Ampliar el modelo matematico actual de lubricacion elastohidrodinamica para contactos h'nea y fluido newtoniano incluyendo la ecuacion de la energia con sus condiciones de frontera para poder estudiar la variacion de temperatura dentro de la zona de contacto en diferentes condiciones de carga y velocidad. Proporcionar un esquema de solucion numerico.

1.7 Hipotesis

Es posible estudiar los efectos termicos que ocurren en la pelfcula de lubricante (cuando variables de velocidad y cargacambian). a travesde incluir dentro de la ecuacion de Energia los resultados obtenidos de la solucion isotermica a un problema especi'fico de lubricacion elastohidrodinamica.

1.8 Justificacioii

Los contactos lfnea en lubricacion elastohidrodinamica trabajando en condiciones cle carga y velocidad de moderadas a severas generan efectos termicos que no deben ser despreciados para la comprension del fenomeno. La importancia practica de este estudio se basa en el uso industrial de este tipo de mecanismos.

1.9 Actividades

Los pasos a seguir en la elaboracion de esta investigation son: 1. Escribir la propuesta de tesis.

2. Comprender la metodologia de discretizacion por diferencias finitas.

3. Aprender el manejo cle herramientas de simulation, manejo de datos y solucion de esquemas numericos, como son MATLAB y FORTRAN.

5. Asimilar la teorfa disponible sobre la influencia termica en el problema.

6. Modificar el modelo de lubrication elastohidrodinamica actual introduciendo la ecuacion de la energia con condiciones de frontera adecuadas.

7. Solucionar numericamente el problema completo y obtener resultados. 8. Comparar los resultados con los disponibles actualmente.

9. Ordenar y elaborar el presente estudio. 10. Concluir sobre los estudios realizados. 11. Presentar el estudio en la defensa de tesis.

1.10 Metodologia

Al escribir la propuesta se habra seleccionado un tema especifico cuyo problema sea capaz de ser resuelto en el tiempo disponible. El estudio de las herramientas matematicas que intervienen en el planteamiento y solucion del problema es basico. en la inteligencia que una mejor comprension de ellas redituara en un mayor entendimiento del problema. Debido a la complejidad matematica del problema. el conocimiento suficiente de herramientas computacionales tales como MATLAB y FORTRAN facilitaran la obtencion de soluciones mediante algoritmos numericos.

Es necesario que a la par de las dos actividades anteriores se estudie el fenomeno de lubri-cacion elastohidrodinamica, el cual es el punto de partida del presente estudio. Es necesaria la asimilacion de este fenomeno de una manera completa, ya que una vez asimilado se podra modificar el esquema a traves de la ecuacion de energia. El nuevo modelo resultante debe ser resuelto de manera numerica. los resultados deben ser coherentes con aquellos que se presentan en la literatura actual. Al final se concluir a sobre el fenomeno de manera comparativa y cn'tica respecto de aquellos presentados en la literatura actual.

1.11 Alcance

El e>tudio realizado en este trabajo esta limitado a contactos del tipo lmea lubricados elastohi-drodinamicamente sin considerar rugosidad superficial. El esciuema de solucion es estacionario en el tiempo y aplica solo a fluidos newtonianos aunque si bien, en los ultimos capftulos se inten-ta ampliar esinten-ta parte del fenomeno. El analisis no considera fuga del lubricante en la direction perpendicular al flujo. Los efectos de distorsion termica de las superficies que se producen como result ado del flujo de calor hacia ellas no seran estudiados.

1.12 Validacion

Los resultados obtenidos de este estudio, como son: campo de temperaturas y espesores de peh'cula seran comparados con aquellos que se cuentan en la literatura actual sobre el fenomeno.

Capitulo 2

Teoria de lubricacion termoelastohidrodinamica

Este capitulo tratara sobre el modelo matematico de lubricacion termoelastohidrodinamica en contactos no conformantes del tipo h'nea. Se supone que las superficies en contacto con movimien-to relativo estan separadas por una delgada capa de lubricante y que se deforman elasticamente. El flujo de lubricante depende de la geometn'a del contacto, las condiciones de velocidad y de carga, asf corao de las propiedades del lubricante.

El modelo matematico es muy similar al de LEH, de hecho este estudio parte de este y en breve se compone de las siguientes ecuaciones:

1. La ecuacion termica de Reynolds para fluidos newtonianos, que relaciona las presiones en el campo fluido con la geometn'a del contacto y las velocidades de las superficies.

2. La ecuacion de espesor de peh'cula que calcula las deformaciones elasticas de las superficies producidas por la presion.

3. La ecuacion de energia que relaciona el incremento o disminucion de temperatura en el fluido con la disipacion viscosa.

4. La ecuacion de equilibrio de carga.

Debido a que las presiones de operacion de la mayorfa de los casos son altas, el cambio en las propiedades densidad y viscosidad del lubricante como producto de presion y temperatura no puede ser despreciado (por ejemplo, un incremento de 10 grados reduce la viscosidad de un aceite estandar cerca de un factor de dos). Las relaciones empiricas para viscosidad y densidad que se usaran en este trabajo, son las ecuaciones de Roelands [18], y de Dowson-Higginson. [22]. Como se menciono anteriormente, existen diversas formas de solucion para este conjunto de ecuaciones, siendo las del tipo numerico las mas usadas.

A continuacion se desarrollaran cada una de las ecuaciones.

2.1 Ecuacion de Reynolds

Osborne Reynolds (1886), derivo la ecuacion diferencial que relaciona las presiones en la pelfcula

de lubricante con la geometn'a del contacto y la velocidad de las superficies, asumiendo lo siguiente:

1. Las fuerzas de cuerpo son despreciables.

3. No existe deslizamiento en las fronteras. 4. El flujo de lubricante es laminar.

5. Las fuerzas de inercia y tension superficial son despreciables comparadas con las fuerzas viscosas.

6. Los gradientes de velocidad y esfuerzos de corte son solo significativos a traves de la pelicula de lubricante.

7. El comportamiento del lubricante es newtoniano.

8. La viscosidad del lubricante es constante a traves de la pelicula de lubricante.

9. Las superficies a traves de las cuales se desplaza el lubricante, pueden considerarse paralelas una respecto a la otra. es decir, la curvatura de los elementos en contacto es despreciada. Cuando la friccion entre los contactos o la temperatura del lubricante es importante, las suposiciones 7 y 8 no son validas. En el primer caso la reologia del lubricante toma especial consideracion en el problem a y en el segundo los efectos termicos hacen que la viscosidad vane a traves de la pelicula.

La ecuacion de Reynolds puede derivarse de las ecuaciones de Navier-Stokes:

pw = pf~Vp+vucv'v) + v •( 2 / ( D ) (2-1}

donde D es la parte simetrica del tensor gradiente de velocidad. y es mejor conocido como el Tensor de deformaciones infinitesimales, una mejor referencia del tema puede ser encontrada en Segel (1987). [23].

Aplicando las suposiciones anteriores a las ecuaciones de Navier-Stokes:

)

que representan las ecuaciones de equilibrio para un fluido viscoso en un canal.

En condiciones de estado estacionario, la presion p depende solamente de x y y, por lo que las ecuaciones anteriores pueden ser integradas directamente en z y asf obtenemos expresiones generales para el gradiente de velocidad:

P=

Z

-¥ + ±

(2-4)

oz r\ ox rj oz r)dy r\

donde A y C son constantes de integration. La viscosidad del lubricante puede variar a traves del espesor de la pelicula (direccion z) como resultado de los efectos termicos, sin embargo como ya se dijo en las suposicion 8 para fines de obtencion de la ecuacion de Reynolds esta se considera constante (aunque si bien puede ser tornado un promedio a traves de la seccion de analisis). Esta

restriction solo toma lugar en z ya que en las otras dos coordenadas 77 puede variar. Con esto en mente una segunda integration resulta en:

AZ- + B (2.6)

Cz- + D (2.7) q

Considerando que no exist e deslizamiento, las condiciones en la frontera para estas ecuaciones son las velocidades de las superficies de los solidos en contacto:

1. Z = 0, U = Ml. I' = Vi

2. z = h, u = u-2. v — V2

Los subfndices 1 y 2 representan las superficies inferior y superior respectivamente. Inser-tando las condiciones y re-ordenando:

Las ecuaciones (2.8) y (2.9) representan las velocidades entre dos superficies planas parale-las. el primer termino del segundo miembro de ambas ecuaciones es el termino de Poiseuille, es negativo en la primera mitad del contacto hasta donde la presion maxima es alcanzada. exac-tamente ahi es cero y posteriormente es positive Observe que la naturaleza de este termino es parabolica.

Los segundo y tercer teminos de los segundos niiembros de ambas ecuaciones son lineales y se conocen como terminos df. Couette.

C on estas ecuaciones, se pueden derivar expresiones para el flujo de masa por unidad de ancho en las direcciones x y y. esto es lo que se hace a continuacion:

q'x= I udz (2.10)

z (2.11)

0

Sustituyendo las ecuaciones (2.8) y (2.9):

con la siguiente regla de integration:

r r "I

—[f{x.y.z)]dz= -f(x,y,h) —- + — / f(x,y,z)dz\ (2.15)

o dx dx dx Jo tenemos: dp dh d ( rh \ dh -z- -pu2-^- + -7T- \P / udz\-pu2— at ox ox y Jo J dy = 0 (2.16) Las integrales en la ecuacion (2.16), ya fueron deducidas (2.12 y 2.13), por lo tanto susti-tuyendolas se obtiene la expresion general de la ecuacion de Reynolds:

dx \l2r]dxj dy y 12?/ dy J

d OMui+u2)l 9

dx[ 2 J dy L 2

. dh dh dp .

p (tt>2 - toi) - pu2- pvi—-i-h— (2-17

ox dy dt

Las derivadas en el primer miembro de (2.17) constituyen la aportacion de Poiseuille, los primero y segundo terminos del lado derecho son los terminos de Couette, los terminos res-tantes exceptuando el temporal dan una razon del aplastamiento del contacto, en tanto que el ultimo representa la expansion local. En la pratica estos ultimos terminos son englobados por la expresion

9 ' " (2.18) conocida de una manera general como termino de aplastamiento. Los terminos de Couette tienen un significado fisico interesante explicado ampliamente en [14].

Usando (2.18), una expresion comun de la ecuacion de Reynolds es obtenida:

d ( p h3d , A d f p h3d p \ _ d , , , _ d d - v—-(ph) + —iph) 2.19) dv dt con: (2-20) (2-21) como las velocidades medias de las superficies en las direcciones x y y.

2.1.1 Terminos relevantes en la ecuacion de Reynolds

En contactos lubricados elastohidrodinamicamente del tipo linea, las variables dependen geo-metricamente solo de la direccion de analisis, en este caso a;, por lo que en la ecuacion (2.19) las derivadas respecto a y desaparecen. Ademas, el alcance de esta tesis cubre solo el estado estacionario, por lo que las variaciones temporales en (2.19) tambien seran despreciadas. Por lo anterior la ecuacion de Reynolds se simplifica a:

dfptfdp\d

dx \12rjdxJ dxKH ' v ;

De esta forma la ecuacion de Reynolds para LEH en contactos lfnea es una ecuacion diferen-cial ordinaria de segundo orden con una marcada no linealidad, ya que los terminos diferentes a

p dependen tambien de la variable independiente.

Las condiciones en la frontera que se han asociado a (2.22) han sido distintas a lo largo del tiempo: en 1904 Sommerfeld propuso el valor de la presion como cero (o la ambiente) en los puntos de aproximacion mas cercanos a la superficie, esto dio como resultado que el contorno de presiones resultara asimetrico, con presiones negativas, en la practica esto es imposible ya que presiones negativas no soportan carga y representaria en realidad una condicion de cavitacion existente dentro del contacto. Posteriormente, (1955) Kapitza considero ignorar el perfil negativo de Sommerfeld y obtuvo una envolvente de presiones con razonable capacidad de carga, pero el perfil de Kaptiza no cumplio con las condiciones de continuidad en la salida, ya que el gradiente de presiones era negativo en ,re, [14].

De lo anterior se entiende que la presion a la salida del contacto debe ser cero pero ademas, el gradiente de presiones normales -^ debe ser igual a cero, esto ocurre exactamente donde se rompe la pelfcula de lubricante y se genera cavitacion, esta frontera es libre e indeterminada para cada problema, por lo que las dos condiciones esenciales de (2.22) serfan:

p(x = -oo) = 0 (2.23)

p=^- = 0enx = xe (2.24)

dx

esta ultima condicion puede re-escribirse como p > 0 dentro del contacto.

Es necesario hablar de la primera condicion: ella establece que la presion en la entrada es cero. es decir, no existe presion hidrostatica que ayude a entrar al lubricante hacia adentro del contacto, y se desprecian los efectos inerciales que pueda tener el fluido en la entrada; sin embargo, la alimentacion de lubricante es trascendente en la capacidad de carga. Una deficiente alimentacion (starvation) del lubricante en la entrada ocasiona cambios en el desempeno del contacto. Este fenomeno ocurre preferentemente en condiciones de alta velocidad por el efecto sobre el lubricante. Los efectos de una mala alimentacion de lubricante van'an de acuerdo a las condiciones de operacion, pero en general reducen el dominio de la envolvente de presion y con esto la capacidad de carga, ademas entre mas cercano este el espesor de pelfcula inicial (a la entrada), al espesor de pelfcula mfnimo, mayor sera el efecto negativo sobre el desempeno del contacto.

Nuevamente. como la presion en (2.22) solo depende de x, la expresion puede ser integrada una vez estableciendo una constante de integration apropiada:

= 12uPh + c (2.25)

si definimos que ph = p*h~ en g| = 0 (para una x = a;*), entonces c = -\2up*h*, sustituyendo en la ecuacion anterior:

t

La expresion (2.26) es una de las formas mas usuales en lubrication de contactos h'nea en estado estacionario para flujo unidimensional.

Es util notar que si la ecuacion se re-escribe como:

= U ^ ( 2 > 2 7 )

ax ph-*

entonces para la zona de alta presion el termino el lado izquierdo sera pequeno, por lo que se puede pensar que la diferencia ph — p*h* tambien tiende a ser pequena, esto es h « h* =

constante. Este comportamiento es observado en la mayona de las curvas pvsx, y generalmente

ocurre dentro de la zona de contacto hertziana.

2.1.2 Ecuaciones de viscosidad y densidad del lubricante

Existen dos expresiones comunmente usadas para el calculo de la viscosidad cuando esta depende de la presion y temperatura. estas son las ecuaciones de Barus y de Roelands. La ecuacion de Barns, (1893) para efectos de presion-temperatura se define como:

To)) (2.28)

donde:

7/0 = viscosidad del lubricante a temperatura y presion ambiente. a = coeficiente de viscosidad-presion.

-, = coeficiente de viscosidad-temperatura. To = temperatura ambiente

sin embargo, como ya se dijo antes, esta expresion no es muy adecuada en condiciones de alta presion en lubricantes minerales. Por esto. la expresion mas comunmente usada es la ecuacion de Roelands. (1966):

r

°_

j ]>

(

-

)

con los indices de viscosidad-presion z y de viscosidad-temperatura So definidos por, Houpert (19S5):

(2.30)

9.67) ( 2-3 1 )

Para la variacion de la densidad con respecto a la presion y temperatura se usa la version linealizada del modelo isotermico de Dowson-Higginson (1966), que es como sigue:

5.110-9(/n(%) +9.67)

_ 7(r0-138)

S

° ~

(

Los valores de las constantes de (2.32) son: A - 0.6 1 ( T9^ , B = 1.7 1 0 ~9^ y 6 es el

coeficiente de expansion termica del lubricante en A""1.

2.2 Ecuacion del espesor de pelicula

2.2.1 Geometria del espesor de pelicula entre los contactos

Esta seccion es necesaria para deter minar la expresion del espesor de pelicula entre dos contac-tos lubricados elastohidrodinamicamente. La geometria existente entre dos rodillos puede ser aproximada por un piano y una parabola, de la siguiente forma:

h = ho + R-{R2- x2)2 = h0 + R - R 1 - (j\ 2 (2.33)

Si se expande el factor del ultimo termino en series:

h .

Dado que en lubricacion de superficies no conformantes la region de contacto es muy pequefia comparada con el radio de las superficies, entonces x <C R, de manera que ^ < 1. Por lo tanto, la ecuacion se reduce a:

h = h0 + ^- (2.34)

En la ecuacion (2.34), la constante R esta defmida como el radio equivalente entre las super-ficies en contacto:

2.2.2 Deformacion elastica de las superficies

La ecuacion (2.34) define la separacion entre una parabola y un piano a partir de un espesor inirial ho dado, ver figura 2.1. considerando las superficies completamente rigidas; sin embargo, en la realidad estas sufren deformaciones producidas por la presion p(x), generada por la carga de trabajo, y estas deben ser consideradas.

En contactos linea no conformantes la geometria de los solidos se considera como un cuerpo elastico infinito que esta sujeto a una carga por unidad de longitud sobre su superficie.

Tomando en cuenta esta condicion de carga y geometria, el problema puede tratarse como un caso de elasticidad con deformaciones planas, pues el espesor del material en la direccion perpendicular al piano xz es considerado muy grande.

Los desplazamientos en la direccion z, para una carga normal longitudinal como en este caso, vienen dados por [24]:

h=hn+x/(2R)+v(x)

h=ho+x/(2R)

piano equivalente

Figura 2.1: Geometria equivalente de rodillos en contacto para el analisis de LEH (/i = /i0 + f^

y piano equivalente y = 0).

v{x) = - 2(1 -_TTE -q In

x0 (2.36)

doncle q es la carga por unidad de longitud, XQ es la distancia al punto donde los desplazamientos son cero, E, modulo de Young y v es la relacion de Poisson.

Integrando sobre toda la longitud del contacto para la presion p(x):

v x) = -2 ( 1 -_TTE

r

J—c

In x — x p(x') dx' (2.37)

Considerando el modulo elastico para ambas superficies, es comun en la teoria elastohidro-dinamica definir un modulo efectivo para ambas superficies:

2 _ l - v \

E1 = Ei + Insertando este concepto en la ecuacion (2.37): E2

v(x

=-—r

Finalmente, la ecuacion del espesor de pelfcula se obtiene sumando la ecuacion (2.39) a (2.34):

X

2R (2.40)

Es necesario hablar brevemente de la teoria de Hertz (1882), para contactos elasticos. La suposicion basica es considerar a los solidos en contacto como cuerpos semi-infinitos; el contacto ocurre en una pequena region eh'ptica dispuesta en un piano perpendicular a la direccion de la carga, de esta manera las deformaciones locales se consideran elasticas.