MORFOLOGÍA MATEMÁTICA Y PROCESAMIENTO DE IMÁGENES

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Aportaciones Matemáticas Memorias 49 (2015) 41–77 Artículo de Exposición

MORFOLOGÍA MATEMÁTICA Y PROCESAMIENTO DE IMÁGENES

GONZALO URCID SERRANO Y MARISOL MARES JAVIER

Resumen. Los métodos matemáticos usados en el procesamien-to de imágenes dependen en general de las características pro-pias de cada imagen. La morfología matemática es un enfoque geométrico-algebraico al procesamiento de imágenes digitales ba-sado en los retículos completos de conjuntos y funciones. La idea fundamental del enfoque morfológico es transformar una imagen mediante diversos elementos estructurales en otra imagen que preserve las formas esenciales de los objetos contenidos en la imagen original y que facilite su análisis e interpretación. En este trabajo se expone un resumen teórico de la morfología matemá-tica básica de conjuntos y funciones y damos unos ejemplos que ilustran su aplicación al procesamiento de imágenes digitales bi-narias y en tonos de gris.

1. Introducción

La morfología matemática [1, 2, 3, 4, 5] es un enfoque no-lineal al trata-miento de imágenes [6, 7] con una base matemática que reviste un aspecto geométrico y algebraico resultado del uso conceptual de los retículos com-pletos cuyos elementos pueden ser, por ejemplo, conjuntos o funciones. La idea esencial del enfoque morfológico para procesar una imagen es utilizar como elemento escudriñador otra imagen más pequeña con una geometría Received by the editors enviado, Enero 30/2015; revisado, Julio 23/2015; versión final, Agosto 26/2015.

Keywords and phrases. retículos algebraicos, morfología matemática, imágenes digitales.

G. Urcid Serrano agradece al SNI-CONACYT el apoyo económico No. 22036. M. Mares Javier agradece al CONACYT la beca de posgrado No. 635888.

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predeterminada adecuada para evaluar las características geométricas y topológicas de los objetos presentes en la imagen. Así, el propósito funda-mental es transformar una imagen en otra que sea más adecuada para su análisis e interpretación a la luz de este elemento estructurante [8, 9, 10]. La morfología matemática nació a mediados de los años sesenta en Fran-cia, cuando George Matheron estudiaba la relación entre la geometría de los medios porosos y sus permeabilidades y al mismo tiempo Jean Serra cuantificaba la petrografía de los minerales de hierro con el fin de prede-cir sus propiedades de molido. Estos estudios los llevaron a establecer las bases teóricas para el análisis de imágenes binarias. Un medio poroso es binario en el sentido de que un punto del medio poroso está en un poro o en el material que lo rodea. De esta manera, se consideró como un conjunto al material circundante a los poros y los poros como el conjunto complemen-to. Consecuentemente los objetos de una imagen binaria pueden tratarse mediante operaciones de conjuntos. En 1967, Matheron propuso las pri-meras transformaciones morfológicas para determinar la geometría de las imágenes binarias.

La mayor parte del desarrollo de la morfología matemática se llevó a cabo en el Centro de Morfología Matemática (Centre de Morphologie Mat-hématique) en la Escuela de Minas de París en Fontainebleau creado en 1968 y lidereado por Matheron y Serra [11]. El desarrollo de equipo es-pecializado en procesamiento de imágenes, como lo fue el analizador de texturas, les permitió utilizar nuevas transformaciones que se adaptaran al tipo de problema que trataban. Así, la morfología matemática se elaboró fusionando los aspectos teóricos, las aplicaciones y el diseño de algoritmos. Durante casi una década la morfología matemática trató sólo con imágenes binarias (conjuntos) y a partir de mediados de 1970 se extendió a imáge-nes en tonos de gris, ampliando los conceptos de erosión y dilatación a funciones númericas [12]. A finales de los años 80 y principios de los 90 se fundamentó la morfología matemática sobre retículos completos y espacios digitales [13, 14, 18].

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La idea intuitiva que tenemos acerca de la estructura de los objetos no basta pues ésta no siempre puede precisarse. Además, es prácticamente imposible dar una descripción objetiva y completa de un objeto cualquie-ra. Un observador verá un objeto de manera personal haciendo énfasis en ciertas características que le interesen y así transformará este objeto en otro con ciertos detalles resaltados. El observador dirá que la parte del ob-jeto que le interesa tiene picos, es cuadrado o redondo, pequeño o grande. Estos atributos son el resultado que la persona obtuvo tal vez comparan-do cierta parte del objeto bajo estudio con una estrella, un cuadracomparan-do, un círculo, u objetos similares en forma y tamaño. A estos últimos objetos se les puede identificar como elementos estructurales y a la manera de rela-cionarlos con un objeto como una transformación morfológica. Así, la mor-fología matemática es una teoría que considera los aspectos geométricos locales que sean de interés particular al analizar uno o más objetos. Actual-mente la morfología matemática es considerada una herramienta versátil en el análisis de imágenes, especialmente en aquellas aplicaciones donde los aspectos geométricos son relevantes [9, 10].

Este trabajo expone la teoría elemental de la morfología matemática co-mo cuerpo de doctrina y en particular se dan las deco-mostraciones de las pro-piedades elementales y los teoremas relevantes relativos a las operaciones de erosión, dilatación, apertura y cerradura morfológicas para conjuntos y funciones. Después de presentar la teoría ilustramos su aplicación en imá-genes binarias consideradas como conjuntos y con imáimá-genes en tonos de gris consideradas como funciones [19].

2. Conceptos Preliminares

Los siguientes conceptos de carácter geométrico son fundamentales pa-ra las definiciones de las opepa-raciones básicas de la morfología matemática. Definición 2.1. SeaA ⊆ Rn, la traslación deApor el vectorx ∈ Rn, es el conjunto dado porAx= {a + x : a ∈ A}, y el simétrico deAes el conjunto,

b

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La siguiente proposición establece algunas igualdades que relacionan los conceptos de traslación y simétrico con las operaciones de unión, inter-sección y complementación de conjuntos. Con respecto al inciso b) de esta proposición, escribiremosBxc en vez de(Bx)cpara simplificar la notación.

Proposición 2.2. a)S

b∈BAb = S

a∈ABa (conmutatividad de la traslación

con la unión), b) (Bc)x = (Bx)c (conmutatividad del complemento con la

traslación), c)T

b∈BAb=Ta∈Ac(Bc)a(equivalencia de intersección de

tras-laciones por complementación), d) (Ax)y = Ax+y (composición de

trasla-ciones), e) (S

b∈BAb)x = S

b∈BAb+x(distributividad de la traslación sobre

la unión), f) S x∈X( S y∈Y By)x = Sy∈Y( S x∈XBx)y (conmutatividad entre

uniones dobles y traslaciones), g)S\

b∈BAb = Sb∈BAcb (distributividad del

simétrico sobre la unión) y h)Bcx = bB−x (oposición de una traslación por

simetrización).

Demostración. a)x ∈S

b∈BAb ⇔ ∃a ∈ A, b ∈ Btal quex = a + b ⇔ ∃b ∈ B, a ∈ Atal quex = b + a ⇔ x ∈S a∈ABa, b)y ∈ (B c) x ⇔ y = b0+ xtal que b0 ∈ Bc ⇔ y 6= b + x ∀b ∈ B ⇔ y ∈ (B x)c, c)Tb∈BAb = (Sb∈B(A c) b)c = (S a∈AcBa)c =Sa∈Ac(Bc)b, d)z ∈ (Ax)y ⇔ z = (a + x) + y, a ∈ A ⇔ z = a + (x + y), a ∈ A ⇔ z ∈ Ax+y, e)y ∈ (Sb∈BAb)x ⇔ ∃a ∈ A, b ∈ B tal que y = (a + b) + x ⇔ ∃a ∈ A, b ∈ B tal que y = a + (b + x) ⇔ S

b∈BAb+x, f) z ∈S

x∈X( S

y∈YBy)x⇔ ∃x ∈ X, y ∈ Y tal quez = (b+y)+x ⇔ ∃y ∈ Y, x ∈ X

tal quez = (b+x)+y ⇔ z ∈S y∈Y( S x∈XBx)y, g)S\b∈BAb= {−(a+b) : a ∈ A yb ∈ B} =S b∈BAcb y h) Bcx = {−(b + x) : b ∈ B} = {−b − x : −b ∈ bB} = b B−x. 

2.1. Órdenes parciales y retículos algebraicos. Las definiciones de las operaciones de la morfología matemática suponen que el conjunto en el cual se trabaja está dotado de una estructura de retículo completo ya que se identifican con esta estructura de modo natural. Por ello, en esta sub-sección se presentan los conceptos de órdenes y retículos así como algunas propiedades y tipos de retículos [20, 21].

Definición 2.3. Se dice que A es un conjunto parcialmente ordenado cuando lo dotamos de una relación binaria, que leemos como “precede

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dondeβ es la misma función de umbralización binaria usada en el Ejem-plo 5.3. La imagen gradiente resultante la coloreamos en rojo, denotada porGr, para resaltar la separación entre ambas texturas que obtenemos

al superponerGrconfmediante la operaciónm´ax(m´ın(f, Gc), Gr)(imagen

derecha, 2da fila de la Fig. 5.7).

Los ejemplos presentados aquí para imágenes binarias y en tonos de gris, aunque elementales, tienen el propósito de introducir de manera ac-cesible las ideas del enfoque morfológico al procesado de imágenes. Ope-raciones avanzadas como la esqueletización, los adelgazamientos, las re-construcciones morfológicas geodésicas y la segmentación por cuencas o cascadas están fuera del alcance de esta exposición. En particular, las re-ferencias [15], [16] y [17], tratan extensamente el enfoque morfológico al problema de la segmentación de imágenes.

6. Conclusión

En este trabajo hemos expuesto con suficiente detalle las bases concep-tuales y la teoría básica de la morfología matemática, así como algunos ejemplos de su aplicación al procesamiento digital de imágenes. Esta expo-sición incluye el desarrollo detallado de la gran mayoría de las demostra-ciones relativas a las operademostra-ciones morfológicas básicas (erosión, dilatación, apertura y cerradura) y sus propiedades algebraicas. De igual manera, he-mos presentado los conceptos de tope y sombra que relacionan la mor-fología de funciones con la de conjuntos incluyendo el caso de elementos estructurales planos que son los más utilizados en el procesamiento digital de imágenes en tonos de gris. La detección de bordes y la segmentación de grupos de partículas para imágenes binarias, así como la segmentación de objetos y texturas simples en imágenes en tonos de gris se consideraron como ejemplos ilustrativos del alcance que tiene esta teoría en la solución de problemas de reconocimiento de formas y clasificación automática. Para adquirir un mayor conocimiento de esta área relativamente poco conocida en el ámbito de la matemática sugerimos al lector interesado abundar y profundizar sobre estas ideas consultando las referencias clásicas sobre el tema en [1], [3] y [13], ó desarrollos más recientes en la literatura técnica como [10], [18], [24], [25] y [26].

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Referencias

[1] Serra J. Image Analysis and Mathematical Morphology, Academic Press, Lon-don, United Kingdom, 1982.

[2] Serra J. “An introduction to mathematical morphology” en: Special Section on Mathematical Morphology, Computer Vision, Graphics, and Image Processing, Vol. 35, pp. 283–305, 1986.

[3] Maragos P. “Tutorial on andvances in mophological image processing and analysis,” Optical Engineering, Vol. 26, No. 7, pp. 623–632, 1987.

[4] Haralick R.M., Sternberg S.R., Zhuang X. “Image analysis using mathematical morphology,” IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 9, No. 4, pp. 532–550, 1987.

[5] Haralick R.M., Shapiro L.G. “Mathematical Morphology” en: Computer and Robot Vision, Vol. I, Addison-Wesley, Reading, Massachussets, pp. 157–255, 1992.

[6] Pitas I. “Shape Description” en: Digital Image Processing Algorithms and Ap-plications, John Wiley & Sons, New York, NY, pp. 361–382, 2000.

[7] Gonzalez R.C., Woods R.E. Digital Image Processing, 3rd Ed., Pearson & Pren-tice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2008.

[8] Dougherty E.R. An Introduction to Morphological Image Processing, Tutorial Texts Series, Vol. TT9, SPIE Press, Bellingham, Washington, 1992.

[9] Dougherty E.R., Lotufo R.A. Hands-on Morphological Image Processing, Tuto-rial Texts in Optical Engineering, Vol. TT59, SPIE Press, Bellingham, Washing-ton, 2003.

[10] Soille P. Morphological Image Analysis: Principles and Aplications, 2nd Ed., Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, Germany, 2003.

[11] Serra J. “The Centre de Morphologie Mathématique: An Overview” en: Mathe-matical Morphology and Its Applications to Image Processing, Kluwer Acade-mic, Dordrecht, The Netherlands, pp. 369–374, 1994.

[12] Sternberg S.R. “Grayscale morphology”, Computer Vision, Graphics, and Ima-ge Processing, Vol. 35, No. 3, pp. 333-355, 1986.

[13] Serra J. Image Analysis and Mathematical Morphology, Vol. 2: Theoretical Ad-vances, Academic Press, London, United Kingdom, 1988.

[14] Heijmans H.J.A.M., Ronse C. “The algebraic basis of mathematical morpho-logy; Part I: Dilations and erosions,” Computer Vision, Graphics, and Image Processing, Vol. 50, No. 3, pp. 245–295, 1990.

[15] Beucher S., Meyer F. “The Morphological Approach of Segmentation: The Wa-tershed Transformation” en: Mathematical Morphology in Image Processing, Dougherty E. E. (Ed.), Marcel Dekker, New York, pp. 433–481, 1992.

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[16] Vincent L. “Morphological grayscale reconstruction in image analysis: applica-tions and efficient algorithms,” IEEE Transacapplica-tions on Image Processing, Vol. 2, No. 2, pp. 176–201, 1993.

[17] Vincent L., Dougherty E. R. “Morphological Segmentation for Textures and Particles,” en: Digital Image Processing Methods, Dougherty E. R. (Ed.), Ch. 2, Marcel Dekker, New York, pp. 43–102, 1994.

[18] Goutsias J., Heijmans H.J.A.M. “Fundamenta Morphologicae Mathematicae,” Fundamenta Imformaticae, Vol. 41, pp. 1–31, 2000.

[19] Mares-J M., Urcid-S G., Cervantes-G L. “Morfología matemática: Un enfoque geométrico-algebraico al procesamiento de imágenes,” Resúmenes del XVLII Congreso de la Sociedad Matemática Mexicana, Vol. 12, Secc. Matemáticas e Ingeniería, Durango, Durango, México, Octubre 2014.

[20] Birkhoff G. Lattice Theory 3rd ed., American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 25, Providence, RI, 1967.

[21] MacLane S., Birkoff G. “Lattices” en: Algebra, 2nd. Ed., Ch. XIV, pp. 470–494, MacMillan Publishing, New York, NY, 1979.

[22] Gonzalez R.C., Woods R.E., Eddins S.L. Digital Image Processing Using MATLAB, 2nd Ed., Gatesmark Publishing, LLC (www.gatesmark.com) 2009. [23] Beucher N., Beucher S. Mamba: Mathematical Morphology Library Image for

Python Programming Language (www.mamba-image.org), 2012.

[24] Maragos P. “Lattice image processing: a unification of morphological and fuzzy algebraic systems,” Journal of Mathematical Imaging and Vision, Vol. 22, pp. 333–353, 2005.

[25] Bloch I., Heijmans H., Ronse Ch. “Mathematical Morphology,” en: Handbook of Spatial Logic, Aiello M., Pratt-Hartmann I. & Van Benthem J. (Eds.), Ch. 14, Springer, pp. 857–944, 2007.

[26] Najman L., Talbot H. (Eds.), Mathematical Morphology, Wiley-ISTE, 2010. (Gonzalo Urcid Serrano) Coordinación de Óptica, INAOE, Luis Enrique Erro No. 1, Tonantzintla, C.P. 72000, Pue., México.

E-mail address: gurcid@inaoep.mx

URL : http://www-optica.inaoep.mx/investigadores/urcidgesp/index.html (Marisol Mares Javier) Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, BUAP, Ciudad Universitaria, Av. San Claudio y 18 Sur, San Manuel, C.P. 72570, Pue., México.

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