1
Estadística Aplicada
2
Extrapolación y Predicción
La Ciencia hace extrapolaciones y con ello ayuda a realizar
predicciones.
•
Por ejemplo, se hacen investigaciones con ciertos elementos (enfermos de amibiasis, fumadores empedernidos, plantas de maíz, etc.), cuyas conclusiones se aplican a otros elementos semejantes.Elementos estudiados
Elementos semejantes a los
estudiados
Se puede considerar que lo estudiado, o experiencia previa,
es una muestra de todo un conjunto de otros elementos o
nuevas experiencias semejantes a los estudiados.
•
Este conjunto no estudiado es la población. Extrapolaciónpredicción
Muestra Extrapolación Población
3
Extrapolación y Predicción
Por lo tanto,
Si se pueden encontrar leyes deterministas que expresen
relaciones (necesarias y suficientes) entre propiedades de
las instancias estudiadas (muestras), entonces:
•
¿Se pueden aplicar los resultados o conclusiones a todas las instancias (población) no estudiadas aún, que cumplan con las propiedades requeridas?
¿Por que hay aleatoriedad?
1.
Complejidad de los fenómenos y no se conoce todos los aspectos y leyes involucradas, pero el mundo es determinado.2.
Hay aleatoriedad intrínseca.3.
Pequeños cambios de condiciones iniciales tienen efectos muy grandes4
Extrapolación y Predicción
Hay procesos o fenómenos en los que no se pueden
encontrar relaciones entre sus propiedades, que sean
necesarias y suficientes.
Hay mucha variabilidad, hay indeterminismo.
Se pueden encontrar ciertas “leyes” pero son de naturaleza
probabilística y no determinística.
Determinismo:
•
Se descubren leyes que describen matemáticamente las variables importantes de un proceso, sin incluir consideraciones aleatorias. E=m.c2, f=m.a, mecánica clásica, ecuaciones diferenciales para muy variados fenómenos, fluidos, dinámica poblacional, etc.
Indeterminismo:
•
No se encuentran leyes que describan matemáticamente a las variables del proceso. Se encuentran modelos, pero ahora son probabilísticos, incluyen variables aleatorias.5
Origen de las Probabilidades
Antecedentes
•
En el siglo XVII el Sr. Chevalier de Meré plantea sus experiencias en el juego de naipes al matemático Blaise Pascal.•
La consulta motivó a Blaise Pascal a intercambiar ideas con su amigo el jurista y matemático Pierre de Fermat, siendo los cofundadores de la Teoría de Probabilidades.•
Hacia el siglo XVIII, James Bernoulli y Abrahan de Moivre continúan el desarrollo de la Teoría de los Juegos de Azar.•
En 1812 Pierre Laplace publica la Teoría Analítica de las Probabilidades.•
En 1823 Carl Gauss, matemático y físico alemán, publica un tratado sobre la teoría de errores dedicada a la curva normal.•
En 1901 Henry Lebesgue, matemático francés, formuló la Teoría de la Medida.•
En 1933 el matemático ruso Andrei Kolmogorov, basado en el trabajo de Lebesgue, publicó su teoría axiomática del cálculo de probabilidades.6
Modelos
Con un modelo matemático, determinístico
o
probabilístico, se puede derivar consecuencias
siguiendo su lógica interna y en esta medida,
efectuar predicciones.
Estas siempre están sujetas a la validez del
modelo. En el caso de los modelos probabilísticos,
además se debe tener una idea del grado de
incertidumbre en las predicciones individuales.
7
Modelos
Un modeloes la representación de una cosa.
Es una definición de las relaciones existentes entre las diferentes partes
de un sistema.
Algunos fundamentos esenciales para la aplicación de un determinado modelo se resumen de la siguiente manera:
•
El modelo debe seleccionarse con base a los objetivos del estudio (naturaleza, cualidades y exactitud de los resultados) y las decisiones a tomar en función de dichos objetivos.•
El modelo será válido en la medida de la calidad de los datos. La naturaleza de las variables a manejar es factor determinante.•
Todo modelo ofrece un carácter de sistema. La variación de cualquier elemento produce un efecto sobre los resultados, aunque ningún elemento es determinante absoluto de dichos resultados.•
El modelo debe ser suficientemente sencillo como para facilitar su comprensión.•
Debe existir un justo balance entre la deseada simplificación del modelo y la calidad de los resultados esperados. Los aspectos omitidos en aras de la simplificación tendrán un efecto sobre la calidad de los resultados y por tanto en las decisiones que se tomen.8
Clases de Modelos
Los modelos pueden ser:
•
Verbales los cuales utilizan palabras.•
Iconos o maquetas son construidos en tres dimensiones y a escala.•
Los analógicos, parten de la premisa de que el comportamiento de un sistema completo puede ser estudiado y analizado por medio del estudio del comportamiento de sistemas con características similares•
Los esquemáticos utilizan símbolos para evitar las ambigüedades de las palabras.•
los modelos matemáticos representan el mayor nivel de abstracción en la construcción de modelos. En las ciencias se utilizan modelos matemáticos para manejar una mejor información en la toma de decisiones.9
Experimentos
El uso de modelos en el trabajo de investigación se
desarrolla de acuerdo al esquema:
Realidad Diseño Modelo Análisis
Estadística
10
Experimentos
El uso de modelos muchas veces requiere su verificación.
•
Experimentos determinísticos: repetidas las mismas condicionespuede predecirse el resultado con suficiente exactitud.
•
Experimentos aleatorios: Son aquellos que aun cuando lascondiciones iniciales permanezcan inalterables el resultado varía.
•
Ejemplos de experimentos:•
Romper una probeta de acero en el ensayo de tracción.•
Lanzar un dado.•
Pesar una persona seleccionada aleatoriamente de un grupo•
Cantidad de piezas defectuosas por hora de operación.•
Lanzamiento de un proyectil.•
En probabilidad un
EXPERIMENTO
constituye un proceso
con un resultado que no se puede predecir certeramente
con anterioridad.
11
Espacio Muestral
Si S es el conjunto de los resultados de un experimento,
este es aleatorio si y solo si S tiene más de un elemento.
Contrariamente si S tiene un solo elemento el experimento
correspondiente se llama determinístico.
Al conjunto de todos los posibles
resultados de un experimento se le
llama espacio muestral
Un subconjuntodel espacio muestral se le
llama evento o suceso
12
Espacio Muestral
En el caso de un dado, el espacio muestral es:
•
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Son eventos del espacio muestral:
•
{1,2,3}•
{3,4}•
{4,5}•
Si sale el número 2 al lanzar el dado habrá ocurrido el evento {1,2,3}•
Si sale el número 4 al lanzar el dado habrán ocurrido los eventos {3,4} y {4,5}
Al lanzar el dado la probabilidad de obtener un 3 es:
•
Casos favorables: 1 caso (evento)•
Casos posibles: 6 casos (espacio muestral)13
Eventos del Espacio Muestral
Según la definición clásica de Laplace
•
La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles, siempre que nada obligue a creer que algunos de estos casos deben tener lugar preferente a los demás.
Se tienen 2 cajas con 4 resistencias en C/U. En la primera
caja son de 10Ω, siendo sus resistencias reales 9, 10, 11 y
12Ω. En la secunda caja son de 20Ω, siendo sus valores
reales 18, 19, 20 y 21Ω. Se toma una resistencia de cada
caja.
•
Determinar el espacio muestral para este experimento.
Dados los siguientes evento:
•
A: que las resistencias sean mayor a 10Ω•
B: que las resistencias sean menor a 19Ω14
Probabilidades
Experimento aleatorio:
•
Es un fenómeno empírico que se caracteriza por una propiedad fundamental y propia: su observación repetida, en condiciones constantes, no produce siempre el mismo resultado porque no existe regularidad determinística sino regularidad estadística o aleatoria.
Fenómeno aleatorio:
•
Ocurre espontáneamente sin la acción del hombre.
Experimento aleatorio:
•
Realizado dentro de un plan experimental.
Evento aleatorio:
•
Es el resultado de un experimento aleatorio.
Regularidad estadística:
•
Si para cada conjunto de repeticiones u observaciones del evento o fenómeno se calcula la frecuencia relativa de la aparición de una cierta propiedad, ésta tiende a estabilizarse alrededor de un valor fijo a medida que el número de repeticiones aumenta.15
Probabilidades
La
probabilidad subjetiva de un evento
•
La asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que se tenga sobre el tema. Por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica.
La
probabilidad frecuencial de un evento
•
Es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad estadística. Este método proporciona probabilidades aproximadas o estimaciones y no valores reales. Además, los resultados son a posteriori, pues se necesita realizar el experimento para poder obtenerlo.
La
probabilidad clásica de un evento E
•
Se denota como por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral.16
Probabilidades
Todo evento en un espacio muestral tiene una probabilidad
de ocurrir.
La probabilidad de un evento representa la proporción de
veces que se presentará el evento a largo plazo, si el
experimento se repitiera una y otra vez.
A veces las probabilidades pueden determinarse si se
conoce la naturaleza física del evento.
Una vez conocidas las probabilidades de ciertos eventos
mediante el conocimiento científico o la experiencia, se
puede calcular matemáticamente las probabilidades de otros
eventos.
•
Evento seguro E es aquel que ocurrirá P(E) = 117
Combinación de Eventos
A U B,
la unión de eventos A y B, representa el conjunto de
resultados que pertenecen a A, B o ambos.
•
El evento A U B se presenta si ocurre A, B o ambos.
A ∩ B
, la intersección de A y B, conjunto de resultados que
pertenecen tanto a A como a B.
•
El evento A ∩ B se presenta siempre que A y B ocurren.
A
C, complemento del evento A, conjunto de resultados que
no pertenecen a A.
•
El evento ACse presenta siempre que no ocurra A. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B18
Eventos mutuamente excluyentes
Los eventos A y B son mutuamente excluyentes si no tienen
resultados comunes.
Un conjunto de eventos A
1, A
2, …, A
nen mutuamente
excluyente si dos de ellos no tienen resultado en común.
•
P(A) + P(B) = 1 1 2 3 4 5 6 7 8 A B19
Axiomas de la Probabilidad
1.
Sea
S
un espacio muestral. Entonces P(S)=1.
Establece que el resultado de un experimento siempre está en el espacio muestral.
2.
Para cualquier evento A, 0 < P(A) < 1
La frecuencia a largo plazo de cualquier evento siempre se encuentra entre 0 y 100%.
3.
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces
P(A U B) = P(A) + P(B).
En el caso del lanzamiento de un dado la probabilidad de salir 2 ó 5 es:
P(2) = 1/6
P(5) = 1/6
P(2 U 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Otra regla útil es
20
Axiomas de la Probabilidad
Las probabilidades que el sistema computarizado falle se muestra en la tabla:
• Sea A el evento de que haya más de 2 caídas del sistema durante la semana.
• B el evento de que el sistema se caerá por lo menos una vez.
Determinar:
• El espacio muestral.
• Los subconjuntos del espacio muestral que correspondan a los eventos A y B. • Calcular P(A) y P(B) 0,01 4 0,04 3 0,05 2 0,30 1 0,60 0 Probabilidad Número de caídas
21
Regla de la suma de probabilidades
Eventos no excluyentes o compatibles P(A U B)=
Espacio muestral: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Evento A: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento B: {3, 4, 5, 6, 7, 8}
En ambos eventos se repiten los elementos: 3, 4, 5, 6 Evento P(A∩ B): {3, 4, 5, 6}
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A∩ B)
Eventos excluyentes P(A U B)= Espacio muestral: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Evento A: {1, 2, 3, 4} Evento B: {5, 6, 7, 8} Evento P(A∩ B): 0 P(A U B) = P(A) + P(B)
22
Regla de la suma de probabilidades
Se producen barras de aluminio mediante extrusión. Se especifican diámetro y
longitud. Para algunas la longitud puede ser muy corta o larga, o estar bien. Para el diámetro se clasifican en delgado, grueso o bueno. La población es de 1000 barras, distribuyéndose en clases de la siguiente forma:
13 25 2 Larga 4 900 38 Buena 3 3 10 Corta Grueso Bueno Delgado Diámetro Longitud
¿Cuál es la probabilidad de que la barra sea buena? ¿Cuál es la probabilidad de que sea demasiado corta?
23
Probabilidad condicional e independencia
Una probabilidad incondicional se basa en todo del espacio muestral
13 25 2 Larga 4 900 38 Buena 3 3 10 Corta Grueso Bueno Delgado Diámetro Longitud
De las 1000 barras ¿cuál es la probabilidad de satisfacer la especificación de
diámetro?.
Si se toma una barra y se encuentra que satisface la longitud, ¿cuál es la probabilidad de que también satisfaga la especificación de diámetro?.
13 25 2 Larga 4 900 38 Buena 3 3 10 Corta Grueso Bueno Delgado Diámetro Longitud
Una probabilidad condicional se basa en una parte del espacio muestral.
•
P(diámetro bueno/longitud buena) = 900/942 = 0,95524
Probabilidad condicional e independencia
13 25 2 Larga 4 900 38 Buena 3 3 10 Corta Grueso Bueno Delgado Diámetro Longitud
Si el evento A consiste en las barras con diámetro bueno, P(A) = 928/1000 Si el evento B consiste en las barras cuya longitud es buena, P(B) = 942/1000
Si la probabilidad de que tanto la longitud como el diámetro sean buenos:
•
P(A∩B)=900/1000 La probabilidad condicional será:
) ( ) ( 1000 942 1000 900 ) / ( B P B A P B A P
Si se toma una barra y se encuentra que satisface la longitud, ¿cuál es la probabilidad de que también satisfaga la especificación de diámetro?.
25
Probabilidad condicional e independencia
En un proceso se elaboran latas de aluminio, la probabilidad
de:
•
Que aparezca una lata con fisura al costado es 0,02.•
Que aparezca una lata con fisura en la tapa es 0,03.•
Que tenga fisura en la tapa y al costado es 0,01.
¿cuál es la probabilidad de que no tenga ninguna fisura?
¿cuál es la probabilidad de que una lata tenga una fisura en
el costado, dado que tiene una fisura en la tapa?
¿cuál es la probabilidad de que una lata tenga una fisura en
26
Eventos independientes
En ocasiones el hecho de que ocurra un evento no modifica la
probabilidad de que ocurra otro.
En este caso la probabilidad condicional e incondicional son las mismas,
se trata de eventos independientes.
13 25 2 Larga 4 900 38 Buena 3 3 10 Corta Grueso Bueno Delgado Diámetro Longitud
Si selecciona una barra del espacio muestral
•
¿cuál es la probabilidad de que sea larga?•
P(larga)•
¿cuál es la probabilidad de que sea larga si es delgada?•
P(larga/delgada) Entonces:
•
P(larga) = P(larga/delgada)•
P(A) = P(A/B)27
Eventos independientes
Dado que A y B son eventos independientes:
) / ( * ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ( P A B P B P A B B P B A P B A P
Antes se encontró que para eventos independientes se cumple:
•
P(A) = P(A/B)•
P(B) = P(B/A) La ecuación anterior se expresa como:
)
(
*
)
(
)
/
(
*
)
(
)
(
A
B
P
B
P
A
B
P
B
P
A
P
Un vehículo tiene dos motores, A y B, el sistema falla solo si ambos motores fallan. La probabilidad de que el motor A falle es 0,05 y la de que el B falle es de 0,10. Los dos motores operan independientemente, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema falle?
28
Eventos independientes
Un sistema tiene dos componentes, A y B. ambos deben
operar para que el sistema funcione. La probabilidad de que
el componente A falle es 0,08 y la de que el B falle es 0,05.
Estos componentes operan independientemente, ¿cuál es la
probabilidad de que el sistema no falle?
29
Regla de la multiplicación
Dado que:
•
P(A∩B)=P(B)*P(A/B) Que la probabilidad de que ocurran simultáneamente dos sucesos de los cuales uno se encuentra condicionado a la realización del otro, es igual a la probabilidad individual de uno de ellos por la probabilidad condicional del otro con relación al primero.
Una caja contiene 8 pelotas de madera
•
5 blancas y 3 negras 12 de plástico
•
7 blancas y 5 negras ¿Cuál es la probabilidad que al hacer una extracción sea una pelota
blanca de madera? 20 12 8 8 5 negras 3 negras 12 7 blancas 5 blancas Plástico Madera
30
Regla de la multiplicación
La probabilidad de extraer una pelota de madera es:
•
P(M)=8/20=0,40 Si el evento B/M consiste en extraer una pelota blanca de madera, su
probabilidad de ocurrencia es:
•
P(B/M)=5/8=0,625 Entonces la probabilidad de que una pelota blanca sea de madera es:
•
P(M∩B)=P(M)*P(M/B)=0,40*0,625=0,25 ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una pelota blanca sea de plástico? Demostrar que:
•
P(M)*P(M/B) = P(B)*P(B/M) 20 12 8 8 5 negras 3 negras 12 7 blancas 5 blancas Plástico Madera31
Ley de probabilidad total
Se dispone de vehículos con motores de 3 tamaños. El 45%
de los vehículos vendidos tienen motor pequeño (MP), 35%
motor mediano (MM) y 20 motor grande (MG).
Se practican pruebas de emisiones 2 años luego de la venta,
teniéndose los siguientes resultados:
•
10% de los vehículos MP fallan (F).•
12% de los vehículos MM fallan (F).•
15% de los vehículos MG fallan (F).MP MM MG
32
Ley de probabilidad total
¿cuál es la probabilidad que un
automóvil elegido aleatoriamente falle en la prueba de emisiones?
En este caso se tiene:
•
P(MP)=0,45•
P(MM)=0,35•
P(MG)=0,20 La probabilidad que un automóvil falle dado que tiene un motor pequeño es P(F/MP)=0,10.
La probabilidad que un automóvil falle dado que tiene un motor mediano es P(F/MM)=0,12.
La probabilidad que un automóvil falle dado que tiene un motor grande
es P(F/MP)=0,15.
En este caso la probabilidad de falla es:
•
P(F)=P(MP∩F)+P(MM∩F)+P(MG∩F) Antes se demostró que
33
Ley de probabilidad total
De la relación – Eventos independientes:
•
P(A∩B)=P(A)*P(B/A) La probabilidad de falla se puede expresar como:
•
P(F)=P(MP∩F)+P(MM∩F)+P(MG∩F) Donde:•
P(MP∩F) = P(MP)*P(F/MP)•
P(MM∩F) = P(MM)*P(F/MM)•
P(MG∩F) = P(MG)*P(F/MG) Resultando:•
P(F)= P(MP)*P(F/MP)+P(MM)*P(F/MM)+P(MG)*P(F/MG)•
P(F)= 0,45*0,10+0,35*0,12+0,20*0,15 = 0,11734
Teorema de Bayes
Permite calcular una de las probabilidades condicionales si
se conoce la otra.
) / ( * ) ( ) / ( * ) ( ) / ( 1 i n i i k k k A B P A P A B P A P B A P
