Las ternas pitagóricas, la factorización de números enteros y su relación con el último teorema de Fermat.

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Las ternas pitagóricas, la factorización de números enteros

y su relación con el último teorema de Fermat.

I) Definiciones

Un triángulo rectángulo pitagórico también es una forma de expresar la factorización de un número entero.

Sean

(x,y,z) ∈N

Por convención, hablaremos de ternas primitivas donde mcd (x,y,z )=1

e igualmente consideraremos z como la hipotenusa impar, (x,y) los catetos par e impar, respectivamente.

La figura geométrica de un triángulo rectángulo corresponde igualmente a la siguiente igualdad:

y2 = z2 – x2

que se puede expresar como y2 = (z-x)(z+x)

e implica que la suma y la resta de la hipotenusa y uno de los catetos son factores de y2.

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II) Y número primo

Igualmente podemos también decir que cualquier número impar al cuadrado puede ser expresado como el producto de al menos dos factores:

y2= pq

ambos números naturales impares, y cuya diferencia y adición es también lógicamente un número natural par tal que:

p-q = 2x p+q= 2z

sustituyendo tenemos que

p = (z+x) q= (z-x)

y2= pq = (z-x)(z+x) = z2 - x2

de donde se deduce que cualquier impar al cuadrado puede ser expresado como la diferencia de dos cuadrados. Es decir, que cualquier impar puede formar parte de un rectángulo pitagórico.

Si y, impar, es además primo, se puede descomponer en sólo dos posibles combinaciones se números naturales (p,q):

A) y2= 1* y2 B) y2= y*y

A) La primera combinación es claramente una terna pitagórica en todos los casos de la forma

y2= 1* y2= (z-x)(z+x) ; z = 1+x ; y2= 2x+1

(3)

z = x+1 = (( y2 +1)/ 2)2

y2= = z2-x2

donde

z-x=1

y donde se cumple también que

y2= z2-x2 = (z+x)2 (z-x)2 = y2 * 12

B) La segunda combinación sería trivial, pues y2= y*y = (z-x)(z+x) ; z= y+x; y= 2x+y ; x=0 ; z= y

Lo que demuestra que un número primo sólo pueda ser el cateto de un único triángulo

pitagórico. (1)

III) Y número compuesto

Si y es un número impar compuesto, podemos encontrar tantos rectángulos pitagóricos como posibles combinaciones de sus factores.

y2= p2 *q2 = 1* p2q2 = p * pq2 = q * p2q y2= p2 *q2 * t2 = 1* p2q2 t2= p * pq2 t2 = q * p2q t2 = t * p2q2 t … y2= p2 *q2 * t2 s2 = 1* p2q2 t2s2 =p * pq2 t2 s2 … Ejemplo: 152 = (3*5)2 152 = 12 * (3*5)2 = (z-x)(z+x) ; z= 1+x; 225= 1+2x ; x= 112 ; z = 113; 152 = 1132 * 1122 152 = 3 * (3*52) = (z-x)(z+x) ; z= 3+x; 75= 3+2x ; x= 36 ; z = 39; 152 = 392 * 362 152 = 32 * 52 = (z-x)(z+x) ; z= 9+x; 25= 9+2x ; x= 8 ; z = 17; 152 = 172 * 82 152 = 5 * (5*32)= (z-x)(z+x) ; z= 5+x; 45= 5+2x ; x= 20 ; z = 25; 152 = 252 * 202 (Nota: sólo consideramos las combinaciones con números enteros positivos. Si consideramos

152 = (5*32)=* 5 = (z-x)(z+x) ; z= 45+x; 5= 45+2x ; x= -20 ; z = 25; 152 = 252 * -202 también es correcto, pero no es una solución pitagórica)

Lo que nos permite decir que: cualquier número entero impar al cuadrado puede descomponerse en diferentes combinaciones de sus factores por parejas, y todas ellas

corresponden a sendas ternas pitagóricas. (1)

y también que al igual que los números primos, todo número impar complejo forma una

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IV) Resumen

Para todo y número impar se cumple la ecuación

y2 = z2 – x2

pero ya sea y un número primo o un número compuesto, ha de existir igualmente una ecuación tal que

y2 = (z-x)(z+x)

donde

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V) El caso 4 y resto de casos pares

Cabe ahora considerar la posibilidad de una figura como la siguiente

que corresponde a la ecuación

y4 = z4 – x4

y4 = (z2 – x2)(z2 + x2)

Pero dado lo expresado en el punto IV, ha de cumplirse también que la diferencia

(z2 – x2) sea igual a la unidad.

Pero sin embargo no existe ninguna combinación de números enteros (z,x) cuya diferencia de cuadrados sea la unidad. La menor diferencia entre cuadrados siempre será 3.

(z2 – x2) ≥ 3

(z2 – x2) ≠ 1

De donde se confirma la imposibilidad de

z4 ≠ y4 + x4

si (x,y,z) ∈ N

Esta conclusión es aplicable a toda ecuación del tipo y2n = z2n – x2n, pues la diferencia entre

(zn – xn) nunca será la unidad.

(zn – xn) ≥ 3

(zn – xn) ≠ 1

z2n ≠ x2n + y2n para todo n>1

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V) El caso 3

El denominado “caso 3 “ del UTF también se puede representar como un rectángulo triángulo.

Por descontado, si y es primo entonces puede formar un triángulo (no pitagórico, en este caso) pero igualmente coherente con lo anteriormente expuesto.

y3= z2-x2 = (z+x)2 (z-x)2 = y3 * 12

z=x+1

Y si y es un número impar compuesto, también cumple de similar manera a lo expuesto en el punto III. Ejemplos: 27 = 1 * 27 = (z-x)(z+x) ; z=x+1; 27=2x+1 ; x=13; z= 14 27 = 142 - 132 153 = 1 *153= (z-x)(z+x) ; z= 1+x; 3.375=1+2x ; x =1687 ; z =1688 153 = 33*53= (z-x)(z+x) ; z= 27+x; 125=27+2x ; x =49 ; z =76

Por otra parte, el caso 3 del UTF nos plantea que si existe la igualdad y3= z3-x3

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y3 = (z√z)2 - (x√x)2

y debería permitir la igualdad según lo expresado en IV

y3 = 1 * y3 = ( z√z - x√x) ( z√z + x√x)

pero si igualamos la diferencia con la unidad tenemos que

( z√z - x√x) = 1 √z = (1 + x√x) / z z = (1 + x√x) 2 / z 2

z3 = 1 +2x√x + x3

Dado que ningún número natural puede ser la suma de otro dos más uno irracional, concluimos que

( z√z - x√x) ≠ 1 (1)

y de ahí que

z3 ≠ y3 + x3

También se puede argüir de otra manera. Si se diera el caso de una solución

y3= z3-x3

también debería expresarse como el producto de dos factores tal que:

y3= (z-x)(z2+zx+x2)

pero como hemos indicado en (III,1), todas y cada una de las combinaciones de dos factores tal que

y3 = pq

corresponden a la diferencia de dos cuadrados por lo que no pueden existir dos combinaciones de factores que igualen la descomposición de la diferencia de dos cubos:

y3= pq ≠ (z-x)(z2+zx+x2) (2)

de donde una vez más se demuestra que

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VI) El resto de casos impares

La misma solución la podemos aplicar a cualquier potencia impar, pues tendríamos triángulos pitagóricos tales que

La Figura 5 implicaría

y2n-1= 1 * y2n-1 = ( zn√z - xn√x) ( zn√z + xn√x)

pero dado que todo

( zn√z - xn√x) ≠ 1

por el mismo razonamiento que el expresado en el caso 3 (véase V,1) concluimos que

z2n-1 ≠ y2n-1 +x2n-1

e igualmente podemos aplicar de manera análoga el razonamiento en (V,2) De todo lo expuesto, se concluiría que

zn ≠ yn + xn para todo n>2

jorgekarras@yahoo.es

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