2 5 = = 4 Øº. a b = b a.

(1)

Capítulo 2

Estru turas Algebrai as

tode lina, uandodejademostrarloqueéles apaz

deha er.Eltalentoestambiénunadorno;yunadorno

estambiénunes ondrijo.

Másalládelbienydelmal,Federi oNietzs he.

Eneste apítulopresentamoslasestru turasalgebrai asbási asquese

pue-den onstruir onun onjuntoyunaopera iónbinaria.Empezamosdeniendo

qué esuna opera iónbinariay mostrando que lamisma sepuede representar

onunatablasiel onjuntosobreelqueestádenidaesnito.Luegodenimos

laestru turaalgebrai amáselemental:elgrupoideun onjuntojunto onuna

opera iónbinaria denida sobre el onjuntoAl imponer iertas propiedades

sobre laopera iónbinariaobtenemosestru turasmás omplejas omoel

semi-grupo,elmonoide yporúltimoelgrupo.Finalmente,presentamosel on epto

dehomomorsmoquenospermitirá ompararestru turasysubestru turas

al-gebrai as.

2.1. Opera ión Binaria

Deni ión 2.1(Opera iónBinaria) Dadoun onjuntono va ío

A

una ope-ra ión binaria sobre

A

esunafun ión

µ

: A × A → A

Esimportantequeseentiendaqueunaopera iónbinariaesunafun ión.

(Cuan-do digamos fun ión debe entenderse total; un sinónimo puede serapli a ión.)

Porlotanto adaelementode

A

× A

debetenerexa tamenteunaimagenen

A

. Si estoo urre diremosquelaopera iónestábien denida.

Nota ión:Paradenotaralaimagenmediantelaopera ión

µ

delpar

< a, b >

, enlugar dees ribir

µ(< a, b >)

sees ribe

a µ b

.Paradenotaralasopera iones enlugardeusarunaletrasesuelenusarsímbolos omo:

∗

,

·

,

+

,

−

,

∩

,

∪

,

◦

,

∧

,

∨

,

⊕

,

⊗

.En iertaso asiones, omo eldelamultipli a iónen

Z

,por omodidad, seomiteelsímbolo:

ab

signi a

a

· b

.

Alerta:Puestoqueestadeni ióneslabasedetodaslasestru turasalgebrai as

y por onsiguiente del álgebra es importante que la misma quede bien lara

(2)

Ejemplo2.1

1. Sobreel onjunto delosnúmerosnaturales

IN

denimoslaopera ión bi-naria de

∗ : IN × IN → IN

omo

a

∗ b = m´ax (a, b)

, donde

m´ax

ha e referen ia ala rela iónde orden

≤

denida sobre el onjunto de los nú-meros naturales. Esta opera iónestá bien denida, porque todo par de

números naturales es omparablemediante

≤

. A todo par de elementos de

IN

seleaso iaunúni oelementode

IN

:elmayordelosdos.Ejemplo:

2 ∗ 5 = 5

,

4 ∗ 4 = 4

,et .

Nótesequenoo urre lomismosi

m´ax

sereerealarela iónde divisibi-lidad porque, por ejemplo,

26 | 3

y

36 | 2

, yen onse uen ia

m´ax (2, 3)

no existe.

2. Lasumasobreel onjuntodelosnúmerosenterosesunaopera iónbinaria,

pronoloessobreelsub- onjuntodeenteros

A

= {−1, 0, 1}

,pues

1+1 6∈ A

. 3. Sobre

Z a

∗ b = (a + b) − 2

,donde

+

y

−

sonlasumayrestausualessobre el onjunto de losenteros. Este es un ejemplo de una opera ión binaria

denida enbaseaotrasopera ionespreviamentedenidas.

4. Larestaesunaopera iónbinariasobreel onjuntodelosnúmerosenteros

pero no lo es sobre el onjunto de los enteros positivos. Justique esta

arma ión.

5. El mínimo omúnmúltiploy elmáximo omúndivisorsonambas

opera- iones binarias sobreel onjunto de losenterospositivos.Justique esta

arma ión.¾Losonsobreel onjuntodelosdivisorespositivosde30?¾Y

sobre el onjunto delosenterospositivosmenores oigualesque30?

6. sobre el onjunto de losnúmerosenterosno negativosdenimoslas

ope-ra iónelprimero onelsímbolo

∗

y onlasiguienteregla:

a

∗ b = a

.La opera iónelprimero estábiendenida.¾Porqué?Porejemplo:

2 ∗ 5 = 2

y

5 ∗ 2 = 5

.

7. A ontinua ión denimos una opera ión binaria exhibiendo el onjunto

A

= {1, 2}

ylosparesquepertene enalaopera ión:

1 ∗ 1 = 1

,

1 ∗ 2 = 2

,

2 ∗ 1 = 1

y

2 ∗ 2 = 1

.Noteque

∗

estábien denida.

Enlaopera ióndenidaenlaparte1.delejemploanteriorsetieneque

2 ∗ 5 = 5

y que

5 ∗ 2 = 5

, lo mismo o urre para ualquier par

a, b

∈ IN

puesto que elmayorde dosnúmerosnosealteraal ambiarde orden.Diremosque

2

y

5

onmutanmedianteestaopera iónysitodopardeelemento onmutan,diremos

quelaopera iónes onmutativa.Nótesequenoo urrelomismoenlaopera ión

denidaenlaparte7.:

1 ∗ 2 = 2

mientrasque

2 ∗ 1 = 1

.

Deni ión2.2 (Opera iónBinaria Conmutativa) Unaopera ión binaria

◦

sobre

A

se di eque es onmutativasi paratodopar

a, b

de elementosde

A

se umple que

(3)

Ejer i io 2.1 Muestre uáles delas opera ionesbinariasdenidas enel

ejem-plo anteriorsonono onmutativas.

Unaopera iónbinariasobre

A

asigna omosunombrelodi ea adaparde elementosde

A

unúni oelementode

A

.Siquisiéramosasignarleaunaternade elementosde

A

omo,porejemplo,

< a, b, c >

unelementode

A

tendremosdos formas: aso iamos

a, b

, esto es,efe tuamos el produ to

a

∗ b

y luegohallamos

(a ∗ b) ∗ c

, o hallamos

b

∗ c

y luego

a

∗ (b ∗ c)

. Observeque hemos onservado el ordendeloselementosen laternanolos onmutamospuesno sabemossi

∗

es onmutativa. En general,los elementos

(a ∗ b) ∗ c

y

a

∗ (b ∗ c)

no tienen porqueseriguales.Sisonigualesdiremosquelaternasepuedeaso iarysitoda

terna se puede aso iar diremos que la opera ión es aso iativa. La on lusión

es que uando queremos efe tuar adenasde opera iones tenemos que indi ar

el orden enque deben efe tuarsedi has opera iones amenos que sepamos de

antemanoquelaopera iónesaso iativa.Porejemplo,elprodu todela

4

-tupla

< a, b, c, d >

sepuedeefe tuardelassiguientesformas

(a∗b)∗(c∗d)

,

a

∗(b∗(c∗d))

,

a

_{∗ ((b ∗ c) ∗ d)}

,

((a ∗ b) ∗ c) ∗ d

y

(a ∗ (b ∗ c)) ∗ d

.

Deni ión 2.3(Opera iónBinaria Aso iativa) Una opera ión binaria

◦

sobre

A

se di e que es aso iativa si paratoda terna

a, b, c

de elementosde

A

se umple que

(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

Ejer i io 2.2 Muestre uáles delas opera ionesbinariasdenidas enel

ejem-plo anteriorsonono aso iativas.

2.1.1. Tabla de una Opera ión

Dadaunaopera iónbinaria

∗

sobreun onjuntonito

A

,sepuede onstruir unatabla que ontengaelvalorde

a

∗ b

para adapardeelementosde

A

dela siguientemanera:

(i −

ésimoelementodelaizquierda

) ∗ (j −

ésimoelementodel tope

) =

entradaenla

i

−

ésimalay

j

−

ésima olumnadelatabla

Unejemplodeellosemuestraenlasiguientetablaquerepresentaunaopera ión

binaria

∗

sobreel onjunto

{a, b, c}

.Delatablasetiene,porejemplo,que

a

∗c =

* a b

a b a b

b a b a

a b

Cuadro2.1: EjemplodeunaTabladeunaOpera iónBinaria

b

,

c

∗ a = c

,yque

b

∗ b = b

.Lastablas sonmuyútilesparaexpresardemanera resumida una opera iónbinaria. Otrosejemplos deopera ionesbinarias sobre

(4)

∗

1

a b a a b b b a a b

∗

2

a b a a a b a a b

∗

3

a b a a b b a b a b

Cuadro2.2:OtrosEjemplosdeOpera ionesBinarias

Sobreun onjunto ontreselementossepueden onstruir

3

9

tablasdiferentes

el elemento que o upa ada asilla se puede elegir de tres formasdiferentes y

haynueve asillas.

La tabla de una opera ión binaria es simétri a on respe toa la diagonal

prin ipal siysólo silaopera iónes onmutativa.Esta arma iónnospermite

de idirobservandolatablasiunaopera iónes onmutativa;osisabemosquela

opera iónes onmutativanosfa ilitaelpro esode onstru ióndelatabla de

laopera ión,pues sólotenemos que al ularalgomásdelamitad delatabla.

Nohayunareglasimilarpara hequearaso iatividad.

Ejemplo2.2

La opera ión binaria de la tabla 2.2 es onmutativala tabla essimétri a,

peronoesaso iativaporque,porejemplo,

(1+1)+(−1) = 1+(−1) = 0

mientras que

1 + (1 + (−1)) = 1 + 0 = 1

.

* -1 0 1

-1 -1 -1 0

0 -1 0 1

1 0 1 1

Cuadro2.3:UnaOpera iónBinarianoAso iativa

Ejer i io 2.3 ¾Qué puede de ir de la onmutatividady de la aso iatividad de

las opera ionesbinarias denidasen la tabla2.2?

2.2. ¾Qué es un Grupoide?

Lamáselementaldelasestru turasalgebrai as onsistesólodeun onjunto

base

G

yunaopera iónbinariasobredi ho onjunto.A ontinua ión presenta-mossudeni ión.

Deni ión2.4 (Grupoide) Ungrupoideesun onjunto

G

junto onuna ope-ra iónbinariadenida sobre

G

.Formalmenteesunparordenado

hG, ∗i

. Es muyimportante queseentiendaque ungrupoideesunparordenado uya

primera oordenadaesun onjunto

G

y uyasegunda oordenadaesuna ope-ra iónbinariadenidasobredi ho onjunto

G

.Esto es,elgrupoide

U = hG, ∗i

no esel onjunto

G

sino elpar

U

. Sin embargo,porsimpli idad dela

(5)

exposi-suelede ir:el grupoide

G

;elle tordebeestarprevenido ontra esteabusodel lenguaje.Al onjunto

G

del grupoidesele suelellamar onjunto subya ente y al número de elementos de di ho onjunto se denomina el orden del

grupoi-de yserepresentapor

|G|

.Esto permiteha er unaprimera lasi a ióndelos grupoidesennitoseinnitos.

Sub-grupoides

A ontinua ióndaremoslabaseparadenirsub-estru turasdeuna

estru tu-radada.Unasub-estru tura

S

deunaestru tura

E

es,engeneral,unaestru tura uyaprimera oordenadaesunsub onjuntonova íodelaprimera oordenada

delaestru tura

E

y uyasegunda oordenadaesunarestri ióndelasegunda oordenadadelaestru turaalaprimera oordenadadelasub-estru tura.

Deni ión 2.5(Conjunto Cerrado Bajo una Opera ión) Dado un

gru-poide

hG, ∗i

yunsub onjunto

H

de

G

de imosqueel onjunto

H

es erradobajo la opera ión delgrupoide siparatodopar

h

1

, h

2

∈ H

setieneque

h

1

∗ h

2

∈ H

, estoes, si

∗|

H×H

es unafun ión de

H

× H

en

H

.

Endi ho aso

hH, ∗|

H×H

i

esensíungrupoidequeporsimpli idad denota-mos omo

hH, ∗i

yde imosque

hH, ∗i

esunsubgrupoidede

hG, ∗i

.

Deni ión 2.6(Sub-grupoide) Dado un grupoide

hG, ∗i

se di e que

hS, ∗i

es unsub-grupoide de

hG, ∗i

, y seabrevia

S

es sub-grupoide de

G

,si y sólo si

hS, ∗i

esungrupoide onla mismaopera ión de

G

.

Ejemplo 2.3

En el primer grupoide de la tabla 2.4 se observa que los onjuntos

{a}

,

{d}

,

{a, b} {a, d}

y

{a, b, c}

son errados onrespe toalaopera ión

∗

1

.¾Cuálesson errados on respe toalaopera ión

∗

2

?

∗

1

a b d a a b d b b a b a d d a d

∗

2

a b d a a b d b b a d d a b d d b a Cuadro2.4:Sub-grupoides

Ejer i io 2.4 Halle todos los sub-grupoidesde los grupoide dados porlas

ope-ra ionesbinarias de latabla 2.2.

El objetivodelaspróximasse ionesserádividiry onquistar.A laramos:

(6)

2.3. Tipos de Grupoides

El grupoide es una estru tura muy general. Para poder ha er un estudio

sistemáti o de los grupoideses ne esario que los lasiquemos en base a que

poseanono iertaspropiedadesestru turales omolaaso iatividad,la

onmu-tatividad,yotrasquemen ionaremosluego.

2.3.1. Semigrupo

De todas las posibles opera iones binariasque sepueden formar sobre un

onjuntosóloalgunassonaso iativas.Si laopera iónbinariadeungrupoidees

aso iativasedi equeelgrupoideesaso iativoysellamasemigrupo

Alerta: Algunos de loselementos de

G

pueden satisfa erlapropiedad aso- iativa y el grupoide puede no ser aso iativo. Toda terna debe satisfa er la

propiedadparaqueseaaso iativo.A ontinua ión seresaltaladeni ión.

Deni ión2.7 (Semigrupo) Unsemigrupoesungrupoideenelquela

opera- iónbinariaesaso iativa, estoes, un onjuntojunto onunaopera iónbinaria

aso iativa.

Una onse uen iaimportantedelaaso iatividaddelaopera iónbinariadeun

grupiode

hG, ∗i

esquesisetienequemultipli ar

n

elementosde

G

,noimporta uálessemultipliquenprimerosiserespetaelordendeapari ióndeloselementos

y semultipliquen en adapaso dos onse utivos.Porejemplo, todaslas in o

formasdemultipli arloselementos

a

1

, a

2

, a

3

, a

4

danelmismovalor:

((a

1 ∗a

2 )∗a

3 )∗a

4 = (a

1 ∗a

2 )∗(a

3 ∗a

4 ) = (a

1 ∗

(a

2 ∗a

3 ))∗a

4 = a

1 ∗

((a

2 ∗a

3 )∗a

4 ) = a

1 ∗

(a

2 ∗

(a

3 ∗a

4 ))

Porlotanto,enelmomentodeefe tuarunprodu tounopuedeempezar

mul-tipli ando los términos onse utivos que permitan evaluar más fá ilmente la

expresión.Laprimera igualdaddelaexpresión esverdaderaporque

a

1

∗ a

2

es unelementode

G

y

∗

esaso iativa.Lasdemásigualdadessepruebandemanera similar apli ando unao másve eslapropiedad aso iativaa treselementos de

G

.Estoseformalizaenelsiguienteteorema.

Teorema 2.1 Si

hG, ∗i

esungrupoideaso iativo, enton esdosprodu tos ua-lesquiera de los elementos

a

1

, a

2

, . . . , a

n

de

G

son iguales si di hos elementos apare en enelmismoorden en adaprodu to.

En base a este teorema si en un semigrupo se da el orden de los elementos

de un produ toes inne esarioel uso de paréntesis.Porlo tanto, es ribiremos

solamente

a

1

a

2

· · · a

n

, sinparéntesis,para indi arelprodu todeloselementos de

{a

1

, a

2

, . . . , a

n

}

en ese orden. En parti ular, si

n

es un entero positivo y

a

es un elemento de

G

en el semigrupo

hG, ·i

, para indi ar el produ to de

a

porsi mismo

n

ve es seusa la expresión

a

n

, esto es,

a

n

=

n

veces

z

}|

{

a

_{· a · · · a}

. Si es el

grupoide

hG, +i

sesueleusar

na

=

n

veces

z

}|

{

a

_{+ a + · · · + a}

.Setiene que

a

m

a

n

= a

m

+n

y

(a

m

)

n

= a

mn

(7)

∗

1

a b a b a b a b a b

∗

2

a b a a a b a b b a

∗

3

a b a b b a b b b b

Cuadro2.5:EjemplodeGrupoideAso iativo

De los tres grupoide de la gura 2.5 el primero es un semigrupo pero los

otros dos no. Chequeelo. El primero y el último son onmutativos.En el

pri-mero se pude usarla nota ión de poten ia. Porejemplo,

a

4

₌

,

b

3

₌

y

c

4

₌

.

Peroen losotrosdosnosepuede usarestanota ión: enlasegundatabla sise

omputa

(a ∗

2

a

) ∗

2

a

= c ∗

2

a

= b

mientrasque

a

∗

2

(a ∗

2

a

) = a ∗

2

c

= a

.Note queestonoes onse uen ia delano onmutatividaddeestaopera iónporque

uando en la ter era tabla, que es onmutativa, se omputa

b

4

se tienen dos

valoresdistintosdependiendodelaformadeaso iar:

b

4

_{= b}

2

_∗

3

b

2

= a ∗

3

a

= c

o

b

4

_{= b}

3

_∗

3

b

= c ∗

3

b

= b

lo ualesunain onsisten ia.

Si un grupoide es un semigrupo, enton es todos sus subgrupiodes son

se-migrupos, porque la aso iatividad la heredandel grupoide,esto es,para toda

terna

a, b, c

enelsubgrupoidesetieneque

a

∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c

porque

a, b, c

son elementos del semigrupoy toda ternade elementos del semigrupo umple

ondi hapropiedad.

2.3.2. Grupoide Conmutativo

Deni ión 2.8(GrupoideConmutativo) Un grupoide onmutativo es un

grupoide en el que la opera ión binaria es onmutativa. Esto es, el grupoide

hG, ∗i

es onmutativosiysólo siparatodo

a, b

∈ G

setieneque

a

∗ b = b ∗ a

.

Ejer i io 2.5 Construyatodaslastablasdelosgrupoidesquesepuedenformar

a partir del onjunto

A

= {a, b}

y diga uáles son onmutativas.¾Cuántas de estas tablas orresponden a opera iones aso iativas? ¾Cuántos grupoides

on-mutativos sepuedenha er sobreun onjunto on

n

elementos?

Si ungrupoideesaso iativoy onmutativosedi equeesunsemigrupo

on-mutativo.Ejemplodegrupoideno onmutativoynoaso iativoeselgrupoide

delosenteros onlaopera iónsustra ión.Déotrosejemplos.

Ejer i io 2.6 Demuestrequesiungrupoidees onmutativo,todos sus

subgru-poidesson onmutativos.

2.3.3. Neutros y Monoides

Si enun grupoideexiste unelemento

e

onlapropiedad deque paratodo elemento

a

∈ A

se umple que

a

◦ e = e ◦ a = a

sedi equedi hoelementoes

(8)

Por ejemplo, en el grupoide

hZ, +i

el ero es el neutro porque para todo

n

_{∈ Z}

setieneque

n

+ 0 = 0 + n = n

yen

hZ, ·i

esel

1

.

Teorema 2.2 Elelementoneutrode ungrupoide, siexiste,es úni o.

Prueba: Porabsurdo,supongamosque

e

y

e

′

sonelementosneutrosdistintos

delgrupoide

hG, ∗i

.Como

e

esneutrosetieneque

e

∗e

′

= e

′

,y omo

e

′

esneutro setieneque

e

∗ e

′

= e

.Estoesuna ontradi iónpues,porser

∗

unaopera ión binaria,laimagende

e

∗ e

′

esúni a. En onse uen ia

e

= e

′

.

2

Si unelemento

e

i

deungrupoide

hG, ∗i

umple que

∀g ∈ G(e

i

∗ g = g)

sedi e que

e

i

esunneutro a izquierdade

G

,ysiunelemento

e

d

delgrupoide

hG, ∗i

umpleque

∀g ∈ G(g ∗ e

d

= g)

sedi eque

e

d

esunneutro a dere hade

G

.

∗

1

a b a a a a b a b b a

∗

2

a b a a a b b b b a

∗

3

a b a a a a b a b a b

Cuadro2.6: NeutrosyelementosAbsorbentes

Enlaprimeratabladelatabla2.6elelememto

b

esunneutro,enlasegunda

a

y

c

sonneutrosadere hayenlater eratabla

b

esneutro aizquierda.

Teorema 2.3 Si

hG, ∗i

es ungrupoide,

e

i

esun neutroaizquierda de

G

y

e

d

esunneutroadere ha de

G

,enton es

e

i

= e

d

.

Prueba: Como

e

d

esneutro adere hade

G

setiene que

∀g ∈ G(g ∗ e

d

= g)

, en parti ular,

e

i

∗ e

d

= e

i

y omo

e

i

es neutro a izquierdade

G

se tiene que

∀g ∈ G(e

i

∗ g = g)

, enparti ular,

e

i

∗ e

d

= e

d

.Luego omo

∗

esunaopera ión binariatodopartieneunaúni aimagenporlotanto

e

i

= e

d

2

Una onse uen ia inmediata de este teorema es que si un grupoide tiene

neutroadere hayneutroaizquierda,enton estieneneutro.

Ejer i io 2.7 Demuestre que si ungrupoide tiene dos neutrosa dere ha,

en-ton esno es onmutativo.

Siunelemento

a

d

deungrupoide

hG, ∗i

umpleque

∀g ∈ G(g ∗ a

d

= a

d

)

sedi e que

a

d

es unabsorbente a dere ha de

G

, ysi un elemento

a

i

del grupoide

hG, ∗i

umple que

∀g ∈ G(a

i

∗ g = a

i

)

se di e que

a

i

es un absorbente a izquierdade

G

. Si unelemento esabsorbente aizquierdayadere hasedi e queesunabsorbente.Enlaprimeratabladelagura2.6elelememto

a

esun absorbenteaizquierda,enlasegunda

b

esabsorbenteaizquiedayenlater eraa

a

esunabsorbente.

Siunsemigrupotieneneutrosesueledenominarmonoide.Observequeun

monoidedebe serunsemigruposeraso iativoy tener neutro.Note que un

(9)

Deni ión 2.9(Monoide) Unmonoideesunsemigrupo onelementoneutro

oequivalentemente ungrupoide aso iativo onelementoneutro.

El le torpuede omprobar que mu hos de los grupoides que hemos

presenta-dos son monoides. Ejemplos son

hIN , +i

,

hZ, ·i

,

hZ

−

∪ {0}, ·i

. A ontinua ión mostraremosel asomásimportantedelosmonoidesqueestudiaremos.

Sea

X

un onjuntonova íoysea

X

el onjuntodelasapli a ionesde

X

en

X

.Denimos

M

X

= hX

X

,

_◦i

,donde

◦

esla omposi ióndeapli a iones.

Ejer i io 2.8 Demostrarque

M

X

esungrupoideaso iativo onelemento neu-tro.(Unmonoide)

Más adelante mostraremosque todo monoidees equivalente aun submonoide

de

M

X

paraalgún

X

.

Un monoide puede tener subgrupiodes, si un subgrupoide de un monoide

ontieneel neutro,enton es es unsubmonoide. Alerta: el neutro de la

subes-tru tura debe ser el mismo que el de la estru tura. Puede darse el aso que

un monoidetenga omo subgrupoideunmonoide quetengaun neutro queno

seaeldelmonoideoriginal.Endi ho asodi homonoidenoessubmonoidedel

original. Construyaunejemplo dondeo urraesto.

Ejer i io 2.9 Darunejemplo deunmonoideque ontengaunsubgrupoideque

no seaunmonoide. Considereel aso nitoy elinnito.

2.3.4. Inversos y Grupos

Deni ión 2.10(Inverso) Dadounelemento

a

deungrupoide onelemento neutro

e

,siexiste

a

′

∈ A

tal que

a

◦ a

′

= a

′

◦ a = e

sedi eque

a

′

esuninverso de

a

.

Tambiénsedeneinversoa dere haeinverso aizquierdarespe tivamente

omosigue:

a

′

esinversoadere hade

a

siysólosi

a

∗ a

′

= e

y

a

′′

esinversoa izquierdade

a

siysólosi

a

′′

∗ a = e

.Está laroquesi

a

esinversoadere hade

b

,enton es

b

esinversoaizquierdade

a

.

Alerta:Paraquetengasentidohablardeinversodeunelemento,elgrupoide

tiene que tener un elemento neutro. Además, en un grupoide on neutro no

ne esariamentetodosloselementostienenuninverso.Aloselementosquetienen

inversoselesdenominaelementosinvertibles.

Teorema 2.4 Enunmonoideelinversode unelemento,siexiste, esúni o.

Ejer i io 2.10 Pruebe el teorema anteriory onstruya ungrupoide en el que

haya unelemento ondos inversos.

Teorema 2.5 Enelmonoide

M

X

= hX

X

(10)

jus-Una onse uen ia de la aso iatividad es la siguiente proposi ión que se deja

omoejer i io.

Ejer i io 2.11 Demuestrequeenunmonoide, siunelementotieneinverso,el

mismoesúni o.

∗

1

a b d a a b d b b a d d d b d d a b a

∗

2

a b d a a b d b b a a a a d d d d b

∗

3

a b d a a b d b b a d d a b d d b a

Cuadro2.7:InversosenGrupoides

En la primera tabla de 2.7

b

es inverso a izquierdade

c

y

c

y

c

es inverso a dere ha de

b

;

d

es inverso a izquierda de

b

y es su propio inverso;

a

por ser neutroessupropioinverso.En laSegundatabla

b

tiene dosinversosqueson

b

y

c

,

c

tienelosmismos dosinversos y

d

notiene inverso.Y enlater eratabla adaelemento esinversodesímismo.

Deni ión2.11(Idempoten ia) En un grupoide un elemento

a

se llama idempotentesiy sólosi

a

∗ a = a

.

Elneutroesunelementoidempotente,tambiénsonidempotentesloselementos

absorbentesadere haoaizquierda,losneutrosaizquierdaoadere ha.En2.8

todosloselementosdel primer grupoidesonedempotente,enel segundosólo

b

esidempotenteyenter ero

a

y

b

sonidempotentes.

∗

1

a b d a a b d b b b d a d a d d a a d

∗

2

a b d a b a d b a b d d a b d d b b

∗

3

a b d a a a a a b d b a b a d d d b a

Cuadro2.8: Elementos Idempotentes

Finalmentedeniremosunaestru turaenlaquelaopera iónbinariasea

aso- iativa,hayaunelementoneutroytodoelementotengauninverso.presentamos

dosdeni ionesequivalentes.

Deni ión2.12(Grupo) Un grupo es un monoide en el quetodo elemento

tieneinverso.

Deni ión2.13(Grupo) Un grupo

hG, ∗i

es un onjunto

G

junto on una opera iónbinaria sobre

G

,tal quesatisfa en los siguientes ondi iones:

(11)

G

2

Existeunelemento

e

en

G

tal queparatodo

x

∈ G(x ∗ e = e ∗ x = x)

.

G

3

Para adaelemento

g

∈ G

existe unelemento

g

−

1

_{∈ G}

tal que

g

∗ g

−

1

₌

g

−

1

_{∗ g = e}

.

La opera ióndeungruponotieneporqueser onmutativa;deserlo algrupo

se le denomina onmutativoo abeliano en honor almatemáti o noruego Niel

Abel.Esta estru turaseestudiará onmayordetalleenelpróximo apítulo.

2.4. Homomorsmos

A ontinua ión presentaremos lano ión de homomorsmo.Esta no iónes

muy importante paralasmatemáti as yapare eráposteriormenteenotras

es-tru turas más omplejas que estudiaremosmás adelante en este libro. Es por

ellomenesterdiferen iarsobre quétipodeestru turaseestádeniendo.

Homomorsmos de Grupoides

Deni ión 2.14(Homomorsmo) Unhomomorsmo deungrupoide

hG, ∗i

aungrupoide

hG

′

,

·i

esuna fun ión

φ

: G → G

′

tal queparatodo

g

1

, g

2

∈ G

φ(g

1

∗ g

2

) = φ(g

1

) · φ(g

2

)

Si

φ

essobreye tivaelhomomorsmosedenominaepimorsmo,siesinye tiva sellamamonomorsmoysiesbiye tivasedenominaisomorsmo.

Teorema 2.6 Si

φ

es un epimorsmo del grupoide

hG, ∗i

al grupoide

hG

′

,

_·i

, enton es

(a) Si

G

es un grupoide on elementoneutro

e

, enton es

G

′

también lo es y

φ(e)

essuelementoneutro.

(b)Si

g

′

∈ G

esinversode

g

∈ G

,enton es

φ(g

′

)

esinversode

φ(g)

en

G

′

. ( )Si

G

esabeliano, enton es

G

′

tambiénlo es

Prueba: (a) Como por hipótesis

G

′

esun grupoide, tenemos queprobar

so-lamente que

φ(e)

esneutrode

G

′

.Sea

y

∈ G

′

, omo

φ

essobreye tivasetiene queexiste

x

∈ G

talque

φ(x) = y

,luego

φ

(x) = φ(x ∗ e) = φ(x) · φ(e)

.Hemos probado que

y

= y · φ(e)

.De manera análogase pruebaque

y

= φ(e) · y

y en onse uen ia

φ(e)

es,enefe to,elneutrode

G

′

. (b) Sea

x

∈ G

y

x

′

∈ G

su inverso. Luego,

x

∗ x

′

= x

′

∗ x = e

lo ual impli a que

φ

(e) = φ(x ∗ x

′

) = φ(x) · φ(x

′

)

yque

φ(e) = φ(x

′

∗ x) = φ(x

′

) · φ(x)

.Porlo tanto

φ

(x) · φ(x

′

) = φ(x

′

) · φ(x) = φ(e)

. ( ) Sean

u, w

∈ G

′

, omo

φ

essobreye tivaexisten

x, y

∈ G

talesque

φ(x) = u

y

φ(y) = w

, omo

G

es onmutativosetieneque

x

∗ y = y ∗ x

ypor onsiguiente

φ

_{(x ∗ y) = φ(y ∗ x)}

, pero por otrolado omo

φ

esun homomorsmo setiene que

φ

(x ∗ y) = φ(x) · φ(y)

y

φ

(y ∗ x) = φ(y) · φ(x)

, de donde on luimosque

(12)

φ

_{(x) · φ(y) = φ(y) · φ(x)}

, estoes,que

u

· w = w · u

.

2

Este teorema estable e que la imagen de un homomorsmo onserva iertas

propiedades estru turales del grupoide original. La aso iatividad también se

preservaenunhomomorsmo.Ellosedeja omoejer i io.

Ejer i io 2.12 Demuestre que si

φ

hG, ∗i

al grupoide

hG

′

,

·i

,enton esse tienequesi

G

es semigrupo, enton es

G

′

también

lo es

Corolario 2.7 Si

φ

hG, ∗i

al grupoide

hG

′

,

·i

, enton es

(a) Si

G

esmonoide, enton es

G

′

también lo es (b) Si

G

es grupo,enton es

G

′

también lo es Homomorsmos de Grupos

Deni ión2.15(Homomorsmo) Un homomorsmo de un grupo

hG, ∗i

a ungrupo

hG

′

,

·i

esunafun ión

φ

: G → G

′

talque

∀g

1

, g

2

∈ G

φ(g

1

∗ g

2

) = φ(g

1

) · φ(g

2

)

Deni ión2.16(Kernel de unHomomorsmo) Dado un homomorsmo

entredos grupoides

hG, ∗i

y

hG

′

,

_∗

′

i

on elementosneutros

e

y

e

′

,el kerneldel

homomorsmo

φ

esel onjuntode elementos de

G

uya imagen es

e

′

,estoes,

ker (φ) = {g ∈ G : φ(g) = e

′

}

Deni ión2.17 Dada una fun ión

φ

: A → B

y un sub onjunto

S

de

A

se llamaimagende

S

mediante

φ

ysedenotapor

φ(S)

al onjuntodeloselementos de

B

quesonimágenesde algúnelementode

S

,estoes,

φ

(S) = {x ∈ B : (∃a ∈

S

)(φ(a) = x)}

Deni ión2.18(Imagen de un Homomorsmo) Dadounhomomorsmo

φ

: G → G

′

sedenomina imagendel homomorsmoalaimagen del onjunto

G

medianteelhomomorsmo;essimplementelaimagende

G

mediantelafun ión

φ

,quesedenota omo

φ(G)

.

Ejer i io 2.13 Si

φ

esunhomomorsmoentrelossemigrupos

hG, ∗i

y

hG‘, ∗‘i

onneutros

e

y

e‘

respe tivamente,enton es

φ

esunmonomorsmo siy sólosi

ker (φ) = {e}

Teorema 2.8 (Cayley) Todo semi-grupo on elemento neutro es isomorfo a

unsub-semi-grupodeun

M

X

paraalgún

X

.(Si

S

esunmonoide,enton esexiste unmonomorsmode

S

en

M

S

)

(13)

2.5. Ejer i ios

1. Determine uálesdelassiguientesopera iones binariasdenidasa

onti-nua iónson onmutativasy uálessonaso iativas.

a) Sobre

Z

+

,dena

∗

por:

a

∗ b = a

b

b) Sobre

Z

+

,dena

∗

por:

a

∗ b = ab + 1

) Sobre

Q

,dena

∗

por:

a

∗ b = a − b

d) Sobre

Z

+

dena

∗

por

a

∗ b = 2

a+b

e) Sobre

Z

,dena

∗

por:

a

∗ b = a + 2b

2. Demuestrequeparatodo onjunto

A

,setienequelasopera ionesdeunión e interse ión de onjuntos son opera iones binarias sobre