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CAPITULO V: ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN.

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CAPITULO V: ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN.

5. 1. PROBLEMAS HOMOGÉNEOS Y EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.

5.1.1. El MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.

Entendemos por Problemas Homogéneos a aquellos en la tanto la EDP como las condiciones de contorno, son homogéneos. Por simplicidad, aplicaremos el método de separación de variables o método de Fourier a una ecuación del tipo parabólico.

Sea u =u(x, t) la función incógnita en una EDP cualquiera, digamos

(1) ut = uxx.

El método de separación de variables consiste en suponer que u(x, t) es el producto de dos funciones que sólo dependen de una variable cada una de ellas, es decir;

(2) u(x, t)=X(x)T(t).

Luego, ut = X(x)T’(t) y uxx = X”(x)T(t). Sustituyendo en (1), obtenemos

(3) XT’ = X”T ⇒ T T X X ' " = .

Derivando con respecto a t esta última igualdad, resulta: ∂ ∂t T T ( ')= 0 . Si T ´ T

es una función que sólo depende de x, entonces una solución de la expresión anterior será: T

T x

' ( )

= ϕ , pero esto contradice la hipótesis que la función T sólo depende de t.

Análogamente, si derivamos con respecto a x, obtenemos: ∂ ∂x

X X

( ")= 0, y podemos escribir que ) t ( X " X ψ

= ; lo que también contradice la hipótesis que X sólo depende de x. Por lo tanto, la única posibilidad es que X " X = T ' T = constante, digamos, λ.

Esta constante λ se llama constante de separación y, como veremos, juega un rol fundamental en la resolución de EDP. Luego, escribimos: (4) T T X X ' " = = λ.

De (4) resultan dos ecuaciones diferenciales ordinarias

(5) T ’ - λT = 0

(6) X ”- λX = 0

(2)

(7) T(t)=A e-λt (8) X(x)=B1 e λx+ B2 e− λx Por lo tanto, la solución general será

(9) u(x, t)= e-λt[C1 e λx+ C2 e− λx ].

Observe que si elegimos la constante de separación positiva, λ=α2

, entonces la solución tiene la forma

(10) u(x, t)=eα2t[C e1 αx+C e2 − xα ],

]

y si la elegimos negativa, λ= -α2, entonces la solución tiene la forma (11) u(x, t)=e−α2t[C1cosαx+C2senαx

Esta última expresión, al contrario de (10), es acotada en un dominio abierto espacial y para cualquier t>0. En general, las soluciones de problemas reales son acotadas.

Consideremos ahora una EDP arbitraria en tres variables con constantes de separación negativas. Sea la EDP ut = (uxx + uyy) = X(x)Y(y)T(t). Reemplazando en la EDP, resulta:

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x X X y Y Y t T T ( ")=0 ; ( ")=0; ( ')= 0. Ponemos X X Y Y T T " ; " ' ( ) = −α2 = −β2 ⇒ = −α2+β2 , y así tenemos las EDOs:

X"+α2X=0 ; Y"+β2Y=0 ; T' (+ α2+β2)T=0 cuyas soluciones son

X x( )=B1cosαx B+ 2senαx ; Y y( )=C1cosβy+C2senβ ; Ty ( )t =Ae−(α β2+ 2)t. Por lo tanto, tenemos la solución acotada

u( , , )x y t =e−(α β2+ 2)t[B1*cosαx B+ 2* senαx C][ 1cosβy+C2senβy].

Con estos dos ejemplos podemos ver cómo el método de separación de variables transforma la EDP en dos o más EDOs. Este método permite resolver numerosas EDP; las más importantes de la Física-Matemática, definidas en dominios acotados.

Myint-U mostró que la EDP de segundo orden con coeficientes variables A(x, y)uxx+C(x, y)uyy+D(x, y)ux+E(x, y)uy+F(x, y)u = 0,

(3)

se puede resolver por el método de separación de variables, cuando un factor funcional convierte la nueva ecuación

) y , x ( 1 − φ

A(x, y)X”Y +C(x, y)X Y”+ D(x, y)X’Y + E(x, y)XY’+ F(x, y)XY = 0

a la ecuación de la forma

A(x)X”Y + B1(y)XY”+A2 (x)X’Y + B2(y)XY’+[A3(x)+B3(y)]XY = 0.

Finalmente, es difícil hallar reglas explícitas sobre la aplicabilidad de este método, puesto que influyen: el tipo de ecuación, el tipo de coordenadas y la forma de las condiciones auxiliares.

5.1.2. PROBLEMAS DE TIPO PARABÓLICO

PROPAGACIÓN UNIDIRECCIONAL DEL CALOR EN UN INTERVALO FINITO

A. BARRA CON EXTREMOS A TEMPERATURA FIJA

Consideremos una barra de longitud L térmicamente aislada lateralmente, y sometida a un baño de hielo a 0º C en los extremos. Suponiendo que inicialmente la barra tiene una distribución de temperatura f(x), se desea conocer la temperatura u(x, t) en la barra en un cierto instante t > 0 y en un punto x . es decir se desea resolver el PVC-I:

(12) EDP ut-c2uxx = 0 , 0< x < L, t >0 (13) CCH u(0, t) = 0 , t ≥ 0

u(L, t) = 0 , t ≥ 0 (14) CI u(x, 0) = f(x) , 0 ≤ x ≤ L

siendo f(x) función conocida, y donde la constante física c2 = ckρ, donde k = coeficiente de dilatación térmica, c = calor específico y ρ = densidad

Aplicando el método de separación de variables , sea u(x, t) = X(x)T(t). Reemplazando en (12), se obtiene : ) t ( T ) x ( " X c ) t ( T ) x ( X ′ = 2 de donde ) t ( T c ) t ( T ) x ( X ) x ( " X 2 ′ =

Luego existe una constante real λ, llamada constante de separación, tal que :

(15) X”(x) - λX(x) = 0

(16) T´(t) – c2λT(t) = 0

De las CCH, tenemos

u(0,t) = u(L, t) = 0 ⇒ X(0) = X(L) = 0, entonces podemos plantear el siguiente sistema de Sturm Liouville:

(4)

(17) X”(x) - λX(x) = 0

X(0) = 0

X(L) = 0

cuya solución general es :

(18) L x n sen ) x ( Xn = π (funciones propias) para los valores propios

(19) L n n π − = λ ; n∈IN.

Ahora, debemos hallar la nueva EDO para T(t); para ello reemplazando (19) en (16): 0 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + ′ T(t) L ct n ) t ( T

cuya solución general es :

(20) t L c n n n(t) C e T 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − = ; n∈IN

Así, para cada n ∈ IN las funciones un(x, t) = Xn(x)Tn(t) satisfacen la EDP (12) y las condiciones de fronteras (13).

Por el Principio de superposición, podemos hallar “una“ función que además de satisfacer (12) y (13) también satisfaga (14). En efecto, basta suponer una solución del tipo:

( )

∞ = = 1 n n x,t u ) t , x ( u es decir (21)

∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π = 1 2 n t L c n n L x n sen e C ) t , x ( u ,

donde las constantes Cn son arbitrarias, pero pueden calcularse fácilmente. En efecto, aplicando las condición inicial se obtiene

(22)

∞ = π = 1 n n L x n sen C ) x ( f .

Si f∈SC[0, L], entonces (21) puede interpretarse como el desarrollo en serie de Fourier de senos de f(x) en [0,L]. Así, para cada n∈IN , Cn corresponde a los coeficientes de Fourier de f(x) respecto al conjunto ortogonal ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ π L x n sen en SC[0,L] , es decir (23) =

π L n dx L x n sen ) x ( f L C 0 2

NOTA: Si f es una función continua en [0,L], tal que f(0) = f(L) = 0 y f’ existe en [0,L], entonces la expresión (10) define una función continua sobre la región R , donde R = {(x, t) / 0 < x <L, t > 0 }, que es una solución del PVC-I (11-14)

(5)

B. BARRA AISLADA TÉRMICAMENTE EN LOS EXTREMOS.

Extremos aislados implican que no existe flujo en dirección del vector normal unitario, que en este caso unidimensional, la derivada normal es derivada con respecto a x. Por esta razón, la derivada con respecto a la normal nu =±xu. Consideremos el PVC-I : ut - c2 uxx ,= 0, 0 < x < L , t > 0 ux (0, t) = 0 ux (L, t) = 0 , u(x,0) = f(x) , 0 ≤ x ≤ L

Aplicando separación de variables, compruebe que,

x L n cos e C ) t , x ( u n t L c n n

∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − π = 0 2 donde dx,n ,,.... L x n cos ) x ( f L Cn 2 L 01 0 = π =

C. BARRA TÉRMICAMENTE AISLADA SOLO EN UNO DE LOS EXTREMOS

Consideremos el PVC-I: L x 0 ; ) x ( f ) 0 , x ( u 0 t ; 0 ) t ,l ( u ) t , 0 ( u 0 t ; L x 0 ; 0 u c u x xx 2 t ≤ ≤ = ≥ = = > < < = −

Aplicando separación de variable, compruebe que: ( )

∞ = π − − π = 1 n t L 4 c ) 1 n 2 ( n L 2 x ) 1 n 2 ( sen e c ) t , x ( u 2 2 donde

− π = L 0 n xdx L 2 1 n 2 sen ) x ( f L 2 c .

5.1. 3. PROBLEMAS TIPO HIPERBÓLICOS

PROPAGACIÓN UNIDIRECCIONAL DE ONDAS EN UN INTERVALO FINITO.

La ecuación de la cuerda vibrante o ecuación de la onda: utt – c2uxx = 0 , rige varios tipos de vibraciones. Entre los más importantes destacamos: ondas sonoras (ondas longitudinales); ondas electromagnéticas (luz, electricidad); vibraciones de sólidos (ondas longitudinales y transversales), ondas de la Mecánica Cuántica, ondas de agua (ondas transversales) y membranas vibrantes.

(6)

CUERDA CON EXTREMOS FIJOS

Supongamos que una cuerda tensa de longitud L está fija en los extremos, y supongamos además que:

i) la cuerda es homogénea, es decir, de densidad constante.

ii) la tensión dada a la cuerda para que vibre es lo suficientemente grande como para despreciar la fuerza de gravedad.

iii) la cuerda es perfectamente elástica y no ofrece resistencia a la flexión.

iv) La cuerda sólo vibra transversalmente y en pequeñas amplitudes, y finalmente v) La posición de la cuerda en reposo coincide con el eje x.

(piense en una cuerda de guitarra, por ejemplo)

Sea u(x, t) los desplazamientos verticales de la cuerda en la posición x y en tiempo t. Si T= tensión y ρ= densidad, entonces la EDP que gobierna las vibraciones es: (24) EDP: utt – c2uxx = 0, 0<x<L, t>0 c = ρT = módulo de Young (25) CC : u(0, t) = 0, t ≥ 0

u(L, t) = 0, t ≥ 0 (26) CI : u(x, 0) = f(x) , 0 ≤ x ≤L

ut(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤L

Donde f(x) y g(x) son funciones dadas, conocida como posición inicial y velocidad inicial de la cuerda, respectivamente.

Observe que las CC están relacionadas con las variables espaciales y las CI con la variable tiempo. Observe además que utt representa la aceleración vertical de la cuerda en un punto x. Luego, utt=c2

uxx nos dice que la aceleración en cada punto es proporcional al “tamaño de la concavidad” de la cuerda. (ver Fig.1).

NOTA: Si la cuerda tiene densidad variable, entonces la ecuación de la onda es u x c x u tt = x ∂ ∂ ( ( ) ) 2 ,

es decir, una ecuación con coeficientes variables, caso que no estudiaremos.

Aplicando el método de separación de variables, sea u(x, t) = X(x)T(t). Reemplazando en la EDP (24), resulta (27) = =λ X " X T c " T 2 siendo λ la constante de separación. Luego, resultan las EDO:

(7)

(28) X ” - λX = 0

(29) T ” -λc2T = 0.

Ahora, las CC homogéneas implican que X(0) = 0 y X(L) = 0, que junto con EDO (28), constituyen el SSL:

X” - λX = 0 (30) X(0) = 0 X(L) = 0.

Sabemos que los valores propios (VP) son de la forma;

(31) λn = - , n , , ,... L n 3 2 1 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π

y que las funciones propias (FP) son:

(32) Xn(x) = An sen

( )

nLπ x,n=1,2,3,... siendo An constantes.

Con los valores dados por (31), escribimos la nueva EDO respecto de T:

(33) T ” + 2 2 2 2 L c n π T = 0, y cuyas soluciones son de la forma:

(34) Tn(t) = Cncos

( )

L t Dnsen

( )

nLc t c

nπ + π , n = 1,2,3,... Siendo Cn y Dn constantes arbitrarias.

Por lo tanto, las funciones

un(x, t) = Xn(t)Tn(t) =

(

a cos L t bnsennLct

)

sennL x c

n

n π + π π

para cada n, verifican la EDP (24) y las CCH (25), donde an = AnCn y bn = AnDn.

Podemos observar que esta sucesión de funciones constituye una familia de ondas estables, que tienen la propiedad que cada punto sobre la onda vibra con la misma frecuencia (frecuencia natural):

ρ π = ω T L n n = nω1,

donde T = tensión, ρ = densidad. NOTAS:

9 Cada un representa un movimiento armónico cuyo periodo es 2nπ = cn2L λ

y recibe el nombre de n-ésimo modo normal. El primero modo normal (n = 1) se llama modo fundamental y los restantes se llaman sobretonos (musicalmente dan la octava, la octava más la quinta, etc.).

(8)

9 Si (nn)L n

L n

L, ,...,

X= 2 −1 entonces, en (12) podemos observar que el modo fundamental de orden n admite (n-1) puntos donde la cuerda permanece fija; estos puntos que no vibran se llaman nodos. Por ejemplo, para n = 2, tenemos

u2(x, t) =

(

a cos Lπct+b2sen2Lπct

)

sen2Lπx 2

2

y los nodos están en x = 2L, además de los extremos de la cuerda, que no vibran porque así lo decidimos (ver Fig.2).

Puesto que la EDP (24) es lineal y homogénea, aplicando el principio de superposición, la serie infinita

(35) u(x, t) =

=1 n

(

a cos t b sen t

)

sennL x L c n n L c n n π + π π

también es solución, en el supuesto que ella converge y que es dos veces diferenciable con respecto a x y con respecto a t. Además, como cada término de la serie satisface las CCH, entonces la serie (35) también las verifica.

Resta por hallar las constantes an y bn , las que están determinadas por la CI, evidentemente. En efecto, u(x, 0) = f(x), resulta

(36) f(x) =

∞ = π = 1 n L n nsen x f(x) a

que es una serie de Fourier de senos de f(x), luego las constantes an son los respectivos coeficientes de Fourier, es decir, (37) an =

π L L n xdx sen ) x ( f L 0 2

Para aplicar la segunda CI, debemos derivar con respecto a t, la solución formal (35):

ut(x, t) =

(

a sen L t bncosnLct

)

sennL x c n n n L c n π π π ∞ = π +

1

(9)

Haciendo t = 0, resulta: (38) ut(x, 0) = g(x) = b

( )

sennL x n L c n n π ∞ = π

1

que es una serie de Fourier de senos para g(x), luego (39) bn =

π π L L n xdx sen ) x ( g c n 0 2 .

Finamente, la solución de “la cuerda vibrante” es la serie (35) con coeficientes dados por (37) y (39). NOTA: Si la velocidad inicial es nula, es decir, g(x)=0, entonces la solución toma la forma

t cos x sen B ) t , x ( u nL nLc 1 n n π π ∞ = ∑ = ,

que puede interpretarse de la siguiente manera: Supongamos que la posición inicial de la cuerda es : u(x,0)=f(x). Descomponiendo f(x) en senos simples resulta:

x sen B ) x ( f nL 1 n n π ∞ = ∑ =

Ahora hacemos que cada término seno vibre de acuerdo a la vibración fundamental

un(x,t)=BnsennLπxcosnLπct

y sumando cada una de estas vibraciones individuales, obtenemos la solución de nuestro problema. Por ejemplo: si x sen x sen x sen ) x ( f L 5 4 1 L 3 2 1 L π π π + + =

entonces, tendremos la respuesta total a esta CI, sumando las respuestas a cada término, es decir, t cos x sen t cos x sen t cos x sen ) t , x ( u = πL πLc + 21 3Lπ 3Lπc +41 5Lπ 5Lπc .

Ejemplo 1. La cuerda punteada.

Considere una cuerda de guitarra de longitud L, por ejemplo, que es levantada una altura h (muy pequeña) en un punto a de ella, y se suelta para que empiece a vibrar.

El modelo matemático es el siguiente:

EDP: utt – c2uxx = 0, 0<x < L, t>0 c = ρT CC : u(0, t) = 0, t ≥ 0

(10)

CI : u(x, 0) = ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ − − L x a , a x , a L ) x L ( h a hx 0 , ut(x, 0) = 0 .

SOL: Como g(x) = 0, bn = 0 ∀n. Para hallar an aplicamos la fórmula (14), obteniéndose:

an = nLa n ) a L ( a hL sen π − π2 2 2 2

Luego, los desplazamientos se rigen por:

u(x, t) = sen sen xcosnLct

L n L a n n n ) a L ( a hL π π π ∞ = − π

1 1 2 2 2 2 (¡compruébelo!).

NOTA: Si f x x x L , entonces compruebe que la solución es

L x L x L ( ) / , / = ≤ ≤ − ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 0 2 2 ≤ u x t L n n n x n t n

( , )= sen sen cos

= ∞

4 1 2 2 2 2 1 1 π π π ω

la cuál converge uniformemente para todo x, t. (Porqué?). Observe además que el primer término de esta solución es el que tiene mayor amplitud, lo que explica porque la cuerda aparece vibrando predominantemente en su modo fundamental y frecuencia ω1. Esta cuerda produce sobretonos a frecuencias 3ω

1, 5ω1, 7ω1, ...pero no a frecuencias ωn, n = par. Desgraciadamente esta serie no es dos veces diferenciable y conserva convergencia para garantizar que u(x, t) representa una solución real de la ecuación de la onda. Sin embargo, cada aproximación

u x t L n n n x n t n N

( , )= sen sen cos

=

4 1 2 2 2 2 1 1 π π π ω

satisface todos los requerimientos excepto la deflexión inicial. Además

⏐uN(x,0)-f(x)⏐≤ 42 12 4 0 1 1 2 L n L N x L N n N π = + π ∞

≤ , ≤ ≤ ; = , ,... 2

Ejemplo 2. La cuerda golpeada.

En este caso no hay desplazamiento inicial, esto es f(x)=0, pero sí hay velocidad inicial dada por un golpe en un punto a de la cuerda (piense en el piano). Suponga que

ut(x, 0) = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ − − L x a , a x , x ) a L ( ) x L ( v a v 0 0 0 Verifique que bn = nLa n ) a L ( ca L v sen π − π3 3 3 0 2

(11)

y así los desplazamientos de la cuerda están dados por

u(x, t) = sen sen xsennLct

L n L a n n n ) a L ( ca L v ∞ π π π = − π

1 1 2 3 3 3 0

Ejemplo 3. La cuerda vibrante amortiguada.

En este caso, podemos suponer que la cuerda está inmersa en un fluido (el aire, por ejemplo), el cual opone una resistencia al movimiento. Esto significa que existe una fuerza externa h(x, t) que depende de la velocidad, esto es h(x, t)= -but(x, t), con b>0. El signo negativo se explica por que ella es una fuerza de resistencia al movimiento. En general, esta fuerza de amortiguamiento depende de manera no lineal de la velocidad, caso que cae fuera de los alcances de este curso de introducción a las EDP.

Resolvamos el siguiente PVC-I con constante b=1. u tt=uxx-ut 0<x<π , t>0 u x(0,t)=0 u(π,t)=0 u(x,0)=0 u t(x,0)= 2 x 3 cos k SOL.: u(x, t)=X(x)T(t)⇒T T T X X X X T T T " ' " " " ' + = = ⇒ − = + − = ⎧ ⎨ ⎩ λ λ λ 0 0. De las CCH, tenemos el SSL: X X X X " '( ) ( ) − = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ λ π 0 0 0 0 , cuyos VP son: λn = −⎛ n− n ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 2 1 2 12 2

, ,... y las FP son: X xn( )=cos⎛ n− x n; , ,.. ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 2 1 2 12

Nueva EDO para T(t): T "+T '+

2 2 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n− T = 0, de donde ,.. 2 , 1 n t ) 1 n 2 ( 1 2 1 sen D t ) 1 n 2 ( 1 2 1 cos C e ) t ( Tn t/2 n 2 n 2 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + + = −

Por el principio de superposición:

x 2 1 n 2 cos t n n sen D t n n cos C e ) t , x ( u n 2 n 2 1 n 2 / t − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = ∞ = −

Aplicando las CI, resulta Cn=0 ∀n. Derivando la expresión anterior y haciendo t = 0, resulta la serie de Fourier de cosenos (SFC):

(12)

2 x 3 cos k x 2 1 n 2 cos n n D ) 0 , x ( u 2 1 n n t = − − = ∑∞ = Por ortogonalidad, 2 k D2 = y así la solución es x 2 3 cos t 2 sen e 2 k ) t , x ( u = −t/2 .

De una interpretación física a esta solución, en términos de los datos iniciales.

Ejemplo 4. Resuelva el PVC-I para las oscilaciones torcionales de un caño circular metálico. Este tipo de oscilaciones también están gobernadas por la ecuación de la onda u

tt=c 2

u

xx , donde u(x, t) es el ángulo de giro de la sección recta del caño en el punto x. Suponga que el largo del caño es π con extremos libres, es decir, no hay esfuerzos torcionales en los extremos. Esto se expresa diciendo que las CCH son:

u

x(0,t) = ux(π,t) = 0. Si u(x,0)=f(x)=πx x

2 3

2 − 3 y ut(x,0)=g(x)=0, entonces compruebe que las FP del SSL asociado son los cosnx, n = 0,1,2,...y así la solución es

nct cos nx cos n 1 8 12 ) t , x ( u 4 impar n 3

∞ = π − π = .

Compruebe que esta serie es dos veces diferenciable término a término y que esta serie y aquella obtenida por diferenciación, es uniformemente convergente para todo x y todo t.

5.1.4. PROBLEMAS TIPO ELÍPTICOS

A. LA ECUACIÓN DE LAPLACE + CC TIPO DIRICHLET

La ecuación de Laplace es tal vez la más importante de la EDP y aparece como la columna vertebral de la Teoría del Potencial. En general, rige fenómenos estacionarios, es decir, independientes del tiempo, como son aquellos referidos a campos gravitatorios, electromagnéticos, etc. También rige fenómenos de evolución en estado estacionario (steady state), es decir, cuando estos fenómenos son independientes del tiempo. En efecto, considere la distribución de temperatura en estado estable de una membrana cuadrada de longitud π, cuyos bordes están aislados térmicamente, salvo uno de ellos en los que se conoce la distribución de temperatura, digamos f(x).

(13)

Debemos resolver el PVC:

SOL: Sea u(x, t) = X(x)Y(y) ⇒ 2

Y " Y X " X α − = −

= (escribimos la constante de separación λ como negativa, dado que sabemos que es así). Sustituyendo en la EDP, resultan las EDO y sus soluciones generales:

u = 0

u = 0

u = 0

u = 0

π

π

0

u = f(x)

x

y

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ π ≤ ≤ π π ≤ ≤ π = π π = π π ∆ x 0 , 0 = u(x, x 0 , f(x) = u(x,0 < y < 0 , ) t , ( u < y < 0 , ) y , ( u < y < 0 , < x < 0 , 0 = u : EDP 0 0 0 y Dsenh + y cosh C = Y(y) x Bsen + x cos A = X(x) Y " Y X " X α α α α ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ = α − = α + 0 0 2 2

Las CCH son aquellas respecto de x:

u(0,y) = 0 ⇒ X(0)Y(y) = 0 ⇒ X(0) = 0 u(π,y) = 0 ⇒ X(π)Y(y) = 0 ⇒ X(π) = 0 Luego el SSL será respecto de x, es decir,

X” +α2X = 0 , 0 < x < π X(0) = 0

X(π) = 0

y cuyos VP son α = n, n =1, 2, 3, ... y las FP son Xn(x) = ansennx. La nueva EDO para Y será: Y” -n2Y = 0, cuya solución general es (40) Yn(y) = Cncosh ny + Dnsenh ny , n = 1, 2, 3, ...

NOTA: En este tipo de EDO para la ecuación de Laplace, se usan las funciones hiperbólicas seno y coseno, en lugar de las habituales combinaciones de exponenciales (lo que no puede producir rechazos puesto que senh y el cosh se pueden expresar como combinaciones de exponenciales). Las constantes Cn y Dn deberán obtenerse de las CC sobre la variable y. Cuando una de estas CC es nula, se aplica directamente sobre (40), como es el caso en estudio. Es decir,

Y(π) = 0 ⇒ Y(π) = C cosh nπ + D senh nπ = 0 ⇒

π π − = n cosh n seh D Cn n ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ π π − π − = ∴ n cosh senhn ny cosh senhny n cosh D ) y ( Y n n , n = 1, 2, 3, ..

Pero, senh(x-y) = senhx coshy – coshx senhy ⇒

π π − = n cosh ) y ( senhn D ) y ( Yn n

(14)

... 1,2, = n , )sennx coshn ) -senhn(y ( A ) y ( Y ) x ( X ) t , x ( u n n n n π π = = ∴ donde An = anDn.

Por el Principio de Superposición

(41)

∞ = π π = 1 n n sennx coshn ) -senhn(y A ) t , x ( u

Ahora estamos en condiciones de calcular las constantes An, usando la única CC no homogénea (que juega el rol de CI para los problemas de evolución):

u(x,0) = X(x)Y(0) = f(x) ⇒ sennx coshn ) senh(-n A ) x ( f 1 n n ∑∞ = π π = ∑∞ = π π − = 1 n n )sennx coshn ) senh(n ( A

que es una serie de Fourier de senos para f(x). Por lo tanto, ) f(x)sennxdx hn en s ) 2cosh(n ( A sennxdx ) x ( f 2 ) coshn ) senh(n ( A 0 n 0 n

π π π π π − = ⇒ π = π π −

Como senh(-x) = -senh(x) , la solución del PVC es :

sennxdx f(x) ) hn en s ) 2cosh(n ( A con , sennx coshn ) y senhn( A ) t , x ( u 0 n 1 n n

∞ π = π π π − = π − π =

NOTA: Las soluciones de la ecuación de Laplace se llaman funciones armónicas

B. LA ECUACIÓN DE LAPLACE + CC TIPO NEUMANN

Consideremos ahora la distribución de temperatura en estado estable de una placa rectangular de lados a y b, tal que en dos lados opuestos hay aislamiento térmico (no hay flujo de calor), en los otros dos, uno está a temperatura cero grados y sobre el otro se conoce la distribución de temperatura dada por f(x).

Observe que respecto de x, las CC son homogéneas del tipo Neumann.

EDP ∆u = 0 , 0 < x < a, 0 < y < b

u(x, 0) = f(x) , 0 ≤ x ≤ a

u(x, b) = 0 , 0 ≤ x ≤ a

u

x

(0, y) = 0 , 0 ≤ y ≤ b

u

x

(a, y) = 0 , 0 ≤ y ≤ b

(obviamente : ∆u ≡ u

xx

+ u

yy

)

u = 0 u = 0 b a 0 u = f(x) x y D u = 0x x

(15)

SOL: Sea u(x, t) = X(x)Y(y) ⇒ X "Y + XY " = 0 /: XY ⇒ =− =λ Y " Y X " X EDOs : 0 Y " Y 0 X " X ⎭ ⎬ ⎫ = λ − = λ + CCH : ux(0, y) = 0 ⇒ X'(0)Y(y) = 0 ⇒ X'(0) = 0 ux(a, y) = 0 ⇒ X'(a)Y(y) = 0 ⇒ X'(a) = 0 SSL: X” + λX = 0

X´(0) = 0 ⇒ VP son el cero y números negativos ∴λ = -α2 con α ≥0 X´(a) = 0

Luego, el SSL lo escribimos como X “ + α2 X = 0 X´(0) = 0; X´(a) = 0

Para λ = 0 , tenemos la FP X0 (x) = A0 = constante, y para λ = - 2 2 2

a

, n = 1, 2, 3,...tenemos las FP

Xn(x) = An cosnπa x.

Nueva EDO con respecto a Y:

Para λ = 0 : Y “ (y) = 0 ⇒ Y0(y) = c1y + c2 .

De las CC para Y, una de ellas es nula, Y(b) = 0; luego 0 = c1b + c2. Sea c1 = -b1 arbitrario. Luego, 0 = -1 + c2 ⇒ c2= 1. Por lo tanto, (42) Y0(y) = -by+1 = b−by Para λ = - 2 2 2 a

, n = 1, 2, 2, 3,... La nueva EDO respecto de Y es

(43) Y” - 2 2 2

a

Y = 0

cuya solución general es

(44) Yn(y) = cn cosh naπy+dnsen naπy,

Si definimos E =

(

dn2 −cn2

)

2 y F =

( )

n n d c n a tanh−1

π , entonces (44) puede escribirse como

(45) Yn(y) = Esenh{naπ(y + F)}.

Aplicando la CCH Y(b) = 0, resulta Yn(y) = Esenh{naπ(b +F)} = 0 , lo que implique que F = -b, siempre que E ≠ 0 (para hallar soluciones no triviales).

Por lo tanto,

(46) u(x, y) = b−by a20 + a cos xsenh

(

y b

)

a n n a n n π − ∞ = π

1 . Ahora usamos la única CC no homogénea, obteniéndose:

(16)

(47) u(x, 0) = f(x) = a20 + a cos xsenh

( )

b a n n a n n π − ∞ = π

1 ,

que es una serie de Fourier de cosenos para f(x); luego los coeficientes están dados por (48) a0 =

a a f(x)dx 0 2 ; a n = f(x)cos xdx aseh a a n a b n

π π − 0 2 , n = 1, 2, 3, ... Luego, la solución formal es

(49) u(x ,y) =

( )

nax a b n a n n * n a b y b cos senh ) y b ( senh a π π π ∞ = − +

− 1 2 0 , donde (50) a af(x)cos xdx a n a * n=

π 0 2 .

Ejemplo 5. Para este mismo problema, considere f(x) = x en el dominio D = {(x, y): 0<x<π, 0<y<π}. Compruebe que a0 = π , 2 1 1 2 − − =π n n * n [( ) a ] y así

[

]

cosnx n senh ) y ( n senh ) ( ) y ( ) y , x ( u n n n π − π − − + − π =

∞ = π 1 1 1 2 2 1 2 .

Ejemplo 6. Verifique que el Problema de Laplace-Dirichlet: uxx + uyy = 0 , 0 < x < π , 0 < y < 2π u(0, y) = 0

u(π, y) = 0 u(x, 0) = 0 u(x, 2π) = 1 tiene por solución

u(x, y) =

∞ = π π − 1 4 4 4 1 2 1 2 n ( n )senh( n ) x sen y ) n senh( .

Ejemplo 7. Verifique que la solución del siguiente problema Laplace-Neumann depende de una constante arbitraria. uxx + uyy = 0 , 0 < x < π , 0 < y < π ux(0, y) = 0 ux(π, y) = 0 uy(x, 0) = cosx uy(x, π) = 0

(17)

SOL. Sea u(x, y) = X(x)Y(y). De donde resultan las EDO: , que junto a las CCH para X, generan el SSL : ⎩ ⎨ ⎧ = λ + = λ − 0 0 Y " Y X " X ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = π = = λ − 0 0 0 0 ) ( ' X ) ( ' X X " X

Sabemos que no existen VP positivos y que λ0 = 0 es un VP y que la FP asociada es una constante arbitraria, digamos X0 (x) = 1, para simplificar. Los restantes VP son :

λn = -n2 , n = 1, 2, 3, ... y las FP asociadas son:

Xn(x) = cosnx, n= 1, 2, 3, ... Nuevas EDO respecto de Y:

Para λ = 0: Y0(y) = c1y + c2

Para λ < 0: Yn(y)= Ancoshny + Bnsenhny

Por el PSP: u(x ,y) = c1y + c2 +

(

A coshny B senhny

)

connx n n n

∞ = + 1

Luego, uy(x, y) = c1 + n

(

A senhny B coshny

)

cosnx n n n

∞ = + 1

Con la CC uy(x, 0) = cosx, resulta que cosx = c1 +

∞ = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = = ⇔ 1 1 1 1 1 0 0 n n n n , n , B c nx cos nB ∴ u(x, y) = c2 + senhycosx +

∞ =1 n ncoshnycosnx nA

∴ uy(x, y) = coshycosx + nA senhnycosnx n

n

=1 Con la CCH uy(x, π) = 0, resulta que

0 = coshπcosx + nA senhn cosnx n

n π

=1 Dividiendo por coshπ,

cosnx cosh n senh nA n n

∞ = π π 1 = - cosx es decir, nAn ⎩ ⎨ ⎧ = − ≠ = π π 1 1 1 0 n , n , cosh n senh de donde A1 = - π − = π π tgh senh cosh 1

(18)

Es decir,

u(x, y) = 1

(

coshy tgh senhy

)

cosx c2

tghπ − π +

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