COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
B O L E T Í N
MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS
EL VECTOR MÁS PRÓXIMO
En un espacio con producto interno, dos vectores son ortogonales si el producto interno de ellos es cero.
Para el conjunto A
mx2mx3 m R
(que no es subespacio), del espacio P de polinomiosde grado menor que tres, el polinomio g2x22x es ortogonal a todos los elementos del conjunto A respecto del producto interno definido por
20 k k k p q d f para: 2 0 1 2 2 0 1 2 p d d x d x q f f x f x ya que
mx2mx3 2x22x
2m2m0 .Existe un conjunto de polinomios como g que son ortogonales a todos los elementos de A y que suele llamarse conjunto ortogonal de A , se representa con A y es tal que
2 2 2
3 0
A ax bx c ax bx c mx mx m R con lo que am bm 3c 0 ; esto es
0
ab y c por lo que A
ax2ax aR
.Si el conjunto es un subespacio, por ejemplo , tiene dimensión (que en este ejemplo es dos) y el conjunto ortogonal es tal que
, también es subespacio cuya dimensión (aquí uno) es el número que con la dimensión de , completa la dimensión de (que en este caso es tres). Por lo anterior, si es subespacio a se le llama complemento ortogonal de .
En el espacio un subespacio es: , el
complemento ortogonal de respecto al producto interno para y
; es tal que:
que implica .
Todo vector de un espacio, por ejemplo que pertenece a , puede expresarse como la suma de dos vectores: uno perteneciente a un subespacio ( por ejemplo el ) y el otro perteneciente al complemento ortogonal de él (el ); así tenemos
, con lo que .
La matriz que pertenece al espacio , de la página anterior, se puede expresar
como la suma de una matriz que pertenece a más otra que es de ; es
decir: con lo que queda .
En algunos casos de la vida real se necesita un vector que pertenece a un espacio pero sólo es posible obtener alguno con algunas limitaciones (es decir perteneciente a un subespacio de ), lo conveniente es obtener el con limitaciones (es decir perteneciente a ) , más cercano a ; ese vector es el de que sumado con uno que pertenece a da igual a . Con símbolos: el vector de más próximo a es tal que Ya que, tanto la norma de la diferencia entre dos vectores (distancia entre esos vectores), como el complemento ortogonal de un subespacio, dependen del producto interno considerado, el vector más cercano también depende de él.
Ese vector es igual a la proyección de sobre el subespacio ; dicha proyección se define como sigue: donde es elemento de una base ortonormal de y es la dimensión de .
El polinomio más cercano a , pero con la condición de que el término independiente sea la diferencia del doble del coeficiente del término de segundo grado menos el coeficiente del de primer grado, es , como lo obtuvimos en un ejemplo anterior. Si consideramos el producto interno definido por: ; el complemento ortogonal de es tal que:
es decir
;
así que el vector de más cercano a respecto al producto interno considerado es:
.
En el espacio complejo un subespacio de él es
, necesitamos el vector más cercano a respecto al producto interno definido por para .
Obtenemos para lo cual igualamos a cero la traza de la matriz producto de por la conjugada transpuesta de la matriz que es el elemento genérico de , esto es
, que también es para toda z conjugada , así que que se satisface
Ahora determinamos tales que lo que nos conduce a
lo que implica
por lo tanto, el vector , más cercano a
es .
LEDA SPEZIALE SAN VICENTE PROFESORA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM
LOS PUMAS DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
Cuando se escucha hablar de los Pumas de la UNAM, es casi general que se piense en el equipo de fútbol soccer representativo de nuestra institución; sin embargo, la adopción de este nombre como “mascota” de los miembros de esta comunidad es muy antigua y ni siquiera en ese entonces nuestra universidad contaba con un equipo de ese deporte. Se menciona que el legendario coach (perdón por el anglicismo pero así se les conoce) del equipo de fútbol americano de la UNAM, el recordado Roberto “Tapatío” Méndez (1912-1994) durante una gira que el equipo de la UNAM que él entrenaba, iba a enfrentarse a un equipo de Louisiana College en 1942, antes del encuentro dirigió unas palabras a sus jugadores equiparándolos con pumas, pues son animales de una talla pequeña, comparativamente con la de otras fieras pero que salen victoriosos por ser audaces, inteligentes, agresivos y rápidos. Cabe decir que antes de esto, al equipo se le conocía como “la horda dorada”. El mote agradó y desde esa fecha ese referido equipo de fútbol americano así fue conocido, protagonizando una época de enormes duelos contra su acérrimo rival deportivo, los “Burros Blancos” del Instituto Politécnico Nacional. Nuestros jóvenes lectores pueden vislumbrar un poco de esa rivalidad en varias películas nacionales de la llamada “Época de Oro del Cine Mexicano”
No fue sino hasta diciembre de 1954 que la UNAM pudo contar con un equipo que la representara en la segunda división del fútbol profesional, ahora sí me refiero al soccer. Su ingreso fue logrado por las gestiones del entonces rector Ing. Nabor Carrillo (1911-1967). Su estancia inicial fue bastante difícil y tuvo que retirarse durante un corto tiempo, reingresando en 1958. Cuatro años después logró el ascenso a la primera división en donde ha permanecido desde entonces. A partir de ese momento, la comunidad universitaria fue atraída por el equipo y extendieron el nombre de Pumas a este deporte.
En la actualidad a cualquier deportista de nuestra institución se le aplica el título de Puma; así en los más recientes juegos olímpicos vimos con agrado a una medallista en la disciplina de tiro con arco que era Puma. Y todavía más, ya no nos extraña ver circular por nuestras vialidades al Pumabús, ni nos sorprende que se organicen Pumathones, haciendo una palabra compuesta con Puma y Marathón. Bueno, hasta vemos a una madre que con orgullo, cuando su pequeño hijo es aceptado en una de las guarderías universitarias que dice “Ya es Puma”
ÉRIK CASTAÑEDA DE ISLA PUGA PROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM
http://dcb.fi-c.unam.mx erik2306@unam.mx
Por razones de austeridad, el tiraje del Boletín se sigue manteniendo a la mitad de lo que se acostumbraba.
