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(1)

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCTINO “SANTIAGO MARIÑO” SEDE BARCELONA

Límite, continuidad y derivadas de Funciones de varias

variables

Profesor: Pedro Beltrán.

Integrantes:

 Ginett González. C.I. 20.361.024

 Belkis Guarata. C.I. 26.000.068

 Jonathan Azócar. C.I. 19.008.139.

(2)

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Definición: El conjunto de todos los n números reales ordenados se llama

espacio numérico n-dimensional y se representa por n. Cada n-ada

x x1, ,...,2 xn

se llama punto del espacio n-dimensional. La representación del espacio n-dimensional en forma de conjunto es:

1, ,...,2 / , 1, 2,...,

n

n i

x x x x R i n

   

Definición:Una función de n variables es el conjunto de pares ordenados ( , )P w , tal que dos pares ordenados diferentes no tienen el mismo primer elemento. P es un punto del espacio n-dimensional y w es un número real. El conjunto de todos los posibles valores de P se llama dominio de la función y el conjunto de todos los posibles valores de w se llama rango (contradominio o ámbito) de la función.

Ejemplo: Sea la función f de dos variables x y y el conjunto de todos los pares ordenados de la forma ( , )P w tales que z 25 x2 y2 . El dominio de

f está dado por

2 2 2

2 2 2

( ) ( , ) / 25 0 ( ) ( , ) / 25

Dom fx y   x y  Dom fx y  xy  , y el

rango de f está dado por: Rgo f( )   

z / 0 z 5

.

Definición: Si f es una función de una variable y g es una función de dos variables, entonces la función compuesta f go es la función de dos variables definida por (f g x yo )( , ) f g x y( ( , )) y el dominio de f go es el conjunto de todos los puntos ( , )x y en el dominio de g tal que g x y( , ) está en el dominio de f.

(3)

conjunto de todos los puntos

x x1, ,...,2 xn

en el dominio de g tal que

1 2 ( , ,..., )n

g x x x está en el dominio de f.

Ejemplo: Dada f t( ) ln t y 2

( , )

g x yxy. Entonces

2 2

(f g x yo )( , ) f g x y( ( , )) f x(  y) (f g x yo )( , ) ln( xy)

2 2

:: ( ) lnf tt g x y ( , )x  y Dom f( ) (0,  ) Dom g( ) 

2

:: ( , )x yDom g( )( , )x y  . :: ( , )g x yDom f( )g x y( , ) (0, ) 2

( , ) 0 0

g x y x y

     . Luego Dom f g( )

( , )x y R x2/ 2 y 0

o

LÍMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Definición: Si P x x( , ,..., )1 2 xn y A a a( , ,..., )1 2 an son dos puntos de n, entonces se define y denota la distancia entre P y A como

2 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) .... ( n n) P Axaxa   xa

Observación: El símbolo P A representa un número no negativo y se denomina distancia entre P y A. En  , 2 y 3

, la definición se convierte,

respectivamente, en: x a  x a en , 2 2

0 0 0 0

( , ) ( , )x yx y  (x x )  (y y )

en 2y en 3 se tiene que 2 2 2

0 0 0 0 0 0

( , , ) ( , , )x y zx y z  (x x )  (y y )  (z z ) . Definición: Si A es un punto de n y r es un número positivo, entonces la

bola abierta B A r( ; ) se define como el conjunto de todos los puntos P de n tales que P A r, ie, B A r( ; )

Pn/ P A r A, n,r0

Definición: Si A es un punto de n y r es un número positivo, entonces la

bola cerrada B A r[ ; ] se define como el conjunto de todos los puntos P de

n

 tales que P A r, ie, [ ; ]

n/ , n, 0

B A rP P A r A r .

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abierto. La bola cerrada B a r[ ; ] en  es el intervalo cerrado [a r a r ,  ]. En 2

 , la bola abierta B x y(( , ); )0 0 r se define como el conjunto de todos los puntos ( , )x y en 2 tal que 2 2

0 0

(x x )  (y y ) r, ie, 2 2 2

0 0

(x x )  (y y ) r , ie, consiste en todos los puntos en la región interior limitada por la

circunferencia que tiene como centro ( , )x y0 0 y radio r. Una bola abierta en 2

 recibe el nombre de disco abierto. La bola cerrada o disco cerrado

0 0 [( , ); ]

B x y r , es el conjunto de puntos de la bola abierta o disco abierto

0 0 (( , ); )

B x y r y los puntos de la circunferencia de centro ( , )x y0 0 y radio r. En 3

 , la bola abierta B x y z(( , , ); )0 0 0 r , es el conjunto de todos los puntos ( , , )x y z

de 3 tal que 2 2 2

0 0 0

(x x )  (y y )  (z z ) r, ie, el conjunto de todos los puntos de la región interior limitada por la esfera de centro ( , , )x y z0 0 0 y radio r. La bola cerrada B x y z[( , , ); ]0 0 0 r , es el conjunto de puntos de la bola abierta

0 0 0 (( , , ); )

B x y z r y los puntos de la esfera de centro ( , )x y0 0 y radio r.

Definición: Sea f una función de n variables definida sobre una bola abierta ( ; )

B A r , excepto posiblemente en A mismo. Entonces, el límite de f P( ) cuando P tiende a A es igual a L, y lo denotamos por lim ( )PA f PL, si para todo  0, sin importar cuan pequeño sea, existe un  0( depende de ) tal que, si 0 P A  , entonces f P( ) L  , ie,

lim ( ) ( 0)( 0) : 0 ( )

PA f P    L     P A   f P  L .

Observación: Si f es una función de una variable, entonces tenemos que lim ( )

x af xL ya visto en cursos anteriores. La siguiente definición nos permite

hacer el estudio de límites para funciones de dos variables.

(5)

Entonces el límite de f x y( , ) cuando ( , )x y tiende a ( , )x y0 0 es igual a Ly lo denotamos por ( , ) ( ,x ylimx y0 0) f x y( , )L, si y sólo si para todo  0, sin importar cuan pequeño sea, existe un  0( depende de ) tal que, si

2 2

0 0

0 (x x )  (y y )  , entonces f x y( , ) L  .

Teorema: Si g es una función de dos variables tal que ( , ) ( ,x ylim x y0 0)g x y( , )b y sea f una función de una sola variable continua en b, entonces

0 0

( , ) ( ,x ylimx y )(f g x yo )( , ) f b( ) si y sólo si

0 0 0 0

( , ) ( ,x ylim x y ) f g x y( ( , )) f ( , ) ( ,x ylim x y)g x y( , ) Definición: se dice que un punto P0 es un punto de acumulación de un conjunto S de puntos en n si toda bola abierta

0 ( ; )

B P r contiene una infinidad de puntos de S.

Definición: Sea f una función definida en un conjunto de puntos S en 2y sea ( , )x y0 0 un punto de acumulación de S. Entonces el límite de f x y( , ) cuando ( , )x y tiende a ( , )x y0 0 en S es igual a L, y lo denotamos por

0 0

( , ) ( , ) ( )

lim ( , ) x y x y

P S

f x y L

 

si y sólo si para todo  0, sin importar cuan pequeño

sea, existe un  0( depende de ) tal que, si 0 ( , ) ( , )x yx y0 0  , entonces f x y( , ) L y ( , )x yS.

Teorema: Supóngase que la función f está definida por todos los puntos en un disco abierto con centro en ( , )x y0 0 , excepto posiblemente en ( , )x y0 0 mismo, y si ( , ) ( ,x ylimx y0 0) f x y( , )L entonces, si S es cualquier conjunto de puntos en 2 que tiene a

0 0

( , )x y como punto de acumulación, ( , ) ( ,0 0)

( )

lim ( , ) x y x y

P S

f x y

 existe y siempre tiene el

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Teorema: Si la función f tiene diferentes límites cuando ( , )x y se aproxima a 0 0

( , )x y a través de dos conjuntos diferentes de puntos que tienen a ( , )x y0 0

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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

Definición: Supóngase que f es una función de n variables y A es un punto en n. Se dice que f es continua en el punto A si y sólo sise cumplen las siguientes condiciones:

1. f A( ) existe. 2. lim ( )PA f P existe. 3. lim ( )PA f Pf A( )

Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en el punto A, entonces diremos que f es discontinua en A. Si no se cumple la primera pero se cumple la segunda diremos que f tiene una discontinuidad evitable o removible. Si no se cumple la segunda diremos que f tiene una discontinuidad esencial.

Definición: Se dice que una función de dos variables es continua en el punto ( , )x y0 0 si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. f x y( , ) existe.

2. ( , ) ( ,x ylimx y0 0) f x y( , ) existe. 3. ( , ) ( ,x ylimx y0 0) f x y( , ) f x y( , )0 0

Teorema: Si f y g son dos funciones continua en el punto ( , )x y0 0 , entonces: 1. fg es continua en ( , )x y0 0

2. fg es continua en ( , )x y0 0 3. f g. es continua en ( , )x y0 0

(8)

DERIVACIÓN PARCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Si z = f(x,y), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x y y son las funciones fx y fy definidas por

Para hallar fx se considera y constante y se deriva con respecto a x. De manera similar, para calcular fy, se considera x constante y se deriva con respecto a y.

DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES

Si w = f(x,y,z), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x, y y z

son las funciones fx, fy y fz definidas por

Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, se mantienen constantes las otras variables y se deriva con respecto a la variable dada.

(9)

Informalmente, los valores y en un punto (x0,y0,z0) denotan las

(10)

DIFERENCIAL TOTAL

Si z = f(x,y) y y son los incrementos en x y en y, entonces las diferenciales de las variables independientes x y y son:

dx = y dy = y la diferencial total de la variable dependiente z es:

Esta definición puede extenderse a una función de tres o más variables. Por ejemplo, si w = f(x,y,z,u), entonces dx = , dy = , dz = , du = , y la diferencial total de w es:

Ejemplo:

Hallar la diferencial total de cada función:

a) z = 2x.seny – 3x2y2

b) w = x2 + y2 + z2

Solución

a)

dz = (2seny – 6xy2)dx + (2xcosy – 6x2y)dy

b)

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GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Sea z = f(x,y) una función de x y y tal que fx y fy existen. Entonces el gradiente de f, denotado por f(x,y), es el vector

se lee como “delta f”. Otra notación para el gradiente es

gradf(x,y). Para cada (x,y), el gradiente es un vector en el plano (no un vector en el espacio).

z

(x,y,f(x,y)) ((x

y

x

El gradiente de f es un vector en el plano xy

Ejemplo

Hallar el gradiente de f(x,y) = ylnx + xy2 en el punto (1,2).

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TEOREMA. PROPIEDADES DEL GRADIENTE Sea f diferenciable en el punto (x,y)

1.- Si , entonces Duf(x,y) = 0 para todo u.

2.- La dirección de máximo incremento de f está dada por . El valor

máximo de Duf(x,y) es .

3.- La dirección de mínimo incremento de f está dada por . El

valor mínimo de Duf(x,y) es - .

GRADIENTE PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES

Sea f una función de x, y y z, con derivadas parciales de primer orden continuas. El gradiente de f se define como:

Las propiedades del gradiente son:

1.- Duf(x,y,z) = f(x,y,z).u

2.- Si f(x,y,z) = 0, entonces Duf(x,y,z) = 0 para toda u.

3.- La dirección de máximo incremento de f está dada por f(x,y,z). El valor máximo de Duf(x,y,z) es:

4.- La dirección de mínimo incremento de f está dad por - f(x,y,z). El valor mínimo de Duf(x,y,z) es:

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DIVERGENCIA

Se llama divergencia de un vector A = a1(x,y,z) i + a2(x,y,z) j + a3(x,y,z)

k, cuyas componentes ai son funciones de (x,y,z), al escalar dado por la

suma de las derivadas de a1 respecto de x más a2 respecto de y más a3

respecto de z o sea: div A = a1x + a2y + a3z

De esta definición se deduce:

div (A  B) = div A  div B luego div (A  B) = (a1  b1)x + (a2  b2)y + (a3 

b3)z

div (A  B) = a1x  b1x + a2y  b2y + a3z  b3z = div (A  B) = (a1x + a2y + a3z) 

(b1x + b2y + b3z) = div A  div B

div ( . A) =  . A +  . div A donde  = (x,y,z) A = a1(x,y,z) i + a2(x,y,z)

j + a3(x,y,z) k

div (.A) = ( . a1)x + ( . a2)y + ( . a3)z =div (.A) = (x . a1 +  . a1x) + (y . a2

+  . a2y) + (z . a3 +  . a3z) = div (.A) = (x . a1 + y . a2 + z . a3) + ( . a1x +

 . a2y +  . a3z)  div (.A)= . A +  . div A

INTERPRETACION FISICA DE LA DIVERGENCIA

Suponemos un fluido en movimiento y sea A=a1(x,y,z)i +a2(x,y,z)j

+a3(x,y,z)k el vector velocidad del mismo en cada punto.

Es decir que A representa un CAMPO DE VELOCIDADES, cuyas componentes ai son funciones derivables de x, y, z

Consideramos un punto P(x,y,z) y un paralelepípedo elemental que a partir de P tiene las aristas paralelas a los versores fundamentales i, j, k y de longitudes x , y , z respectivamente.

La cantidad de fluido que entrará al paralelepípedo por la cara normal al versor i (plano yz) por unidad de tiempo será: a1(x,y,z).y.z (componente

de la velocidad por el área de la sección de entrada) y la cantidad que saldrá por la sección opuesta será: a1 (x+x; y; z).y.z

Si x  0 la diferencia entre estas dos cantidades será:

(16)

De igual manera las diferencias análogas para las otras caras serán: a2y(x,y,z).x.y.z ; a3z(x,y,z).x.y.z .

O sea que la cantidad de fluido que por unidad de tiempo queda en el paralelepípedo elemental es: a1x(x,y,z).x.y.z + a2y(x,y,z).x.y.z +

a3z(x,y,z).x.y.z = divA.x.y. z

De aquí resulta que “La divergencia del vector A en el punto P es el cociente entre la cantidad de fluido que se crea por unidad de tiempo en el volumen elemental correspondiente al punto P y este volumen, cuando el mismo tiende a reducirse al punto P.”

Si la divergencia de A tiene signo negativo en vez de crearse fluido en P se ha consumido. En el primer caso se dice que en P hay una FUENTE y en el segundo un DESAGÜE o SUMIDERO.

EL ROTOR

Se llama ROTOR o ROTACIONAL de un vector A de componentes a1 , a2 , a3 funciones de x, y, z al vector de componentes (a3y - a2z); (a1z - a3x);

(a2x - a1y) o sea:

rot A = (a3y - a2z) i + (a1z - a3x) j + (a2x - a1y) k

k y a x a j x a z a i z a y a a a a z y x k j i A rot                                                     

 3 2 1 3 2 1

3 2 1

los productos simbólicos  a1 ;  a3 . son las derivadas parciales respectivas

a1x ; a3y ...etc.

x y

De la definición se deduce: rot (A  B) = rot A  rot B

rot ( . A) =  . rot A - A ^  siendo  = (x,y,z)

k y a x a j x a z a i z a y a a a

ax y z

k j i A rot                                                     

 3 2 1 3 2 1

(17)

=(y.a3+.a3y -z.a2 -.a2z)i +(z . a1+.a1z -x.a3 -.a3x)j +(x.a2+.a2x -y.a1

-.a1y)k =

= [(a3y-a2z)i+(a1z -a3x)j+(a2x -a1y)k]+[(y.a3 -z.a2 )i+(z . a1 -x.a3 )j+(x.a2

-y.a1)k]=

i j k

=  . rot A - a1 a2 a3 =  . rot A - A ^ 

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PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE

Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.

Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.

Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, entonces la ecuación del plano tangente en un punto

de la superficie viene definido por la ecuación:

y la recta normal por:

Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) entonces la ecuación del plano tangente en el punto viene definida por:

y la ecuación de la recta normal:

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MATRIZ JACOBIANA

Dada una función vectorial f:A⊆Rn⟶Rmf:A⊆ℜn⟶ℜm,

donde (f1,f2,...,fm)(f1,f2,...,fm) son las funciones escalares componentes

de ff. Si ∃∇fi(a)∀i=1,2,...,m∃∇fi(a)∀i=1,2,...,m. Definimos la matriz

Jacobiana de ff en el punto a∈Aa∈A, y la representamos por Jf(a)Jf(a), mediante la matriz m×nm×n donde cada fila es el vector gradiente de la correspondiente función componente, es decir:

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APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA INGENIERÍA

Las derivadas tienen una aplicación muy práctica para la empresa. Es fundamental para el cálculo de máximos y mínimos de funciones.

De esta forma si establecemos que los gastos de una empresa tienen forma de una función f, querremos saber cuál es el mínimo para poder evitar las máximas pérdidas.

Igualmente, si el precio en el mercado de un producto, atendiendo a la ley de oferta y demanda, es más barato cuanto más haya tendremos que calcular como sacar máximos beneficios. Esta es una, tal vez la más utilizada, de las aplicaciones de las derivadas a la empresa.

El cálculo diferencial en las industrias alimentarias se aplica sobre todo en las operaciones de transferencia de cantidad de movimiento (o momentum), de calor y de masa. Regular y propiamente el cálculo se aplica para el desarrollo de los modelos matemáticos que representan estos fenómenos de transferencia (movimiento, calor y masa). Una vez definidos los modelos que se concretan en ecuaciones o fórmulas, solamente aplicas estas ecuaciones. La salida o resultados de esto es el dimensionamiento (por ejemplo potencias, velocidades, áreas y longitudes) en el diseño de los equipos o en el control de los procesos.

Sin embargo la aplicación más en corto y común del cálculo diferencial se tiene en balance de materia, balance de energía y termodinámica. Los balances, sobre todo el de materia, es lo que más se aplica en la industria de alimentos, para el cálculo de rendimientos y evaluación de la eficiencia de los procesos. Esto es especialmente en procesos no estacionarios y con recirculación, por ejemplo la impregnación de solutos (sales o azúcares) en tanques con bombeo para recirculación de las salmueras o jarabes, para poder calcular la alimentación con nuevas soluciones de las sales o los azúcares.

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Referencias

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