Transformada de Laplace
Definición: La Transformada de Laplace
Dada una función f (t) definida para toda
t
≥
0
, la transformada de Laplace de f es la función F definida como sigue:
F s
( )
=
L
{
{
f t
( )
}
}
=
∫
∞ −e
stf t dt
( )
(1)0
( )
f
( )
∫
f
( )
( )para todos los valores de
s
para los que la integral impropia converja.Ej l 1
Ejemplo 1
Si f (t) =1 para
t
≥
0
, la definición de la transformada de Laplace (1) implica1
{ }
1 1 s=
L para
s
≥
0
. Ejemplo 2Si at
e
t
f
(
)
=
parat
≥
0
, obtenemos
{ }
at1
e
s
a
=
−
Ejemplo 3
Si
f
(
t
)
=
t
parat
≥
0
, obtenemos{ }
21
t
=
L
{ }
2 paras
>
a
.s
Ejemplo 4
Si
f
(
t
)
=
sin
at
parat
≥
0
, obtenemos
{
sin
at
}
2a
2s
a
=
+
L
paras
>
0
.s
+
a
Ejemplo 5Si
f
f
(
(
t
)
)
=
cos
at
para pt
≥
0
, obtenemos ,
{
}
2 2
cos
at
s
s
a
=
+
Teorema1. Linealidad de la transformada de Laplace
Si
a
yb
son constantes, entonces{
af t
( )
+
bg t
( )
}
=
a
{
f t
( )
}
+
b
{ }
g t
( )
L
{
af t
( )
bg t
( )
}
a
L
{
f t
( )
}
b
L
{ }
g t
( )
L
L
L
Ejemplo 6
El cálculo de
{ }
n/ 2t
L
se basa en el conocido valor de⎟
=
π
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Γ
2
1
de la{ }
⎠
⎝
2
fórmula gamma. Por ejemplo, tenemos que3
1
1
3
3
3
5
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
π
4
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
3
2
5
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Γ
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Γ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Γ
,mediante la fórmula
Γ
(
x
+
1
)
x
Γ
(
x
)
mediante la fórmulaΓ
(
x
+
1
)
=
x
Γ
(
x
)
.Aplicando la linealidad y los ejemplos precedentes, obtenemos
{
}
52 3/ 2 2
3 5 / 2 3 5
4 ( )
2!
6
3
t
4
t
3
3
s
s
s
s
π
Γ
+
= ⋅
+
=
+
Ejemplo 7
Considerando que
h
kt
1
(
kt+
−kt)
y quei h
kt
1
(
kt −kt)
k
>
0
Considerando que
cosh
(
)
2
kt kt
kt
=
e
+
e
y quesinh
(
)
2
kt kt
kt
=
e
−
e
,k
>
0
,determine
L
{
cos
kt
}
yL
{
sin
kt
}
.Ejemplo 8
Determine la transformada de Laplace de la función
2 2
( )
5
t4 sin 3
f t
=
e
+
t
,t
≥
0
.Funciones continuas por partes
La función
f t
( )
es continua por partes en el intervalo acotadoa
≤ ≤
t
b
si[ ]
a b
,
se puede subdividir en una cantidad finita de subintervalos adyacentesde modo que:
Decimos que
f
es continua por partes parat
≥
0
si es continua por partes en cada subintervalo acotado de[
0
+∞
)
Así una función continua poren cada subintervalo acotado de
[
0,
+∞
)
. Así, una función continua porpartes sólo tiene discontinuidades simples (si las hay) y sólo en esos puntos aislados. En tales puntos, el valor de la función sufre un salto finito, como de indica en la figura El salto en
f t
( )
en el puntoc
se define como de indica en la figura. El salto enf t
( )
en el puntoc
se define como(
)
(
)
f c
+−
f c
− , donde(
)
li
(
)
f
+f
f
(
)
li
f
(
)
0
(
)
lim
(
)
f c
f c
ε +
ε
+
→
=
+
y0
(
)
lim
(
)
f c
f c
ε +
ε
−
→
Ejemplo 9
Determinar
L
{ }
u t
( )
, donde( )
1 ,
0
0 ,
0
t
u t
t
≥
⎧
= ⎨
<
⎩
, es la función escalón unitario.
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Determinar
L
{
f t
( )
}
sif
está definida, mediante el gráfico siguiente.Propiedades generales de las transformadas
Def: La función
f
es de orden exponencial cuandot
→ +∞
si existen constantes no negativasM
,c
yT
tales que( )
ctTeorema2. Existencia de transformadas de Laplace
Si la función
f
es continua por partes parat
≥
0
y es de orden exponencialcuando
t
→ +∞
, entonces su transformada de LaplaceF s
( )
=
L
{
f t
( )
}
existe.Más precisamente, si
f
es continua por partes y de orden exponencial cuandot
→ +∞
, entoncesF s
( )
existe para todas
>
c
.Corolario:
F s
( )
paras
grandeSi
f
satisface las hipótesis del teorema 2, entonceslim
( )
0
s
F s
→∞
=
.Teorema3. Unicidad de las transformadas de Laplace
Suponga que las funciones
f t
( )
yg t
( )
satisfacen las hipótesis del teorema 2, de modo que sus transformadas de LaplaceF s
( )
yG s
( )
existan. Si( )
( )
Ejercicios
Aplique la definición (1) para determinar directamente las transformadas de Laplace de las funciones siguientes:
1 1
≤
2
⎧
1.
( )
1 , 1
2
0 , etoc.
t
f t
= ⎨
⎧
< ≤
⎩
, 2.
Determine la transformada de Laplace de la función:
1
f t
( )
=
sin 3 cos 3
t
t
2f t
( )
= +
(1
t
)
3 3f t
( )
=
t
3/ 2−
e
−10t 1.f t
( )
=
sin 3 cos 3
t
t
, 2.f t
( )
= +
(1
t
)
, 3.f t
( )
=
t
e
.Halle la función
f t
( )
, siL
{
f t
( )
}
=
F s
( )
está dada por:3
1.
F s
( )
1
5 / 22
s
s
= −
, 2.( )
3
21
4
s
F s
s
+
=
+
, 3.3
2
( )
s
e
F s
s
−
Sea f t( ) =1 si a ≤ ≤t b, f t( ) =0 si t <a o t >b (donde 0 < <a b). Exprese a f en términos defunciones escalón unitario para mostrar que
f p q
{
( )}
as bs
e e f t
s
− − −
=
L .
(a) La gráfica de la función f se muestra en la figura siguiente.
Muestre que f se puede escribir de la forma
0
( ) ( 1)n ( )
n
f t u t n ∞
=
=
∑
− − .(b) Muestre que L
{
f t( )}
= 1(b) Muestre que
{
( )}
(1 s)
f t
s e− =
+
L .
Determine, usando la calculadora classPad 300, la transformada de la función tsint, luego, verifique su resultado aplicando la transformada
inversa Resuelva el problema usando Maple inversa. Resuelva el problema, usando Maple.
Solución:
Usando ClassPad300: Usando ClassPad300:
Usando Maple (ingrese los comandos siguientes), verifique el resultadop ( g g ), q anterior.
> with(inttrans):
> f:=t*sin(t);
>plot(f,t=0..5);plot(f,t 0..5);
> F:=laplace(f,t,s);
> F:=simplify(expand(F));
> g:=invlaplace(F,s,t);
> l t( t 0 5)
Transformación de Problemas con Valores Iniciales
Teorema1. Transformadas de derivadas
Suponga que la función
f t
( )
es continua y suave por partes parat
≥
0
y quees de orden exponencial cuando
t
→ ∞
, de modo que existen constantes nonegativas
M
,c
yT
tales quet
( )
ctf t
≤
Me
parat
≥
T
.Entonces
L
{
f t
′
( )
}
=
s
L
{
f t
( )
}
−
f
(0)
.
Corolario 1. Derivadas de orden superior
Suponga que las funciones
f
,f
′
,f
′′
,...,f
(n−1) son continuas y suaves porSuponga que las funciones
f
,f
,f
,...,f
son continuas y suaves porpartes para
t
≥
0
, y que cada una de estas funciones satisface lascondiciones del teorema anterior, con los mismos valores de
M
yc
.Entonces
{
( )}
( )
n
f
t
L
existe cuandos
>
c
yEntonces
L
{
f
( )
t
}
existe cuandos
>
c
, y{
( )}
{
}
1 2 ( 1)( )
( )
(0)
(0) ...
(0)
n n n n n
f
t
=
s
f t
−
s
−f
−
s
−f
′
− −
f
−Ejemplo 1
Resuelva el problema con valores iniciales
6
0
x
′′
− −
x
′
x
=
;x
( )
(0)
=
2
,x
′
(0)
( )
= −
1
. Ejemplo 2Resuelva el problema con valores iniciales
4
sin 3
x
′′ +
x
=
t
;x
(0)
=
x
′
(0)
=
0
. Ej l 3Ejemplo 3
Resuelva el sistema
2
x
′′ =
6
x
+
2
y
⎧
2
6
2
2
2
40 sin 3
x
x
y
y
x
y
t
= − +
⎧
⎨ ′′ = − +
⎩
,sujeto a las condiciones iniciales
(0)
(0)
(0)
(0)
0
Teorema 2. Transformada de Laplace de
tf t
( )
{
f
( )
}
( )
L
{
}
dF s
( )
Si
L
{
f t
( )
}
=
F s
( )
entonces{
tf t
( )
}
dF s
( )
ds
= −
L
.Ejemplo 4 je p o
Muestre que
{ }
1
2(
)
atte
s
a
=
−
L
. Ejemplo 5 Ejemplo 5Muestre que
{
}
2 2 2
2
sin
(
)
ks
t
kt
s
k
=
+
L
.Teorema 3 Transformadas de integrales Teorema 3. Transformadas de integrales
Si
f t
( )
es una función continua por partes parat
≥
0
y satisface la condiciónde orden exponencial
f t
( )
≤
Me
ct parat
≥
T
entonces de orden exponencialf t
( )
≤
Me
parat
≥
T
, entonces
{ }
0
1
( )
( )
t
F s
f z dz
s
s
⎧
⎫
=
=
⎨
⎬
⎩
∫
⎭
L
L f(t)
⎩
⎭
para
s
>
c
. En forma equivalente,1
( )
( )
t
F s
Ejemplo 6
D t i l t f d i d L l d G( ) 1 Determine la transformada inversa de Laplace de ( ) 2
( )
G s
s s a =
− . Ejercicios
Utilice la transformada de Laplace para resolver los problemas con valores iniciales siguientes:
1. x′′ + =x sin 2t ;; x(0)( ) = x′( )(0) =0.
2. x′′+3x′+2x =t; x(0)= 0, x′(0) =2.
2 ′
⎧
3. x x 2yt y x e−
′ = + ⎧
⎨ ′ = +
⎩ , x(0) = y(0) =0.
2 0
′′+ + +′ ′ ⎧
4. 2 0
4 2 0
x x y x y
y x y x y
′′+ + +′ ′ − = ⎧
⎨ ′′ ′ ′+ + + − =
⎩ ; x(0) = y(0) =1, x′(0) = y′(0)= 0.
{ }
n{
}
5. (a) Aplique el teorema 1 para mostrar que
{ }
n at n{
n 1 at}
t e t e
s a
− =
−
L L .
(b) Deduzca que
{ }
! 1( )
n at
n n t e
s a + =
−
6. Muestre que 1
2 2 2 3
1
sin
cos
(
)
2
kt
kt
s
k
k
−
⎧
⎫
=
−
⎨
+
⎬
⎩
⎭
L
.(
s
+
k
)
2
k
⎩
⎭
7. Si
f t
( )
=
1
en el intervalo[ ]
a b
,
yf t
( )
=
0
en caso contrario, entonces{
( )
}
as bs
e
e
f t
s
−
−
−=
L
.8. Si
f t
( )
es la función onda cuadrada cuya gráfica se muestra en la figura,entonces
{
( )
}
1
tanh
2
s
f t
s
=
L
.2
s
(Use la serie geométrica.)
Traslación y Fracciones Parciales
Teorema 1. Traslación en el eje s
Si
F s
( )
=
L
{
{
f t
( )
}
}
existe paras
>
c
, entoncesL
{
{
e f t
at( )
}
}
existe paras
> +
a c
, yL
{
e f t
at( )
}
=
F s
(
−
a
)
.Ejemplo 1 Ejemplo 1
Resuelva el problema con valores iniciales
x
′′
+
6
x
′
+
34
x
=
0
;x
(0)
=
3
,(0)
1
x
′
(0)
=
1
x
=
.Ejemplo 2
2
1
s
+
Determine la transformada inversa de Laplace de( )
3 21
2
8
s
R s
s
s
s
+
=
−
−
.Ejemplo 3
Resuelva el problema con valores iniciales 2
4
4
Derivadas, Integrales y Productos de Transformadas
D fi i ió 1 L l ió d d f i
Definición 1: La convolución de dos funciones
La convolución f ∗g de las funciones continuas por partes f y g se define para
t
≥
0
como sigue:para
t
≥
0
como sigue:0
( )( ) ( ) ( )
t
f ∗g t =
∫
fτ
g t −τ τ
d .Ejemplo 1 Ejemplo 1
Determine la convolución de f t( ) =sint y g t( ) =cost .
Teorema 1: La propiedad de convolución
Suponga que f t( ) y g t( ) son continuas para
t
≥
0
y quef t
( )
yg t
( )
están acotadas por ctMe cuando t → +∞ . Entonces, la transformada de Laplace de la convolución f t( )∗g t( ) existe para
s
>
c
; además,
{
f t
( )
∗
g t
( )
}
=
{
f t
( )
} { }
⋅
g t
( )
L
L
L
y
{
}
1
( )
( )
( )
( )
F s G s
f t
g t
−
⋅
=
∗
L
{
F s G s
( )
( )
}
f t
( )
g t
( )
Ejemplo 2
Determine, usando convolución, la función h t( ) tal que
1
2
2
( ) (s 1)(s 4) h t
− ⎧ ⎫=
⎨ − + ⎬
⎩ ⎭
L .
D i ió d t f d Derivación de transformadas
Teorema 2: Derivación de transformadas
Si f t( ) es continua por partes para t≥0 y f t( ) ≤Mect cuandot → +∞, entonces L
{
−tf t( )}
=F s′( ) paras >c. En forma equivalente,1
{
}
1 1{
}
( ) ( ) ( )
f t =L− F s = L− F s′
f t( )
{
F s( )}
{
F s( )}
t
=L = − L .
Al aplicar varias veces el teorema obtenemos
{
}
( )( ) ( 1) ( )
n n n
t f t = F s
L
L
{
t f t( )}
= −( 1) F ( )spara n∈IN .
Ejemplo 3
Determine
{
2}
sin
t kt
L .
Ejemplo 4
Determine
{
tan ( )1 1}
s −
Integración de transformadas
Teorema 3: Integración de transformadas
Si f t( ) es continua por partes para
t
≥
0
, que f t( ) satisface la condición ( ) f t 0 ( ) lim t f t t +→ exista y sea finito, y que
( )
ct
f t
≤
Me
cuando t → +∞. Entonces( )
f t ∞
⎧ ( )⎫
( )
s
f t
F d
t
σ σ
⎧ ⎫ =
⎨ ⎬
⎩ ⎭
∫
L
Para
s
>
c
. En forma equivalente,
{
}
( ) ( ) ( )
s
f t F s t F
σ σ
d∞
⎧ ⎫
= = ⎨ ⎬
⎩
∫
⎭-1 -1
L L .
Ejemplo 5
Determine sinht t
⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
L .
Ejemplo 6
Funciones de entrada continuas y continuas por partes
Teorema 1: Traslación sobre el eje t
Teorema 1: Traslación sobre el eje t
Si L
{
f t( )}
existe para s >c, entonces{
u t( −a f t) ( −a)}
=e−asF s( )L
y
{
e−asF s( )}
=u t( −a f t) ( −a) -1L
para s > +c a.
Ejemplo 1
Si 1 2 2
( )
f t = t , el teorema1 implica que
2 1
2 2( ) si 0
1
( ) ( )
as
t a t
e
u t a t a
− ⎧ ⎧ ⎫ − ≥ = = ⎨ ⎬ ⎨ -1 L
3 ( ) ( )
2 0 si 0
u t a t a
s = − − = t
⎨ ⎬ ⎨ <
⎩ ⎭ ⎩
L
Ejemplo 2
Determine L
{ }
g t( ) si
2
si 3 ( )
0 si 3
t t g t t ⎧ < = ⎨ ≥ ⎩
Ej l 3 Ejemplo 3
Determine L
{
f t( )}
si( ) cos 2 si 0 2 0 i 2
t t f t t π ≤ < ⎧ = ⎨ ≥
⎩ 0 si t 2π
⎨ ≥
Impulsos y funciones delta
d l f ó
Considere la función
,
1 si ( )
0 t i
a
a t a
d ε t ε ε
⎧ ≤ < + ⎪
= ⎨
⎪⎩ 0 en caso contrario
⎪⎩
cuyo gráfico se muestra en la figura
A partir de esta función definimos la función delta de Dirac
,
0
si ( ) lim ( )
0 si
a a
t a t d t
t a ε
ε
δ
→
+∞ = ⎧
= = ⎨
≠ ⎩
y la transformada de Laplace y la transformada de Laplace
L
{
δ
a( )t}
=e−as (a ≥0).Si escribimos
δ( )t =δ0( )t y δ(t−a) =δa( )t
entonces
Ejemplo 1
Resuelva el problema con valores iniciales Resuelva el problema con valores iniciales
x
′′
+
2
x
′
+
2
x
=
2 (
δ
t
−
π
)
;x
(0)
=
x
′
(0)
=
0
.Ejemplo 2 Ejemplo 2
Este problema trata de una masa
m
unida a un resorte (con constantek
),que recibe un impulso
p
0=
mv
0 en el instantet
=
0
. Muestre que losproblemas con valores iniciales problemas con valores iniciales
mx
′′ + =
kx
0
;x
(0)
=
0
,x
′
(0)
=
v
0y y
mx
′′ +
kx
=
p
0δ
( )
t
;x
(0)
=
0
,x
′
(0)
=
0
tienen la misma solución. Así, el efecto de
p
0δ
( )
t
consiste en proporcionar aAplicaciones a solución de problemas de Física
Ejemplo 1 Ejemplo 1
Considere el circuito RLC de la figura, con R =100 Ω, L =1 H , C =0.001 F y una batería que proporciona E0 =90 V . Inicialmente, no hay corriente en el circuito y no hay carga en el condensador En el instante t =0 el interruptor circuito y no hay carga en el condensador. En el instante t =0, el interruptor se cierra y se mantiene así durante 1 segundo. En el instante t =1 se abre y se mantiene así de ahí en adelante. Determine la corriente resultante en el circuito.
Ejemplo 2
Una masa m=1está unida a un resorte con constante k =4; no hay Una masa m 1está unida a un resorte con constante k 4; no hay amortiguador. La masa se libera desde el reposo, con x(0) =3. En el
