Algebra en IR 1-2012.pdf

Facultad de Ingeniería

Instituto de Ciencias Básicas

ALGEBRA EN EL CUERPO DE LOS REALES

I.- PROPORCIONALIDAD DIRECTA, INVERSA Y COMPUESTA

1.- Identifica cuáles de las siguientes magnitudes son proporcionales. Luego señala qué tipo de proporcionalidad las relaciona: proporcionalidad directa o proporcionalidad inversa.

a) El número de obreros y la tarea realizada. b) La edad de un padre y la de su hija.

c) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.

d) La velocidad de una bicicleta y el tiempo que demora en recorrer una distancia.

2.- En una pastelería se venden tortas de selva negra y tortas de piña. Si la razón entre el número de tortas de selva negra y de piña vendidas en un día es de 3:4 ¿Cuántas tortas de piña se vendieron en un día, si de selva negra se vendieron 30 unidades?

3.- Una municipalidad ha enviado, el año pasado, 30 personas a limpiar las calles en 30 días. Durante este año, por razones presupuestarias, sólo puede contratar a 15 ¿Cuánto tiempo tardarán en limpiar las calles de la comuna las 15 personas?

4.- Completa los datos en cada tabla y clasifica éstas según sean variaciones directamente proporcionales, inversamente proporcionales o de proporcionalidad compuesta.

a) Gastos de comida diarios por cada cinco competidores:

Gasto comida 5.000

Número de consumidores 5 10 15 20

b) Número de buses, de igual capacidad que se necesita contratar para transportar a 300 deportistas:

Capacidad por bus 10 15 20 30

Número de buses 5

Número de personas 6 12 18 3 1

Gramos de chocolate 120 240

6.- La señora Mónica necesita 4 metros de tela para confeccionar unas cortinas. Pregunta en un negocio de géneros el precio de la tela y le dicen que 1 metro cuesta $ 2.500 ¿Cuánto le costarán los metros que necesita? ¿Cuánto le costarán 31 m?

7.- Pablo decide ayudar a su mamá a preparar el arroz para el almuerzo. Su madre le dice que por cada taza de arroz hay que agregar dos de agua. Si pone 6 tazas de agua ¿cuánto arroz debe echar? Y si echa 5 tazas de arroz, ¿cuántas tazas de agua tiene que agregar?

8.- El petróleo se vende por barril. Si un barril tiene 159 litros ¿cuántos litros contienen 500 barriles? Y, ¿cuántos barriles llenaremos con 19.875 litros?

9.- Raúl se demora 8 minutos en llegar caminando al colegio, ¿cuánto tardará si un día decide ir a la mitad de velocidad que de costumbre?

10.- Divide el número 1410 en partes directamente proporcionales a los números 2, 3 y 5.

11.- Seis máquinas nivelan 24 km de camino en 2 días. ¿Cuantos km nivelarían 5 máquinas, en 3 días?

12.- Un depósito de agua contiene 325 litros de agua y el nivel del estanque asciende a 30 cm. ¿Cuántos litros contendrá si el nivel baja a 25 cm?

13.- 18 obreros, en 12 días de trabajo de 8 horas construyen 180 m. de muralla. ¿Cuántos días de 12 horas de trabajo demorarán 36 obreros para construir 450 m.?

14.- Claudio y Rodrigo compraron un número de rifa en $1.000. Claudio puso $600 y Rodrigo el resto. Si obtuvieron un premio de $200.000 y se lo repartieron en forma proporcional al dinero que aportó cada uno, ¿cuánto dinero le corresponde a Rodrigo?

15.- Los ángulos interiores del triángulo α, β, γ son entre sí como 1:2:3, ¿cuánto mide cada unos de ellos?

16.- Dos ciclistas se demoran 4 horas en llegar a la playa viajando con una rapidez de 30 km/h. ¿A qué rapidez deberán viajar para demorar 3 horas?

17.- Un rectángulo cuyo ancho mide 8 cm y su largo 12 cm, tiene un área de 96 CM2. ¿Qué ocurre con el ancho si su largo aumenta a 16 cm y su área permanece constante?

19.- Cuatro operarios producen en 10 días 320 unidades de un cierto producto. ¿Cuántas unidades del mismo producto pueden producir 10 operarios en 16 días?

20.- Se quiere terminar de reparar una iglesia en Chiloé. Si 4 personas trabajando 8 horas diarias durante 10 días repararon 13 del total,

a) ¿cuántos días, en las mismas condiciones, faltan para terminar de reparar la iglesia? b) ¿cuánto se demoran en reparar la iglesia 6 personas trabajando 6 horas diarias?

c) Si se duplica el número de personas y se disminuye a la mitad las horas diarias de trabajo, ¿en cuánto tiempo terminan de reparar la iglesia?

II.- PORCENTAJES

1.- Calcula qué porcentaje del área total del globo terrestre es el área de los mares y océanos.

2.- Calcula el porcentaje del área de Chile con respecto al área del globo terrestre y al área de América del sur.

3.- Calcula qué porcentaje de la superficie de Chile es la superficie de la Isla de Pascua.

4.- Calcula el porcentaje de la superficie de la Tierra, con respecto a la del globo.

5.- Si la superficie del Océano Pacífico, corresponde al 46% de la superficie de los mares y océanos ¿Cuál es el área del Océano Pacífico?

6.- Si el área de Brasil es 8,51 • 106 km2 a qué porcentaje de la superficie de América del sur corresponde.

7.- Calcula el porcentaje de la superficie de Brasil con respecto a la de Chile.

8.- ¿Cuál es el porcentaje de la superficie de Chile con respecto a la de Brasil?

9.- Usa la información siguiente para escribir dos problemas de cálculos de porcentajes y luego resuélvelos.

a) El seguro de salud corresponde al 7% del salario y se paga a FONASA o a una ISAPRE. b) Para la previsión (invalidez o jubilación) se paga el 12,84% al I.N.P. o un porcentaje variable si

se trata de una A.F.P.

10.- Según informe de CODELCO, la producción de cobre en Chile en 1997 fue de 1.231.000 toneladas métricas. Si en 1998 ésta aumentó en un 21,9% ¿Cuánto cobre se produjo en Chile en 1998?

11.- Una distribuidora de guantes para el trabajo en la industria metalúrgica tiene la siguiente oferta: a) por compras sobre 200 pares, se realiza un 0,5% de descuento.

b) sobre 500 pares, se realiza el 1% de descuento. c) sobre 1.000 pares, se realiza el 10% de descuento.

12.- La cubierta de una mesa rectangular mide 190 cm. de largo y 150 cm. de ancho. Por razones de presupuesto el mueblista decide construir nuevas mesas disminuyendo el largo en un 10% y el ancho en un 10% ¿En qué porcentaje disminuye el área de las nuevas mesas? ¿Cuáles son las nuevas dimensiones?

III.- ÁLGEBRA DE POLINOMIOS

1.- Reduzca términos semejantes:

a) 3x − 2y − 7xy − 12x − 9y + 6xy Resp.: − 9x − 11y − xy

b) 4x2y − 12xy + 9xy2 – xy – 12x2y + xy2 + 13xy Resp.: − 8x2y + 10xy2

2.- Encuentre la suma, la resta y el producto de los polinomios:

p(x) = −2x2 + 5x − 7 q(x) = 4x2 − 7x + 4

3.- Opere y simplifique al máximo: ( 3x + 2 )2 + x·{ 4x + 3·[ 2 − 5x·( x + 1 ) − x ] }

4.- Elimine paréntesis y reduzca:

a) 4a − (3b − a) − (b – 2a) + ( − 2a + b) – ( −4b + 5a) Resp.: b

b) 3p – [ − 2q – (r – 2p + q)] – 3r Resp.: p + 3q – 2r

c) 2m – [ − (3m + n) + (m – 5n)] – (m – 2n) Resp.: 3m + 8n

d) 4p – q – {– r + [ − p + q – (r – p + 5q) – (r – q)] – p} Resp.: 5p + 2q + 3r e) 2( a − 5b) − 3(a + 3b) + −5(a + 4b) – ( a – b) Resp.: –7a – 38b

f) 3a – 4[2a – 3(a – 3b) – (b – 4a)] – 5b Resp.: –9a – 37b

g) 4{ − 3a + 2[a – 5(b – c) – (a – b + 3c)] – b} + 4c Resp.: –12a – 36b + 20c

h) x2 – [x + 2(3x2 – x + 8) – (3x2 – 4x + 8)] – 5x + 1 Resp.: –2x2 – 8x – 7

i) a − { − 2[b – (c + a) – 2a] – (4b – c + a)} Resp.: – 4a + 6b − 3c

5.- a) Dados los polinomios:

A = 4x3 – x2 + 7x – 5; B = 5x3 + x2 – 8x – 12; C = 4x2 – 6x – 2

Determine: i) A – B + 3C Resp.: − x3 + 10x2 – 3x + 1

ii) (A – B)·C Resp.: − 4x5 – 2x4 + 74x3 – 58x2 – 72x – 14

b) Dados los polinomios:

A = 3x2 – x + 6; B = – x2 – x + 1; C = x2 + 5x – 8

Determine: i) (A – C)·(B – C) Resp.: − 4x4 + 26x2 – 138x + 126

ii) 2AC – BC Resp.: 7x4 + 34x3 – 50x2 + 63x – 88

iii) (1 – A)·(B + C) Resp.: – 12x3 + 25x2 – 27x + 35

6.- Desarrolle y reduzca:

a) (3x – 4y)·(4xy – x2 + 5y2) Resp.: − 3x3 + 16x2y – xy2 – 20y3

b) (3a – b + 6)·(a + 5b – 1) Resp.: 3a2 +14ab +3a – 5b2 + 31b – 6

c) (4x – y2)2 Resp.: 16x2− 8xy2 + y4

d) (4p − 5q3 )·(4p + 5q3 ) Resp.: 16p2 – 25q6

e) (x2 – y3)2 Resp.: x4 – 2x2y3 + y6

f ) 2(3a + 2b)2 – 5(a + 3b)·(a – 3b) Resp.: 13a2 + 24ab + 53b2

g) 3(x – 6)2 – (x + 4)2 + 4(x + 8)·(x – 8) Resp.: 6x2 – 44x – 164

h) (4p + 5q)·(4p – 5q) – (3p – 2q)2 Resp.: 7p2 – 29q2 + 12pq

i) 1 – (3a + 5b)(3a – 5b) Resp.: 1 – 9a2 + 25b2

j) 4x2 – (2x – y)(4y + x) Resp.: 2x2 – 7xy + 4y2

k) (5x – 2y)2 –4(5x + 2y)·(5x – 2y) Resp.: – 75x2 – 20xy + 20y2

l) (p +4q)2 – (p + 3q)·(p – 3q) – 5(3p – q)2 Resp.: – 45p2 + 38pq + 20q2

m) (2x2 – 5)2 – (3x2 + 1)2 – (x2 + 1)(x2 – 1) Resp.: – 6x4 – 26x2 + 25

n) [(x + y)2 – (x – y)2]2 – (xy – 3)2 Resp.: 15x2y2 + 6xy – 9

ñ) (x2 + y2)(x2 – y2) – [(3x + 4y)2 – (2y + 6x)2]2 Resp.: 648x2y2 – 728x4 – 145y4

o) 3(x – y)2(x + y) – 3(x + y)2(x – y) Resp.: 6y2 – 6x2y

p) (x+ y – z)2 + (x – y + z)2 Resp.: 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4yz

q) (2a– 3b +c)2 – (a + 3b)2 – (2a - c)2 Resp.: 8ac – a2 – 18ab – 6bc

r) (1 – a2)3 + (a2 + 2)3 Resp.: 9a4 + 9a2 + 9

s) (2x+ y)3 – (2x + 3y)3 – (x – 3y)3 Resp.: y3 – x3 – 15x2y – 75xy2

t) (a + 3)(a2 + 9)(a – 3) Resp.: a4 – 81

u) [(a + 2b)2 – (a – b)2]2 Resp.: 36a2b2 + 36ab3 + 9b4

7.- Dados los polinomios: A = 2 1

x2 – 3 2

x + 5 4

; B = 4 1

x2 – 6 1

x + 10

3

; C = 2 1

x – 1

Determine: a)

2 1

A – B + 2C Resp.:

6 5

x – 10 19

b) C2 – A – 3 1

B Resp.: −

3 1

x2 – 18

5 x +

8.- Desarrolle: a) 2 2 1 x 5 2       − b) 2 3 4 x 4 3       + c) 3 1 x 3 1       + d) 3 4 x 2 1      

− e) (

5 2

x + 4)·( 5 2

x – 4) f)

2 6 1 y 2 3 x 3 2       + −

Resp.: a)

25 4

x2 – 5 2 x + 4 1 b) 16 9

x2 + 2x + 9 16

c)

27 1

x3 + 3 1

x2 + x + 1

d)

8 1

x3 – 3x2 + 24x – 64 e)

25 4

x2 – 16 f)

9 4

x2 + 4 9

y2 –2xy+ 9 2

x – 2 1

y +

36 1

9.- Desarrolle y reduzca términos semejantes:

a) 2 2 1 x 3 2       − − ( 3 1 x + 4 1_)·( 3 1 x – 4 1

) b) x –

2 x 3 1      

− – 2·

2 4 1 x 6 1       + c) 2 1 x –             +       − − +

− 2 2 2

x 4 1 x x 4 1 5 x 3 10 1 x 2 d) 3 2 x 4 1       + – 3 1 x 2 1       − e) 2 3 y 5 2 x       + − – 2 3 1 y 10 1 x 2 1       + −

Resp.: a)

3 1

x2 – 3 2

x + 4 5

b) – 18 19

x2 + 2 3

x – 72 17

c) – 40 33

x2 + 8 21

x

d) – 64

7 x3 +

8 9

x2 + 2 3

x + 9 e)

4 3

x2 + 20

3 y2 –

10 7 xy + 3 17 x – 3 7 y + 9 80

10.- Factorice las siguientes expresiones:

a) 6x2 − 7x − 3 b) 4x2 + 9y2 − 12xy c) 4x4 y + 6x2 y3 − 11x3 y2

11.- Factorice las siguientes expresiones:

a) ax2 − 2by + 2bx2 − ay b) 4ac + 2bc − 2ad − bd

c) 3x3 + 2x2 − 12x − 8 d) 2·( 3x − 5 )2 + 5·( 3x − 5 ) − 3

e) 10·(3x−4y)2+19·(3x−4y)+6 f) 5x2 + 7x·( 2y − 3z ) − 12·( 2y − 3z )2

12.- Realice las operaciones indicadas y simplifique la expresión. Finalmente evalúe para h = 0.

= h ) 5 2x + x 3 ( ] 5 h) + 2(x + ) h + 3(x

13.- Determine si se cumplen las siguientes igualdades: a) 3 2 x , 1 x , 3x 2 13 = 1 x 5 2 3x 3 2x ≠ ≠ − − − − + b) 5 4 x , 1 x , 5x 4 31 1 x 7 4 5x 3 4x ≠ ≠ − = − − − +

14.- Opere, simplifique y/o factorice. Indique Dominio de Definición:

a) =

5x x 1 x : 8 2x x 2 x x 25 x 0 2 x x 2 2 2 2 2 + + − + − − ⋅ − − −

b) =

+ − − ⋅ + − 15 b 8 b 25 b b 5 b b 27 b 2 2 2 4

c) − =

− + + − ⋅ + − 4 b a : ab ) b (a 4ab ) b (a b a b

a 2 2

2 2 3

3

d) =

a a 1 2a a a 1 a a 2 2 − + − ⋅       − −

e) =

1 a 4a ax a 4 x a 10 3x x a a 2 2 2 2 2 2 2 1 − − + − ⋅ − − − −

f) =

) 3 x ( 3 3 x 1 x 2 2 − − − −

g) =

y x y x : y x xy y x y xy y ₂ 2 2 2 −       + − ⋅       −

+ h) =

) 2 x 2( 1 ) 2 x ( 5 2x 3 − − + +

i) =

) 3 4x x ( 1 2x 3 4x x 2 2 2

2 − +

− +

+ −

− j) =

− − − + − − 2 x x 1 x 2 ) 4 x ( 7 1 2

k) =

7) 6x x 6( 5 2x 1) 3(x x

2− −

− +

+ l) x x 2 =

1 2x 2

x 3

2− −

− +

−

m) =

) 2 x 7( 9 ) 2 x 14( 5 ) 3 x 21( 1 + − − −

+ n) x h =

1 x 1 h x 1 + − − −

o) =

1 a a a : 1 a 1 1 a 1 1 a a 2 2 2       + −       − + − −

+ p) x 2 =

2 7 2 x 4 5x − − + +

q) =

xy y 1 x 1 y 1 1 1 x 1 y y xy x 2 2 2 4 3 + − ⋅             − − ⋅ − + − −

r) =

a 4 2a ) 2 a ( a 4 a − + − −

s) =

15.- Simplifique las siguientes fracciones algebraicas: a) 25 a 4 25 a 20 a 4 2 2 − + + b) 64 x 16 x 10 x 2 2 − + − c) y 4 xy 7 20 y 12 x 35 xy 21 + + + + d) 12 x 7 x 6 x 5 x 2 2 + − + −

e)

(

₍

₎

)(

)

(

2x y

)

1 x 2 1 x y 4 x 8

2 − −

− − f) ay bx b a − −

g) ₂

2 a a 6 9 a − + − h)

(

3

)

(

)

3 2 2 x 8 x 24 x 12 x 6 − − + +

i)

₍

(

₂

₎₍

)(

₃

)

₎

3 2 x 27 10 x 7 x 8 x x x 2 15 − + + + − −

j) _{3 2 2 3}

4 4 h kh h k k k h − + − −

k) _{2 2}

3 3 y 8 xy 12 x 18 y 8 x 27 + − + m)

(

)

2 2 2 x y 3 y 9 x − −

Resp.: a)

5 a 2 5 a 2 − + b) 8 x 2 x + − c) y 5 y 3 + d) 4 x 2 x − − e) 1 x 2

+ f) –x

1

g) –

2 a 3 a + + h)

(

)

4

2 x

6

− i) x 3x 9

4 x 2 x 2 2 + + + −

j) –(h + k) k) 2 y 2 x 3 + m) y 3 x y 3 x − +

16.- Opere y simplifique como fracción algebraica:

a)

1 x

3

2 − +

1 x

4

+ – x 1 2

− Resp.: x 1

3 x 2 2 − − b) x 5 1 x 5 1 − + – x 5 1 x 5 1 + −

Resp.: ₂

x 25 1 x 20 − c) x a a 2

+ + a x x 3

− + 2 2

2 2 a x a x 3 − + Resp.: x a a −

ch) a – x – x a

a2

+ Resp.: – a x

x2

+

d)

(

)

3 3

b a

a

+ –

(

)

2

b a

ab

+ + a b

b

+ Resp.:

(

)

3

3 2 3 b a b ab a + + + e) 1 x 2 x 2 x2 − + : x 7 x 14 x 24 x 12 2 2 3 − + Resp.: 12 7 f) ab 3 b a 1 a 4 2 2 2 + − : 15 ab 5 1 a 2 + −

Resp.:

(

)

ab 1 a 2

5 +

g) ₂

a 4

a 2 x−

· _{3 3}

2 a 8 x a 2 ax − +

Resp.:

₍

_{2 2}

₎

a 4 ax 2 x a 4 a 2 x + + + h) 6 x x 16 x 2 2 − − − : 27 x 3 16 x 8 x 2 2 − + +

Resp.:

(

)(

)

i)

25 x

20 x x

2 2

− − −

·

8 x 2 x

2 x x

2 2

− +

− −

:

x 5 x

1 x

2 +

+

Resp.: x

j)

(

)

₂

2

x pq 8

2 x

+ −

·

4 x

x q p 64

2 4 2 2

− −

:

(

)

(

)

2 2

2 x

4 x

+ −

Resp.: 8pq – x2

k)

c 2 c

1 c

2 2

− −

·

1 c 2 c

1 c

2 3

+ −

−

:

1 c c

10 c 3 c

2 2

+ +

− +

Resp.:

(

)(

)

c 5 c 1 c+ +

l) (

1 x

x

− – x) · 2 2

x x

1 x 2 x

− + −

Resp.: x – 2

ll) 

  

 

+1 b

a 2

: 

  

 

−

b a 2 a 2

b

Resp.:

a 2 b

a 2

−

m)

b 2

a b4 − 4

:

(

)

_

  

 

 ₊

−

ab b a 2

2

Resp.:

(

)

2 a b a 2 − 2

−

n)

2 x y y x

x y y x

− +

−

Resp.:

y x

y x

− +

o)

20 b 2 a 10

b 2 a

10 b a 5

b a

− − +

− − +

Resp.:

(

)

b 6 a

b 3 a 2

+ +

p)

1 b a

a b a

ab a

2 2

2

− −

− +

Resp.:

(

₂

)

2

b b a

a +

q)

1 a

2 a a

a a

1 a

a

2 3

+ − +

+ _Resp.:

(

a 1

)

(

a a 1

)

a

3 _{+ +}

+

r)

2

x 1 1

x x

x 1

1 x

1 1

− −

− − +

s)

   

 

   

 

+ +

− a ab

b

a b b a

1

2 ·

1

2 2

2

b ab 2 a

b a

a −

   

 

+ −

− +

Resp.:

(

)

(

a b

)

a

b a b

+ −

t)

(

)

h

1 x

1 1 h x

1

2

2 − +

+ +

Resp.:

[

_{( )}

]

( )

1

x

1

h

x

h

x

2

2 2

+

+

+

−

−

u)

x x 1

1 x

2 1

− + −

Resp.:

(

)

2

1 x

x

+ −

v)

a 1 1

1 1

1

+ −

Resp.: a + 1

w)

2 2

x a

x 2 a x

1

x x a x a

x

− + +

− −

− _Resp.:

(

)

x a x 2

a −

x)

2 x

10 x x

2 x 2 x

2 x

2 x

− + −

− − +

− − Resp.:

(

3

)(

)

2 x 5 x− +

−

y)

y x

y x y x

y x

y x

y x

1 _{2 2}

2 2

− + − +

− −

+ −

Resp.:

x 2

y

z)

1 x

1 x

1 x x 1 x

1 x

2

+ +

+ − − −

−

Resp.:

IV.-POTENCIAS.

A.- Ejercicios de Potencias:

Opere y simplifique:

a) xa + b·xa – b·xa Resp.: x3a b) 2 0,1

1 5 2

m m

m ⋅ ⋅ Resp.: m

c) [(a + b)3x + 5·(a + b)x – 2]:(a + b)4x + 1 Resp.: (a + b)2

d) _{3a 1}

2 a 3 a 2 ) 1 x ( ) 1 x ·( ) 1 x ( − + − − − −

Resp.: 1 e) _{3 2}

3 5 2 c b a 6 c b a 18 − − −

⋅ Resp.: 3 2

b a

c 3

f) _{a 5b a b}

a 4 7 11 a 4 b a b 5 a 2 y · x 2 : 2 y · x + + − − − −

Resp.: 16x3ay2a g) ₅

a 1 4 a 16 32 · 32 + −

Resp.: 32

h) 3 2 1 x 2 3 3 x b 25 : b a · 5             +

Resp.: _{2x 3}

3 25 a + i) X 2 4 X 5 X 3 4 : 4 3 − + −      

Resp.: ₃

48 1 j) 8 X X 6 7 1 · 7

1 − −

           

Resp.: 49 k) (30 + 1)0 + 30 + 2·70 Resp.: 4

l) _{1 2}

3 2 3 6 2 4 − − − − + + Resp.: 40 27 m) 2 1 1 2 4 1 75 , 0 2 1 2 1 − − − −                   − −       − Resp.: 1

n) _{0 1 3}

2 1

3

·

3

3

3

·

3

− −

−

+

Resp.: – 6 7

ñ) xa + 5 x2 – 3a x2a – 7 Resp.: 1

o) _{3 3}

4 4 4 x x 2 x x x + + +

Resp.: x p)

( ) ( )

( )

5 2 3 3 2 ab b a

Resp.: ab

q)

( )

( )

₃ m 1 2 1 m 5 m x x x + − +

Resp.: 1 r)

2 x x 3 x x b a · b a             − − Resp.: x b a      

s)

( )

( )

m m 1 1 m m 1 m m 5 1 · 25 5 5 5 + − − −

Resp.:5m2 t) _{x x 1}

2 x x 2 2 2 4 2 3 − − − ⋅ − ⋅ Resp.: 4

u) _{x 1 x 1} 1 x x 2 · 2 2 · 2 − + −

Resp.: 22x−1 v)

w) _{x 2} 1 x 4 x 3 7 3 6 3 + + + ⋅ ⋅ −

Resp.: 1 x) _{2x 4}

5 y 2 x 5 x y 5 y 3 x p n m : p n m + − + − − Resp.:

( )

y 1 x

mn p −

y)

( ) ( )

(

_{3 2}

)

2 3 2 2 3 2 cd b a cd · b a − − − −

Resp.: _{10 4}

2 cd b a z) 2 3 4 5 4 3 1 y x 2 : y x 2             − − −

Resp.: _{7 23}

26

x

2

y

α) _{2x 1 x 3} 1 x 2 3 18 + + −

Resp.: _{3 4}

2 3

1 _β

)

( ) ( )

_{x 1} x 1 x 1 1 x x 1 x 3 3 3 : 3 3 + − − − +

Resp.: 3x + 1

γ) ₃

2 1 x x x − − − ₊

Resp.: x(x + 1) δ)

(

)

(

)

n n 2 2 x 12 a 4 x 18 a 2 − − Resp.: n 2 x 3 a       + ε) 3 3 2 3 2 x xy x 4 x 12 1 x 3 y x             + −       − +

Resp.: 8

8.- Opere, simplifique y/o factorice:

a) =

) 3a ( ) a 27 ( ) a (9 x x 3 x 2 3 10 4 2 2 3 − − + − − ⋅ b) 9 ) 3 ( ) 27 ( x x x 1 8 1 1 3 + − + _{⋅ −} −

c)

(

)

=

              − + − + y x x y y x y x 5 4 1 64

d) :4 =

2 2 ) 2 ( 2 x x x x x x − − + − ⋅ ⋅ 1 1 1

e) =

2 5 3 6 x x x 3 1 1 2 + + + + ⋅ ⋅

f) (0,125) =

4 16 32 x x 5 x x ⋅ ⋅ ⋅ − − + 1 1 4 8

g) (0,0625) =

16 4 ) ( 4 x x x 1 -x x x x 1 1 4 4 + − − ⋅ ⋅ ⋅

h) =

⋅ − − − − + 5 5 1 1 5 4 3 12 : 2 6 x x x x

i) (0,25 ) :(0,0625_x =

x x x x x x 1 1 1 32 ) 16 8 ) 4 ( + − − − − ⋅ ⋅

j) =

− − ⋅ + + + + 3 2 4 1 5 5 3 3 7 x x x x

V.- RAICES:

1.- Opere y simplifique:

1) a 2

a 1 a

4) 8 2

4 a 4 a a

6+ − + + 5) 1

4 x

x 16

x2 −

− ⋅

− 6) 5+2 6 ⋅ 5−2 6

7) n

n 2 n

24 5 5 + −

8)

2

5 2 6 5 2

6 

  



 _{+ − − 9)} 6 24 8 2

a a a

a −

10)

x

2a−1

⋅

x

1+4b 11) 18a2 18b2

b a

b

a ₋

− +

12) 4a 4b

b a

1 b

a2 2 −

+

−

13)

(

)

₍

₎

5 2 2

2

x 3 2

x 9 4 x 3 2

x 9 4

+ − ⋅ +

−

14) _{1 x}

(

3

)

x

a a a

a _{⋅ −}

− 15)

18 6 9 6 9

4 3 2

a 2 a 3

a − +

16)

y x x y

xy

−

17)

3 15

3 4 5

2

a a a

1

    

  

⋅

     

− 18)

c bc bc

bc

ac 4 2

4 4 ⋅

+

19)

6 4 3

6 3

a b b

b a a

⋅ ⋅

20) 10

2 6 4 5

2 3 4

a y x : y

x

a − −

21)

x 1 x 1 x

x x x2

− − −

−

22)

c 9 : c b c

b

4 2

4 3 12

    

  

     

+ 23) 3a

(

)

1 a

1 1 a 4 a 4 a

1 a

2 − + + + +

+

Respuestas:

1) 2 + 2a 2) 7 3) 30 - 12 6 4) 4

2 5) 2

x

+

4

6) 1 7) 5 8) 4 9) a 10) xa + 2b

11) 3 a (a + b) 12) 2(a – b) 13)

(

)

(

)

3

x 3 2

x 3 2 x 3 2

+ − −

14) ax(1 – a)

15) 0 16)

x y

xy

− 17) a 18) a + b 19) b

a a3

20) 5 _y

x a

2.- Racionalice el denominador:

a)

3 3

1

Resp.:

9 3

b)

2 2

6

+ Resp.: 3(2− 2) c)

6 2 5

6 2 5

− +

Resp.: 5 + 2 6 d)

3

6 9

Resp.:

2 36 33

e)

2 3

2 3

− +

Resp.: 5 + 2 6 f)

3 12

3 12

− +

Resp.: 3

g)

x a 2

x a

+ +

Resp.:

x a 4

x ax a 2

− − +

3.- Opere, factorice, simplifique y racionalice cuando sea necesario:

a) =

2 2

8 2

− +

b) =

3 x x 3

x 3 3 x

− +

c) 3 _x2⋅3 x =

d) ⋅3 3 −x =

8x : 2x x

e) =

3 x

5 4 7x

− − +

f) =

− − −

4 x

4 1 4 5x

1

g) =

x 1 h x

1 h

1

   

 

− +

⋅ h) 1 =

y x : xy

xy x

6 3

2 3

    

  

− −

i) _=

  

  

−

    

  

+

x 2 2

x : x

2 2

x

j) =

x 1 ) 1 x (

4 2₋

+

k) =

h 2x 2h

2x+ −

l)

(

)

=

ab 2 b a

a b a 1

2 2 2

+ −

⋅

    

  

     

−

−

m) =

x 1

x 1

x x

1 2x

2

2 3 2

−

− − −

n) =

1 x

1 1

1 x

1 2

2 2

+ −

o) = 1 x

2 2x x 4 4

x 1 1

x 1 1

− + − + ⋅ − +

p) =

3 x

5 2 x

4 7x

− − −

+

q) =

1 x

7 4 5x

3 4x

− − − +

r) 4a2b − 25ab2 + 9a2b − 16ab2 =

RESPUESTAS:

1.- 2x2 − 2x − 3; −6x2 + 12x − 11; −8x4 + 34x3− 71x2 + 69x − 28. 2.- − 15x3 − 5x2 + 18x + 4.

3.- a) (2x − 3)(3x + 1) b) (2x − 3y)2 c) x2y(4x − 3y)(x − 2y).

4.- a) (a + 2b)(x2− y) b) (2a + b)(2c − d) c) (3x + 2)(x + 2)(x − 2) d) (3x − 2)(6x − 11)

e) (15x − 20y + 2)(6x − 8y + 3) f) (x + 2y − 3z)(5x − 24y + 36z)

5.- Al simplificar se obtiene 6x + 3h + 2, y evaluando resulta 6x + 2. 6.- Ambas se cumplen.