Tema: Dinámica circular
Dinámica del Movimiento Circular
Aceleración centrípeta
Cuando una partícula se mueve con rapidez constante v en un circunferencia de
radio r, posee una aceleración de valor 2
v
r y esta dirigida radialmente 2
ˆ
v
a
r
r
Es constante en magnitud pero no en dirección.
Demuestre la relación 2
v
a
r
a) por geometría
s
v t
r
r
2
v
v
v
v
a
b) Analíticamente (tarea)
Si T es periodo y r el radio de la circunferencia la rapidez v es
2
r
v
T
* Un satélite se mueve con velocidad constante en una orbita circular próxima a la superficie terrestre. Radio = 6370km
¿Su rapidez? ¿Periodo?
2
9.81(6370)
7, 91
/
2
2 (6370)
5060
84, 3 min
7, 91
v
a
g
v
gr
km s
r
r
T
s
v
Fuerza centrípeta
Si una partícula describe una circunferencia variando su rapidez su aceleración tiene componentes tangencial y centrípeta
Esto se puede aplicar a cualquier movimiento curvilíneo, donde se considera un pequeño segmento circular de radio r
Existe una fuerza neta en dirección de la aceleración centrípeta que es la causa de su existencia.
Por la IILN
2
v
F
m
r
“centrípeta” indica solo la dirección no su naturaleza u origen No es una fuerza nueva. No va en el DCL
La fuerza centrípeta puede ser una sola fuerza debida a una cuerda, un resorte, la fuerza de la gravedad, contacto (normal o rozamiento), o a distancia (campo gravitacional o …) o una combinación de estas etc. O puede ser la resultante de varias de estas fuerzas.
Ejemplos:
Satélite, planeta, objeto atado obligado a girar, partícula en un CM, …
Tema: Dinámica circular
* Una moneda pequeña se coloca en el borde de una placa giratoria de 15 cm de radio, que gira a 30 rev/min. Halle el coeficiente de fricción mínimo para que la moneda permanezca en su sitio.
F
N
f
W
ma
2
2
0
x
y
mv
F
f
r
F
N
mg
v
mg
r
N
g
f
2
2
min
30
(
)(
)
min
60
0.15
rev
r m
v
r
rev
s
r
g
* Una bola de masa mestá suspendida de una cuerda de longitud L se mueve con rapidez constante ven un círculo horizontal de radio r.
2 x
ma
m
cos
m
0
tan
cos
xy
mv
F
Tsen
r
g
F
T
g
T
v
rg
* En un juego, las personas se sitúan sobre un borde saliente de la pared interior de un cilindro largo que gira alrededor de su eje vertical. Cuando éste alcanza una velocidad de rotación lo suficientemente alta, el borde saliente cae hacia el fondo. Halle el coeficiente de fricción mínimo para que las personas no se deslicen hacia abajo, radio 2m, periodo de 2s
F
N
f
W
ma
2
2
0
xy
mv
F
N
r
F
f
mg
rg
v
Tema: Dinámica circular
* Se hace girar un balde con agua en una circunferencia vertical de radio r. Si la velocidad en la parte más alta es vt,calcular
a) la fuerza ejercida por el balde sobre el agua; b) el valor mínimo de vt para que el agua no se salga
c) la fuerza ejercida por el balde sobre el agua en la parte más baja donde la velocidad del cubo es vb.
Fp la fuerza del cubo sobre el agua
En la parte más alta, el balde no ejerce fuerza sobre al agua
2
2
min
(
)
(
),
0
t
y y
t
p p t
v
F
ma
m
r
v
F
mg
m
F
v
rg
r
2
2 2
,
by y
b p
b p
v
F
ma
m
r
v
F
m
g
F
v
r
m
r
m
mg
Observe la fuerza centrípeta no se dibuja, why?
* En una prueba de deslizamiento, un auto recorre una circunferencia de radio 45,7m en 15,2s sin patinar
a) ¿Cuál fue su rapidez media?
b) Suponiendo que v es constante ¿Cuál fue la magnitud de la aceleración? c) ¿Cuál es el valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático?
Fe fuerza de rozamiento estático
Fn fuerza normal
a)
18
2
, 9 /
r
v
m s
T
b)
2
2
7.82 /
cv
a
m s
Tema: Dinámica circular c)
2
0
y y n n
r r e
F
ma
F
mg
F
mg
v
F
ma
F
m
r
El valor máximo del rozamiento estático es proporcional a la fuerza normal
,max
2 2
0, 797
e e n
e e
F
F
v
v
mg
m
r
rg
Peralte
Si una carretera curvada no es horizontal, sino inclinada, la fuerza normal de tendrá un componente dirigido hacia el centro del círculo que contribuye a la fuerza centrípeta. El ángulo de la pendiente (o peralte) puede elegirse de tal modo que para una determinada velocidad, no sea necesario el rozamiento para tomar la curva sin patinar En las carreteras de alta velocidad o en las pistas cubiertas para ciclismo, el borde externo de las curvas está elevado
Este peralte impide que el vehículo resbale hacia los lados en el caso de que la fricción no sea suficiente para proporcionar la fuerza centrípeta.
2
2
2
tan
0
0
tan
x x n
y n n
v
F
ma
F sen
m
r
mg
v
F
F cos
mg
F
g
cos
v
gr
* Una curva de radio 30m tiene un ángulo de peralte . Hallar el valor del ángulo para el cual un coche puede tomar la curva a 40 km/h aunque la carretera no posea rozamiento
2 2
0
1000
40
40
11.1 /
3600
(11.1)
tan
tan
0.419
9.81(30)
22.7
km
m s
h
v
gr
* Un coche de 1000 kg de masa toma una curva circular con radio de 10 m y peralte de 37° respecto a la horizontal
El camino está resbaloso, por lo que el coeficiente de fricción estática es 0.1
Tema: Dinámica circular
F
N
f
W
ma
Usando el último grafico. Las componentes son:
2
cos
cos
0
x
y
v
F
Nsen
f
m
r
F
N
fsen
mg
f
N
Continué y muestre que
4
max
1.35 10
,
9.6 /
N
x
N
v
m s
Órbita de los satélites.
http://es.wikipedia.org/wiki/Sat%C3%A9lite_artificial http://www.youtube.com/watch?v=VRYjx8Y43bY
Un ejemplo importante de movimiento circular
La fuerza de gravedad proporciona la fuerza centrípeta.
Newton el primero en describir la conexión entre las trayectorias de corto alcance y el movimiento orbital.
Él imaginó un cañón colocado en la cima de una montaña levada y disparando
balas con velocidades iniciales tangentes a la superficie terrestre,
Si se le da una velocidad inicial baja, la bala viaja en una trayectoria aproximadamente
parabólica (despreciando la resistencia del aire)
Con velocidades iniciales mayores, ésta irá cada vez más lejos antes de aterrizar. La
dirección de la aceleración de la gravedad (radialmente hacia dentro) cambia a lo
largo de la trayectoria.
La forma general de la trayectoria es elíptica.
Si la velocidad inicial es lo suficientemente alta, la bala viajará alrededor de la Tierra
(regresando al punto de partida). Quedaría entonces, en órbita.
Estudiaremos sólo las órbitas circulares, que son un caso especial de las órbitas
Asumimos que la masa del cuerpo central es mucho mayor que el del cuerpo en orbita (como si estuviese fijo)
M
m
Despreciamos cualquier tipo de fuerzas retardantes
Sea una partícula de masa m en una órbita circular estable alrededor de un cuerpo estacionario de masa M.
En la IILN,fuerza de gravedad provee la aceleración centrípeta.
g
F
ma
2
2 orb
GmM
mv
r
r
GM
v
r
Nota: la masa del satélite no interviene y la velocidad orbital decrece conforme el radio de la
órbita aumenta.
El periodo de la órbita es
2
orb
e
r
v
T
T
v
De modo que
2 3 3
2
2
4
T
r
k
G
M
T
r
Ésta es la tercera ley de Kepler (IIILK) descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler en 1619 usando datos de …
El cuadrado del periodo de la órbita es proporcional al cubo del radio de la órbita.
Tema: Dinámica circular
Las órbitas de todos los planetas del sistema solar tienen la misma constante
sol
M
M
Para la Luna y los satélites artificiales,
M
M
TierraHalle y guarde las constantes (plagio autorizado)
La IIILK es útil cuando se quiere determinar la masa del cuerpo central, o la de un planeta si éste tiene un satélite
* Los satélites terrestres de reconocimiento, exploración e inspección se lanzan algunas veces en órbitas de sólo 150 km sobre la superficie terrestre. Encuentre el periodo
5100
...
...
T
s
Min
h
?* Para las telecomunicaciones se requiere un satélite que aparezca fijo en el cielo (geoestacionario). Encuentre el radio de su órbita.
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