CAPITULO 3.1. TENSIONES Y DEFORMACIONES.

C

C

A

A

P

P

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I

T

T

U

U

L

L

O

O

3

3

T

T

E

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.

.

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Í

S

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C

O

O

S

S

División 1

1. El problema de la Incertidumbre

Cuando se deben diseñar y calcular elementos de máquinas, normalmente se presentan

diferentes factores con conllevan a una falta de certeza en el procedimiento. Entre tales

factores se pueden mencionar:

 Las propiedades (en términos cuantitativos) del material (resistencia, módulo de elasticidad, densidad, etc.)

 La falta de homogeneidad de un material, es decir las variaciones de un punto a otro en las propiedades.

 El efecto de los tratamientos térmicos en las propiedades

 Los efectos en el estado tensional de ensambles cercanos, tales como soldaduras, ajustes por contracción, etc.

 La intensidad y la distribución de las cargas.

 La verdadera eficiencia de un modelo analítico para reproducir la realidad.

 Los efectos del tiempo en las propiedades de resistencia y de geometría.

 Los efectos de deterioro superficial como el desgaste y la corrosión, entre otras.

 La verdadera longitud de la lista de incertidumbres.

Ahora bien, la tarea del ingeniero es acotar el grado de incertidumbre de una manera fiable o

mensurable, es decir en forma CUANTITATIVA. La incertidumbre está siempre al lado de

cada cambio. Las propiedades de los materiales que pueden variar a lo largo del tiempo, la distribución de la carga, la seguridad del método de fabricación del material y/o piezas de un

accesorio, entre otras tantas, son preocupaciones permanentes que posee un ingeniero en su

trabajo habitual. Para lidiar con esta incertidumbre, históricamente se ha recurrido a diferentes

metodologías o esquemas prácticos, que fueron evolucionando y adaptándose en la medida

que las técnicas ingenieriles se perfeccionaban.

La respuesta a la incertidumbre

Desde los albores de la humanidad civilizada (estimado en 4000 años AC) los

ingenieros-constructores han utilizado diferentes métodos para solucionar el problema de la

 a) El Método de imitación del éxito. También denominado método romano. Este método apuntaba (y en algunos casos aún apunta) a reproducir los casos constructivos

que han tenido éxito y han durado. Este método fue registrado por Vitruvius (en el

siglo I antes de Cristo) como ya conocido por los macedonios en el siglo III antes de

Cristo.

 b) El método del Factor de Seguridad de Carga, denominado también método de Pilos de Bizancio (datado en el siglo III AC). La esencia de este método involucra

establecer la relación entre la carga de pérdida de una función (resistencia,

desplazamiento máximo, etc.) y la carga impuesta. es decir:

impuesta carga

función la

de pérdida de

carga



d

n (3.1)

 c) El método de la tensión permisible. Este método consiste en establecer un valor de la tensión de cálculo como fracción de la propiedad más significativa del material,

es decir la resistencia. La fracción se elige sobre base de la experiencia conjunta de

ingenieros que han hecho diseños exitosos. Este método ha sido desarrollado durante

el siglo XX y principalmente encauzado por el AISC (Instituto Americano de Aceros

para la Construcción).

 d) El método de la tensión permisible vía el método del factor de diseño. Para entender este enfoque es necesario fijar un par de ejemplos. En determinado estudio,

una vez seleccionado el factor de seguridad (según el método de Pilos), se habrá

obtenido un diámetro de perno de 1.12 cm, que se extiende a 1.5 cm por el contenido de stock, como también se pueden haber calculado una cantidad de 6.6 bulones y se

adoptan 7 bulones. Estas modificaciones, cuando se efectúa un cálculo inverso,

conducen al incremento del factor de seguridad real. En este sentido hay que efectuar

una distinción entre el objetivo, que conduce al ”Factor de Diseño” y la realización,

que conduce al “Factor de Seguridad”. La tensión permisible (denominada en

algunos textos como esfuerzo permisible) se puede obtener con la siguiente expresión:

m d perm

n a resistenci



 _(3.2)

donde m es el exponente de la carga en la ecuación donde se obtiene el valor de la

tensión en función de la carga. nd es el factor de diseño.

 e) El método del factor de diseño estocástico: surgido de la problemática ingenieril de la aeronáutica y astronáutica, tiene su foco de interés en el comportamiento de

todos los elementos de una máquina funcionando como un conjunto. Esta concepción



S

nd  (3.3)

donde nd, S, y  son variables aleatorias que poseen parámetros estadísticos como “el

valor medio”, “la desviación estándar”, “distribución determinada”, etc. En consecuencia, este método recurre a técnicas de probabilidad y estadística, para

obtener un determinado valor medio de n_d , con el cual alejar lo suficiente la tensión

media  de la resistencia media S . De esta manera se puede obtener n_d de forma que la tensión media sea:

d perm

n S



 (3.4)

La metodología para analizar los casos b) a d) es conocida y propia de cursos de Resistencia

de materiales. En cambio la metodología para emplear el caso e) exige conocimientos de

estadística y de probabilidad, y se verá más adelante de este Capítulo.

El concepto de tensión y el de Resistencia

En las (3.2) se puede observar la referencia a una tensión permisible y a una resistencia. Estos,

son dos conceptos que deben quedar claros. Cuando se efectúa una comparación entre tensión

y resistencia en un lugar crítico de una pieza, como en el caso de la ecuación (3.2), suele ocurrir que se pretende establecer “la resistencia de la pieza en un sentido geométrico y condición de uso”, según puede evidenciarse en la Figura 3.1. Ahora bien el concepto de la palabra “resistencia” implica un estado específico de la “tensión” del material de la pieza en el que ocurre algo especial en la pieza, donde se modifica (generalmente se reduce) la función

de la pieza. En este sentido se entenderá que resistencias pueden ser tanto “El límite de

proporcionalidad elástico o límite de fluencia” como también “El límite de fluencia al 0.2%” como también “El límite de rotura” como también “El límite de resistencia a la fatiga”, y así siguiendo. En este contexto, cuando se deba establecer un cálculo para dimensionar una pieza,

el valor de la tensión de cálculo o permisible saldrá de la ecuación (3.2) con el factor de

diseño apropiado.

El concepto de CONFIABILIDAD

Los diseños actuales tienen una mayor presión sobre aspectos de la responsabilidad legal y la

exigencia de cumplir con determinados reglamentos o regulaciones fijados por agencias gubernamentales, nacionales o internacionales, entre las que se puede citar EPA

y la OECD (Organization for Economic Co-operation and Development). Las dos primeras

son norteamericanas, y la última europea. El método de la confiabilidad de diseño, consiste en

determinar las tensiones y las resistencias para después relacionar ambas y obtener un índice

de éxito aceptable.

Figura 3.1. Sentido Geométrico de resistencia en cuanto a la confiabilidad de diseño, (a) más seguro que (b) La confiabilidad de un elemento de máquina es la medida estadística de la probabilidad para

que el elemento de máquina no falle en funcionamiento. La confiabilidad se expresa con un

número contenido en el intervalo [0,1) es decir:





confiabili   , (3.5)

Una pieza con una confiabilidad R = 0.95, implica que sobre 100 piezas, 95 se mantienen

funcionando sin problemas y 5 presentan fallas. Queda claro que el intervalo, excluye el valor

100%, ya que es poco probable que exista una confiabilidad absoluta.

En el método de confiabilidad, el ingeniero tiene efectuar una selección adecuada de

materiales, procedimientos de fabricación, dimensiones, etc. para hacer confiable a la pieza

y/o máquina en una probabilidad determinada. Los métodos numéricos más conocidos para

encarar este problema de la confianza, se denominan, método de la propagación de errores,

método de la propagación de incertidumbre. Ejemplos de estos métodos se verán más

adelante.

2. El Enfoque Estadístico

Cuando un ingeniero tiene que velar por el buen funcionamiento de una línea de producción,

el primer estimador que se exige como control del funcionamiento global de la línea de

producción, es la calidad del producto. Si un producto, para fijar ideas considérese un perno

implica el proceso de producción en alguna etapa no funciona adecuadamente y se debe

replantear.

Durante un proceso de mecanizado (sea por control numérico computado o manual) suelen

ocurrir contingencias, algunas previsibles y otras no, que pueden modificar las dimensiones

de una serie de piezas. Los enfoques estadísticos permiten analizar si la partida de piezas

hechas posee las cualidades exigidas en términos de valores estadísticamente representativos,

los cuales son el valor medio, la desviación estándar y el coeficiente de variación de la

muestra. A su vez, variables aleatorias distribuidas en determinada forma, pueden servir para

estimar coeficientes de seguridad confiables.

Los tópicos necesarios para encarar este enfoque se extraen de cursos formales de

probabilidad y estadística, no obstante ello, un resumen de conceptos de estadística se ofrece en el Apéndice 2.

Un ejemplo introductorio. Estimación de Parámetros Estadísticos

Un ingeniero debe aceptar una partida de varilla redonda de 51 mm de acero 1035 laminado

en caliente para la fabricación de pernos en un torno CNC. Se deben estimar los principales

parámetros estadísticos para aceptar la partida de dos toneladas cuyo fabricante asegura posee una resistencia media a la rotura de 496 Mpa y un coeficiente de variación de 0.054. Se han

tomado varillas al azar y se maquinaron 9 probetas para ensayo tractivo, cuyo resultado se

exponen en la Tabla 3.1

Muestra (Sut)i [(Sut)i] 2

1 4,399E+08 1,935E+17 2 4,440E+08 1,971E+17 3 4,606E+08 2,121E+17 4 4,613E+08 2,128E+17 5 4,730E+08 2,237E+17 6 4,854E+08 2,356E+17 7 4,985E+08 2,485E+17 8 5,012E+08 2,512E+17 9 5,137E+08 2,638E+17 Suma 4,277E+09 2,038E+18

Tabla 3.1. Valores del ensayo. El valor medio de la muestra se obtiene de la ecuación (A2.2):

 

 

N 1 S

N

1 j

j ut m

ut 





.

 

 

 

ut  .  .

                  





De las dos anteriores se puede obtener el coeficiente de variación como:

 

 

S C m ut de ut

X   .

Como se puede apreciar, el coeficiente de variación es muy similar al suministrado por el

fabricante, pero la media está un 4% por debajo de lo que el fabricante asegura.

Si bien tal porcentaje no es aparentemente sustancial, no puede asegurarse que el mismo no

presente confiabilidad. Esto debe ir de la mano con un cálculo adicional del coeficiente de

seguridad a emplear y verificar que cumple con los estándares que exigen confiabilidad, por ejemplo del 98% o más, típicos de muchas industrias como la aeronáutica y aeroespacial.

Si se desea efectuar un análisis similar al precedente pero empleando los conceptos de

intervalos de clase y frecuencia de clase (ver las ecuaciones del Apéndice 2) se verá que los

valores de la media, desviación estándar y coeficiente de variación son ligeramente distintos.

Sin embargo con los conceptos mencionados establecen la idea de la distribución de la

muestra, tal como se evidencia en la Figura 3.2, propia del ejemplo evaluado.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

4,49E+08 4,68E+08 4,86E+08 5,04E+08

Sut

fi

Figura 3.2. Distribución de la muestra del ejemplo en histogramas.

Con este ejemplo se establece una primera aproximación, muy elemental al concepto de confiabilidad y sus relaciones con las distribuciones de una variable aleatoria.

Las distribuciones de las variables aleatorias aplicadas a la estimación de los

factores de diseño y de seguridad

Las variables aleatorias asociadas a distintos fenómenos se pueden representar según

diferentes distribuciones de acuerdo con las observaciones estadísticas efectuadas. Algunas

 Distribución Normal o de Gauss

 Distribución Logarítmica o log-normal

 Distribución de Weibull

 Distribución T de Student

 Distribución F de Snedecor

En este curso se le prestará mayor atención a las primeras tres por ser las de mayor injerencia

en el mundo de la ingeniería en cuanto al estudio de confiabilidad de la resistencia de un

material como el acero, en cuanto a las variantes en dimensiones y tolerancias de piezas, sus

ajustes, etc.

Las distribuciones mencionadas arriba son funciones continuas de densidad de probabilidad.

Por otro lado los ensayos que se efectúan sobre piezas o series (interpretables como variables

aleatorias) son representaciones discretas. Se emplearán las primeras sobre la base de

resultados obtenidos con las segundas para poder establecer valores confiables de los

coeficientes de diseño y de seguridad. En esta tarea intervienen distintos aspectos de las

distribuciones de las tensiones de rotura, fluencia, etc.

Determinación del coeficiente de seguridad con la Distribución Normal

Se supone que la resistencia del material (rotura o fluencia según convenga) y la tensión

actuante en una pieza particular, poseen distribución normal, dadas por S~N(Sm,Sde) y

~N(m,de) respectivamente. Se establece un margen de tensión definido por m = S – . El

margen de tensión posee también distribución normal de manera que m~N(mm,mde). La

confiabilidad es la probabilidad P de que mi > 0.

La función de confiabilidad estipulará entonces que:













P S PS Pm_i

R   (3.6)

Se recordará que la función de densidad de probabilidad siguiendo la distribución Normal de

Gauss tiene valor medio nulo y desviación estándar unitaria.

Ahora bien, para hallar la probabilidad de cumplirse m>0, se debe introducir una variable aleatoria dentro de m que se definirá como Z:

de m

m m m

Z   (3.7)

Luego, en la expresión (3.7) se sustituye m = 0 para poder normalizar la distribución, y

teniendo en cuenta que mm = Sm-m y que mde=(Sde2+de2)-1/2, se obtendrá que Z vale:

2 de 2 de

m m de

m

S S m

m 0 Z

 

    

Recurriendo a la definición del Apéndice 2, (A2.10) y al concepto de probabilidad asociado

con la distribución normal se tiene que la confiabilidad vendrá dada por:

 

_

 

_

1 2 2



 (3.9)

La variable u en la expresión (3.9) es una variable muda solo para efectuar la integración.

Téngase presente que las funciones (Z) y R(Z) están tabuladas o bien se pueden resolver en forma numérica en paquetes como Mathematica o Matlab.

Ahora bien un coeficiente de seguridad medio podría obtenerse de la siguiente expresión:

m m S n   (3.10)

Si se eleva al cuadrado la (3.8) y se emplean las definiciones de los coeficientes de variación

para las variables S y , es decir CS y C, luego quedará una ecuación cuadrática en n, de

donde surge:











S 2 2 2 2 S 2 C Z 1 C Z 1 C Z 1 1 1 n     

  _(3.11)

Para este coeficiente de seguridad y/o diseño (según se emplee), el signo positivo del segundo

término del numerador está asociado a confiabilidad mayor al 50% (R>0.5) y el signo

negativo a confiabilidad menor al 50% (R<0.5).

Un ejemplo para fijar ideas

Un acero 1018 redondo estirado en frío tiene una resistencia a la fluencia bajo una

distribución normal de Sy~N(78400, 5900) psi, se va a someter a una tensión de carga estática

con distribución normal de P ~N(50000, 4100) lb. ¿Cuál es el factor de diseño n de manera que tenga una confiabilidad de 99.9% contra la fluencia?

En la Figura 3.3 se muestra una porción de la Tabla 3.2 donde se puede apreciar que para una

confiabilidad de 99.9%, es decir R(Z)=0.999, se tiene que Z = -3.09.

Dadas las condiciones anteriores, para resolver este problema es necesario establecer valores

de la tensión actuante debida a la carga P.

El coeficiente de variación para la Resistencia a Fluencia vale:

0753 0 78400 5900 S S C m de

S    . (a)

La variable aleatoria de la tensión resistente  se establece en función de la variable P. De manera que siendo el diámetro también una variable aleatoria pero con un coeficiente de

2 d 4  P   (b)

Luego el coeficiente de variación C se obtiene a semejanza de CP para la variable P:

082 0 50000 4100 P P C C m de

P    .



 (c)

Luego de la ecuación (3.11) con Z = -3.09, C y CS se obtiene

42 1 4156 1

n .  . (d)

De tal manera que el diámetro del perno será





P 4 d Ym m . /    (e)

Veamos ahora de hacer unas comprobaciones.

Siendo el diámetro constante, el área también lo será con un valor de 0.9059 pul2. En virtud

de ello. El valor medio de la tensión resistente será

psi 55191 9059 0 50000 A P_m

m   

.

 (f)

Luego las desviaciones estándar de S y , serán

psi 590 S psi 4526 de de    (g)

Ahora bien reemplazando los valores medio y desviaciones estándar de S y , en la ecuación (3.8), se obtendrá que

12 3

Z  . (h)

en consecuencia reemplazando este valor de Z en la tabla se obtiene una confiabilidad de

99.91% es decir R(Z) = 0.9991, con lo cual el coeficiente de seguridad tiene la confiabilidad

requerida.

Figura 3.3. Porción de la Tabla 3.2. Recordar que R(Z)=1-(Z) y que (Z) es lo que se tabula en las Tablas 3.2 Los cálculos anteriores se pueden efectuar sin necesidad de tablas en el contexto del programa

Mathematica. Así pues en el siguiente recuadro se puede emplear un comando de

Obsérvese que se ha calculado R(Z) con dos alternativas llamadas RZ1 y RZ2 pero que como se puede ver valen lo mismo (para fijar conceptos efectúe algunos ejemplos adicionales en

una hoja de cálculo de Mathematica).

En consecuencia si se tiene la función R(Z) con confiabilidad 99.9% o bien R(Z)=0.999, y se

desea saber el valor de Z correspondiente se emplea el siguiente comando:

Que calcula numéricamente el valor de la raíz de la ecuación R(Z)=0.999 que es similar al

valor de la tabla hasta el segundo decimal. Finalmente para saber el valor de la confiabilidad

Nótese que empleando Mathematica se ha obtenido el mismo resultado que con la

metodología tabular.

3. Tablas para el cálculo de Confiabilidad

La siguiente Tabla presente valores integrados de la función de distribución normal

estandarizada N(0,1) para su utilización en las determinaciones de coeficientes de seguridad

por medios estocásticos empleando la Distribución Normal estrictamente, es decir:

 

_



 _

    

 Z 2 dx

2 x

2 1

Z exp

 

4. Bibliografía