Unidad 4 – polinomio I- cuarto año

Unidad 4 – Polinomio I – cuarto año

1 Enrique es dueño de una juguetería y diseño unos cubos

de madera de distintos tamaños y colores. Los cubos de madera son de cinco tamaños diferentes, con aristas de 12 cm, 10 cm, 8 cm, 6 cm y 4 cm, las caras deben estar pintadas con esmalte y las aristas cubiertas con goma para evitar bordes filosos que puedan lastimar.

Para calcular el costo de cada cubo para su fabricación

Enrique pidió un presupuesto a un taller donde se construyen distintos tipos de juguetes, y allí le dan los siguientes datos: la madera cuesta $6 el dm

³

²

se calcula que cuesta $1,50, los bordes de goma cuestan $2 el metro (o sea $0,20 el dm) y la mano de obra $3 por cada cubo.

Sin embargo, Enrique no tenía la menor idea de cómo calcular el costo de cada cubo con la información que le dieron y, preocupado, consultó a su amiga la licenciada Antonela, quien le explicó lo siguiente:

 Todos los cubos tienen un gasto fijo de $3 que es la mano de obra.

 El costo de la madera de cada cubo depende de su volumen, y éste es igual al cubo de la medida de su arista (que en adelante llamaremos x) multiplicado por el precio de la madera, o sea: 6𝒙𝟑

 Cada cubo tiene 6 caras para pintar y la superficie de cada una es 𝒙𝟐_{. Esto} multiplicado por el costo de la pintura, o sea: 6 ▪ 1,50 ▪ 𝒙𝟐 _{= 9𝒙}𝟐

 Los bordes de goma que se aplicarán sobre las 12 aristas costarán: 12 ▪ 0,20 ▪x = 2,4x

Antonela le dijo a Enrique que si suma todo lo calculado, obtenemos una función que permite calcular el costo de cada cubo según su arista:

C(x) = 6𝒙𝟑 + 9𝒙𝟐 + 2,4x + 3

Definición de monomios: Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o más variables. Al número se le llama coeficiente y la letra es la variable también conocida como parte literal.

Las expresiones del tipo a𝒙𝒏 donde a es un número real y n es un número entero mayor o igual que cero se llaman monomios.

Llamaremos grado de un monomio al exponente de la variable.

Ejemplos de monomios: 3𝑥5

_;

_;

𝑥

2

_;

_;

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

3𝑥5 _{3 𝑥}5 ₅

1 3𝑥

2

–2xb 6

Definición de polinomios: Un polinomio es una expresión algebraica que resulta de la suma de uno o más monomios.

Las siguientes expresiones son ejemplos de polinomios: P(x) = 𝑥5 _{– 2𝑥}3 _{+ 8 R(x) = 3 +} 1

2

𝑥

2 Actividad 1: Se mezclaron expresiones polinómica con algunas que no lo son, marcar con un color las que son polinomios y con otro color los que no son.

Características de los polinomios

Grado del polinomio. Coeficiente principal. Nombre según la cantidad de términos. Término independiente.

 Grado de un polinomio es el mayor de los exponentes.

 El coeficiente principal de un polinomio es el número que multiplica a la variable del monomio de mayor grado.

 El término independiente de un polinomio es aquel que no tiene ninguna variable.

 Diremos que un polinomio está completo cuando tiene escritos todos sus términos: desde el término de mayor grado hasta el término independiente.  Un polinomio se dice ordenado si los monomios que lo forman están escritos de

mayor a menor grado.

Los polinomios se clasifican según la cantidad de términos:

 Un polinomio que tiene un solo término se llama monomio.  Si el polinomio tiene dos términos se llama binomio.  Si el polinomio tiene tres términos se llama trinomio.

Actividad 2: Identificá las características para cada polinomio (Nombre según la cantidad de términos, grado, coeficiente principal y término independiente). Escribirlo de manera ordenada y completa.

a) P(x) = 7x + 2𝑥5 + 3 b) R(x) = R(x) = 5 + 1 2

𝑥

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3 Suma de polinomios: Para sumar polinomios se suman los monomios del mismo grado.

Para sumar dos polinomios, primero se ordenan (de grado de mayor a menor) y luego se completan (agregándole cero por el término x que corresponda).

Actividad 3: Dados los polinomios P(x), Q(x) y R(x) realizar la suma de polinomios que se detallan. P(x) = 2𝑥3 – 5𝑥2 – x + 7

;

2

𝑥

2

_{– 4}

_;

a) P(x) + Q(x) b) Q(x) + P(x) c) P(x) + R(x) d) R(x) + Q(x) e) R(x) + Q(x)

Un polinomio es opuesto de otro, si tiene todos los signos contrarios, es decir, el opuesto de P(x) es – P(x).

Dos polinomios son opuestos si al sumarlos se obtiene el polinomio nulo.

Polinomio nulo es cuando todos sus coeficientes son cero. Ejemplo: P(x) = 0𝑥3_{+ 0𝑥}2 _{+ 0x + 0}

Resta de polinomios: Para restar dos polinomios, se restan los monomios del mismo grado.

Primero se ordenan (de grado de mayor a menor) y luego se completan (agregándole cero por el término x que corresponda).

Otra manera de realizar la resta:

Al polinomio minuendo se le suma el opuesto del sustraendo.

Actividad 4: Dados los polinomios P(x), Q(x) y R(x) realizar la suma de polinomios que se detallan. P(x) = 2𝑥3 _{– 5𝑥}2 _{– x + 7}

_;

2

𝑥

2

_{– 4}

_;

4 Actividad 5: P(x) = 2𝑥3 – 5𝑥2 _{– x + 7}

a) Considera el polinomio P(x) y proponé un polinomio S(x) para que P(x) + S(x) = 0. ¿Cómo son P(x) y S(x)?

b) Considera el polinomio P(x) y proponé un polinomio S(x) para que P(x) – S(x) = 0. ¿Cómo son P(x) y S(x)?

Actividad 6: Completa los espacios en blanco con los términos que faltan para obtener lo que se indica en cada caso.

Multiplicación de un número real por un polinomio: Para multiplicar un número real por un polinomio se distribuye el número real en cada término del polinomio. La multiplicación de un número real por un polinomio es otro polinomio.

Actividad (para realizar en la casa): Dado el polinomio P(x) = 4x² – x + 7 realizar las siguientes multiplicaciones.

a) –3 P(x) b) 2 P(x) c) 1 2

P(x)

Multiplicación de monomios: La multiplicación de dos monomios es otro monomio, donde se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes (grados).

a xn _{· b x}m _{= (a · b )x}n + m

Multiplicación de polinomios: La multiplicación de dos polinomios es otro polinomio, se utiliza la propiedad distributiva multiplicando cada término (o monomio) del primer polinomio con cada término o monomio del segundo polinomio.

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5 División de dos monomios: La división de dos monomios es otro monomio si el grado del divisor es menor que el del dividendo, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes (grados).

a xn _{: b x}m _{= (a : b )𝑥}𝑛 − 𝑚

Ejemplos: División de monomios a) P(x) = 3𝑥3 _{: Q(x) = 2x}

b) G(x) = 9x³ : J(x) = 3x

c) H(x) = 5x : M(x) = –7x

d) P(x) = 5x : H(x) = 1 2x

División de dos polinomios

Para dividir polinomios se realiza un procedimiento similar al de la división entre números.

 El resto tiene menor grado que el divisor (o es el polinomio nulo).  El grado de C(x) es la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x).

 Si el dividendo P(x) tiene menor grado que el divisor Q(x), no se puede realizar la división.

Procedimiento para realizar la división:

 Primero, se ordena y completa el dividendo de grado de mayor a menor, también se ordena el divisor.

 Segundo, se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor,

 Tercero, se multiplica el resultado obtenido anteriormente por el divisor  Cuarto, se resta el resultado obtenido al dividendo.

Se sigue así hasta obtener un polinomio de menor grado que el divisor, el cual será el resto resto.

Verificación del resultado: Dividendo = Divisor ▪ Coeficiente + Resto El resto tiene menor grado que el divisor.

6 Actividad 8: Resolver cada división y luego escribir el cociente C(x) y el resto R(x).

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7 Actividad 10: Responder verdadero o falso.

 En una división de polinomios el grado del cociente es igual al grado del dividendo.

 En una división de polinomios el grado del cociente siempre debe ser mayor que el grado del divisor.

 En la división de polinomios el grado del resto debe ser menor o igual que el grado del cociente.