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PRESABERES ALGEBRA SUPERIOR
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PROFESOR: LUIS HUMBERTO QUINTERO SUAREZ
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PROFESOR: LUIS HUMBERTO QUINTERO SUAREZ
PRESABERES
LIGERO REPASO
1- a+a=2a 2- axa=a.a=a2 3-
a
÷1=a y 1xa =14- −
(
a+b)
=−a−b 5-−
( )
a
2=
−
( )( )
a
a
=
−
6-
a
(
a
+
b
)
=
a
2+
a
.
b
7-−
a
(
a
+
b
)
=
−
a
2−
a
8- a0 =1 a1 =a a
9-
a a 2
2 −1 =
( )
2.a −110-
(
a
+
b
)(
a
+
b
) (
=
a
+
11-(
a
+
b
)(
a
−
b
)
=
a
2−
12-(
a
−
b
)(
a
−
b
) (
=
a
−
13- a(
x+y)
=a.x+a.y14- −a.
(
x+y)
=−a.x−Expresión Algebraica: es una combinación de números y símbolos,
cualesquiera y puede tener uno o varios términos:
2 . 3 . 5 . 4 .
5 − + − +
x y x x
x
Término: es cada una de las partes de una expresión algebraica separadas por + o
22
y x
,
−
2
x
2y
,3
2x− 3y2 es una expresión algebraica con dos términos
Factor: es cada uno de los componentes de un término; 5 y
5.x2 de la expresión algebraica
3
.
.
3
x
y
−
de la expresión algebraica Elegido un factor un coeficiente3
− es el coeficiente de
x
es el coeficiente de−
PRESABERES
a−a=0
a
÷ = =1a a a
a a ax
a= 1= .1= .
1 +
(
a+b)
=a+b−
(
a−b)
=−a+b2
a
−
( ) ( )( )
−
a
2=
−
a
.
−
a
=
a
(
a
−
b
)
=
a
2−
a
.
b
b
a.
−
a
(
a
−
b
)
=
−
a
2+
a
.
b
a a axa
a2 = = .
a a−1 = 1
2 2 1
a a− =
a
. 2
1
1 =
)
2 2 2.
.
2
a
b
b
a
b
=
+
+
+
2 2 2
.
.
b
a
b
b
a
b
a
+
−
=
−
−
)
2 2 2.
.
2
a
b
b
a
b
=
−
+
−
a
(
x−y)
=a.x−a.yy a.
− −a.
(
x−y)
=−a.x+a.y: es una combinación de números y símbolos, que representan números
puede tener uno o varios términos:
a
5.x4
.
x
Son expresiones algebraicas: es cada una de las partes de una expresión algebraica separadas por + o
3
son términos de una expresión algebraicaes una expresión algebraica con dos términos
es cada uno de los componentes de un término; 5 y x2 son los factores del término de la expresión algebraica
5
.
x
2−
3
.
x
.
y
2 −3x
yy
3 son los factores del términode la expresión algebraica
5
.
x
2−
3
.
x
.
y
3coeficiente es lo que queda del término así: en el término
es el coeficiente de
x
.y
3 3.
3
y
−
2
a
b
( )
2 2
. 4
1 2
a a − =
que representan números
(
a+b)
.xx y x 3. .
5 −
: es cada una de las partes de una expresión algebraica separadas por + o - entre sí.
son términos de una expresión algebraica
son los factores del término
son los factores del término
3
y
es el coeficiente de −Si el coeficiente es un número se llama Coeficiente Numérico Dos términos son similares
El Grado de un término es la suma de los exponentes de las variables del término
el grado del término
−
3
Monomio: es una expresión algebraica
son monomios.
Polinomio: es una expresión algebraica que consta de mas de un término:
x
2−
2
.
x
3+
3
.
x
Binomio: es un polinomio que consta de dos términos: Trinomio: es un polinomio que consta de tres términos:
2 . 6 .
5 x2 − y+ a
Símbolos de Agrupamiento
Si en una expresión figura más de un símbolo de agrupamiento, para suprimirl
por los interiores:
{
y x 3 2 −
PRODUCTOS NOTABLES
Son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección (sin hacer el procedimiento paso a paso)
a- a
(
b+c)
=a.b+a.cb-
(
a
+
b
)(
a
−
b
)
=
a
2−
c-a
2−
b
2=
(
a
+
b
)(
a
−
d-(
a
+
b
)
2=
a
2+
2
.
a
.
b
e-
(
a
−
b
)
2=
a
2−
2
.
a
.
b
f-a
2+
2
.
a
.
b
+
b
2=
(
a
g-
a
2−
2
.
a
.
b
+
b
2=
(
a
h-
(
a
+
b
)
3=
a
3+
3
.
a
2.
i-
(
a
−
b
)
3=
a
3−
3
.
a
2.x
. 3
−
Si el coeficiente es un número se llama Coeficiente Numérico
Dos términos son similares o semejantes cuando solo se diferencian en el
es la suma de los exponentes de las variables del término
3
.
.
3
x
y
es 1+3=4 el grado de una constante es cero : es una expresión algebraica de un solo término: 3.a , −5.es una expresión algebraica que consta de mas de un término:
1
−
x
: es un polinomio que consta de dos términos: a+b , x− y
: es un polinomio que consta de tres términos: a+b−c , a.x
Símbolos de Agrupamiento: son los paréntesis
( )
, los corchetesindican que los términos encerrados en ellos se consideran como una sola cantidad
Si en una expresión figura más de un símbolo de agrupamiento, para suprimirl
(
x y)}
x{
y x y}
x y x y− + =2 − 3 − − =2 −3 + +PRODUCTOS NOTABLES
Son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección (sin hacer el procedimiento paso a paso)
2
b
−
)
b
−
Diferencia de Cuadrados 2b
b
+
Binomio al Cuadrado 2
b
b
+
)
2b
+
Trinomio Cuadrado Perfecto
)
2b
−
3 2
.
.
3
.
b
+
a
b
+
b
Binomio al Cubo 3
2 .
.
.
3
.
b
+
a
b
−
b
ando solo se diferencian en el coeficiente numérico es la suma de los exponentes de las variables del término
el grado de una constante es cero
x a. . ,
3
.
2y
x
y
2
.
x
.
y
2.
z
es una expresión algebraica que consta de mas de un término: a+b , a.x−y+z
,
a
y
x
a
2 2
5
.
.
−
1 . 2 +
− y
x ,
, los corchetes
[ ]
y las llaves{ }
se indican que los términos encerrados en ellos se consideran comoSi en una expresión figura más de un símbolo de agrupamiento, para suprimirlos se comienza
y x y=3 −2
+
j-
a
3+
b
3=
(
a
+
b
)
(
a
2k-
a
3−
b
3=
(
a
−
b
)
(
a
2 l-(
a
+
b
+
c
)
2=
a
2+
b
Ejercicios:-
(
3
.
x
+
2
.
y
)
2=
-
(
2
.
x
−
3
.
y
)
2=
-
9
.
x
2−
4
.
y
2=
-(
2.y+3.x)(
2.y-
(
2
.
x
−
3
.
y
)
3=
-
8
.
x
3−
27
.
y
3=
DESCOMPOSICION FACTORIAL
Términos Semejantes o Similares
parte literal (iguales letras afectadas de iguales exponentes) solo numérico:
3.x
x
−
5
.
a
2.
x
,
−8.a2.x,x
n+1,
3.xn+1, . .
3ay
6
.
a
.
y
,
−
8
.
a
2.
y
,
.
y
2b
−
3.x2Reducción de Términos Semejantes
término dos o mas términos semejantes. Ejemplos:
a- 2.b.x−3.b.x=−b.x b- 3.bx−2.bx =bx
c- 2 2 2 . 8
1 . 4 1 . 2 1
x x
x − +
d- ex ex . 8 1 4 1 .
8 1 . 4 1
− = −
e- x x x
2 1 . 2 3
2 + −
−
f-
3
.
x
.
y
2−
x
.
y
+
5
−
2
.
x
.
y
26
.
.
3
.
2−
+
=
x
y
x
y
)
2 2
.
b
b
a
+
−
Suma o Diferencia de Cubos
)
2
.
b
b
a
+
+
c
b
c
a
b
a
c
b
2+
2+
2
.
.
+
2
.
.
+
2
.
.
)
=− x
y 3.
=
DESCOMPOSICION FACTORIAL
érminos Semejantes o Similares: Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma
parte literal (iguales letras afectadas de iguales exponentes) solo difieren en el coeficiente
, 2.a2.x Son términos semejantes
y
No son términos semejantes
Reducción de Términos Semejantes: Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo
término dos o mas términos semejantes.
2 2
. 8 3 . 8 1 4 1 2 1
x x =
+ − =
x x
e
e .
8 1 . =
x x
x
6 5 2
1 2 3
2 =
− + −
=
+
−
−
=
−
−
+
+
3
.
.
3
5
.
.
2
3
.
.
22
.
.
2.
2y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
Suma o Diferencia de Cubos
: Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma difieren en el coeficiente
: Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo
=
−
+
+
−
Factores: Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a los factores que
multiplicados entre si dan como0 resultado la expresión dada.
a
y a−b son factores de Los factores de x=x +5.x+6
Descomponer en Factores o Factorizar o Factorar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus Factores.
CASO I: Cuando todos los términos de la Expresión Algebraica tienen un Factor Común
- Factor Común un Monomio
Ejemplos: . a−2a2 →
.
a
2−
3
.
a
3→
.
6
.
x
2.
y
−
2
.
x
.2
.
x
3.
y
−
x
.
y
- Factor Común un Polinomio
Ejemplos: .
(
a−1)
.y−2(
. b(
y+z) (
− x. a.
(
x+1)
−x−.
(
x−2)(
x−1) (
− x−1)(
x+3)
CASO II: Factor Común porEjemplos:
. 2.a.x−4.b.x+a. ó . 2.a.x+a.y−4.b
CASO III: Trinomio Cuadrado Perfecto
- Una cantidad es Cuadrado Perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad
2
.
16
y
es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de2 2
.
.
9
x
y
es cuadrado perfecto pues es el cuadrado de- Un Trinomio es Cuadrado Perfecto cuando es el cuadrado de un Binomio 9
. 6 2 + +
x
x es un trinomio cuadrado perfecto pues
2
.
.
12
.
9
x
−
x
y
+
2.
24
.
36
x
−
x
y
- Un trinomio es cua
es igual al duplo de la raíz cuadrada del producto de aquellos
Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto : Sacamos la raíz cuadrada del primer y tercer término y separamos éstas r
eleva al cuadrado.
4
.
x
2−
: Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a los factores que multiplicados entre si dan como0 resultado la expresión dada.
son factores de a2 −a.b porque al multiplicar 6
. 5 2 + +
x
x son
(
x+2)
y(
x+3)
porqueFactores o Factorizar o Factorar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus Factores.
: Cuando todos los términos de la Expresión Algebraica tienen un Factor Común
Factor Común un Monomio
(
a)
a1−2(
a
)
a
21
−
3
.
→
(
y
x
)
x
x
3⇒
2
.
23
.
−
(
x
y
x
)
y
x
y
x
y
2+
3
.
2.
⇒
.
2
.
2−
+
3
.
Factor Común un Polinomio
(
a−1)
.x⇒(
a−1)(
y−2.x)
)(
y z) (
y z) (
(
b x a)
) (
y z)(
ba + ⇒ + − − ⇒ +
−
(
1) (
1) (
1)(
1)
1⇒ + − + ⇒ + −
− a x x x a
) (
⇒ x−1)
(
x−2−(
x+3)
) (
⇒ x−1)(
x−2−x−: Factor Común por Agrupación de Términos
(
a b) (
ya b) (
a xy b y
a. −2. . ⇒2. −2. + −2. ⇒ −2.
(
x y)
b(
x y) (
x ay b x
b. −2. . ⇒ 2. + −2. 2. + ⇒ 2. + : Trinomio Cuadrado Perfecto
Una cantidad es Cuadrado Perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad
es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 4 es cuadrado perfecto pues es el cuadrado de 3.
Un Trinomio es Cuadrado Perfecto cuando es el cuadrado de un Binomio
es un trinomio cuadrado perfecto pues
(
x
+
3
2
.
4
y
+
es un trinomio cuadrado perfecto pues es igual a2
.
4
y
+
es un trinomio cuadrado perfecto ?Un trinomio es cuadrado perfecto si dos términos son cuadrados perfectos y el tercero es igual al duplo de la raíz cuadrada del producto de aquellos
Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto : Sacamos la raíz cuadrada del primer y tercer término y separamos éstas raíces por el signo del segundo término y el binomio así formado se
2
.
25
.
.
20
x
y
+
y
═>4
.
x
2=
2
.
x
y 25.y2: Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a los factores que
porque al multiplicar
a
(
a
−
b
)
=
a
2−
a
.
b
porque(
x+2)(
x+3)
=Factores o Factorizar o Factorar una expresión algebraica es convertirla en el
: Cuando todos los términos de la Expresión Algebraica tienen un Factor Común
) (
y z)(
a b x)
ax+ ⇒ + + −
−
) (
1)( )
5 5(
1)
3 ⇒ − − =− −
− x x
)(
x y)
b 2. + .)(
a b)
y −2.+
Una cantidad es Cuadrado Perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad
y
.
y x. .
Un Trinomio es Cuadrado Perfecto cuando es el cuadrado de un Binomio
)
6
.
9
3
2=
x
2+
x
+
es un trinomio cuadrado perfecto pues es igual a
(
3
.
x
−
2
.
y
)
2drado perfecto si dos términos son cuadrados perfectos y el tercero es igual al duplo de la raíz cuadrada del producto de aquellos
Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto : Sacamos la raíz cuadrada del primer y tercer aíces por el signo del segundo término y el binomio así formado se
y
. 5 2 =
CASO IV: Diferencia de Cuadrados Perfectos
Ejemplos:
a- 25 2−
x a2
b-
25
.
y
16
.
x
2 2
−
c-
4
.
x
−
(
x
+
y
)
=
2 2CASO V: Trinomios de la forma
Buscamos dos números que multiplicados den ═>
(
x±≈)(
x±≈)
Ejemplos:
x
2+
3
.
x
−
10
=
(
x
+
( )(
5
3
15
.
8
2
−
+
=
−
−
x
x
x
x
CASO VI: Trinomios de la forma
Ejemplo:
6.x2 −7.x−3 multiplicamos y dividimos por 6 ═>
(
)(
2 3
. 6 9 .
6 − +
x x x
Ejemplo:
8. 2 −14. −15⇒
x x
CASO VII: Suma o Diferencia de cubos perfectos
a
3+
b
3=
(
a
+
b
Ejemplos:-
x
3−
1
=
( )
x
−
1
-8
.
x
3+
27
.
y
3=
-
27
.
x
3.
y
3−
8
=
MAXIMO COMUN DIVISOR
El MCD de dos o más polinomios producto obtenido al tomar todos los (exponente) de cada uno de ellos. Ejemplos:el MCD de:
2
3.
3
2.
(
x
−
y
) (
3ya está factorizado
el MCD de:
4
.
x
2+
4
.
x
.
y
═>4
.
x
(
x
+
y
)
=
: Diferencia de Cuadrados Perfectos
a
2−
b
2=
(
a
+
b
)(
a
−
b
2 2
x
= b2 =25 ═>
a
=
x
y b=5 ═>(
x(
5
.
y
4
.
x
)(
5
.
y
4
.
x
)
2
=
+
−
(
)
[
x
+
x
+
y
]
[
x
−
(
x
+
y
)
]
=
(
x
+
x
+
y
)(
=
2
.
2
.
2
.
2
: Trinomios de la forma x2 ±b.x±c coeficiente de x2 es 1 Buscamos dos números que multiplicados den
c
y sumados den)(
2
)
5
−
+
x
15
+
8
.
x
+
x
2=
x
2+
8
.
x
+
15
)
3
−
x
2+
3
.
x
+
28
=
−
(
x
2−
3
.
x
−
28
)
=
−
(
x
−
: Trinomios de la forma a.x2 ±b.x±c para a≠1
multiplicamos y dividimos por 6 ═>
( )
6.2 −
x
) (
2. 3)(
3. 1)
2
+ −
⇒ x x
( )
( )
(
)(
)
2 4
6 . 8 20 . 8 8
120 .
8 14 .
8 2
= + −
⇒
− −
⇒
x x x
x x
: Suma o Diferencia de cubos perfectos
)
(
2 2)
.
b
b
a
a
b
−
+
ya
3−
b
3=
(
a
−
b
)
(
a
2+
a
)
(
x
2+
x
+
1
)
( ) ( ) (
3 3)
(
2.
9
.
.
6
.
4
.
3
.
2
.
3
.
2
x
+
y
=
x
+
y
x
−
x
y
+
y
=
(
3
.
.
)
3−
2
3=
(
3
.
.
−
2
)
(
9
.
2.
2+
6
.
.
+
4
=
x
y
x
y
x
y
x
y
MAXIMO COMUN DIVISOR M.C.D
divide exactamente a cada polinomioEl MCD de dos o más polinomios: Factorizamos cada uno de los polinomios y el MCD es el producto obtenido al tomar todos los factores comunes elevados a la
(exponente) de cada uno de ellos.
(
)
22
+
x
,2
2.
3
3(
x
−
y
) (
2x
+
2
)
3 y3
2.
(
x
−
y
ya está factorizado ═>3
2.
(
x
−
y
) (
2x
+
2
)
y
2
.
x
4−
2
.
x
2.
y
2 factorizamos cada polinomio(
x
y
)
x
+
=
2
2.
y2
.
x
2(
x
2−
y
2)
=
2
.
x
2(
x
+
y
)(
)
b
)(
5)
5 −
+ x
x
) (
x
y
)(
x
y
)
y
x
x
−
−
=
3
.
+
−
.
2
es 1 y sumados den b
(
)
(
5
3
)
15
=
x
+
x
+
)(
4
) (
7
)(
4
)
7
+
=
−
+
−
x
x
x
( )
6
18 . 6 .
7 −
− x
═>
(
2. −5)(
4 +3)
= x x
)
2
.
b
b
a
+
)
2y
)
4
divide exactamente a cada polinomio
Factorizamos cada uno de los polinomios y el MCD es el
factores comunes elevados a la menor potencia
) (
2x
+
2
)
y
es:factorizamos cada polinomio
═> MCD=2.x
(
el MCD de:
2 6
x x − , 5
x
2 6
x
x − ═>
x
2( )
x
4−
1
⇒
2 3 4 5
x x x
x − + − ═>
x
22.x 2.x 2.x 2.x 3 4
6 + − −
MINIMO COMUN MULTIPLO
El M.C.M de dos o mas polinomios: Factorizamos cada uno de los poli producto obtenido al tomar todos los
potencia (exponente)
Ejemplos:
el M.C.M de: 2x2 , 6x3
el M.C.M de: 15x2 , 10 15x2 ⇒3.5.x2 ,
10
x
═> MCM=
45
x
3(
2
x
el M.C.M de: 24a2.x
,
factorizamos cada polinomio
24.a2.x⇒23.3.a2.x
18
═> MCM=
2
3.
3
2a
2x
2y
═> MCD = MAXIMO COMUN DIVISOR comunes con su menor exponente
═> MCM = MINIMO COMUN MULTIPLO comunes y no comunes con su mayor exponente
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, y los términos de la fracción son el numerador y el denominador
Ejemplos de fracciones algebraicas:
Para el cálculo de fracciones algebraicas las reglas son las mismas que para las fracciones aritméticas y una fundamental es que el valor de una fracción algebraica no se altera si se multiplican o dividen el numerador y el denominador por una misma cantidad diferente de cero.
Tres signos están asociados a una fracción: El correspondiente al numerador, el correspondiente
(
x+y)
2 3 4
x x
x + −
− y 2.x6 +2.x4 −2.x3 −2.x
factorizamos c/polinomio
( )( )
21
21
2( )
21
( )( )
1
1
2
−
+
⇒
+
+
−
⇒
x
x
x
x
x
x
x
(
3 21
)
2[
2( ) ( )
1
1
]
22
−
+
−
⇒
−
+
−
⇒
x
x
x
x
x
x
x
x
═>
2
(
+
−
−
1
)
⇒
2
[
( ) (
+
1
−
2 2
3 2
3 5
x
x
x
x
x
x
x
x
═>
2
( )
1
( )
1
(
1
)
2
2
+
−
+
+
x
x
x
x
x
═> MCD=MINIMO COMUN MULTIPLO M.C.M
es divisible por cada uno de los polinomios El M.C.M de dos o mas polinomios: Factorizamos cada uno de los polinomios y el M.C.M es el producto obtenido al tomar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor3
y 9x4 ═> MCM=2x32.x4 =18x4
x
x2 +5 y 45x3 factorizamos cada polinomio
(
2
1
)
5
5
2
+
⇒
+
x
x
x
x
y 45x3 ⇒32x5.x3 ═> MCM=)
1
+
,
18
x
.
y
2 , 2x3+2x2 −40.xy 8.x4 −200. factorizamos cada polinomio
2 2 2
.
.
3
.
2
.
18
x
y
⇒
x
y
8
.
x
4−
200
.
x
2⇒
8
x
2(
x
2(
5
)(
5
)(
4
)
2
+
−
−
x
x
x
y
> MCD = MAXIMO COMUN DIVISOR comunes con su menor exponente
> MCM = MINIMO COMUN MULTIPLO comunes y no comunes con su mayor exponente
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, y los términos de la fracción son el numerador y el denominador
de fracciones algebraicas: 2 3
4 3
b a
ab
y
x
a
x
−
+
(
4)(
2 2
+ −
x x
Para el cálculo de fracciones algebraicas las reglas son las mismas que para las fracciones aritméticas y una fundamental es que el valor de una fracción algebraica no se altera si se
en el numerador y el denominador por una misma cantidad diferente de cero.
Tres signos están asociados a una fracción: El correspondiente al numerador, el correspondiente factorizamos c/polinomio
( )
x
−
1
( )
x
2+
1
)
]
⇒
( )( )
+
−
⇒
+
1
2
21
31
2
x
x
x
═> MCD=
.
( )
1
( )
1
2
+
−
x
x
x
es divisible por cada uno de los polinomios
nomios y el M.C.M es el
factores comunes y no comunes elevados a la mayor
factorizamos cada polinomio
═> MCM=
3
2.
5
(
2
x
+
1
)
2 .x
)
2
.
(
5
)(
5
)
25
⇒
3 2+
−
−
x
x
x
> MCD = MAXIMO COMUN DIVISOR comunes con su menor exponente
> MCM = MINIMO COMUN MULTIPLO comunes y no comunes con su mayor exponente
Es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, y los términos de la fracción son el
(
4)
1 2
− +
x x
1 2 1
1
+ +
−
x x x
Para el cálculo de fracciones algebraicas las reglas son las mismas que para las fracciones aritméticas y una fundamental es que el valor de una fracción algebraica no se altera si se
en el numerador y el denominador por una misma cantidad diferente de cero.
al denominador y el co0rrespondiente a la fracción:
b a b a
= − −
−
REDUCCION O SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Es cambiarla de forma sin cambiar su valor y ésta nueva fracción es irreducible
Debemos factorizar tanto el numerador como el denominador y simplificar los factores comunes.
Ejemplos : a -
y
x
xy
x
−
+
−
4
2 2
b-
( )(
(
2
1
1
22
+
−
−
x
x
x
x
c-
(
) (
( )(
1
2
−
+
−
−
x
x
x
x
Muchas veces la simplificación implica cambio de signos
Ejemplo:
x x
x =
− + −
2 2 3 2
Ejercicio factorizar:
=
−
+
−
2 2
1
2
3
x
x
x
?
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
- SUMA Y RESTA de fracciones algebraicas a- Que tienen el mismo denominador
Ejemplo:
5
2
5
4
5
7
−
+
−
Ejemplo:
4
1
1
−
−
−
−
−
x
x
b- Que tienen distinto denominador
Debemos hallar el MCM (mínimo común múltiplo) de los denominadores que es el nuevo denominador común
al denominador y el co0rrespondiente a la fracción:
b a
−
b a
− y −
b a b
a =−
(
)
(
)
y
x
m
n
x
y
m
n
y
x
n
m
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
REDUCCION O SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
sin cambiar su valor y ésta nueva fracción es irreducible
Debemos factorizar tanto el numerador como el denominador y simplificar los factores comunes.
(
)(
)
(
)(
)
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
+
−
=
−
+
−
−
=
+
3
3
3
2 2
para
x
−
y
)
)(
)
( )( )(
( ) (
1
3
)( )
)( )
1
1
1
3
1
1
3
4
1
3
2
2 2
2
=
+
+
−
−
+
−
+
=
+
+
−
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
)
1
1
−
−
no se puede simplificar
ojo con éste signo
Muchas veces la simplificación implica cambio de signos
(
)( ) (
)( )
(
)
( )
x xx x x x
x
x =− − = −
− −
− − = −
− −
1 1 2
1 2 2
1 2
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
SUMA Y RESTA de fracciones algebraicas Que tienen el mismo denominador
5
4
5
1
2
4
7
5
1
=
−
+
−
=
−
(
)
1
4
4
1
1
4
4
1
1
1
4
2 2−
+
−
+
−
=
−
+
−
−
−
=
−
+
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
Que tienen distinto denominador
Debemos hallar el MCM (mínimo común múltiplo) de los denominadores que es el nuevo denominador común
b a
− las tres son iguales
x
m
REDUCCION O SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
sin cambiar su valor y ésta nueva fracción es irreducible
Debemos factorizar tanto el numerador como el denominador y simplificar los factores comunes.
0
≠
y
5
1
5
4
2 2+
=
−
−
+
=
+
x
x
x
x
x
Ejemplo:
−
+
−
20
1
10
7
5
4
4
3
═>
3
( ) ( )
5
−
4
4
Ejemplo:
=
−
−
14
1
2
3
2
2x
x
si se puede simplificar se Ejemplo:
2
1
2
2 2
+
−
+
+
x
x
x
x
═>
(
)(
(
2 1 2 + + x x x xEjercicios: Simplificar
a-
3
5
5
+
+
−
x
- MULTIPLICACION de fracciones algebraicas
El producto de dos o más fracciones algebraicas es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de denominadores. Ejemplo: .
3
5
4
2
3
4
5
2
=
x
x
x
- COCIENTE O DIVISION de fracciones algebraicas.
Es otra fracción que se obtiene multiplicando la fracción numerador por la fracción denominador invertida. Ejemplos: . 4 5 8 3 4 5 8
3÷ = =
.
x
y
x
x
.
4
7
2
−
÷
+
FRACCION MIXTA O COMPUESTA
Es aquella que tiene una o más fracciones compuestas en el numerador o en el denominador o en ambos
- se reduce el numerador y el denominador
- se dividen las dos fracciones que resultan
=
20
1
? MCM de los denominadores
2
2,
5
,
2
.
5
) ( ) ( )
4
3
20
12
20
1
14
16
15
20
1
1
2
7
−
=
−
+
−
=
=
+
=
? MCM=14
x
2 ═>( ) ( )
( )
2 2
14
2
1
7
3
14
2
x
x
x
−
=
−
si se puede simplificar se debe hacer
(
) (
2
)( )
1
3
2
1
2
2
3
−
+
−
+
+
⇒
−
+
x
x
x
x
x
x
MCM=x(
x) ( )
)( )
(
)( )
(
2)(
11 4 2 1 2 3 1 2 1 2 3
1 2 2
− + − − ⇒ − + − − − ⇒ − − − x x x x x x x x x x x x x
Ejercicios: Simplificar
9
10
2−
+
x
b-x
y
1
1
−
c-1
1
1
2
−
−
+
+
x
x
x
x
MULTIPLICACION de fracciones algebraicas
El producto de dos o más fracciones algebraicas es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de denominadores.
8
5
=
.(
)(
)(
( )(
1 5)(
3 3 3 5 5 6 9 2 2 − − − + = + − + − − x x x x x x x x x x x x
COCIENTE O DIVISION de fracciones algebraicas.
Es otra fracción que se obtiene multiplicando la fracción numerador por la fracción denominador invertida. 10 3 40 12 5 4 8
3 = =
= x ó
40
12
5
4
8
3
4
5
8
3
=
=
=
÷
x
(
)(
)
(
x
y
)
(
x
)
x
y
x
x
x
x
y
.
.
2
7
.
2
2
2
7
2
=
−
+
−
+
=
+
FRACCION MIXTA O COMPUESTA
Es aquella que tiene una o más fracciones compuestas en el numerador o en el denominador o en ambos
se reduce el numerador y el denominador a fracciones simples se dividen las dos fracciones que resultan
⇒
5
.
2
,
5
2 MCM=2
2.
5
=
20
2 2
14
21
28
x
x
x
−
−
=
)( )
12 − + x x
)
1 1═> simplificar ?
d- 4 4 2 1 2 2 − −
+ + x x x x x
El producto de dos o más fracciones algebraicas es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los
)
)
1 3 3 5 − − = + − x x x xEs otra fracción que se obtiene multiplicando la fracción numerador por la fracción
10
3
=
Es aquella que tiene una o más fracciones compuestas en el numerador o en el
Ejemplos:
a-. 1 1
1
= +
−
x x
x x x
b-
b a
b a
a a b a
b a
+ − +
− − +
1
Ejercicios: Demostrar que:
a-.
1 1 1 1
1 1 1
+ − −
− + +
x x
x x
d-
2 2
2 1
2 2
x
− − −
.
POTENCIACION
Sean m y n enteros positivos
a
a
a
a
a
n=
.
.
...
n vecesn=1
a
1=
a
n=2a
2=
a
n=3a
3=
a
n=4a
4=
n=5a
5=
: : : : n= n
a
n=
(
)
(
)
(
)( )
11 1 1
1 1
. . 1 1
1
2 2
2
− = +
− + = +
− = + − = +
+
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
b b
b b
+ −
=
(
) (
)
(
)(
)
(
) (
)
b a
b a b a
b a b a
b a b a
+ − +
+− +
− −
+ 2 2
=
(
)(
)
b a
a b a b a
ab
+ + −
2 4
=
Demostrar que:
(
+1)
=x x b- 1
1 2 2 2
1
2 = −
+ − −
+ − +
−
x
x x x
x x
x
2
2 . 2 2
x
=
POTENCIACION
enteros positivos
a
,
b
números reales Rveces n exponente a la base
a
n potenciaa
a
a
x a al cuadradoa
a
a
x x a al cuboa
a
a
a
x x x a a la cuartaa
a
a
a
a
x x x x=
a a la quinta: : : :
a
a
a
a
x x x...
=
a a la n-ésima1
=
(
)
(
a b)(
a b)
a b a ab2 4
+ −
+
=
b a
b
−
2
c-
x
1 1
1 1
1
+ −
=
x
+
1
LEYES Y PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
a-
a
nxa
m=
a
n+m4 3 4 3
=
+x
x
x
x=
x
7b-
( )
an m=an.m(
2( )
3 2 3.2x
x = =
a
m−nc- n
=
m
a
a
1 si
n m
a
−1
d-
( )
a
.
b
n=
a
n.
b
ne-
a
0=
1
para a≠f- n
n n
b a b a
=
g- n
a
a
−1=
1
2
h- n n m m
a
a = 9
Ejemplos:
(todo resultado se debe dar con exponentes positivos)
Simplificar:
-3 2 3
3 2
1
y x y
x
=
−
LEYES Y PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
3
2x3
3=
3
2+3=
3
5 ó3
2x3
3=
( )(
3
x3
.
3
x3
x3
)
a
.
x
3xa
.
x
4=
?( ) ( )
2 3.
.
x
a
x
a
x =?)
3 4.3 12 42 2
2 = = ó
( )
24 3 =24x24x24 =24 6x a
( )
x4 5 = ?( )
( )
a.x 4 5 =?si m>n
2
2
4
2
2
6 4 24 6
=
=
=
−1 si m=n
2
2
1
2
2
4 4 04 4
=
=
=
−si m<n
4
1
2
1
2
1
2
2
2 4 6 6 4
=
=
=
− ó2
2
( )
2
x3
3=
2
3x3
3=
8
x27
=
216
( )
x
xy
40
10
0=
1
( )
−
3
0=
1
( )
b
.
x
0=
1
27 8 3 2 3 2
3 3 3
= =
2
2 2
y x y
x =
8
1
2
1
2
−3=
3=
21
2x
x
−=
3ay−3 9 9 92 2
1
= =
= 83 3 82 3
( )
23 2 2= =
=
(todo resultado se debe dar con exponentes positivos)
6 9
9 6 3
1 1
x y
y x =
=
ó 9 6 3
3 2
y x y
x = =
− − −
)
53
=
=?
12 4 4 4
2
=
+ +
?
4
1
2
1
2
2
2
2
2 2 6 4 6 4
=
=
=
=
− −4 4
.
y
x
=
4 4 3
y a
=
4 2 2 2 . 2
3 3 3 = =
= x
6 9
9 6 1 1
x y
-2 5 2
5
6 3 3 1
6 3
=
−
X X
-2 3
4 2 3 1 .
z y
x =
−
− − −
-. .
2 2 4 1
x
y x
x =
− −
Ejercicios: Simplificar:
- =
− 4 1
2 1 . x x
-a a
a a
x x
1
1 1
1 1
2−
+ −
=?
- Hallar el valor numérico de:
- Simplifique
EXPONENTES Y EL
a
xxa
y=
a
x+yy x y
x
a
a
a
=
−
( )
ax y =ax.y
( )
a
.
b
x=
a
x.
b
xx
x x
b a b
a =
1 1 =
+ =
x
x e
5 4 5 2 2
5 2
2 1
3 1 3 1
= = =
− −
− −
X X
( )
63
6 3 2 1
2 3 4
2 3
2 3 1
. .
z y x z
y x
z y x
= =
=
− −
− − −
2 . . 2
. 2
.
. 2 4 4
3 4 2 1
y x x y x y x
x = =
? -
( )
a n x a a
x x
x
1
2 . 2
2
−
=?
=? -
[
(
n n)
]
2.n 1 2 3 . 2 . 327 . 8
4 + −
Hallar el valor numérico de:
2 1 0 2 1 1 2
. 2 .
− −
− + +
−
b x b a
a para
Simplifique
[
(
)
]
1 1 11 1− −
− − +
a
EXPONENTES Y EL NUMERO
“e
” (a
x ye
y)y x y x
e
e
e
.
=
+y x y x
e
e
e
=
−( )
x y xye
e = .
( )
x x xe
a
e
a
.
=
.
x x x
e a e
a =
x
x x
a e a
e =
... 7182818 .
2
= x→∞
para a=3 b=4 y x=2
Ejemplos:-
e
x.
e
x=
e
x+x=
- x x
e
e
−=
1
- x x x
e
e
e
−+
=
1
+
-
( )
ex−12 =e2.x-
(
e
−x−
1
)
2=
e
−-
(
e
2x−
1
) (
=
e
x+
Ejercicio: Efectuar:-
RADICACION
RADICALES
n
b
=
a
si
a
n=
b
raíz n= Indice u Orden del Radical b= es el Radicandoes el Radical
La raíz cuadrada de b es un número
La raíz cúbica de b es un número
Los radicales los podemos escribir como una potencia con exponente racional
En general n y yn
1
= => le podemos aplicar las propiedades de los exponentes
PROPIEDADES O LEYES DE LOS RADICALES
a-
( )
n a n =aa
⇒
b- n
a
.
b
=
na
.
nb
c-
n n n
b
a
b
a
=
d- n m
( )
n ma
a =
e- m n mn
a
a = .
x
e
2. -( )
ex 2 =ex.ex =ex+x =e2.x- x
x x
x
e
e
e
e
−−
1
=
1
−
1
=
1
−
x x x
x x x
e
e
e
e
e
e
. 2
1
.
1
+
=
+
=
+
1 .
2 +
− x
e
x x x x
x x
x
e
e
e
e
e
e
22
. 2 .
2
1
2
1
2
1
1
.
2
+
=
−
+
=
−
+
−
−−
)( )
.
1
1
−
+
xe
x x x
x x
e e
e e
1 4
4 −
− −
− −
raíz n−esima de b es a si
a
n=
b
Indice u Orden del Radicales un número no negativo a tal que
a
2=
b
es un número a tal que
a
3=
b
⇒
3b
=
a
Los radicales los podemos escribir como una potencia con exponente racional
> le podemos aplicar las propiedades de los exponentes
PROPIEDADES O LEYES DE LOS RADICALES
a a a
a a
a n
n = = =
1 1
( )
5 5 533 3 3 1 33 = =
=
3 54=3 27 2=3 33.3 2 =3.3 2
x
2 5 2
5 32
5 32
5 5
5 5 5
5 5
5 = = =
3 274 =
( )
3 27 4 =( )
3 33 4 =34 =81 3 3.27
7 =
=
67
3 4 x2 =3.4x2 =
⇒
b
=
a
Los radicales los podemos escribir como una potencia con exponente racional 2 1
a
a = 3
1 3 x=x
> le podemos aplicar las propiedades de los exponentes
5
=
6 6 1 12
2 12 2
x x x
x = = =
