Certamen 2 - Fisica General Electromágnetismo (2009).pdf

(1)

PAUTA

CERTAMEN

Nº02

FISICA GENERAL

ELECTROMAGNETISMO

(FIS 331)

Prof. Rodrigo

Vergara Rojas

PRIMER

SEMESTRE

2009

Miércoles 27 de Mayo de 2009

Módulo D)

D-1) En el circuito de la figura:

a) Indique dos trios de resistencias que estén conectadas en “delta” y dos tríos que estén conectados en “estrella”.

b) ¿Las resistencias R1 y R5 están en paralelo?

Justifique brevemente su respuesta.

c) ¿Las resistencias R2 y R3 están en serie? Justifique

brevemente su respuesta.

Desarrollo:

a)

• Trios de resistencia en “delta”: R2-R3-R4 y R1-R3-R5(2 puntos)

• Trios de resistencia en “estrella”: R1-R2-R3 y R3-R4-R5(2 puntos)

b) NO lo están, pues para ello ambos deberían tener dos nodos distintos en común, y sólo tienen el común el nodo A. (3 puntos)

c) NO lo están, pues para ello ambos deberían tener un único punto de conexión en común que no debe ser nodo, y su punto de conexión es D, que es nodo (además va conectado R1 a él). (3 puntos)

D

D-2) Para reemplazar un condensador cilíndrico de radio basal interior d, radio basal exterior 2d, longitud 4d y relleno de aire, se utiliza un condensador de placas paralelas cuadradas de lado d, distancia entre placas L y relleno de aire. Calcule L en términos de d de manera de poder hacer el reemplazo.

Desarrollo:

La capacitancia del condensador cilíndrico es:

(

)

( )

cil 0 0

4 d

8 C

2 d

ln 2 d d

ln 2

π

π ε

⋅

ε

= ⋅ ⋅ ⋅

=

⋅ ⋅

⋅

(3 puntos)

La capacitancia del condensador de placas paralelas es:

(3 puntos)

Para que el condensador de placas reemplace al cilíndrico, Ccil = Cpar. Luego:

( )

2 0

cil par 0

d ln 2

d

8 C

C

d =

L =

ln 2

L

8 ε

π ε

π

⋅

=

⇒

⋅ ⋅

⇒

⋅

(4 puntos)

2

0 0

par

A

d

C

L

ε

⋅

(2)

D-3) [OBLIGATORIA] En la red de condensadores de la figura, la caída de voltaje de cada uno de los cinco condensadores es de 15 [V].

a) Calcular la caída de voltaje entre a y b.

b) Calcular la capacitancia

equivalente entre a y b.

c) Calcular la carga total y la energía total almacenada en la red.

d) Calcule la carga y la energía almacenada en cada condensador de 10 y 20 [µµµµF].

Desarrollo:

a)

Los dos pares de condensadores de 20 [µF] en paralelo se reducen a una capacitancia equivalente de 40 [µF]. Como en los tres condensadores de 10 en serie el voltaje es 15 [V], el voltaje entre a y b es de Vab = 45 [V]

(1 punto)

b) La capacitancia equivalente entre a y b es el equivalente serie de las tres capacitancias de 40 [µF]:

[ ]

eq

[ ]

eq

1

3

40 C

F

C

=

40 µ

F

+

40 µ

F

+

40 µ

F

=

40 µ

F

⇒

=

3 µ

(3 puntos)

c) La carga total almacenada en la red es

[ ] [ ]

[ ]

ab eq ab

40 Q = C

V =

F 45 V

600 C

3 µ

µ

⋅

=

(1 punto)

La energía total almacenada almacenada en la red es:

[ ]

(

[ ]

)

2

2 ab ab ab

1 1 40

U =

C

V

F

45 V

= 13.5 [mJ]

2 ⋅

⋅

= ⋅

2

3 µ

⋅

(1 punto)

d) La carga total almacenada cada condensador de 20 [µF] es:

[ ] [ ]

[ ]

20 20 20

Q = C

⋅

V = 20

µ

F 15 V

⋅

=

300 µ

C

(1 punto)

La energía total almacenada en cada condensador de 20 [µF] es:

[ ]

(

[ ]

)

2 2

20 20 20

1

1 U =

C

V

20 F

15 V

= 2.25 [mJ]

2 ⋅

⋅

= ⋅

2 µ

⋅

(1 punto)

a

[ ] 45 V

eq

C

b 40.0 Fµ

a b

a _b

[ ]

15 V

[ ]

15 V

[ ]

15 V

[ ]

15 V

[ ]

15 V

[ ]

15 V 15 V[ ] 15 V[ ]

[ ]

40 µF 40 [ ]µF

40.0 Fµ

[ ]

40 µF

La carga total almacenada en el condensador de 40 [µF] es:

[ ] [ ]

[ ]

40 49 40

Q = C

⋅

V = 40

µ

F 15 V

⋅

=

600 µ

C

(1 punto)

La energía total almacenada en el condensador de 40 [µF] es:

[ ]

(

[ ]

)

2 2

40 40 40

1

1 U =

C

V

40 F

15 V

= 4.5 [mJ]

(3)

D-4) Considere cuatro condensadores de placas paralelas de iguales dimensiones, en los cuales su capacitancia sin relleno entre las placas es C0. Tres de los condensadores son rellenados con dieléctricos de constantes relativas κ1 =

16, κ2 = 8 y κ3 = 4 y son conectados en serie. ¿Cuál es el valor de la constante dieléctrica relativa del dieléctrico con que

debiera llenarse el condensador restante de manera de ser equivalente a la conexión serie de los otros tres?

Desarrollo:

Al rellenar un condensador de capacitancia C0 con un dieléctrico de constante relativa κ, su capacitancia aumenta a

κC0. Luego, los tres condensadores rellenos conectados en serie quedan tal como se muestra en la figura.

0

16 C

⋅

8 C

⋅

0

4 C

⋅

0

(3 puntos)

La capacitancia equivalente de esta configuración es:

eq 0

eq 0 0 0 0 0

1

1 1+2+4

7

16 C

C

=

16 C

⋅

+

8 C

⋅

+

4 C

⋅

=

16 C

⋅

=

16 C

⋅

⇒

=

7 ⋅

(4 puntos)

Dado lo anterior, la cuarta capacitancia debe ser rellenada con un dieléctrico de constante relativa

16

7 κ

=

para que sea equivalente a los otros tres en serie. (3 puntos)

Módulo E)

E-1) En un cable conductor de sección transversal constante de 1 [cm] de diámetro, la magnitud de la densidad de corriente es J = 20 [A/m2_{] constante. La magnitud de la velocidad de arrastre es de 450 [km/h]. Calcular:}

a) Corriente que fluye a través del conductor.

b) Densidad de electrones por unidad de volumen del conductor.

Desarrollo:

a) De la definición de la magnitud de la densidad de corriente:

J =

I

I = J S

S

⇒

⋅

, donde J es la densidad de

corriente, I es la corriente y S es el área de la sección transversal. (1 punto)

Reemplazando los valores:

[ ]

(

_-3

)

2

[ ]

2

A

I = 20

5 10

m

1.57 mA

m

π





⋅ ⋅ ⋅

≈









(3 punto)

b) De la definición de la velocidad de arrastre: _d

d

J

v =

n =

n e

⋅

⇒

v

⋅

e

, donde vd es la velocidad de arrastre, n

es la densidad volumétrica de portadores de carga y e es la carga elemental del electrón. (2 puntos)

De los datos

•

[ ]

d

1 h

1000 m

km

m

v = 450

450

125 h

h

3600 s

1 km

s













=

⋅

=

























(1 punto)

•

_{e = 1.6 10}

_⋅

-19

[ ]

_C

Reemplazando y calculando:

[ ]

2

18 3 -19

A

20

1 m

n =

10 m

m

125 1.6 10

C

s









_

_





₌









_⋅













(4)

E-2) Para reemplazar una resistencia de valor R, un fabricante ofrece dos alternativas, ambas de igual resistencia R: a. Alternativa 1: Resistencia de base cuadrada de lado “a”, longitud L, resistividad ρ1.

b. Alternativa 2: Resistencia de base circular de radio “a”, longitud L, resistividad ρ2

Calcule la razón ρ1/ρ2 entre las resistividades de las resistencias 1 y 2.

Desarrollo:

Para la resistencia 1, de base cuadrada, de la definición de resistencia:

1 1 2

L

R =

a

ρ

⋅

(3 puntos)

Para la resistencia 1, de base circular, de la definición de resistencia:

2 2 2

L

R =

a

ρ

π

⋅

(3 puntos)

Como ambas resistencias tienen que ser iguales, esto es R1 = R2 = R. (1 punto)

Finalmente, igualando y despejando:

1

1 2 2 2

2

L

1 a

a

ρ

π

ρ

π

⋅

=

⋅

⇒

₌

⋅

(3 puntos)

E-3) [OBLIGATORIA] Determinar la resistencia equivalente entre los terminales A y B de la red de resistencias de la figura.

Desarrollo:

Aquí hay que inevitablemente que usar transformación entre delta y estrella. Aunque hay muchos caminos, el más conveniente es transformar la estrella formada por las tres resistencias de 10 [Ω] en delta. (2 puntos)

Las tres resistencias R resultantes de la transformación estrella a delta están dadas por:

[ ] [ ]

[ ]

10 10 10 10 10 10

R 30

10

Ω ⋅ Ω + Ω ⋅ Ω + Ω ⋅ Ω

= = Ω

Ω

(2 puntos)

Con ello, la red nos queda en un formato que nos permite trabajarla con equivalencias serie-paralelo hasta llegar al equivalente. Reduciendo sucesivamente los series y paralelos que se van formando:

[ ]

5 Ω

[ ]

15 Ω

[ ]

30 Ω

[ ]

15 Ω

[ ]

5 Ω

[ ]

30 Ω

[ ]

30 Ω

⇓

[ ]

5 Ω

[ ]

15 Ω

⇒

⇐

[ ]

20 Ω

(6 puntos)

[ ] 30 Ω

[ ] 5 Ω A

B

R

(5)

E-4) Calcular la potencia P’ que perderá una línea eléctrica de longitud L compuesta por dos conductores de resistividad ρ, de área de sección transversal A y que alimenta un motor eléctrico que desarrolla una potencia P cuando su caída de voltaje es V. En el circuito, R representa la resistencia total de la línea eléctrica. Suponga que los conductores están serie. P’ debe ser calculada en función de L, A, ρ, V y P.

Desarrollo:

En el motor, se puede calcular la corriente I:

P

P = V I

I =

V

⋅

⇒

(3 puntos)

Esa misma corriente es la que pasa por el cable, representado por la resistencia R. La potencia P’ disipada por esa resistencia es

2

P

P' = I

R =

R

V





⋅





⋅





(3 puntos)

La resistencia R está dada por

R =

2 L

A

ρ

⋅

(es 2 veces L pues hay dos conductores en serie) (1 punto)

Finalmente:

2 2

2 L

P

P' =

A V

ρ

⋅ ⋅ ⋅

⋅

(3 puntos)

ε

P

V

P'

+

-ε

R

P

V

P'

I

Módulo F)

F-1) Para el circuito de la figura, y usando los convenios vistos en clases, exprese las siguientes ecuaciones:

• LVK en la malla A.

• LVK en la malla B

• LCK en el nodo a.

Desarrollo:

LVK en la malla A:

1 2

+10 - 4 i + 8 i = 0

⋅

(3 puntos)

LVK en la malla B:

3 3 2

-20 + 1 i + 6 i + 8 i = 0

⋅

(4 puntos)

LCK en el nodo a:

1 2 3

i + i = i

(3 puntos)

1 i

2

i

3

i

A B

a

b

1

i

2

i

3

i

A B

a

(6)

F-2) En el circuito de la figura, ε = 30 [V], R = 20 [Ω] y la potencia disipada en R es de 50 [W]. Calcule la corriente a través de R y el valor de r.

Desarrollo:

Empleando la equivalencia para fuente de fem real se puede reescribir el circuito

Con los datos disponibles se puede calcular la corriente a través del circuito. Para la resistencia R

2

P

P = I

R

I =

R

⋅

⇒

(2 puntos)

Si P = 50 [W] y R = 20 [Ω], la corriente I está dada por:

[ ]

50 I =

A

1.58 A

20 =

(2 puntos)

Luego, la caída de voltaje en la resistencia R está dada por

V = R I = 31.62 V

⋅

[ ]

(2 puntos)

Si el voltaje de la fuente es

3 3 30 V

[ ]

45 V

[ ]

2

2 ε

⋅

⋅ =

=

, el voltaje de caída en las

resistencias internas es

V' = 45 - 31.62 V

(

)

[ ]

=

13.38 V

[ ]

(2 puntos)

Finalmente, en la resistencia 3r:

V' = 3 r I

r =

V'

13.38 [ ]

2.82 [ ]

3 I

3 1.58

⋅ ⋅

⇒

₌

_{Ω =}

_Ω

⋅

(2 puntos)

, r

ε

, 2 r 2

ε _⋅

+ -+

-, r ε

, 2 r 2

ε _⋅

R

⇒

+

-3 2

ε

⋅

_R

3 r⋅

+

-3

2

ε

⋅ _R

3 r⋅

V

V'

I

F-3) [OBLIGATORIA] Para el circuito de la figura, calcule: a) Las corrientes de rama i1, i2 e i3.

b) Magnitudes de los voltajes en todas las

resistencias

Desarrollo:

a) Este circuito es el mismo de la pregunta F-1, por lo que los LVK y LCK encontrados en esa pregunta se aplican a esta (1 punto).

1 2 1 2 1 2

+10 - 4 i + 8 i = 0

⋅

⇒

4 i - 8 i

⋅

⋅ =

10 ⇒

2 i - 4 i

⋅

⋅ =

5

[1]

3 3 2 3 2

-20 + 1 i + 6 i + 8 i = 0

⋅

⇒

7 i + 8 i = 20

⋅

[2]

1 2 3

i + i = i

[3]

Reemplazando [3] en [2]:

(

1 2

)

2 1 2

7 ⋅

i + i

+ 8 i = 20

⋅

⇒

7 i + 15 i = 20

⋅

[4]

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por [1] y [4].

[ ]

1 2

1 1

30 i - 60 i = 75

(+)28 i + 60 i = 80

155 58 i = 155

i

A

2.672 A

58 ⋅

⋅

⇒

=

[5] (1 punto)

Reemplazando [5] en [1] y despejando i2:

[ ]

1

1 2 2 1 2

2 i - 5

2 2.67 - 5

2 i - 4 i

5 4 i

2 i - 5

i

0.086 A

4

4 ⋅

⋅

⋅ =

⇒

_{⋅ = ⋅}

⇒

₌

[6] (2 puntos)

Finalmente, reemplazando [5] y [6] en [3]:

i = i + i = 2.672 + 0.086 A

₃ ₁ ₂

(

)[ ]

=

2.758 A

[ ]

(2 puntos)

b) Conociendo las corrientes de rama, se puede conocer los voltajes de las resistencias

• Para la resistencia de 4 [Ω], el voltaje está dado por

[ ]

4 1

V = 4

Ω ⋅ = Ω ⋅

i

4 2.672 A

=

10.688 V

. (1 punto)

[ ]

8 2

V = 8

Ω ⋅ = Ω ⋅

i

8 0.086 A

=

0.688 V

(1 punto)

[ ]

4 3

V = 6

Ω ⋅ = Ω ⋅

i

6 2.758 A

=

16.548 V

(1 punto)

[ ]

1 3

V = 1

Ω ⋅ = Ω ⋅

i

1 2.758 A

=

2.758 V

(1 punto)

1 i

2 i

(7)

F-4) En el circuito de la figura, el switch se cierra en t = 0 y se mantiene cerrado “por mucho tiempo”. El condensador está inicialmente descargado. Los instrumentos son ideales (no afectan las mediciones). Exprese, en términos de ε, R y α:

a) Lo que marcan los instrumentos en t = 0+ (justo después

que se cerró el switch)

b) Lo que marcan los instrumentos en t →∞ (mucho tiempo después que se cerró el switch)

c) La carga y la energía almacenadas en el condensador en t →∞.

Desarrollo:

Usando la equivalencia para el potenciómetro, se puede expresar el circuito de la siguiente manera:

ε

R⋅α

( )

R 1 - ⋅ α

ε

_{( )}

R 1 - ⋅ α

( )

R 1 + ⋅ α

⇒

a) En el instante t = 0+, el condensador C actúa como cortocircuito.

• El voltímetro V queda cortocircuitado, por lo que mide un voltaje igual a cero, es decir

0+

V = 0

(2 puntos)

• Como la resistencia R(1-α) queda cortocircuitada, no pasa corriente a través

de ella. El amperímetro A mide la corriente que pasa por la resistencia R(1+α), que está dada por:

(

)

0+

I =

R 1

ε

α

⋅ +

(1 punto)

b) En t →∞, el condensador C actúa como circuito abierto.

• El voltímetro V marca el voltaje que cae en la resistencia R(1-α), que se puede obtener haciendo un divisor de tensión:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

R 1 -

V =

R 1 -

R 1 +

R 1 -

1 -

2 R

2 α

ε

α

ε

∞

⋅

+ ⋅

⋅

= ⋅

⋅

(2 puntos)

• La corriente que mide el amperímetro A pasa por la resistencia y el potenciómetro::

ε

R, α

+

-ε

V

( )

R 1 - ⋅ α

( )

R 1 + ⋅ α

A

+

-ε

C

V

( )

R 1 - ⋅ α

( )

R 1 + ⋅ α A

(

)

(

)

I =

R 1

2 R

ε

α

∞

_{⋅ +}

_{+ ⋅ −}

=

_⋅

(1 punto)

c) El voltaje de la capacitancia es el medido por el voltímetro V. Luego, para t →∞,