El plano cartesiano y gráficas
de ecuaciones en dos variables
MECU 3031
Slide 1.1 - 2
En una dimensión, una recta numérica asocia cada número real con un punto sobre la recta.
Sistema de coordenadas cartesianas
En dos dimensiones, se asocian puntos en un
Slide 1.1 - 3
El plano de coordenadas cartesianas
• Dos líneas
perpendiculares
llamadas eje de x y eje de y:
• Dividen el plano en cuatro cuadrantes • La intersección de
los dos ejes se llama el origen. • Cada punto P en el
plano corresponde a un par ordenado (x, y) de coordenadas.
• Los signos de las
coordenadas cambian según el cuadrante donde se encuentran.
• La primera coordenada, x, indica las unidades a moverse a la izquierda o la derecha, partiendo del origen.
• La segunda coordenada, y, nos indica las unidades a
moverse hacia arriba o hacia abajo.
Ejemplo:
Localizar (3, 5).
Partiendo de el origen, mover 3 unidades hacia la izquierda.
Luego, mover 5 unidades hacia arriba.
Marca el punto.
(–3, 5)
Identificar las coordenadas de los puntos
¿Cuáles son las coordenadas de: A?
B?
C?
D? E?
F?
Ecuaciones y soluciones
Muchas situaciones se pueden decribir
matemáticamente usando una ecuación en la que aparecen dos variables.
Ejemplos: 2x + 3y = 18
2x2 – 3y + x – 3 = 0
y = 3
4𝑥−1
Slide 1.1 - 7
Ejemplos
a.
Determina si el par
ordenado (5, 7) es una solución de 2x + 3y = 18.
b.
Determina si el par ordenado (3, 4) es una
Gráfica de una Ecuación
Las ecuaciones en dos variables tienen una infinidad de soluciones.
Como no podemos enumerar todas las soluciones de
una ecuación en dos variables, construimos un dibujo, llamado gráfica, que representa el conjunto de todas las soluciones de la ecuación.
Para construir una gráfica identificamos pares ordenados que son soluciones de la ecuación.
Intercepto en
x
El punto donde la gráfica cruza o toca el eje de x se conoce como el intercepto en x, (abreviaremos int-x).
Ejemplo:
Se presenta la gráfica de x + 2y = 7.
Intercepto en
x
(cont.)
El int-x es un punto con forma (a, 0).
Para hallar el valor de a, asignamos el valor de 0 a y. Luego, resolvemos para x.
Intercept -
y
El punto donde la gráfica cruza o toca el eje de y se conoce como el intercepto en y (abreviaremos int-y).
Ejemplo:
Se presenta la gráfica de x + 2y = 7.
Intercept -
y
El int-y es un punto con forma (0, b).
Para hallar el valor de b, asignamos x = 0. Luego, resolvemos para y.
Slide 1.1 - 13
Identificar los
interceptos en
la gráfica
int – y:
Práctica
Ejemplo: Deteminar los puntos donde ocurren intersecciones con los ejes de la ecuación
5x – 2y = 10.
Solución:
Bosquejar o trazar una gráfica
Una forma de bosquejar o trazar (“sketch”) la gráfica
de una ecuación es determinar suficientes
soluciones de la ecuación (puntos en la gráfica).
Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18.
Debemos conseguir soluciones de la ecuación.
Anteriormente determinamos que el int – x es: (9, 0)
Slide 1.1 - 16
Ejemplo:
Trazar la gráfica 2
x
+ 3
y
= 18
(cont.)
Determinamos una tercera solución reemplazando x
con el valor de 5, y resolviendo para hallar el valor de y.
2 5 3y 18 10 3y 18
3y 8
y 8
3
Por lo tanto, es una solución.5, 8
Slide 1.1 - 17
Ejemplo
(cont.)Trazar la gráfica:
2x + 3y = 18.
int-x:
(9, 0)
int-y :
(0, 6)
Tercer punto:
Ahora unimos los puntos con una recta.
Diferentes formas de una ecuación
Una ecuación en dos variables se puede expresar en más de una forma equivalente utilizando correctamente operaciones
inversas para despejar la ecuación para cualquiera de sus variables.
Formas de la ecuación lineal:
• Forma general
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
• Forma estándar
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
• Forma punto-pendiente
Diferentes formas de una ecuación
Una ecuación en dos variables se puede expresar en más de una forma equivalente utilizando correctamente operaciones
inversas para despejar la ecuación para cualquiera de sus variables.
Ejemplo: Escribir y – 2x + 1= 0 despejada para y.
(Operación inversa de suma es resta. Restamos 1 a cada lado.)
(Operación inversa de resta es suma. Sumamos 2x a cada lado.)
Ejemplo: Trazar la gráfica y – 2x + 1= 0
Primero despejamos la ecuación para y,
y = 2x – 1
.Luego, elegimos algunos valores para asignar a la x: x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
Determinamos los valores correspondientes de y para cada valor.
Ejemplo: Trazar la gráfica y = 2x
−
1
(cont.)
Completa la tabla:
Localiza los puntos en un plano.
Notas :
Otro ejemplo
Esboce la gráfica de y = x
2– 3 .
Elegir unos valores para x, luego completar la tabla de valores:
Ejemplo (cont.)
Unimos los puntos en esta ocasión con una curva suave, (sin picos ni brincos) siguiendo el patrón que
observamos.
Una gráfica con esta
forma se conoce como
una parábola. Es la
forma típica de una ecuación cuadrática.
(-3, 6), (-2, 1) (-1, -2), (0, -3), (1, -2), (2, 1), (3, 6)
Ejemplo (cont.)
El punto (0, -3) parece dividir la gráfica en dos partes iguales. A la izquierda del (0, -3),
notamos que a medida que x
se hace más grande, y se hace más pequeño.
La gráfica es decreciente en el lado izquierdo del (0, -3).
(decreciente en (-∞, 0))
A la derecha del (0, -3), notamos que a medida que x se hace
más grande, y también se hace más grande.
La gráfica es creciente en el lado derecho del (0, -3).
Práctica – Indicar los intervalos donde la
gráfica es creciente o decreciente.
La gráfica baja de izquierda a derecha, por lo tanto es
decreciente en
La gráfica sube de izquierda a derecha, por lo tanto es
creciente en
La gráfica baja de izquierda a derecha, por lo tanto es
Interpretación de gráficas
A menudo la información se presenta en forma gráfica por lo que interpretar gráficas es una destreza
importante.
Observe la gráfica.
a. ¿Cuál fue la temperatura a las 6 PM?
b. ¿A qué horas del día era la temperatura menor que 50 °?
Interpretación de gráficas (cont.)
Slide 1.1 - 28
USANDO CALCULADORA
GRAFICA
(cont.) Trazar la gráfica con calculadora
gráfica: y = 9 – x
2Hallar los interceptos.
En la gráfica, la escala aumenta de uno en uno, por lo que
podemos estimar visualmente los interceptos y luego
confirmar con la calculadora.
Trazar la gráfica con calculadora gráfica:
y = 9 – x
2(cont)
Hallar los interceptos en x. .
Aún en TRACE mode podemos escribir el valor de x que queremos evaluar y oprimir ENTER.
Para copiar la gráfica de la pantalla de la calculadora al papel, debes llenar la tabla para otros valores de y.
Llenamos la tabla y luego localizamos los puntos:
Trazar la gráfica con calculadora gráfica:
y = 9 – x
2(cont)
x -4 -2 2 4
y
Oprimimos 2ND WINDOW, para
configurar la tabla que va a producir la calculadora.
Localiza los puntos en un plano cartesiano:
• El punto (0, 9) parece dividir la gráfica en dos partes iguales.
• A la izquierda del (0, 9):
a medida que x se
hace más grande, y se hace más grande. (La gráfica es creciente.) • A la derecha de este
punto: a medida que x se hace más grande, y se hace más pequeño.
(La gráfica es
decreciente.) x -4 -2 0 2 4
y -7 5 9 5 -7
