operatoria racional.docx

“Números Racionales”

Nombres: Cristóbal Lavanderos Nicolás Santibáñez

Índice

3……Introducción

4…… ¿Qué son los números racionales?

8……Sustracción y Adición de números racionales

11…. Multiplicación y División de números racionales 13….Relación en orden de Q

15….Números Decimales

18….Operatoria con números Decimales 21….Aproximaciones

24…Ejercicios

Introducción

Este es el modulo de aprendizaje de los “Números Racionales” el cual te ayudara a entender todo sobre estos. Este modulo contiene distintos puntos para que puedas aprender todo esto de una manera sumamente fácil y entretenida.

1er. Punto: Junto a Dexter te explicaremos todo lo que se necesita saber sobre los “Números Racionales”, que son, en que se dividen, ejemplos de cada uno, y a medida que vayamos avanzando veras ejercicios resueltos de cada uno de estos para que haci tú puedas ir comprobando que todo lo que vayas aprendiendo sea correcto o si tienes dudas puedas verificar que lo que hagas este bien y si tienes algún error poder arreglarlo para así no confundirte más adelante.

2do. Punto: Dexter ha preparado una guía de ejercicios especialmente de todo lo que se tratan “Números Racionales”, con ejercicios básicos y otros muy difíciles pero si lees y pones atención de todo lo que hay en este modulo, no te costaran absolutamente nada, y si tienes alguna dificultad para resolver algunos de los ejercicios planteados en la guía de Dexter, solo debes volver al 1er. Punto en el cual esta toda la información necesaria para poder resolver esta.

¿Qué son los “Números

Racionales”?

Los números racionales son todos aquellos números que se pueden expresar en forma a_b , con a y b números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q.

Fracción propia e impropia

Sean a y b enteros positivos

i) Si a < b  a_b es una fracción propia

ii) Si a > b  a

b es una fracción impropia

Igualdad entre números racionales

Toda fracción impropia se puede escribir como numero mixto

Sean a b,

c

d ∈ Q. Entonces: a b =

c

d ↔ a ∙ d = b ∙ c

1. Si a la fracción 2

3 el numerador y el denominador se aumenta en dos, entonces la fracción resultante

a) Es mayor que la fracción original b) Es equivalente a la fracción original c) Es uno.

d) Es siempre negativa

e) Es menor que la fracción original

2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es impropia?

a) 10₃₀

b) 2

3

c) 1₂

d) 17

21

e) 5

3

2 3 ∙

2 2 

2∙2 3∙2 

4

3. Con respecto a la igualdad p q =

1

3, es siempre verdadero que

a) Pq = 3 b) 3p = q c) P + q = 4 d) 3q = p e) P =2 y q = 6

Solo tienes que ver cuál de las fracciones tiene un numerador mayor que su denominador.

Respuesta: e) 5 > 3.

Solo recuerda que en las igualdades, tienes que pasar las fracciones a una ecuación lineal.

Respuesta:

p q =

1

Adición y sustracción de números

racionales

Si

,

∈

Q,

a b

±

c d

=

ad ± bc bd

Debes saber que:

El inverso aditivo (u opuesto) de a b es –a

b, el cual se puede escribir como

−a

b

o a

−b.

El numero mixto Ab

c = se transforma a

fracción con la siguiente fórmula:

1. ¿Cuántos sextos son 25 6 ?

a) 5 b) 17 c) 10 d) 12 e) 16 2. 9

5 + 3 9 =

a) 12

45

b) 27₄₅

c) 12

14

d) 27₁₄

e) 96

45

Facilísimo:

25 6 

2∙6+5

6  12+5

6  17

6

Respuesta: Diecisiete sextos Alternativa b)

Recuerda la formula de adición y sustracción

9 5 +

3

9 

9∙9+5∙3

5∙9 

81+15

45 

96 45

Alternativa e)

3. El inverso aditivo de [3 4−

1 5] es

a) -2

b) −20

11

c) −₂₀11

d) −1

2

e) 20₁₁

[3 4−

1 5] 

3∙5−4∙1

4∙5  15−4

20 

−11

20

Respuesta  c)

Multiplicación y división de números

racionales

Si a b ,

c d ∈ Q.

Multiplicación:

a b

∙

c

d

=

División

a b

:

c d

=

a b

∙

d c

=

ad

bc

, c ≠ o

Debes Recordar:

El inverso multiplicativo (o recíproco) de a_b es [a

b]

1. −4 7 :

−16

49 =

a) −7

4

b) −₇4

c) 4

7 d) 1 e) 7₄

2. 12

15 ∙ 5 6 =

a) 2

3

b) 72

75

c) 75₇₂

d) 3

2

e) 180₃₀

−₇4 : −₄₉16  ₇4_∙16∙49  196₁₁₂  98₃₆  49₂₈  7₄

Respuesta: alternativa e)

12 15 ∙

5 6 

12∙5 15∙6 =

60

90 (Simplifican los ceros) =

6 9 =

2 3

Relación de orden en Q

Sean a/b, c/d

∈

Q y b, d

∈

Z^+. Entonces: a/b ≥ c/d ↔ ad ≥ bc

1. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?

a) 2

3

b) 3₄

c) 4

5

d) 5₆

e) 6

7

Para comparar números racionales se puede utilizar los siguientes procedimientos:

Igualar numeradores

Igualar denominadores

Convertir a numero decimal

- Entre dos números racionales cualquiera ha infinito números racionales

A: 0,6 B: 0,75 C: 0,8 D: 0,83 E: ~0,86

2. El orden decreciente de los números p = 5₆, q = 8₉ y r = 10₁₁

a) r, q ,p b) r, p, q c) q, r, p d) p, q, r e) p, r, q

3. El orden decreciente de los números a = 21

6 , b = 3 1 3 y c =

5 6 es

a) b, a, c b) b, c, a c) a, c ,b d) c, a, b e) c, b, a

p = 5₆, q = 8₉ , r = 10₁₁

10 11 >

8 9 >

5 6 Alternativa a)

A = 2∙6+1

6 

13 6

B = 3∙3₃+1  10₃

C = 5 6

Números decimales

Cuando se hace una división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cual puede ser infinito periódico, finito o infinito semiperiodicos.

Transformar de decimal a fracción.

Decimal infinito periódico:

Se escribe en el numerador la diferencia entre el numero decimal completo (sin considerar la coma) y el numero formado por todas las cifras que anteceden al periódico y en el denominador tantos nueve cono cifras tenga el periodo.

Decimal finito:

1. El desarrollo decimal de la fracción 34₉₀ es

a) 0,307 b) 0,307 c) 0,37 d) 0,37 e) 0,370

2. El desarrollo decimal de la fracción ₄₀₀5 es

a) 0.00125 b) 0,0125 c) 0,125 d) 1,25

Decimal infinito semiperiodicos:

Se escribe en el numerador la diferencia entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al periodo en el denominador se escriben nueve como cifras tenga el periodo, seguido de celos como cifras tenga el ante periodo.

34

90 = 0,37

Respuesta: alternativa c)

5

400 = 0,0125

e) 80

3. La fracción equivalente a 1,02 es

a) 46

50

b) 101₁₀₀

c) 51

50

d) 46₄₅

e) 101

90

1,02 = 46₄₅

Operatoria con números decimales

Adición o sustracción de números decimales

Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo el decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.

Multiplicación de números decimales

Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares como decimales que tengan los números en conjunto.

División de números decimales

1. Si al doble de 5,4 se le resta la mitad de 4,5 se obtiene

a) 8,55 b) 46,35 c) 8,65 d) -8.55 e) -8,65

2. El valor de (0,14-0,4) ∙ 3 =

a) -1,02 b) 1,02 c) -0,78 d) -1,08 e) 0,78

3. 1,6 : 2 – 0,04 ∙ 2 =

a) 0,72 b) 0,78 c) 1,52 d) -0,72 e) -0,78

2 ∙ 5,4 – 4,5/2 = 10,8 – 2,25 = 8,55

Respuesta: alternativa a)

Aproximaciones

Frecuentemente conviene trucar o redondear un número, dejando una aproximación con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente.

Truncamiento

Paratrucar un numero decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a la derecha de la última cifra a considerar. De esta manera, por ejemplo:

 4,8267  4,82

Estimaciones

Realizar una calculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas por redondeo a las dadas,

reemplazando dígitos distintos de ceros por ceros, dejando la cantidad de cifras significativas que se indique (lo que

habitualmente es una cifra). Por ejemplo:

 1.999  2.000

Truncamiento

Paratrucar un numero decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a la derecha de la última cifra a considerar. De esta manera, por ejemplo:

1. Al trucar a la milésima el numero 16,56, resulta

a) 16,565 b) 16,6 c) 16,566 d) 16,5 e) 16,57

2. Al redondear a la decima el numero 3,8654, resulta

a) 3,9 b) 4 c) 3,867 d) 3,87 e) 3,86

16,56 = ~16,565

Respuesta: alternativa a)

3,86 ~ 3,9

3. Al trucar a la centésima el numero 5,4875, resulta

a) 5,4 b) 5,49 c) 5,5 d) 5,488

e) 5,48 _{5,4800 ~ 5,48}

Ejercicios

1. Si x = 0,04 , y = 0,0002 y z = 0,000016, el valor de z xy es

a) 0,002 b) 0,02 c) 0,2 d) 2 e) 20

2. El opuesto del inverso multiplicativo de 8₇∙

[

(

1 4

)

(

1 5∙

5 7−

1

3

)

]

a) -2

b) −1

2

c) 1₂ d) 1 e) 2

3. Si p = q−r

r−q , con q = 2

1

3 y r = 1 1

2 , entonces el valor de (p−1)3 es

a) -8 b) -6 c) 0 d) 6 e) 8

4. La tercera parte del doble de 5 4:

5

12∙8 es igual a la cuarta parte de

a) 1

b) 16

c) 16 d) 32 e) 64

5. Si x = −21

3 e y = 2+ 1

6, entonces el valor de x + y es

a) −₉20

b) −1

6

c) 3₆

d) 6

3

e) 20₉

6. El valor de la expresión 4 – (2

3+ 2 5) es

a) −15

10

b) −₇1

c) 21

10

d) 17₅

e) 23

7

7. 3 + 5₂ =

a) 1₂

b) 21 2 c) 4 d) 51

8. Al amplificar la fracción x_y, con x ≠ y, se obtiene

I) Siempre una fracción

propia-II) Un racional equivalente a x_y.

III) Un número entero.

Es (son) verdadera(s) a) Solo I

b) Solo II c) Solo I y II d) Solo II y III e) I, II y III

9. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un numero racional?

I) 3 - 33 II) 0₃

III) 4 20−1

a) Solo I b) Solo II c) Solo I y II d) Solo II y III e) I, II y III

10. Una herencia de $ 7.200.000 será repartida entre 6 hijos de un matrimonio en partes iguales. Si uno de estos hijos a su vez repartirá su parte entre sus 5 hijos de manera equitativa, ¿Cuánto recibirán 3 de estos nietos del matrimonio?

11. En relación al numero 83₇ , ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Redondeado la centésima es 11,86

II) Trucado a la milésima es 11,857

III) Redondeado a la unidad es 11,8

a) Solo I b) Solo II c) Solo I y II d) Solo II y III e) I, II y III

12. Al redondear a la centésima el numero 4,5712 resulta

a) 4,57 b) 4,571 c) 4,58 d) 4,6 e) 5

13. La expresión 4,2 :6+0,65∙2 1,4∙2−1,9 =

a) 9

20

b) 18₂₀

c) 20

18

d) 18₁₀

e) 20

9

14. El valor de 0,03∙0,6

a) 0,0009 b) 0,009 c) 0,09 d) 0,9 e) 9

15.(0,6)2

a) 0,3 b) 0,36 c) 0,36 d) 0,4 e) 2,7

16. 0,30 ∙ 0,02 ∙ 1,4 es igual a

a) 0,000084 b) 0,00084 c) 0,0084 d) 0,084 e) 0,84

17. Las fracciones equivalentes a los números 2,1 y 0,13 son respectivamente

a) 21₉ y13 90

b) 19

9 y 13 90

c) 20₉ y13 90

d) 19

9 y 12 90

e) 21₁₀ y13 10

a) 9 50

b) 11₅₀

c) 9

40

d) ₃₅9

e) 11

40

19. Sean las fracciones: a = 5 8 , b =

2

3 y c = 7

5, entonces se cumple que

a) c > b > a b) b > a > c c) c > a > b d) a > b > c e) b > c > a

20. El orden de los números mixtos r = 23 4, s = 2

7

8 y t = 2 6

7 , de menor a mayor es

a) r, s, t b) t, s, r c) r, t, s d) t, r, s e) s, t, r

21. Si x es un numero racional mayor que 3, ¿Cuál es la relación de orden correcta entre las fracciones p = _x4

−3 , q =

4

x y r = 4 x+3 ?

d) q < r < p e) q < p < r

22. El orden creciente de los números x = 15 4 , y =

15

9 y z = 15

7 es

a) x, z, y b) x y, z c) z, x, y d) y, z, x e) y, x, z

23. ¿Cuánto se obtiene si el producto (0,002 ∙ 0,08) se divide por el producto (0,4 ∙ 0,0002)?

a) 0,002 b) 0,02 c) 0,2 d) 2 e) 20

24. Los atletas Pedro, Javier y Diego demoraron en llegar a la meta en promedio de 9,07, 9,15 y 0,09 segundos, respectivamente ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Pedro llego dos centésimas antes que diego

II) Javier llego seis centésimas después que Diego

III) El que primero llego fue Pedro

a) Solo I b) Solo III c) Solo I y III d) Solo II y III e) I, II y III

25. 0,002+0,1+0,03 0,1+0,01

c) 1,02 d) 1,2 e) 12,0

26. -0,3 ∙ [(0,3 + 0,3) ∙ -0,3 + 0,3]

a) -0,18 b) -0,036 c) 0 d) 0,36 e) 0,084

27. Alicia comparte sus dos barras de chocolate iguales con sus dos amigas Francisca y Claudia. A Francisca le da 8

9 de una barra y a Claudia 7

9 de la otra barra, quedándose Alicia con el resto del chocolate. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

I) Alicia se quedo con 1

3 de la cantidad de chocolate que tenia.

II) Entre Alicia y Claudia recibieron más chocolate que Francisca

III) Quien recibió más chocolate fue Francisca recibió más chocolate

que sus amigas.

a) Solo I b) Solo II c) Solo II y III d) I, II, III

e) Ninguna de ellas.

28. Dados los racionales x = 5 9 , y =

11 99 y z =

4

11, entonces se cumple que

29. Si el precio de un artículo que es $300.000 se aumenta en sus dos tercios y el nuevo precio se disminuye en su quinta parte, entonces el precio final es

a) $20.000 b) $40.000 c) $100.000 d) $400.000 e) $500.000

30. Si los 12

20 de una cantidad correspondiente a 240.000, ¿Cuál es la cuarta parte de la cantidad?

a) 36.000 b) 40.000 c) 100.000 d) 144.000 e) 400.000

31. A las 7:00 am se vendió la mitad de los pasajes, a las 7:15 am se vendió la mitad de lo que queda y a las 7:30 am se vende el tercio del resto, quedando 5 pasajes por vencer. ¿Cuál es la cantidad total de pasajes vendidos?

a) 5 b) 25 c) 30 d) 45 e) 55

32. ¿Cuál es el triple de la mitad de los 2

3 de 1,2?

b) 8 15

c) 6₅

d) 10

3

e) 24₅

33. 1

−1+ −1

1−1

1 3

=

a) -2 b) −₂1

c) 1

2 d) 1 e) 2

34. Si a 600 se le restan los 20

100 de su mitad, entonces el resultado es

a) 299,9 b) 500 c) 540 d) 560 e) 599,99 35. 3 4 3 5 − 1 4 6 9

=

a) −13

8

c) 1 2

d) 7₈

e) 13

3

36. Si al doble de 3,4 se le resta el triple de 4,3 resulta

a) -6,1 b) -5,51 c) 5,51 d) 6,1 e) 19,7

37. El inverso aditivo de 1

2 sumado con el reciproco de -2 es igual a

a) −5

2

b) −₂3

c)

-1

d)

0

e) 3₂

38.3− 3

3−1

3

=

a) −₃15

b) −3

2

d) 15 8

e) 21₈

39. 4₃−5

6∙( 2 5−

−1

5 ) =

a) −1

5

b) 3

20

c) 9

30

d) 5₆

e) 13

12

40. 3 4−

1 8+

1 2 =

a) −₂3

b) −1

2

c) 1₈

d) 9

8

e) 11₈

(1) a

b = 5 y b= 2 5

(2) ab es el doble de c a) (1) por si sola

b) (2) por si sola

c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional

42. Se puede determinar la fracción del suero por minuto, que se le suministra a un paciente desde una bolsa de 1.000 ml si:

(1) La mitad de la cuarta parte de la bolsa de suero se consume en 10 minutos. (2) La bolsa de suero se consume en una hora 20 minutos

a) (1) por si sola b) (2) por si sola

c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional

43. Los alumnos de un curso debían ver una película y luego analizarla, para ello tenían que elegir entre: Violeta se fue a los cielos, El planeta de los simios y Harry Potter 7. Si 1

5 del curso eligió Violeta de fue a los cielos, se puede determinar el número de alumnos que eligieron el Planeta de los simios si se sabe que:

(1) El curso tiene 40 alumnos.

(2) 4₅ del curso no eligió Violeta se fue a los cielos.

a) (1) por si sola b) (2) por si sola

44. Se puede determinar el numerador de cierta fracción si: (1) El valor de la fracción es 0,8.

(2) El denominador de la fracción es 15.

a) (1) por si sola b) (2) por si sola

c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola (1) ó (2) e) Se requiere información adicional

45. La expresión r

p ∙ q , con p, q y r números enteros, p y q ≠ 0 es positiva si: (1) r

p > 0 y q > 0

(2) p ∙ q < 0 y r no positivo.

a) (1) por si sola b) (2) por si sola

c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional

46. En la vitrina de una panadería hay: ‘‘chilenitos, pan de huevo y empolvados’’. Si 2

5 de la mitad son chilenitos, 24 son panes de huevo y estos representan 2 3 del total de los empolvados ¿Cuántos dulces hay en total en la vitrina?

a) 25 b) 36 c) 50 d) 75 e) 108

47. Se desea pintar una pandereta de 62 metros de largo por 1,9 metros de alto. Si el tarro de pintura tiene un valor de & 7.100 y rinde 4,1m2_{, agregando la mano de} obra del maestro que cobro $ 1.970 el metro cuadrado, ¿Cuál seria,

estimativamente, el costo total de este trabajo?

b) $240.000 c) $330.000 d) $436.000 e) $450.000

48. María, Ana y Elena inician una empresa, aportando María y Ana, 3₅y1 8 del capital inicial, respectivamente, y Elena el resto ¿Cuál es el decimal que representa la fracción que aportó Elena?

a) 0,125 b) 0,275 c) 0,600 d) 0,725 e) 0,835

49. Don José vende 3

5 de su fundo, posteriormente vende 3

4 del resto al mismo precio el metro cuadrado. Si por la venta total le recaudo $ 4.500.000, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?

I) Vendió 9

10 del fundo.

II) De vender lo que queda, recaudaría un total de $ 49.500.

III) El ingreso de la primera venta es el doble de la segunda. a) Solo I

b) Solo II c) Solo I y III d) Solo II y III e) I, II y III

50. Un bidón está con jugo hasta la tercera parte de su capacidad. Si se saca 4 litros entonces queda solo hasta la quinta parte de su capacidad, ¿Cuál es la capacidad del bidón?

e) 30,00 litros

Respuestas

1. D 6. C 11. C 16. C 21. A 26. B 31. B 36. A 41. D 46. D

2. E 7. D 12. A 17. D 22. D 27. A 32. C 37. C 42. D 47. E

3. A 8. B 13.E 18. E 23. D 28. B 33. A 38. D 43. E 48. B

4. E 9. C 14. D 19. A 24. E 29. D 34. C 39. D 44. C 49. C