Disponibleen
ScienceDirect
www.sciencedirect.comwww.e-ache.com HormigónyAcero2018;69(S1):53–69 www.elsevierciencia.com/hya
Predicción
de
fracturas
en
estructuras
de
hormigón
combinando
los
métodos
de
elementos
finitos
y
de
elementos
discretos
Fractures
prediction
in
concrete
structures
combining
the
finite
and
discrete
element
methods
Francisco
Zárate
a,b,∗y
Eugenio
O˜nate
a,baCentreInternacionaldeMètodesNumèricsenEnginyeria(CIMNE),Barcelona,Espa˜na
bUniversitatPolitècnicadeCatalunya(UPC),Barcelona,Espa˜na
Recibidoel8deenerode2018;aceptadoel17demayode2018 DisponibleenInternetel17dejuliode2018
Resumen
Elpresentetrabajoplantealosconceptosbásicosydeaplicacióndelaestrategiaquecombinalosmétodosdeelementosfinitosydeelementos discretosparaelestudiodelapropagacióndefracturasenestructurasdehormigón.Elcálculodelaestructura,modeladacomouncontinuo,se iniciaconlosmétodosdeelementosfinitosysehaceusodelosmétodosdeelementosdiscretosparainiciaryhacercrecerlasgrietasquepuedan aparecerenlaestructura.Estametodologíahasidopropuestaporlosautoresen2y3dimensiones.Recientementesehaagregadoelusode elementosunidimensionalesdeaceroembebidosenelcontinuoparamodelarelefectoresistentedelarmadoenestructurasdehormigón.Enel trabajosepresentandiferentesejemplosdeaplicaciónalestudiodelaroturadepiezasyestructurasdehormigónenmasayarmado,asícomola roturamúltipledeunaestructurahistóricademamposteríadebidaaunterremoto.
©2018Asociaci´onEspa˜noladeIngenier´ıaEstructural(ACHE).PublicadoporElsevierEspa˜na,S.L.U.Todoslosderechosreservados.
Palabrasclave: Métododeelementosdiscretos;Métododeelementosfinitos;Mecánicadefractura;Estrategiaelementosfinitos-discretos
Abstract
Thispaperpresentsthebasicconceptsandapplicationofthestrategythatcombinesfiniteelementmethods(FEM)anddiscreteelements(DEM) forthestudyofthepropagationoffracturesinconcretestructures.Thecalculationofthestructure,modeledasacontinuum,beginswiththeFEM andtheDEMisusedtostartandgrowthecracksthatmayappearinthestructure.Thismethodologyhasbeenproposedbytheauthorsintwoand threedimensions.Recently,theuseofone-dimensionalsteelelementsembeddedinthecontinuumhasbeenaddedtomodelthereinforcementin concretestructures.Theworkpresentsdifferentexamplesofapplicationtothestudyofthebreakageofpartsandstructuresofconcreteinmass andarmed,aswellasthemultiplebreakageofahistoricstructureofmasonryduetoanearthquake.
©2018Asociaci´onEspa˜noladeIngenier´ıaEstructural(ACHE).PublishedbyElsevierEspa˜na,S.L.U.Allrightsreserved.
Keywords:Finiteelementmethod;Discreteelementmethod;Fracturemechanics;Finite-discreteelementstrategy
1. Introducción
Recientemente muchos autores han realizado interesantes desarrollosconla finalidaddepoder definirelinicio y
creci-∗Autorparacorrespondencia.
Correoelectrónico:[email protected](F.Zárate).
mientodeunafracturadentrodeunaestructura,modeladacomo unmediocontinuo,yaseafrágilodúctil[1–4].
Unodelostrabajosmásrecientesdiscretizaelmedio conti-nuopormediodeelementosdiscretosdeformacircular(en2 dimensiones)oesférica(en3dimensiones)[5].Sinembargo,la dificultadinherenteparacalibrarlosparámetrosdelmaterialen elmétododeloselementosdiscretos(DEM,porsussiglasen inglés),asícomolanecesidaddecontarconungrannúmerode
https://doi.org/10.1016/j.hya.2018.05.002
elementosdiscretos[2,5],poneendudasuefectividad,apesar de quecualitativamente el númeroy direcciónde las grietas y losresultadosnuméricosobtenidosdelacargaúltima dela estructurasonbastanteaceptables.
Estetrabajohaceusodeunaestrategiaqueutilizaelmétodo deelementosfinitos(FEM,porsussiglaseninglés)para discre-tizarlaestructurainicialyseguirsucomportamientobajocargas crecienteshastaeliniciodelaprimerafisura.Traselloseutiliza unatécnicadeeliminacióndeloselementosfinitosda˜nadosyse introducenelementosdiscretosenloslabiosdelasfisuras[6–8]. LadenominadatécnicaFEM-DEMsehautilizadoconéxitoen 2 y3 dimensiones[9,10]paraestudiar elcomportamiento no linealyelfallodeestructurasdehormigónymamposteríabajo diferentessolicitacionescuasi-estáticasydinámicas.
Otrosaspectosimportantesinherentesalaformulación FEM-DEM son el uso de un campo de esfuerzos suavizado, la conservacióndelamasayelusodeunalgoritmosimplepara asegurarelcontactoposfracturaentrelasparedesdelagrieta. Adicionalmente,laarmadura deacerose consideraembebida enlamalladeelementosfinitos,locualsimplificaloscálculos.
2. Formulaciónmétododeelementosfinitos-métodode elementosdiscretos
Engenerallaestrategiaquesesigueparaelcálculonolineal deestructurasconmodelosdeelementosfinitosdesólido bidi-mensionales(2D)otridimensionales(3D)[11]pasaparaevaluar alolargodeltiempolarespuestadelaestructuradiscretizada conunamalladeelementosfinitos.Endichamallalas conectivi-dadesinterelementalesemulanlosenlacesentreloselementos quese degradande formaprogresiva,generalmentemediante unsencillomodelodeda˜noisótropo.Dichosenlaces interele-mentalespueden interpretarsecomolasconexiones entreuna coleccióndeelementosdiscretosquereemplazaríanlosnodos delamalladeelementosfinitos.Estaanalogíaes elpuntode partidadelatécnicaFEM-DEM[9,10].
Laestrategia FEM-DEM se puederesumiren los 5 pasos siguientes:
• Discretización del continuo que modela la estructura medianteelFEM.
• Obtencióndelcampodetensionessobrelaestructura.
• Obtencióndelda˜noenelinteriorylosladosdeloselementos.
• DiscretizaciónmedianteelDEM.
• Integracióntemporalensubpasos.
Debido a lanaturaleza de los ejemplos se describirán los pasos anteriores enfocados al caso 3D, utilizando tetraedros linealesde4nodosparaladiscretizaciónconelFEM.
Una delas clavesde latécnica FEM-DEMes el procedi-mientoparapasarelda˜noproducidoenunelementofinito,con laconsiguientedegradacióndelarigidezelemental,auna dis-cretizacióndeloslabiosdelafisuraporelementosdiscretosde formacircular(en2D)oesférica(en3D).
Cuandoelda˜noqueseinduceenunelementoesmayorqueun ciertovalorseconsideraquelarigidezdelelementose encuen-tratandisminuidaqueesposibleeliminarlo;paraelloseutiliza
unatécnicadeeliminacióndeelementos[6–8].Enesemomento se creannuevoselementosdiscretosenlosvérticesdel tetrae-droeliminado(en3D),loquepermitelaaperturadelagrieta enelcontinuodiscretizadoporloselementosfinitos,mientras queloslabiosdelafisuraquedandefinidosporloselementos discretos.Amedidaquelafisuracrece,einclusoseramifica, algunoselementosdiscretospuedensepararsedelamallade ele-mentosfinitoscreandounadisgregacióndelcontinuo.Elhecho deutilizarelementosdiscretosparadefinirlasgrietaspermite, demaneranatural, considerarlaaperturay cierredeestassin a˜nadirprocedimientosadicionales.
3. Discretizaciónmedianteelmétododeelementos finitos
ElFEMesprobablementelatécnicanuméricamáspopular paramodelarelinicioylapropagacióndefisurasen materia-lesfriccionales(hormigón,rocas,mampostería,cerámicas,etc.)
[12–16].Sinembargo,lamayoríadelosprocedimientos
basa-dosenelFEMparalaprediccióndelaapariciónyevoluciónde grietas utilizanformulaciones deelementosmuysofisticadas, queenocasionesrequierenunremalladoenlavecindaddelas posiblesgrietas[15,16].Elenfoqueseguidoenestetrabajo uti-lizaelFEMparamodelarlaestructuramedianteelementosde sólido(2Do3D),cuyaeventualfracturasedescribemediante elDEM.Entrabajos previosde latécnicaFEM-DEMhemos utilizadoelsencillotriángulode3nodosen2Dyeltetraedrode 4nodosen3D[9,10].
Considerando,porejemplo,elcaso3D,inicialmentetodoel dominiodelaestructurasediscretizaconunamallade tetrae-dros, comoencualquieranálisislineal3DporelFEM. Lano linealidadsemodelaintroduciendounadegradacióndelarigidez elementalmediantelaclásicateoríadeda˜noisótropo[13,17].
El efecto resistente de la armadura de acero se modela mediante elementos unidimensionales (1D) embebidos en la malladetetraedros.Elloimplicalocalizar lospuntosde inter-secciónentreloselementos1Dquemodelanelaceroy todos los tetraedros quediscretizan eldominio.Paracada tetraedro intersectadosedeterminanlospuntosdeintersección,loscuales correspondenalosnodosdelsegmentodelaarmaduraembebida eneltetraedro.Comoesposibledescribireldesplazamientode dichosnodosenfuncióndelosnodosdeltetraedro,lamatrizde rigidezdelelemento1Ddeaceroesfuncióndedichos despla-zamientos.
Estatécnicanoincrementaelnúmerodeecuacionesa resol-ver y permitede unaforma muysencillatomar en cuentala rigidezasociadaalaarmadura.
3.1. Definicióndelcampodetensiones
lastensiones,calculadasinicialmenteenelbaricentrodecada elemento,paraobtenersuvalorelcentrodelosladosdecada elemento.Estaestrategiacorrespondealmétododelaparcela superconvergentepropuestaporZienkiewiczyZhu[18],yevita agregartérminosdeestabilizaciónalcampodetensionescomo esnecesarioenotrosprocedimientosalternativos[12–14].
Enanálisis3Dseprocededemanerasimilar,yaqueelcampo detensionesentreelementosesdiscontinuo,porloquese uti-lizaelmismomecanismodesuavizado.Esdecir,lastensionesen cadaunadelasaristasdeunelementotetraédricoeslamedia arit-méticadelastensionesevaluadasdentrodetodosloselementos quecompartendichaarista.
Aligualqueenelcaso2D[9],sehautilizadoelcriteriode fallodeRankinparadefinireliniciodeunafracturaenmateriales frágilestomandoencuentalatensiónprincipalmayorσl[13,17].
El crecimiento del da˜no se realiza mediante la siguiente ley exponencialquedegradaprogresivamentelarigidezdelmaterial
[19].
d = 1−σf
σ1exp
A
1−σ1
σf
conA =
GE0
lσf2 −
1 2
−1
(1)
dondeleslalongituddelaaristadelelementofinitoda˜nado,
σf es el límite elástico a tracción del material,G la energía defracturay E0elmódulodeYoungdel materialnoda˜nado.
Resultaobvioqueentre2pasosdetiempoelda˜nodeunlado ounaaristanopuededisminuir,yaqueelloimplicaríala repa-raciónespontáneadelmaterial,locualestermodinámicamente inadmisible.
3.2. Definicióndelda˜noelemental
Unavezqueelda˜nohasidoevaluadoencadaladooaristade unelemento(esdecir,unenlacevirtualentreelementos discre-tos)elda˜nosobreelconjuntodelelementosecalculacomoel máximoda˜noexistenteentodoslosplanosquecortanun trián-gulo(2D)ountetraedro(3D)(fig.1).Encadatetraedroexisten 4planosdecortequeaíslanunvértice(fig.1b)yotros3que aíslan2vértices(fig.1c).Deestamanera,elda˜nosobreelplano decortesedefinecomoelvalormediodelda˜nodecadaarista delelementoquecortadichoplano.
Si elda˜no elemental sobrepasa uncierto umbral entonces seeliminaeltriángulootetraedrodelamalla[6–8]ysecrean nuevoselementosdiscretosenlosvértices.Eltama˜nodeestos elementosdiscretossedefinedemaneraqueseconservelamasa delelementoeliminado.
4. Discretizaciónmediantemétododeelementos discretos
Cuandountetraedroestotalmenteeliminado(i.e.surigidez esdespreciable)secrean4nuevoselementosdiscretosenlos vér-ticesdedichoelementofinito.Lacreacióndedichoselementos discretosquedacondicionadaaquenohayansidocreadoscon anterioridaddebidoalaeliminacióndealgún elementofinito vecino.Enestetrabajosehanutilizadocírculosyesferaspara representarloselementosdiscretosen2Dy3D,respectivamente.
Lamasadecadaelementodiscretocorrespondealamasanodal queescompatibleconlaobtenidamedianteelementosfinitos. Elradiodeunnuevoelementodiscretoesféricoseobtienede talmaneraqueseaelmáximoquegaranticeelcontactoconlas esferasvecinas,perosincrearsolapamientos.Existenotros algo-ritmosparagenerarelementosdiscretos[2,20],sinembargo,el propuesto,apesardesusimplicidad,hadadobuenosresultados. Unavezquesecreaunelementodiscretolasfuerzasenlas interfacesdecontactoseusanparadefinirlainteraccióndedicho elementoconlosadyacentes.Estasfuerzassedebenúnicamente aunmecanismodecontactoenlasdireccionesnormaly tangen-cialalplanodecontactoentreesferas(en3D),considerandoel radiomínimoentrelas2partículasencontacto[5].
Enproblemas3Dlafuerzanormaldecontactosegeneraen elpuntodecontactoentre2esferasyvienedadapor:
Fnij = A
ij
dijE
0unconAij =πr2c (2)
dondeAij eseláreadelasuperficiedecontactoentrelas2 esferas,rceselradiodelamenordelas2esferasqueinteractúan
enlainterfaz ij;un eselsolapamientoenladireccióndelos
centrosdelasdosesferasydijesladistanciaentredichoscentros
[5].
LafuerzatangencialFsenelpuntodecontactose
descom-poneen2direccionesortogonaless1ys2contenidasenelplano
normalaladireccióndij.Paracadadirecciónsj lafuerza
tan-gencialsedescribepor:
FS = min
⎧ ⎨ ⎩
usi2(1E+0u)
μF n usi us (3)
dondeμeselcoeficientederozamientoentreesferasyues elcoeficientedePoisson.Másdetallesdelasecuaciones(2)y (3)sepuedenencontrarenO˜nateetal.[5].
Engeneral,elnúmerototaldeelementosdiscretosgenerados enunanálisisessolounapeque˜nafraccióndelnúmerototalde nodosenlamalladeelementosfinitos[10].Porlotanto,los algo-ritmosdebúsquedaparalocalizarlasfuerzasdecontactoentre elementosdiscretossolorepresentanunpeque˜noporcentajedel tiempototaldecálculo.
Esimportantemencionarquelaestrategiadelusode elemen-tosdiscretosparadefinirelcontactoentreloslabiosdeunafisura permiteresolverproblemasestructuralesendondeexiste aper-turaycierredemúltiplesgrietas,comosemuestraenelanálisis sísmicodeunedificiohistóricodemampostería,presentadoal finaldeesteartículo.
5. Integracióntemporalensubpasos
a b c
Figura1.Planosdecorte.a)Elementotriangular;b)tetraedroaislandounvértice;c)tetraedroaislando2vértices.
Esquema implícito de integración
temporal
Esquema explícito de intergración
temporal
Desplazamientos
Impulsos
I t E t
Figura2.Integracióntemporalensubetapasutilizadoparaelanálisisconjunto deelementosfinitosydiscretos.
cuantificarcorrectamenteloscontactosylasfuerzasdecontacto entreelementosdiscretos.
Laimplementaciónparaelestudiodeproblemastransitorios seguidaenestainvestigacióncorrespondeaunesquemade inte-gracióntemporaldesubetapasenelcualloselementosfinitosse calculanmedianteunesquemaimplícitodeNewmark,ylos ele-mentosdiscretosmedianteunesquemaexplícitodediferencias centradas.Normalmenteelincrementodetiempodelesquema implícitosueleser100vecesmayorqueelexplícito.
Laventajadeestaestrategiaesqueelnúmerodeelementos discretossuelesermuchomenorqueeldeelementosfinitosque discretizanlaestructura,porloquelaintegraciónexplícita rea-lizadadentrodeunpasodetiempoimplícitoesbastanterápida. AntesdecomenzarunnuevopasodetiempoΔitenelesquema
implícito,secalculaelmismoperíododetiempoconunesquema explícitosobreloselementosdiscretos,usandounincremento detiempoΔEt.
El contacto entre elementos discretos se cuantifica por la sumadelos impulsosquese producenalolargo del análisis explícito,yseexpresacomounafuerzasobreloselementos dis-cretos,aplicadaeneltiempot+1correspondientealesquema implícito,talcomosemuestraenlafigura2.
Sehaobservadoquenoesaconsejablequelosintervalosde tiempoΔit y ΔEttengan unarelación mayor que1: 500,ya
quepuedehaberdiscrepanciasentrelasoluciónexplícitay la implícita.Teniendoestoencuenta,laestrategiadesoluciónen subpasosimplementadapermiteobtenerexcelentesresultados, comosemuestraenlosejemplosdelsiguienteapartado.
6. Ejemplos
Enesteapartadoseexponenvariosejemplosafindemostrar elbuencomportamiento dela estrategiaFEM-DEMdescrita. El primerejemplo correspondeal estudio3D de unaprobeta normalizadaen un ensayo atracción.El segundoejemplo es unavigadehormigónbientalladadondepredominalafractura
2 x 17 x 1
6 x 51 x 3
10 x 85 x 5 19.0 mm
76 mm
13.0 mm
57 mm
115 mm 165 mm
PB
PB
PB
4 mm
PA
Figura3.Ensayonormalizado3Ddetracción.Malladeelementosfinitosy dimensionessegúnlanormaASTMD638.
en modo mixto. El tercer ejemplo corresponde al ensayo de tracciónindirecta,ampliamenteusadoenmecánicaderocas.El cuartoejemploconsisteenunensayodecortanteenhormigón propuestoporLuong[21].Elquintoejemploesunensayodeuna probetaacompresiónsimple.Elsextoejemploeselestudiode unforjadoreticulardehormigónarmado,afectadoporun asen-tamientodiferencial.Elaceroseconsideraembebidoysolidario conlosdesplazamientosdeloselementosfinitosutilizados.
Finalmente,enelsextoejemplo,sepresentaelanálisis sís-micodelanavecentraldelaiglesiadelmonasteriodePoblet, formadaporelementosdemampostería,aplicándoleunsismo de6Mw.Enesteejemplosepuedeobservarcomolaestrategia FEM-DEMmodelaelefectodelaaperturaycierredemúltiples grietas.
6.1. Ensayonormalizadodetracción
Elprimerejemplocorrespondealanálisisdefracturadeuna probeta dehormigónsujetaafuerzas detracción.El objetivo principalesmostrarlaindependenciadeltama˜nodelamallaen lageneraciónde lagrieta,de maneraquelaenergíautilizada enlafracturaseaindependientedeltama˜noelemental.La geo-metríase definedeacuerdoconlanormaD638delaSección Norteamericana de laAsociación Internacionalde Ensayode Materiales(AmericanSocietyforTestingand Materials)[22].
Enlafigura3semuestranlas3mallasdeelementostetraédricos
Figura4.Ensayonormalizadodetracción.Zonaagrietadaincluyendolos ele-mentosdiscretosgeneradosparalas3mallasdeelementosfinitosconsideradas.
Elestudioseha realizadoutilizandolametodología FEM-DEMen3Dantesdescrita.Conelfindelocalizar lafractura, solosepermitequeunabandadeelementosserompaalnivelde latensióndefallo,usandoelmodelodeda˜nomencionado.Los resultadosobtenidosseanalizandibujandolosdesplazamientos delospuntosPAyPBmostradosenlafigura3.
ElmódulodeYoung,elcoeficientedePoissonyladensidad sonrespectivamenteMw=30×109Pa,v =0,2,y =1,0×103 N/m3, la tensión máxima de tracción σf =10×103 Pa y la
energíadefracturaG =7,5×10-3J/m2.
Laprobetasedeformaaplicandounavelocidadconstantede tracciónde0,5×10-7m/senambosextremos.Lafigura4 mues-tralageometríada˜nadaparalas3mallasdelFEMconsideradas. Obsérvesequecuandoseproduceunafracturasecrean ele-mentosdiscretosenloslabiosdelaúnicafisuraqueapareceen esteejemplo, comose explicaen losapartados anteriores.El tama˜nodelasesferasnoesuniformedebidoaquenotodoslos elementoslleganalda˜nomáximodemanerasimultánea.
Conobjetodeevaluarlaaperturadelagrietaseanalizael des-plazamientodelospuntosPAyPBsituadosaladerechayenel centrodelaprobeta,respectivamente(fig.3).Lafigura5 mues-tralarelacióncarga-desplazamientoenestospuntos.Para las 3mallasconsideradaslaevolucióndeldesplazamientoesmuy similar,ydeacuerdoconlosresultadosesperados[9].Debidoa queloselementospordondeseabrelagrietatienenuntama˜no diferenteparacadamalla,eldesplazamientodelpuntoPBenla regiónelásticasehacemáspeque˜noamedidaquesereduceel tama˜nodelelemento.
6.2. Vigabientalladaaflexión
Elsiguienteejemplocorrespondealensayo deunavigade hormigónenmasabientallada. Elanálisisse realizamediante lashipótesisdetensiónplanayesunbuenejemplodefractura enmodomixto.Lavigasesostieneen2puntosysesometea flexiónaplicandoundesplazamientoimpuestomediantecontrol develocidadequivalentea1mm/senlos2puntosrepresentados
enlafigura6.Igualmente,endichafiguratambiénsemuestran
lageometríaylasdimensionesdelaprobeta.
Laviga presenta2 puntos singularesen la punta delas 2 entallas,endondelastensionesdetracciónsonaltasyelda˜no comienza en esta zona. Laspropiedades del material son E0
=30×109Pa,v =0,2,σf =2MPayG =1×102J/m2.El
pro-blemahasidoresueltoconlatécnicaFEM-DEMen2D.
En la figura 7 se muestra un detalle de las 3 diferentes
mallasutilizadas,formadaspor1.165nodosy2.202elementos triangulareslinealesparalamallagruesa,1.847nodosy3.480 elementosparalamallaintermediay5.747nodosy11.206 ele-mentosparalamallafina.Elanálisisseharealizadotantode formacuasiestáticacomodeformadinámica,respetandola velo-cidaddeaplicacióndelacarga.Enamboscasoslosresultados hansidomuysimilares,comoseobservaenlafigura8.
Lafigura9muestraladireccióndelasfisurasparalas3mallas
analizadas,lascualescoincidenconlosexperimentosnuméricos
[14].Lafigura8muestralarelaciónentrelareacciónyel
despla-zamientoimpuestoencualquieradelos2puntosrepresentados
enlafigura6(los resultadossonidénticosparalos2puntos).
Losgráficossonconcordantesconlosresultadosobtenidospor Cerveraetal.[14].
6.3. Ensayodetracciónindirecta
Elensayobrasile˜nodetracciónindirecta(BrazilianTensile Strength)esunprocedimientosencilloparaevaluarlaresistencia alatraccióndehormigónygeomateriales.Laprobetade hormi-gónanalizadaesuncilindrode,2mdediámetro(D)y0,1mde espesor(t),sujetoaunacargadiametralmenteopuesta(fig.10). El valor delaresistencia alatracciónse calcula mediantela siguienteexpresión[23,24]:
σf 2P
πtD (4)
DondePes elvalor delacargaaplicada.Laspropiedades delmaterialsonE0 =21×109Pa,v =0,2,y =7,8×103N/m3,
σf =10KPayG=1×102J/m2,loqueproporcionaunacarga
máximadefallodeP=314,16N.
Para realizar los análisis se han usado3 mallasde 9.338, 31.455y61.623elementostetraédricoslineales,comose
mues-traenlafigura10.Elensayoserealizaimponiendounavelocidad
constanteverticalenlapartesuperiordelaprobeta.
Lafigura11muestralagrietayloselementosdiscretos
gene-rados.Sepuedeobservarqueelpatróndefisuraciónessimilar paralas3 mallas yde acuerdo conel resultadoesperado.La
figura12muestralacurvadecarga-desplazamiento.Los
valo-resobtenidosparalaresistenciaalatracciónmáximaparalas mallasgruesa,mediay finasonrespectivamente:10.693KPa, 10.351KPay10.235KPa,correspondientesaunrangodeentre 6%y2%deerrorfrentealvaloresperadodeσf =10KPa.
Es remarcable la insensibilidad de la curva carga-desplazamientoaltipodemalladeelementosfinitosutilizada. Esta«objetividad»delosresultadosnuméricosfrentealtama˜no delamalladelFEMesunadelascaracterísticasesencialesde latécnicaFEM-DEM.
6.4. Ensayodecortante
6,0E-01
5,0E-01
4,0E-01
3,0E-01
2,0E-01
1,0E-01
0,0E-00
-1,0E-01
0,00E-00 5,00E-09 1,00E-08 1,50E-08 2,00E-08 2,50E-08 3,00E-08 3,50E-08 4,00E-08
Desplazamiento
Malla 02x17x1 Malla 10x85x5 Malla 06x51x3 PB PA
Fuerza
Figura5.Ensayonormalizado3Ddetracción.Curvacarga-desplazamientodelospuntosPAyPBdelamuestra.
EMPOTRADO
EMPOTRADO
57.0 cm
4 cm 0.5 cm
134.0 cm
4 cm
18.3 cm 30 cm 30.6 cm 8.2 cm
Figura6.Vigabientalladaaflexión.Geometríaycondicionesdecontorno.
Malla gruesa 1165 nodos 2202 elementos
Malla media 1847 nodos 3480 elementos
Malla fina 5747 nodos 11206 elementos
Figura8.Vigabientalladaaflexión.Relaciónentrelafuerzayeldesplazamientoencualquieradelospuntosreferenciadosenlafigura6.Losresultadosobtenidos soncomparadosconaquellosdadosenCerveraetal.[14].
Figura9.Vigabientalladaaflexión.Superficiesdeigualdesplazamientoyaperturadelasgrietas.a)Mallagruesa;b)mallaintermedia;c)mallafina.
fuerzasaplicadas. Porlogeneral lasfuerzasde cizallamiento provocanqueunadelassuperficiesdefallodeunmaterialse muevaenunadirecciónylaotrasuperficieendirecciónopuesta, demaneraqueelmaterialseencuentrasometidoaunestadode corte.Esteejemploserealizóen80minutosusandoun procesa-dora2,5MHz.
Elensayoqueaquíseconsideratienecomoobjetivo deter-minarlaresistenciaacortantedelhormigónyhasidopropuesto porLuong[21].Laprobetatieneformatubularysueje coin-cide con el eje z=0. Tiene varias entallas y se somete a una carga central en una de sus caras y otra excéntrica en la caraopuesta, de manera que se generen tensiones cortan-tes paralelas al eje z=0, como se describe en la figura 13,
en la que también se muestran las condiciones de contorno impuestas. La profundidad de la entalla es de 10mm y su anchoes de 4mm. Lacargase aplicaimponiendo alaplaca superior unavelocidad constante de 1mm/s hasta llegar ala fractura.
Ladefinicióngeométricaylamalladeelementosfinitos uti-lizadasemuestranenlafigura14.Elplanodecizallamientoha sidodiscretizadocon4elementosfinitostetraédricosde4nodos, conelfindecaptaradecuadamenteelgradientedetensionesen estazona.
Las propiedades del hormigón son E0 =35×109Pa, v
=0,22, y =7,8×103N/m3, σc =30MPa, σf =3MPa y
1.9975 cm
10 cm
9.95 cm
10 cm
CLAMP
δ
Nodes: 1930
Elements: 9338
Nodes: 6056
Elements: 31455
Nodes: 11557
Elements: 61623
Figura10.Ensayodetracciónindirecta.Dimensionesdelamuestra,condicionesdecontornoymallasusadasdeelementosfinitostetraédricosde4nodos.
Figura11.Ensayodetracciónindirecta.Grietayelementosdiscretosgenerados.a)Mallagruesa;b)mallaintermedia;c)mallafina.
enelhormigón es aproximadamente1/5o 1/6del esfuerzoa compresión[21].
La figura 15 muestra la grieta obtenida por el
experi-mento numérico con la técnica FEM-DEM, y se compara conlos resultadosdelosensayosrealizadosenellaboratorio.
La figura16 muestra larelación fuerza-desplazamiento
3,5E+02
3,0E+02
2,5E+02
2,0E+02
1,5E+02
1,0E+02
5,0E+02
0,0E+00
0,00E+00 1,00E-07 2,00E-07 3,00E-07 4,00E-07 5,00E-07 6,00E-07
Desplazamiento Resultado teórico
3D BTS gruesa 3D BTS media 3D BTS media
Fuerza
Figura12.Ensayodetracciónindirecta.Relaciónfuerza-desplazamientoparalas3mallasutilizadas.
10 mm
100 mm
4 mm
4 mm 42 mm
12 mm 40 mm
10 mm
Figura13.Ensayodecortante.Geometría,cargasycondicionesdecontorno.
Figura14.Ensayodecortante.a)Definicióngeométricadelaprobetab)Malladeelementosfinitos.
5,10MPa.Esteresultadoescoherenteypróximoalvalor espe-rado[21].
6.5. Ensayodecompresiónsimple
Unodelosensayosmásfrecuentesrealizadosenprobetasde hormigóneseldecompresiónsimple[25].Elensayoserealiza deacuerdoconlainstruccióndehormigónestructural(EHE-08)
[26],lacualhacereferenciaalanormaUNE-EN12390-3.2009
[27],endondeseespecificalasdimensionesdelasprobetasy lascondicionesdeensayo.
Elexperimentonuméricoquesepresentaserealizaen2D, utilizandoprobetashexaédricasentensiónplanayparaelcaso 3Dprobetascilíndricasnormalizadas.
Elensayo2Dconsisteencomprimirlaprobetacuyas dimen-siones y condiciones de carga se muestran en la figura 17, y en la cual también se presentan las mallas utilizadas. El objetivo del ensayo no solo se trata de encontrar la tensión máxima a compresión que es capaz de resistir la probeta, sino también la forma de las fisuras en función de las dis-tintas condiciones de contorno que se pueden dar en el ensayo.
Las propiedades del hormigón utilizadas son: E0
=30,0×109Pa,v =0,20,y=24×103N/m3,σc =2.000MPa,
σt =20,0MPa y G=105×10-3J/m2.Enestecasola tensión
Figura15.Ensayodecortante.a)Vistasuperior;b)perspectivadelagrietaobtenidaporlatécnicaFEM-DEM;c)roturaenprobetasdelaboratorio.
1e+004
9e+003
8e+003
7e+003
6e+003
5e+003
4e+003
3e+003
2e+003 0
1x10-6 2x10-6 3x10-6 4x10-6 5x10-6 6x10-6 7x10-6 8x10-6 9x10-6 1x10-5 1.1x10-5
Desplazamiento
Fuerza
Resultado esperado
Ensayo de cortante
Figura16.Ensayodecortante.Relaciónfuerza-desplazamientoobtenidaporelensayonumérico.
Losresultadosmásinteresantesenestecasosemuestranen
las figuras 19-21. En todas ellas la figura a) corresponde al
patrón de grietasgenerado, lab) son lassuperficies de igual desplazamiento y lafigura c)elda˜no elemental. Estos resul-tados se pueden comparar con la figura d) que corresponde alos resultados teóricos [28],o con lafigura e), que corres-pondealos resultadosobtenidos conLS-DYNA [29]para el casobiempotrado(figs.19y20)oconunensayoreal(fig.21).
La figura 19 corresponde al caso en que las superficies
de cargatienenun desplazamientohorizontal nuloutilizando la malla de elementos finitos estructurada. Los resultados muestran claramente 2 grietas a 45◦ claramente definidas, y corroboradas por el patrón de da˜no mostrado. El resultado
numérico mostradoen la figurae) muestra el mismopatrón. Sin embargo,observandolosresultadosteóricos [28]elda˜no segenerasobre2bandasa45◦formadasporgrietasverticales.
Lafigura20muestraelmismocaso,coneldesplazamiento
horizontaldelassuperficiesdecargaimpedidas,peroutilizando lamallanoestructurada.Comosepuedeobservarenlafig.20
Desplazamiento impuesto
Desplazamiento impuesto CC superior
CC inferior
0.30 m
0.15 m
Malla estructurada 1161 nodos 3200 elementos
Malla estructurada 4334 nodos 8408 elementos
Figura17.Ensayodecompresiónsimple.Probetaymallasutilizadasenelensayo2D.
20,0E+06
15,0E+06
10,0E+06
5,0E+06
000,0E+00
0,0E+00 1,0E-04 2,0E-04 3,0E-04 4,0E-04 5,0E-04 6,0E-04 7,0E-04 8,0E-04 Deformación vertical
Resultado esperado
Malla estructurada Esf.max.18.8 MPa Malla no estructurada Esf.max.18.9 MPa
Figura18.Ensayodecompresiónsimple.Relacióntensión-deformaciónparaelanálisis2D.
FEM-DEM Desplazamientos Daño
a b c
d
e
9.724e-05 8.6436e-05 7.5631e-05 6.4827e-05 5.4022e-05 4.3218e-05 3.2413e-05 2.1609e-05 1.0804e-05 4.1202e-12
1 0.88889 0.77778 0.66667 0.55556 0.44444 0.33333 0.22222 0.11111 0
Figura19.Ensayodecompresiónsimple.Probetabiempotrada,mallaestructurada.
próximoalteóricoestárelacionadoconlanouniformidadenla discretizacióndedominio.Laspeque˜nasvariacionesnuméricas inducidasporloselementosdedistintotama˜nosonsuficientes paraalterarlaestabilidaddelosresultadosqueseobtienencon unamallaestructurada,encontradoasíunresultadodiferente.
Lafigura21presentalosresultadosobtenidosconlamalla
FEM-DEM Desplazamientos Daño
a b c
d
e
0.00027524 1
0.88889 0.77778 0.66667 0.55556 0.44444 0.33333 0.22222 0.11111 0 0.00024466
0.00021408 0.00018349 0.00015291 0.00012233 9.1747e-05 6.11654e-05
3.0582e-05 0
Figura20.Ensayodecompresiónsimple.Probetabiempotrada,mallanoestructurada.
FEM-DEM Desplazamientos Daño
a b
d
e c
0.00027524 0.00024466 0.00021408 0.00018349 0.00015291 0.00012233 9.1747e-05 6.11654e-05 3.0582e-05 0
1 0.88889 0.77778 0.66667 0.55556 0.44444 0.33333 0.22222 0.11111 0
Figura21.Ensayodecompresiónsimple.Probetasimplementeapoyada,mallanoestructurada.
a b
σmax = 19.01 MPa σmax = 18.63 MPa
Figura22.Ensayodecompresiónsimple.Probeta3Dparadistintoscasosdeapoyo.a)Basesempotrada-libre;b)basesbiempotradas.
tiendena presentarvarias fisurasverticales [27].Los resulta-dosmostrados enlafigura21aconcuerdanconlosresultados esperados.
El mismo ejemplo ha sido resuelto en 3D utilizando una probetacircular(fig.17)ylasmismaspropiedadesmecánicas. Lamallaestáformadapor926 nodosy 4.030tetraedros.Los resultadosobtenidossemuestranenlafigura22aparaelcaso enqueunadelassuperficiesde cargase encuentreimpedida
en su desplazamiento horizontal, mientras quelaotra no.La
figura22bmuestraelcasoenqueambassuperficiestenganel
Figura23.Losareticular.Planoestructural.
6.6. Losareticular
Elusodeforjadosreticularescomoelementosestructurales estáampliamenteconsensuadoy permiteconstruirgeometrías arquitectónicas más libres. El forjado analizado corresponde altecho de unavivienda. La plantaes uncuadrado de 22m de lado, con una superficie plana ovalada en el centro y los ladosen parteaguas conun desnivel de 2m. En la figura23
se muestra la planta estructural en dondese puede observar claramentelaarmadura deacero. Básicamente se tratadeun forjadoreticular de0,25mde espesorconunacapa de com-presión de 0,05m y casetones de 0,40×0,40×0,20m. A lo largo delasnervaduras se colocan varillasde acero del n.◦3 (=0,0095m).
Adicionalmenteexisteunaseriedecerramientos(D1)yvigas (T1yT2),asícomo4capitelesdecolumna.Loscerramientos tienenunasecciónde0,25×0,20marmadoscon4varillasde acerodeln.◦3.LasvigasT1yT2tienenunespesorde0,25my unanchode0,20mparalavigaT1y de0,25mparalaviga T2. Ambas están armadas con 4 varillas de acero del n.◦ 4 (=0,0127m).Finalmente,elarmadodeloscapitelesse rea-lizaconvarillasdeln.◦3@0,15menamboslechosyenambas direcciones.Lafigura24a)muestraelarmadodetodalalosa, asícomoundetalledelarmadodeloscapitelesenlafigura24b). Las propiedades del hormigón son. E0 =21×109Pa, v
=0,20, y =24×103N/m3, σc = 20MPa, σf =2MPa y
G=100×10-3J/m2.
Laplacaseencuentraapoyadasobrelosmurosmostradosen
lafigura25.Aefectosdelanálisisdichosmurosseconsideran
losuficientementerígidosyempotradosensubase.
Lascargasconsideradassonelpesopropiodelaestructura, las cargas muertas 1.620N/m2 y las cargas vivas 400N/m2. Dichosvaloresconsideranelpesodelplafón,lasinstalaciones yacabadosfinales,sinconsiderarcargasdenieveoviento. Adi-cionalmenteseimponeunasentamientodiferencialde0,0035m
de los puntos de la base del muro, como se indica en la
figura25.
Elproblemaseharesueltoutilizandounamallade1.369,192 tetraedros y 368.969 nodos. Por otra parte, se han defi-nido 5.084 elementos lineales para representar las varillas de acero. La figura 26a representa el conjunto del forjado y muros a analizar, mientras que la figura 26b corres-ponde a un detalle cercano al lucernario, donde se aprecian las nervaduras de la placa, así como algunas de las vigas T2.
Lafigura27amuestralosresultadosdeldesplazamientode
laestructuradespuésde queelasentamientodiferencialdela base sea de 0,0035m. En la figura 27b se aprecia un corte muy definidoen la cubierta superior.Se observa queel des-garro enlacubiertaes perpendicularaladireccióndelmuro, poniendo de manifiesto la gran rigidez que tiene la cubierta superior.
Enlafigura28asepuedeapreciarladeformidaddela
estruc-turavistadesdeabajo.Esinteresanteobservarqueellucernario sufrelosdesplazamientosmáximos,inclusomayoresalosque sufreelmurosujetoalasentamientodiferencial.Lafigura28b muestraunavistainferiordelalosadondeseapreciaelda˜no producidoenlaunióndelmuroconesta.
Enlafigura29se observanlos esfuerzosaxiales sobrelos
elementosdeaceropertenecientesalavigaT2enlazonacercana allucernario.Enestafigurasepuedeobservarloselementosen tracciónycompresióndebidoagranflexiónalaqueestásujeta estapartedelaestructura.
Lafigura30muestralaszonasda˜nadasdelaestructura
Figura24.Losareticular.a)Parrilladelarmadodelalosa;b)detalledelarmadoenloscapiteles.
Figura25.Losareticular.Localizacióndelosmurosdecarga.ElmuroconunasentamientodiferencialseencuentramarcadocomoDIFF.
Figura26.Losareticular.a)Vistadelconjunto;b)detalledelasnervadurascercanasallucernario.
a b
0.004 0.0035556 0.0031111 0.0026667 0.0022222 0.0017778 0.0013333 0.00088889 0.00044444 0
a b 0.004 0.0035556 0.0031111 0.0026667 0.0022222 0.0017778 0.0013333 0.00088889 0.00044444 0
Figura28.Losareticular.a)Vistainferiordelaestructuradeformada;b)vistainferiordelasgrietasgeneradas.
2811.2 2179.9 1548.6 917.36 286.09 -345.19 -976.46 -1607.7 -2239 -2870.3
Figura29.Losareticular.Elementosdelrefuerzodeaceroenlazonacercanaallucernario.
Figura30.Losareticular.Da˜noenlaestructura.a)Vistainferior;b)vistasuperior.
Figura31.IglesiacisterciensedelmonasteriodePoblet.a)Vistainteriordelanavecentral;b)plantaysecciónanalizada.
6.7. IglesiacisterciensedelmonasteriodePoblet
Laiglesia,pertenecientealRealMonasteriodeSantaMaría dePoblet,ubicadoenVimbod(Tarragona),esunmonumento históricoartísticodeclaradoporlaUNESCOcomopatrimonio delahumanidad.Construidoapartirdelasegundamitaddel
a b 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 -0,05
-0,15
10
0 20 30 40 50 60
-0,20 -0,25
-0,10 Tiempo
Desplazamiento eje x (m)
Figura32.IglesiacisterciensedelmonasteriodePoblet.a)Malladeelementosfinitosdeunasecciónpertenecientealanaveprincipal;b)excitacióntemporalen desplazamientos.
t = 1.0 seg.
t = 4.0 seg.
t = 7.0 seg. t = 8.0 seg. t = 9.0 seg. t = 5.0 seg. t = 6.0 seg. t = 2.0 seg. t = 3.0 seg.
Figura33.IglesiacisterciensedelmonasteriodePobletsometidaaunterremoto.Evolucióndelasfracturasenlanavecentralendistintostiempos.
mediante arbotantes del estilo gótico, sinocon contrafuertes. Lanavecentralplenamenterománicaestácubiertaconbóveda deca˜nónapuntada,conarcosfajonesencadatramo,comose muestraenlafigura31.
Parasimplificarelestudioseanalizaúnicamenteunasección delanavecentralqueseconsiderasimétricarespectoaleje nor-malaladireccióndedichanave.Lamallaquediscretizalaiglesia tiene9.294nodosy32.487elementostetraédricosde4nodos, comose muestraenlafigura32a.Laspropiedadesdel mate-rialutilizadosecorrespondenconunapiedracalizapropiadela región,conE0 =35×109Pa,v =0,22,y =25×103N/m3,σc
=780MPa,σf =5MPayG=100×10-3J/m2.Encuantoalas
condicionesdeapoyoseconsideraempotradatodalasuperficie inferiordelmodelo.
Lascargas aplicadascorresponden aun movimiento osci-latorioimpuestoendirecciónnormalalejedelanavecentral, como se muestra en la figura 32b. Los valores mostrados
correspondenalmovimientooscilatorioendirecciónS00Ede los registros en desplazamientos obtenidos del acelerograma del sismo «El Centro» del 18 de mayo de 1940 [30]. Estos valores se aplican almodelo conuna reduccióndel 50%, de formaquesimuleunsismodemagnitud6,0MW.
Aunqueelregistrodemovimientosduramásde50segundos laestructurasoloescapazdesoportarenpie4segundos, colap-sandodeformatotalapartirdeeseinstante.Enlafigura33se observa aintervalosdeunsegundolasgrietasformadasenla iglesia.Inicialmenteocurreuncizallamientodelascolumnasy delaparedmásrígida,paraposteriormentecortarlasbasesde losarcos.Apartirdelsegundo5seobservacómolaestructura colapsaensutotalidadreduciéndoseaescombros.
7. Conclusiones
Sehadescritoenelpresenteartículolaslíneasgeneralesde lametodologíaFEM-DEMpropuestaporlosautoresenZárate yO˜nate[9]yZárateetal.[10]paralaprediccióndelaaparición yevolucióndefisurasenestructurasdehormigón.Losejemplos quesehanpresentadomuestranlasposibilidadesdelatécnica FEM-DEMparaelcálculonolinealdeestructurasdehormigón enmasayarmado,asícomoenestructurasdemampostería.La técnicaFEM-DEMestambiénaplicablealestudiodelafractura enmacizosrocosos[31,32].
Agradecimientos
LosautoresagradecenlacolaboracióndelIng.JuanJosé Cue-llarOrnelas,alfacilitardeformadesinteresadalainformación usadaenelanálisisdelforjado.Losresultadosaquí presenta-doshansidoobtenidosutilizandolosprogramasFEM2DEMy DEMPACK(http.//www.cimne.com/dempack)enlosqueseha implementadolametodologíaFEM-DEMdescrita.
Bibliografía
[1]P.A.Cundall,O.D.L.Strack,Adiscretenumericalmodelforgranular assemblies,Geotechnique29(1979)47–65.
[2]LabraC.Advancesinthedevelopmentofthediscreteelementmethodfor excavationprocesses,Ph.D.Thesis.Barcelona;2012.
[3]J.Rojek,E.O˜nate,F.Zarate,J.Miquel.Modellingofrock,soilandgranular materialsusingsphericalelements.Cracow:2ndEuropeanConferenceon ComputationalMechanicsECCM-2001;26-29June2001.
[4]J.R. Williams, O’Connor, discrete element simulation and contact problem, Archives of Computer Methods in Engineering 6 (1999) 279–304.
[5]E.O˜nate,F.Zárate,J.Miquel,M.Santasusana,M.A.Celigueta,F.Arrufat, etal.,Alocalconstitutivemodelforthediscreteelementmethod, Appli-cationtoGeomaterialsandConcrete,ComputationalParticleMechanics2 (2015)139–160.
[6]S.Katagiri,S.Takada.Developmentoffem-demcombinedmethodfor fractureanalysisofacontinuosmedia.MemoirsoftheGraduateSchool of Science and Technology. Kobe University Japan; 20A (2002-03), 65-79.
[7]A.Munjiza.Thecombinedfinite-discreteelementmethod.JohnWiley& SonsLtd,England;2004.
[8]S.Shmauder,J.Wulf,H.F.Fischmeister,Finiteelementmodellingofcrack propagationinductilefracture,ComputationMaterialsScience1(1993) 297–301.
[9]F.Zárate,E.O˜nate,AsimpleFEM-DEMtechniqueforfractureprediction inmaterialsandstructures,ComputationalParticleMechanics2(2015) 301–314.
[10]F.Zárate,A.Cornejo,E.O˜nate,Athree-dimensionalFEM-DEM tech-nique for predicting the evolution of fracture in geomaterials and concrete,ComputationalParticleMechanics(2017),10.1007/s40571-017– z.0178.
[11]E.O˜nate.Cálculodeestructurasporelmétododeelementosfinitos. Análi-sisestáticolineal.Vol.1.Sólidos(CIMNE,Barcelona,2017,encastellano). Vol2.Placasyláminas(Springer,Barcelona,2009,eninglés).
[12]M.Cervera,M.Chiumenti,C.AgeletdeSaracibar,Shearbandlocalization vialocalj2continuumdamagemechanics,ComputerMethodsinApplied MechanicsandEngineering193(2004)849–880.
[13]M.Cervera,M.Chiumenti,R.Codina,Mixedstabilizedfiniteelement methods in nonlinear solid mechanic’s part I. Formulation, Com-puter Methods in Applied Mechanics and Engineering 199 (2010) 2559–2570.
[14]M. Cervera, M.Chiumenti, R. Codina,Mesh objective modelling of cracksusingcontinuous linearstrainanddisplacementsinterpolations, InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering87(2011) 962–987.
[15]P.R.Johnson,N.Petrinic,E.Sli.Element–splittingforsimulationof frac-turein3Dsolidcontinua.Barcelona:VIIIInternationalConferenceon ComputationalPlasticity;2005.
[16]L.MishnaevskyJr.,N.Lippmann,S.Schmauder,Computationalmodelling ofcrackpropagationinrealmicrostructuresofsteelsandvirtualtestingof artificiallydesignedmaterials,InternationalJournalofFracture120(2003) 581–600.
[17]J.Lopez,S.Oller,E.O˜nate,J.Lubliner,Ahomogeneousconstitutivemodel formasonry,InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering 46(1999)16511671.
[18]O.C.Zienkiewicz,J.Z.Zhu,Thesuperconvergentpatchrecovery(spr)and adaptivefiniteelementrefinement,ComputerMethodsinApplied Mecha-nicsandEngineering101(1992)207–224.
[19]E.O˜nate.DesarrollosyaplicacionesdemodelosdefracturaenlaEscuela deIngenierosdeCaminosdeBarcelona.CentroInternacionaldeMétodos NuméricosenIngeniería,CIMNE;2000.
[20]C.Labra,E.O˜nate,High-densityspherepackingfordiscreteelement met-hodsimulations,CommunicationsinNumericalMethodsinEngineering 25(2009)837–849.
[21]M.Luong,Tensileandshearstrengthsofconcreteandrock,Engineering FractureMechanics1–3(1990)127–135.
[22]Astmstandardd638-10,2003.Standardtestmethodfortensile proper-tiesofplastics.Astminternational,westConshohocken,PA,2003.doi. 10.1520/d0638-10,www.astm.org.
[23]F.L.L.B.Carneiro.Anewmethodtodeterminethetensilestrengthof concrete.Proceedingsofthe5thmeetingofthebrazilianassociationfor technicalrules;1943.p.126-129(Portuguese).
[24]C.G.Rocco,G.V.GuineaTortuero,J.PlanasRoselló,M.ElicesCalafat, Efectodeltama˜nodeprobetasobrelaresistenciaalatracciónmedidacon elensayobrasile˜no,HormigónyAcero204(1997)47–63.
[25]J.RodríguezdelViso,J.R.Carmona,G.RuizLópez,Efectodelaformay eltama˜nodelaprobetaenlaresistenciaacompresiónenhormigóndealta resistencia,HormigónyAcero248(2008)77–86.
[26]Norma a instrucción de hormigón estructural (EHE-08) [consultado 2017]. Disponible en: https//www.fomento.gob.es/MFOM/LANG CASTELLANO/ORGANOSCOLEGIADOS/MASORGANOS/CPH/ instrucciones/EHEes/.
[27]UNE-EN12390-3.2009Ensayosdehormigónendurecido.Parte3. Deter-minacióndelaresistenciaacompresióndeprobetas(2009).Asociación Espa˜noladeNormalizaciónyCertificaciónAENOR.
[28]Z.P.Bazant,J.Planas,Fractureandsizeeffectinconcreteandother quasi-brittlematerials,CRCPressLLC,1998.
[29]Y.D. Murray,A. Abu-Odeh,R. Bligh.Evaluationof LS-DYNA Con-creteMaterialModel159PublicationNo.FHWA-HRT-05-063(2007)US DepartmentofTransportation.
[30]Ground accelerogram from el centro, imperial valley irrigation dis-trict (comp s00e) [consultado 2017]. Disponible en: http//www.eng. ucy.ac.cy/petros/earthquakes/eq1.txt.
[31]J.M. González,F.Zárate,E.O˜nate,Pulsefracturesimulation inshale rockreservoirs:DEMandFEM–DEMapproaches,ComputationalParticle Mechanics5(2017)355–373.