La lógica de las preguntas

Dr.

Gerold

Stahl

La

_lgica

de

las

_preguntas

I

jO poco que se _{ha dicho y escrito sobre} la

_lgica

de las

_preguntas,

o

_lgica

erot-tita,

_proviene

casi

_siempre

de una acti tud

_negativa,

sealndose _que no es _po sible tratarla en forma exacta o, en caso

contrario,

no se

_podra

utilizar uno de los simbolismos usuales. Este artculo se limi ta a

_algunas

consideraciones

_generales,

las cuales, sin

_embargo,

_dejan

ver _que un tra tamiento simblico de la

_lgica

de _{las pre} guntas en forma

_paralela

a la

_lgica

de las

_{proposiciones}

_(enunciados)

es

_posible.

Nos limitaremos a _preguntas

que son

exposiciones

de

_problemas,

_excluyendo

de este modo _preguntas meramente

retricas,

etc., y no

_{investigaremos}

las _preguntas en lorma

_aislada,

sino relacionadas con sus respuestas.

L'n _concepto esencial es el de la "res puesta

propia".

Para _que una _respuesta sea

_propia

tiene _que

_cumplir

con cuatio condiciones:

1)

Debe ser verdadera o falsa. Ya _que es tamos interesados

_{primordialmente}

en formulaciones simblicas, tratamos las respuestas en su traduccin al simbo

lismo. Estas traducciones

_pueden

ha cerse al simbolismo de

_cualquier

sis tema exacto,

_{principalmente}

al del clculo de

_{proposiciones}

_(bivalente)

, al del clculo de

_predicados

_{y al de la} aritmtica.

_Exigimos

_que la _respuesta

expresada

simblicamente sea una ex

presin

significativa,

es

_decir,

_que

cumpla

con las condiciones _que el sis tema

_respectivo

establece _para sus ex

presiones

significativas.

Exigimos,

ade-Para entender lo _{que sigue} se necesitan ct.no-cimientin _generales de la _lgica .simblica. Uti lizamos el simbolismo de los _"Principia Mathc-ma-lua" iun _{poco modificado)}.

m.s, _que la _respuesta sea una propo-sinon. Esto

_significa,

_{ya ejue} el des arrollo de la materia en este artculo se etecta en

_{correspondencia}

a la l

gica

bivalente

_(lo

cual no es la nica manera

_posible

de

_{desarrollarla),}

_que las _respuestas

_propias

deben ser o ver daderas o falsas.

L')

No debe ser abreviada. Una _respuesta

propia

p.na la pregunta

"Mara

se ca s)

_ayer?"

no es "Si" ni "Mara se ca si')", sino si'.lo "Mara se cas

_ayer".

3) No debe ser excesiva. "Mara se cas

ayer con Carlos' no es una _respuesta

propia

para nuestra _pregunta.

4)

No debe ser evasiva. "No s", "Es _po

sible _que Mara se cas

_ayer"

_y res puestas similares _que no resuelven el

problema

no son _respuestas

_propias

[rara la pregunta indicada.

Resumiendo decimos _que una _respues ta es

_propia

si es una

_proposicin

(expre-sie'm verdadera o

_falsa)

_cpie contiene to dos los elementos de la _{pregunta y} nin guno ms y que resuelve el

problema

ex puesto en la _pregunta. Llamamos

_"pro

pia"

una _{pregunta si} tiene _por lo menos

una _respuesta

propia.

En caila _pregunta estn

_previstas

ciertas respuestas y otras no estn

_previstas.

Si se pregunta "dnde", se _espera en la _respues ta la indicacin de un

_lugar,

l'na _respues ta ion "en

_{ninguna parte"}

no es una "res puesta

intencionada",

aunque

puede

ser una _icspuesia

_propia.

Distinguimos,

por lo tanto, entre una _respuesta

propia

"in tencionada" _y "no intencionada". Para la pregunta

"Cul

de estas _personas es el asesino?" tenemos _respuesta*

per-72 Anales de la Universidad de Chile

sonas es el asesino" son _respuestas

_propias

no intencionadas.

Llamamos

_"perfecta"

una

_respuesta

propia

si es intencionada o si es una

con-junciiin

*

de _respuestas intencionadas o

si es la

_conjuncin*

de las

negaciones

de todas las

_respuestas

intencionadas de la

pregunta

respectiva.

Para la pregunta

".Con

_quin

se cas Mara?" tenemos, en

tre otras, las

_siguientes

_respuestas

_perfec

tas: "Mara se cas> con

Carlos",

"Mara

se cas con Pedro", etc., "Mara se cas

con Ciarlos y

_(Mara

se

_cas)

con Pedro",

etc., "No es el caso _que Mara se cas con Carlos, ni

_(es

el caso _que Mara se

_cas)

con Pedro ni . . .". Para la

pregunta

"Ma

ra se cas?" tenemos las tres

_siguientes

respuestas

perfectas:

"Mara se caso", "Ma ra no se _{cas" y "No} es el caso _que Mara se cas, ni

_(es

el

_caso)

_que Mara no se

caso"

_(porque

Mara no

_existe).

Llamamos una _pregunta

_"perfecta"

si

tiene por lo menos una

_respuesta

inten

cionada,

v convenimos en considerar ni camente

_preguntas

_perfectas

(las

llamare

mos en lo _que

_sigue

_{simplemente "pre}

guntas")

y nicamente en relacin con sus _respuestas

perfectas

(las

llamaremos

"i

_espuestas").

Todas las _{preguntas y} res puestas

perfectas

son, como hemos

visto,

propias,

y

posiblemente

vale tambin lo inverso.

Procedemos ahora a la simbolizacin de las

_preguntas

_(simples).

Si deseamos saber cunto

_hay

_que agregar a 3 _para obtener

7,

_podemos

escribir

_simplemente

"3 + ?

= 7" _{**, para} lo cual "3 + 4 =

_7",

"j -L 5 =_ _{7". etc.,} son

_respuestas

inten cionadas. El

signo

de la

_interrogacim

marca el

_"[junto

de la

interrogacin",

es decir, el

_lugar

_que ser

_ocupado

en una respuesta intencionada por el smbolo ejue

(cuvo

simbolizado)

est solicitado en

la _pregunta.

'leemos as las

_siguientes

simbolizacio nes _paia

_preguntas:

_{por la}

negacin

o

no-negaiin

tle una

_proposicin

("Es

el ca

so _que rescataron la

caiga?")

"?p":

por la

relacin enue dos

_{proposiciones}

"/'

?

_("

': por una

_pioposii

ii'm en una

_expicsiin

sim blica

_("Qu

se deduce ele 'Los

ngulos

de este

tringulo

son

_iguales'?")

"

>

^> ?"; poi un valoi ele una linui'm

_('.Quin

es

Menos las lonjunuoius que |>rian contra la _ley

ilc la lonlnidiccin: ~_(p . ~.p) *

Podemos expresar lo mismo un _poco ms com

plicado poi "i-f-x = 7 O* '/".

el asesino?",

"Dnde

venden

_pescado?")

"F ?"; _por la funcin de una constante

("Qu

hace

_{Mara?") "?a",}

_por la clase de un elemento

_("Qu

es el rinoceron

te?")

"a z ?"; por una relacin

_("En

_qu

relacin estn _{Mara y}

_Carlos?")

"a 7 b";

por un nmero "' 2 + 2": etc. El

_signo

de la

_interrogacin

_representa

aqu

a veces conectivas

_{proposicionales,}

a veces clases, a veces

_relaciones,

etc. Por lo tanto, esta simbolizacin no es _{muy satis} factoria, y en inters de una _{mayor clari}

dad _expresamos las mismas

_preguntas

aho

ra del modo

_siguiente:

"co?

_p"

,

"p

co?

q",

"p

3

_q?",

_"Fx?",

"Fr a", a e ?", "a R? b",

"x? = ₂

+

2",

utilizando "co"

_seguido

_por el

_signo

de la

_interrogacin

en

represen-tacim de una conectiva

_preguntada

_y en

los otro casos los smbolos de variables de los clculos

_respectivos

_seguidos

por el

signo

de la

_{interrogacin.}

Cualquier

pregunta

(perfecta

y

simple)

puede

expresarse as simblicamente sin

dilicultad. El

_{procedimiento}

es el

_siguien

te. En una

_respuesta

intencionada verda

dera o lalsa se

_sustituye

en el

_punto

de la

_interrogacin

el simbolo de una varia

ble

_{correspondiente}

_{(por ejemplo,}

"x" o

o "i

_o")

en

_lugar

del smbolo de la cons

tante

_(por

_ejemplo,

en

_lugar

de "4" o

"~")

v se _agrega el

_signo

"?". As formu

lamos la

_pregunta

"co?

_p"

a

_partir

de la formulacin de la

_respuesta

intencionada

"~p",

la

_pregunta

"x = 2 -f- 2" a _par tir de la formulacin de la

_respuesta

in

tencionada "4 = 2 + _2", etc.

Las distinciones corrientes entre _pre

guntas con

_"quin",

"dnde", "cmo .

"porqu",

etc.,

_pierden

de

importancia,

ya

que en su simbolizacin no se mantiene

esta diferencia.

_Preguntas

con

_"quin".

"dnele",

"cmo" _y

_"porqu",

_por

ejem

plo,

pueden

simbolizarse por "I-y?'

("Qu

valor satisface la funcin 'ser l.i

persona que. .

.',

o 'ser el

lugar

donde . . .'.

o 'ser la manera como . . .', o 'ser la ra

zn _por la cual. .

.'?").

Por el otro lado, una _pregunta con

_{"porqu" puede}

repie-sent.use- tambin por

"/'?

3

_q"

_("Qlu*

(proposicin) implica...?".)

Como

puede

haber varias simbolizaciones para

propo

siciones, as las

_puede

haber tambin pa ra

_preguntas,

v se

_elige

la ms convenien

te

_segn

las necesidades del momento. A _pesar de _que no consideramos nece

sario hacer distinciones

especiales,

segn

La lgica de las preguntas 73

sin

_embargo,

las

_"preguntas

_selectivas",

las

"preguntas compuestas"

y las

"preguntas

condicionadas"

_{separadamente.}

En una

pregunta selectiva se sealan

_especfica

mente varias _respuestas

_posibles

_ligadas

por "o"

(para

que se seleccione una res

puesta).

Por

_ejemplo.

_"Mara

se cas con

Carlos

o con Pedro?" es una _pregunta se

lectiva. Sus _respuestas

_(perfectas)

son cua

tro

_(las

dos

_{primeras intencionadas):}

"Ma

ra se cas) con Carlos". "Mara se cas) con

Pedro",

"Mara se cas) con Carlos _y Pe dro" v "No es el caso _que Mara se casi) con Callos ni con Pedro".

Preguntas

selectivas se _{representan por}

"??p

v

_??q

\ . . ." con tantas

partes de la

disyuncin,

como

_{posibilidades}

sealadas

en la _pregunta. Nuestro

_ejemplo

se _repre

sentara

_luego

_por

_"??p

y

lq".

Hay

preguntas con ms de un _punto de

interrogacin.

Ellas

_pueden

considerarse

muchas veces como

abreviaturas

de varias

preguntas con un _punto de

_interroga

cin *. En este caso hablamos de

_"pregun

tas

_compuestas".

Por

_ejemplo,

"Dnde _y

cundo encontraron al asesino?"

_puede

considerarse como abreviatura de:

_"Dn

de encontraron al asesino?" _y

_"Cundo

encontraron al

_asesino?",

es

_decir,

en es

te caso como una

_conjuncin

_{de dos pre}

guntas. Similarmente

podemos

considerar la _pregunta

_"Dnde

o cundo encontra

ron al asesino?" como una

_disyuncin

de dos _preguntas.

_Disyunciones

de _pieguntas

no deben confundirse con _pieguntas se

lectivas _{(a pesar} de _que existe cierto _pa

ralelismo).

Conjunciones

de _preguntas se _represen

tan _por

_"(...)

_()"

_y

_disyunciones

_poi

"

(.

.

.) v _(. .

.)"

entie los

parntesis

se co

locan las simbolizaciones ele las _preguntas

espectivas).

L'na _pregunta condicionada seia _por

ejemplo,

"Si ests

enfermo,

por

qu

vinis-te?". Sus _respuestas intencionadas son la

negacim

de la o de las

_{proposiciones}

_que

aparecen en la condicin _y las i_espuestas intencionadas de la _pregunta

_propiamen

te tal. l'na _pregunta de este

_tipo

se ic-pie-senta como

_implie

aeim en _que las _[im

posiciones

de la condicin _apaiceen en el

implicante

entre

_parntesis

_junto

con

"3" _{y la pregunta}

_propiamente

tal en el

En el caso contrario ellas se _representan ionio

preguntas simples pero con el nmero _risprdivo de variables _{y signos} de _{interrogacin.}

implicado.

El

_ejemplo

indicado se _repre

sentara _por "

(p

3)

l-xf".

A toda _pregunta

_(perfecta)

_correspon

de una

_expresin

_que es la disyuncin de

todas sus _{respuestas intencionadas y de la}

conjuncin

de las

_negaciones

de sus

es-puestas intencionadas. A "Fx", _por

ejem

plo,

101

_responde

"Fa.v.Fb.x.F'c.y v.

~Fa . ~Fb . ~Fi . . ."; a "a R? b"

co-i

_responde

"a S b.v.a T b.\. . . . v.~(a S

b).

(a

T

_b)

.. ."; a

"??p

v

??</"

corresponde

"p.x.q.\.~p

.

~q":

etc. Todas estas expre siones, que llamamos

_"expresiones

_parale

las",

son

_tautologas.

Por lo menos una _pane de una tal dis

yuncin

(cada

parte es una _{respuesta per}

fecta)

es verdadera, y

llegamos,

por lo tan

to, a la _{conclusin de que cada pregunta}

perfecta

tiene _poi lo menos una i_espues

ta verdadcia.

Pero

tambin, _por lo me

nos una

parte es _{lalsa, y} as _{cada pregun}

ta

_perfecta

tiene _por lo menos una i

es-puesta

(perfecta)

falsa. Ella

_puede

tener,

adems,

hasta infinitas _respuestas verda deras y tambin hasta infinitas respuestas falsas. Por

_ejemplo,

_para "3 + x? = 7" existe una _respuesta verdadera e infinitas

lalsas, para ",V _> x?" existen infinitas res

puestas verdaderas e infinitas lalsas. Si

_hay

ms de una _respuesta verdade-la

para una _pregunta,

_distinguimos

entre

"respuesta

viuladera

_completa",

_epie es la

ronjunciin

de todas las _espuestas inten

cionadas verdaderas de la _{pregunta respec}

tiva, y

"respuesta

vcidadea

_incompleta",

que, aunque es una _respuesta

_verdadera,

no

_cumple

ion esta condicitin.

Respuestas

que no son

_peilectas

_p.na

una _pregunta

_pueden

ser

_peilectas

_para

otta. lina

_proposicin

_{verdadera, aunque} no es una _nspuesla

_perica

ta _para la _pie gunta en cuestim,

_puede

ser sediciente para obtener una _espuesia

_()ierleeta)

ver

daclera _para esta _{pregunta. Tenemos,}

por

ejemplo,

para la pregunta

"Mara

se ta

s) con Callos o con Pedro?" la _respuesta verdadera "Mara se case')

_(nicamente)

ion Antonio ", que no es una _respuesta

peleda. Peo. a

_partir

de ella

_puede

ob tenerse- la _espuesta

_perfecta

vert, ulea "No es el ia,o _que Mara se casi) con Cal los ni con Pedro".

Consideremos ahora las _preguntas como

algo

entero e

_{investiguemos qu}

_relacio

nes

_[Hieden

estableeise entre ellas. Pren

74 Anales de la Universidad de Chil^

de un

_problema

_que

_exige

_por lo me

nos una _respuesta verdadera". Simboliza

mos ahora las _preguntas

_(perfectas)

_por

"P".

_"Q",

"R". etc. Ya conocemos la con

juncin

v la

_disyuncin

de _{preguntas, que}

simbolizamos ahora por "P .

Q"

_{y "P}v

Q",

respectivamente.

Necesitamos,

_segn

lo _{indicado, por} lo

menos una _respuesta suficiente _para ob

tener una

_respuesta

verdadera _para una

pregunta sola. Para una

_conjuncin

de

preguntas

necesitamos una _respuesta sufi ciente

_(para

obtener una _respuesta ver

dadera)

para cada componente; para una

disvuncin de _preguntas es suficiente una

respuesta suficiente para uno de sus com

ponentes.

Hablamos de una

_"implicacien

de _pre

guntas" ("P

3

_{Q "),}

_que debe

_distinguirse

de una _pregunta condicionada, si cual

quier

respuesta suticiente para la pregun ta

_implicante

_(P)

es tambin suliciente

para la

pregunta

implicada

(Q).

Habla

mos de una

_{"equivalencia}

de

_preguntas"

("y?

=

Q "),

si una _respuesta suliciente _pa

ra una _pregunta es necesaria y suficiente

para obtener una _respuesta verdadera _pa

ra la otra _pregunta.

Ejemplos:

(Cundo

se

_fueron?)

.

(A

dnde se

_fueron?);

_(Cmo

se

_hiri?)

v

[.Con

_qu

se

_hirii?);

_(Con

_quin

se cas

Mara?)

3

_(Mara

se

_casi')?);

_(Es

sta tu

hija?)

=

_(Eres

t el

padre

de

_ella?).

Con esto y

algunas

simbolizaciones ms

-.a estaramos en

_posicin

de lonnar un

clculo de _{preguntas y respuestas.}

_Aqu

no

_procederemos

a una sistematizacin

(axiomalizacin,

etc.) de este

clculo,

sino sealaremos slo en lo _ejue

_{sigue algunas}

expresiones

epie seran teoremas de un

clculo de este

_tipo.

Utilizaremos, adems de los smbolos va sealados, "res P", _que

signilic

a "Se

_dispone

de una _respuesta

su-licente _para la _pregunta

P",

y la

negacin

de esta

_expresin,

" es P", que

significa

"No sp

_dispone

ele una _{respuesta suficien}

te _paia la _pregunta P". Tenemos

_luego:

res P.D.res

_(P

v

₀₎

_(I)

-res P.O.-res

_(P

.

0)

(2)

P 3 0 . res l'n.res 0 (?)

P D O . -res- 0.3.-res P

(*/)

P = _(>

. es P.J.ies 0

(5)

I> = _(J

. -res P.Z>.~res

Q

()

res P .

~ _res

.D.~(P

3

₀₎

₍₇₎

P.=.P v P

_(*)

P v 0.=.0 v P

₍₉₎

(/)

Si tenemos una _{respuesta suficiente}

para una

_pregunta

de una

_disyuncin,

en

tonces tenemos una _respuesta suficiente

para la

disyuncin

entera;

{2\

si no tene

mos

_ninguna

_respuesta suficiente _para

una _pregunta de una

_conjuncin,

enton

ces no tenemos una _respuesta suficiente

para la

conjuncin

entera;

₍₃₎

si tene

mos una _respuesta suficiente _par la _pre

gunta

implicante

de una

_implicacin

afir

mada,

entonces tambin tenemos una

respuesta suficiente para la pregunta im

plicada;

(4)

. . . ;

(8)

una pregunta es

equivalente

a la

_disyuncin,

_{cuyas partes} son esta misma _pregunta

_{(idempotencia);}

(9)

el orden de las _preguntas en una dis

yuncin

puede

invertirse

(conmutativi-dad);

etc.

La

_conjuncin

_y la

_disyuncin

de _pre

guntas

pueden

considerarse tambin como

preguntas. No es as con la

_implicacin

y

la

_{equivalencia.}

Estas no son _preguntas,

sino

_{proposiciones}

_que

_pueden

ser verda deras o

_falsas,

como tambin "res P" v

"res P". Los teoremas indicados son

igualmente

proposiciones.

Tenemos, por

lo tanto,

_{proposiciones}

en _que se _presen

tan _preguntas

_(romo

tuvimos arriba las

preguntas condicionadas, en _que se _pre

sentaban

_{proposiciones),}

un hecho _que de

muestra claramente _que

_pregunta

_{y pro}

posicin

son

_algo

_que admite un trata

miento comn.

Para _representar las relaciones entre

preguntas hemos utilizado smbolos como

"v", ".", "3", etc., mientras que en los

teoremas hemos utilizado los mismos sm

bolos _para conectar

_{proposiciones.}

Los dos

modos de

_emplear

los smbolos deben

dis-tinguise

claramente. El contexto

_permite

reconocerlos sin dilirultad.

Fxiste un notable

_paralelismo

entre los

teoremas indicados y los teoremas del

clculo de clases. Para

_poder

_expresar los mismos teoremas en el clculo de clases

trabajamos

con "clases de

_respuestas

_que

son sulieientes _para obtener una _respues

ta _{verdadera para la}

_pregunta

respectiva"

en

_lugar

de

_preguntas

V A la

disyuncin

de _preguntas

_corresponde

luego

la unin

Kxisu- la

_posibilidad

de una definicin

comple-lamentc ionnal de una _pregunta (como clase de

proposiciones). _por ejemplo, de "Fx'":

Ex' _{=H, /.(i/'.y).}J-v /' 3 Ey.\.-[L\)Fy . p D

~(li)Fy)

ila _{expresin paralela} de "Ex' _puede escri

birse en forma mis corta como

"

(Ey)Fy v

l.V UIGICA DE las precunias

de clases; a la

_conjuncin,

la

_interseccin;

a la

_implicacin,

la _subclase; a la

_equiva

lencia,

la identidad de clases; a "rn P"

coi

_responde

"La clase

_respectiva

no es va

cia"; y a "res P", "La clase

respectiva

es vacia".

Los dems _conceptos del clculo de clases caben

_{perfectamente}

en esta

concep-tuacin, como la "clase universal"

_(la

clase de todas las

_respuestas

de un ti

po que son suficientes _{para obtener} una

respuesta verdadera para

alguna

pregun ta), la "clase vaca"

(la

clase que no con

tiene ninauna

_respuesta

suficiente _para

una

_pregunta),

el

_"complemento

de una

clase", por

ejemplo

de la clase a

_(la

clase de todas las _respuestas suficientes _para

obtener una _respuesta verdadera _para al guna pregunta, menos las _respuestas su-licantes de

_a)

_y "...es elemento de la clase. . .".

Para todos estos _conceptos

_pueden

for marse _conceptos

_{correspondientes}

en el clculo de _{preguntas y respuestas:} la

_"pre

gunta universal"

(para

ella es suficiente

cualquier

respuesta

que es suliciente _para

alguna

pregunta), la

"pregunta

vaca"

que no es una _pregunta

_propiamente

tal

_(para

ella no es suliciente nin

guna respuesta que es suliciente _para

una

_pregunta),

la

_{"pregunta complemen}

tan.! de P" o el

_"complemento

de la _pre

gunta P"

_(para

ella es suficiente cual

quier

respuesta que es suficiente _para al

guna pregunta, menos las _{respuestas que} son suficientes _para

_P)

_y "...es una res

puesta suficiente _para obtener una res

puesta verdadea para la pregunta . . ."

(corresponde

a ".. . es elemento de la

ca-se...").

De este modo se ha establecido

_plena

correspondencia

entre el clculo de _pre

guntas y respuestas y el clculo de clases, lo cual

_permite

sistematizar el clculo de

preguntas y i_espuestas de la misma mane ra como el clculo de clases.

A _{pesar de} una diferencia fundamental

entre _{preguntas y}

_{proposiciones,}

_existe,

como se ha mostrado, la

_posibilidad

de simbolizar _preguntas de un modo _que se mantiene una

_{correspondencia}

con las

proposiciones

del sistema

_respectivo,

_y la

posibilidad

de tratar _preguntas en _propo

siciones y de calcular con ellas. Todo esto